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1、 第十一章第十一章 正交设计试验正交设计试验 资料的方差分析资料的方差分析 在实际工作中在实际工作中 ，常常需要同时考察，常常需要同时考察 3个或个或3个以上的试验因素个以上的试验因素 ，若进行全面，若进行全面试验，则试验的规模将很大试验，则试验的规模将很大 ，往往因试，往往因试验条件的限制而难于实施验条件的限制而难于实施 。 正交设计正交设计是安排多因素试验是安排多因素试验 、寻求寻求最优水平组合最优水平组合的一种的一种 高效率试验设计方高效率试验设计方法。法。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 第一节、正交设计原理和方法 (一) 正交设计的基本概念 正正 交交 设设 计计
2、 是利用是利用正交表正交表来安排来安排多因素试多因素试验验、分析试验结果分析试验结果的一种设计方法的一种设计方法。它从多因。它从多因素试验的全部水平组合中挑选部分有代表性的素试验的全部水平组合中挑选部分有代表性的水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况分析了解全面试验的情况 ，找出最优水平组找出最优水平组合。合。下一张 主 页 退 出 上一张 例如，例如，例如，例如， 研究氮研究氮研究氮研究氮、磷、钾肥施用量、磷、钾肥施用量、磷、钾肥施用量、磷、钾肥施用量对某小麦品种产对某小麦品种产对某小麦品种产对某小麦品种产量的影响：量的影响：量
3、的影响：量的影响： A A因素是氮因素是氮因素是氮因素是氮肥施用量肥施用量肥施用量肥施用量，设，设，设，设A A1 1、A A2 2、A A3 3 3 3个水平个水平个水平个水平 ； B B因素是因素是因素是因素是磷肥施用量磷肥施用量磷肥施用量磷肥施用量，设，设，设，设B B1 1、B B2 2、B B3 3 3 3个水平个水平个水平个水平 ； C C因素是因素是因素是因素是钾肥施用量钾肥施用量钾肥施用量钾肥施用量，设，设，设，设C C1 1、C C2 2、C C3 3 3 3个水平。个水平。个水平。个水平。 这是一个这是一个这是一个这是一个3 3因素因素因素因素每个因素每个因素每个因素每个因
4、素3 3水平的试验水平的试验水平的试验水平的试验 ，各因素的，各因素的，各因素的，各因素的水平之间全部可能的组合有水平之间全部可能的组合有水平之间全部可能的组合有水平之间全部可能的组合有2727种。种。种。种。 下一张 主 页 退 出 上一张 如果如果进行全面试验进行全面试验 ，可以分析各因素的，可以分析各因素的效应效应 ，交互作用，也可选出最优水平组合，交互作用，也可选出最优水平组合。 但全面试验包含的水平组合数较多，工但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大作量大 ，由于受试验场地、经费等限制而难，由于受试验场地、经费等限制而难于实施于实施 。 如果试验的如果试验的主要目的主要目的是寻求最
5、优水平组是寻求最优水平组合，则可利用正交设合，则可利用正交设计来安排试验来安排试验。 下一张 主 页 退 出 上一张 正交设计的正交设计的基本特点基本特点是：是：用部分试验来代用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。解全面试验的情况。 正交试验是用部分试验来代替全面试验，正交试验是用部分试验来代替全面试验，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；作用一一分析；当交互作用存在时，有可能出当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂现交互作用的混杂。下一张 主 页 退 出 上
6、一张 如如对对于于上上述述3因因素素每每个个因因素素3水水平平试试验验，若若不不考考虑虑交交互互作作用用，可可利利用用正正交交表表L9(34)安安排排，试试验验方方案案仅仅包包含含9个个水水平平组组合合，就就能能反反映映试试验验方方案案包包含含27个个水水平平组组合合的的全全面面试试验验的的情情况况，找找出出最最佳的生产条件。佳的生产条件。 一一、正交设计的基本原理正交设计的基本原理 下一张 主 页 退 出 上一张 表表11-1 11-1 33试验试验的全面的全面试验试验方案方案C C1 1C C2 2C C3 3A A1 1B B1 1A A1 1B B1 1C C1 1A A1 1B B1
7、 1C C2 2A A1 1B B1 1C C3 3B B2 2A A1 1B B2 2C C1 1A A1 1B B2 2C C2 2A A1 1B B2 2C C3 3B B3 3A A1 1B B3 3C C1 1A A1 1B B3 3C C2 2A A1 1B B3 3C C3 3A A2 2B B1 1A A2 2B B1 1C C1 1A A2 2B B1 1C C2 2A A2 2B B1 1C C3 3B B2 2A A2 2B B2 2C C1 1A A2 2B B2 2C C2 2A A2 2B B2 2C C3 3B B3 3A A2 2B B3 3C C1 1A A2
8、 2B B3 3C C2 2A A2 2B B3 3C C3 3A A3 3B B1 1A A3 3B B1 1C C1 1A A3 3B B1 1C C2 2A A3 3B B1 1C C3 3B B2 2A A3 3B B2 2C C1 1A A3 3B B2 2C C2 2A A3 3B B2 2C C3 3B B3 3A A3 3B B3 3C C1 1A A3 3B B3 3C C2 2A A3 3B B3 3C C3 3 下一张 主 页 退 出 上一张 图图图图11-1 311-1 3因素每个因素因素每个因素因素每个因素因素每个因素3 3水平试验点的均衡分布图水平试验点的均衡分布图
9、水平试验点的均衡分布图水平试验点的均衡分布图 正正交交设设计计就就是是从从全全面面试试验验点点（水水平平组组合合）中中挑挑选选出出有有代代表表性性的的部部分分试试验验点点（水水平平组组合合）来来进进行行试试验验。图图1中中标标有有 9个个试试验验点点，就就是是利利用用正正交交表表L9(34)从从27个个试试验验点点中中挑挑选选出出来来的的9个个试验点。即：试验点。即： (1)A1B1C1 (2)A1B2C2 (3)A1B3C3 (4)A2B1C2 (5)A2B2C3 (6)A2B3C1 (7)A3B1C3 (8)A3B2C1 (9)A3B3C2下一张 主 页 退 出 上一张 上述选择上述选择
10、，保证了，保证了A因素的每个水平与因素的每个水平与B因素因素 、 C 因因 素的各个水平在试验中各搭配一素的各个水平在试验中各搭配一次。次。 从图从图1中可以看到，中可以看到，9个个试验点分布是均衡试验点分布是均衡的的 ，在立方体的每个平面上，在立方体的每个平面上 有且仅有有且仅有3个试验个试验点；每两个平面的交线上有且仅有点；每两个平面的交线上有且仅有1个试验点。个试验点。 9个试验点均衡地分布于整个立方体内个试验点均衡地分布于整个立方体内 ，有很强的代表性，能够比较全面地反映全面试有很强的代表性，能够比较全面地反映全面试验的基本情况。验的基本情况。 下一张 主 页 退 出 上一张 二、正交
11、表及其特性 (一) 正交表 表表 11-2 是是L8(27)正交表，其中正交表，其中 “L”代表正代表正交表；交表；L 右下角的数字右下角的数字“8”表示有表示有8行，用这张行，用这张正交表安排试验包含正交表安排试验包含8个处理个处理 (水平组合水平组合) ；括；括号内的底数号内的底数“2” 表示因素的水平数，括号内表示因素的水平数，括号内 2的指数的指数“7”表示有表示有7列，列，用这张正交表最多可以用这张正交表最多可以安排安排7 7个个2 2水平因素水平因素。 下一张 主 页 退 出 上一张 下一张 主 页 退 出 上一张 表表11-2 L8(27)正交表正交表 2水平正交表还有水平正交表
12、还有L4(23)、L16(215)等；等； 3水平正交表有水平正交表有L9(34)、L27(313) 、 等。等。 (二二) 正交表的特性正交表的特性 1 1、任一列中，不同数字出现的次数相同、任一列中，不同数字出现的次数相同 例如例如L8(27)中不同数字只有中不同数字只有1和和2，它们各，它们各出现出现4次；次；L9(34)中不同数字有中不同数字有1、2和和3，它们，它们各出现各出现3次次 。下一张 主 页 退 出 上一张 2 2、任两列中，同一横行所组成的数字对出、任两列中，同一横行所组成的数字对出现的次数相同现的次数相同 例如例如例如例如 L L8 8(2(27 7) )的任两列中的任
13、两列中的任两列中的任两列中(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)各出现两次；各出现两次；各出现两次；各出现两次；L L9 9(3(34 4) )任两列中任两列中任两列中任两列中 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)(2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)各出现各出现各出现各出现1 1次。即次。即次。即次。即每个因
14、素的一个水平与另一因素的各个水平互碰次数每个因素的一个水平与另一因素的各个水平互碰次数每个因素的一个水平与另一因素的各个水平互碰次数每个因素的一个水平与另一因素的各个水平互碰次数相等，表明任意两列各个数字之间的相等，表明任意两列各个数字之间的相等，表明任意两列各个数字之间的相等，表明任意两列各个数字之间的搭配是均匀搭配是均匀搭配是均匀搭配是均匀的。的。的。的。 下一张 主 页 退 出 上一张 用正交表安排的试验，具有用正交表安排的试验，具有均衡分散均衡分散和和整整齐可比齐可比的特点。的特点。 均衡分散均衡分散，是指用正交表挑选出来的各因是指用正交表挑选出来的各因素素 水水 平平 组合在全部水平
15、组合中的分布是均衡组合在全部水平组合中的分布是均衡的的 。 由由 图图11-1可以看出，在立方体中可以看出，在立方体中 ，任一，任一平面内都包含平面内都包含 3 个个 试验点，试验点， 任两平面的交线任两平面的交线上都包含上都包含1个试验点。个试验点。 下一张 主 页 退 出 上一张 整齐可比整齐可比是指每一个因素的各水平间具是指每一个因素的各水平间具有可比性。有可比性。 因为正交表中每一因素的任一水平下都因为正交表中每一因素的任一水平下都均衡地包含着另外因素的各个水平，当比较均衡地包含着另外因素的各个水平，当比较某因素不同水平时，其它因素的效应都彼此某因素不同水平时，其它因素的效应都彼此抵消
16、。如在抵消。如在A、B、C 3个因素中，个因素中，A因素的因素的 3 个水平个水平 A1、A2、A3 条件下各有条件下各有 B、C 的的 3 个不同水平，即：个不同水平，即： 下一张 主 页 退 出 上一张 在在这这9个个水水平平组组合合中中，A因因素素各各水水平平下下包包括括了了B、C因因素素的的3个个水水平平，虽虽然然搭搭配配方方式式不不同同，但但B、C皆皆处处于于同同等等地地位位，当当比比较较A因因素素不不同同水水平平时时，B因因素素不不同同水水平平的的效效应应相相互互抵抵消消，C因因素素不不同同水水平平的的效效应应也也相相互互抵抵消消。所所以以A因因素素3个个水水平平间间具具有有可可比
17、比性性。同同样样，B、C因因素素3个个水水平平间间亦具有可比性亦具有可比性。下一张 主 页 退 出 上一张 (三) 正交表的类别 1 1、相相同同水水平平正正交交表表 各各列列中中出出现现的的最最大大数数字相同的正交表称为相同水平正交表。字相同的正交表称为相同水平正交表。 L4(23)、L8(27)、L12(211)等等各各列列中中最最大大数数字字为为2，称为两水平正交表；，称为两水平正交表； L9(34)、L27(313)等等各各列列中中最最大大数数字字为为3，称称为为3水平正交表。水平正交表。 下一张 主 页 退 出 上一张 2、 混合水平正交表混合水平正交表 各列中出现的最各列中出现的最
18、大数字不完全相同的正交表称为大数字不完全相同的正交表称为 混合水平正混合水平正交表。交表。 L8(4124)表中有一列最大数字为表中有一列最大数字为4，有，有4列最大数字为列最大数字为2。 也就是说该表可以安排也就是说该表可以安排1个个4水平因素和水平因素和4个个2水平因素。水平因素。 L16(4423)，L16(4212)等都混合水平正等都混合水平正交表。交表。下一张 主 页 退 出 上一张 三、正交设计方法 【例【例111】 某水稻栽培试验选择了某水稻栽培试验选择了3个水个水稻优良稻优良品种品种(A)：二九矮、高二矮、窄叶青：二九矮、高二矮、窄叶青 ， 3种种密度密度(B)： 15、20、
19、25（万苗（万苗/666.7m2）；）；3种种施氮量施氮量(C)： 3、5、8（kg/666.7m2），试采），试采用正交设计安排一个试验方案。用正交设计安排一个试验方案。 (一一) 确定试验因素及其水平确定试验因素及其水平, 列出因素水列出因素水平表平表 下一张 主 页 退 出 上一张 水水水水 平平平平因因因因 素素素素品种品种品种品种(A)(A) 密度密度密度密度(B)(B) 施氮量施氮量施氮量施氮量(C)(C)1 1二九矮二九矮二九矮二九矮(A(A1 1) )15(B15(B1 1) )3(C3(C1 1) )2 2高二矮高二矮高二矮高二矮(A(A2 2) )20(B20(B2 2)
20、)5(C5(C2 2) )3 3窄叶青窄叶青窄叶青窄叶青 (A(A3 3) )25(B25(B3 3) )8(C8(C3 3) )表表11-3 因素水平表因素水平表下一张 主 页 退 出 上一张 (二) 选用合适的正交表 根根据据因因素素、水水平平及及需需要要考考察察的的交交互互作作用用的多少来选择合适的正交表。的多少来选择合适的正交表。 选选用用正正交交表表的的原原则则是是：既既要要能能安安排排下下试试验验的的全全部部因因素素(包包括括需需要要考考查查的的交交互互作作用用)，又又要使部分水平组合数（要使部分水平组合数（处理数处理数）尽可能地少。）尽可能地少。下一张 主 页 退 出 上一张 一
21、般情况下，试验因素的水平数应恰好一般情况下，试验因素的水平数应恰好等于正交表记号中括号内的底数；因素的个等于正交表记号中括号内的底数；因素的个数（包括需要考查交互作用）应不大于正交数（包括需要考查交互作用）应不大于正交表记号中括号内的指数；表记号中括号内的指数；各因素及交互作用各因素及交互作用的自由度之和要小于所选的自由度之和要小于所选 正交表正交表 的的 总总 自由自由度度，以便估计试验误差。，以便估计试验误差。 若各因素及交互作用的自由度之和等于若各因素及交互作用的自由度之和等于所选正交表总自由度，则可所选正交表总自由度，则可采用有重复正交采用有重复正交试验试验来估计试验误差。来估计试验误
22、差。下一张 主 页 退 出 上一张 此此例例有有3个个3水水平平因因素素，若若不不考考察察交交互互作作用用，则则各各因因素素自自由由度度之之和和为为因因素素个个数数 (水水平平数数-1) = 3 (3-1) =6，小小于于L9(34)总总自自由由度度 9-1=8，故可以选用，故可以选用L9(34)； 若若要要考考察察交交互互作作用用，则则应应选选用用L27(313)，此此时时所所安安排排的的试试验验方方案案实实际际上上是是全全面面试试验验方方案案。 下一张 主 页 退 出 上一张 (三) 表头设计 表头设计就是把挑选出的因素和要考察表头设计就是把挑选出的因素和要考察的交互作用分别排入正交表的表
23、头适当的列的交互作用分别排入正交表的表头适当的列上。上。 在不考察交互作用时，各因素可随机安在不考察交互作用时，各因素可随机安排在各列上；若考察交互作用，就应按该排在各列上；若考察交互作用，就应按该正正交表的交互作用列表交表的交互作用列表安排安排 各各 因因 素与交互作素与交互作用。用。 下一张 主 页 退 出 上一张 表表11-4 表头设计表头设计列列 号号1234因因 素素ABC空空 此例不考察交互作用，可将品种此例不考察交互作用，可将品种(A)、密、密度度(B)和施氮量和施氮量 (C)依次安排在依次安排在L9(34)的第的第1、2、3列上，第列上，第4 列列 为空列，见表为空列，见表2-
24、4。 因素数因素数因素数因素数 列列列列 号号号号 1 1 2 2 3 3 4 4 2 2 A A B BABAB1 1ABAB2 2 3 3 A A BC BC1 1 B BACAC1 1 C CABAB1 1ABAB2 2ACAC2 2BCBC2 2 4 4 A A BC BC1 1 BD BD1 1 CD CD1 1 B BACAC1 1ADAD1 1CDCD2 2 C CABAB1 1ADAD2 2BDBD2 2 D DABAB2 2ACAC2 2BCBC2 2 L9（34）表头设计）表头设计 L8(27) 表表头设计头设计因素数因素数因素数因素数列列列列 号号号号1 12 23 34
25、 45 56 67 73 3A AB BABABC CACACBCBC4 4A AB BABABCDCDC CACACBDBDBCBCADADD D4 4A AB BCDCDABABC CBDBDACACD DBCBCADAD5 5A ADEDEB BCDCDABABCECEC CBDBDACACBEBED DAEAEBCBCE EABAB (四) 列出试验方案 把正交表中安排因素的各列把正交表中安排因素的各列(不包含欲考不包含欲考察的交互作用列察的交互作用列)中的每个数字依次换成该因中的每个数字依次换成该因素的实际水平，就得到一个素的实际水平，就得到一个正交试验方案正交试验方案。 下一张 主
26、 页 退 出 上一张 表表11-5 正交试验方案正交试验方案试验号试验号因因 素素A AB BC C1 12 23 31 11(1(二九矮二九矮) ) 1(15) 1(15)1(3)1(3)2 21(1(二九矮二九矮) ) 2(20) 2(20)2(5)2(5)3 31(1(二九矮二九矮) ) 3(25) 3(25)3(8)3(8)4 42(2(高二矮高二矮) ) 1(15) 1(15)2(5)2(5)5 52(2(高二矮高二矮) ) 2(20) 2(20)3(8)3(8)6 62(2(高二矮高二矮) ) 3(25) 3(25)1(3)1(3)7 73(3(窄叶青窄叶青) ) 1(15) 1(
27、15)3(8)3(8)8 83(3(窄叶青窄叶青) ) 2(20) 2(20)1(3)1(3)9 93(3(窄叶青窄叶青) ) 3(25) 3(25)2(5)2(5)下一张 主 页 退 出 上一张 第二节 正交试验资料的方差分析 若若各各号号试试验验处处理理都都只只有有一一个个观观测测值值，则则称称之为之为单个观测值正交试验单个观测值正交试验； 若若各各号号试试验验处处理理都都有有两两个个或或两两个个以以上上观观测测值，则称之为值，则称之为有重复观测值正交试验有重复观测值正交试验。 下一张 主 页 退 出 上一张 一、 单个观测值正交试验资料的方差分析 对对【例例11-1】用用L9(34)安安
28、排排试试验验方方案案后后，各各号号试试验验只只进进行行一一次次，试试验验结结果果列列于于表表2-6。试试对对其进行方差分析。其进行方差分析。 下一张 主 页 退 出 上一张 表表11-6 正交试验结果计算表正交试验结果计算表试验试验试验试验号号号号因因因因 素素素素产产产产量量量量A AB BC C(1)(1)(2)(2)(3)(3)1 11 11 11 1340.0(x340.0(x1 1) )2 21 12 22 2422.5(x422.5(x2 2) )3 31 13 33 3439.0(x439.0(x3 3) )4 42 21 12 2360.0(x360.0(x4 4) )5 52
29、 22 23 3492.5(x492.5(x5 5) )6 62 23 31 1439.0(x439.0(x6 6) )7 73 31 13 3392.0(x392.0(x7 7) )8 83 32 21 1363.5(x363.5(x8 8) )9 93 33 32 2462.5(x462.5(x9 9) )下一张 主 页 退 出 上一张 T T1 11201.51201.51092.01092.01142.51142.53711.0(T)3711.0(T)T T2 21291.51291.51278.51278.51245.01245.0T T3 31218.01218.01340.513
30、40.51323.51323.5 400.50400.50364.00364.00380.83380.83430.50430.50426.17426.17415.00415.00406.00406.00446.83446.83441.17441.17 Ti为各因素同一水平试验指标之和为各因素同一水平试验指标之和 ，T为为9个试个试验号的试验指标之和验号的试验指标之和； 为为各因素同一水平各因素同一水平试验试验指指标标的平均数的平均数。 下一张 主 页 退 出 上一张 该该试试验验的的9个个观观测测值值总总变变异异由由A因因素素、B因因素素、C因因素素及及误误差差变变异异4部部分分组组成成，因因
31、而而进进行行方方差分析时平方和与自由度的分解式为：差分析时平方和与自由度的分解式为： SST = SSA + SSB + SSC+SSe dfT = dfA + dfB + dfC + dfe 用用n表表示示试试验验(处处理理)数数；a、b、c表表示示A、B、C因因素素的的水水平平数数；ka、kb、kc表表示示A、B、C因因素素的的各各水水平平重重复复数数。本本例例，n=9、a=b=c=3、 ka=kb=kc=3。 下一张 主 页 退 出 上一张 1 1、计算各项平方和与自由度、计算各项平方和与自由度 矫正数矫正数 C = T2/n = 37112/9 = 1530169.00 总平方和总平方
32、和 SST =x2-C =（340.02+422.52+462.52） -1530169.00 =21238.00 下一张 主 页 退 出 上一张 A因素平方和因素平方和 SSA A= /ka-C =(1201.5(1201.52 2+1291.5+1291.52 2+1218.0+1218.02 2)/3)/3 -1530169.00 -1530169.00 =1530.50 =1530.50 BB因素平方和因素平方和因素平方和因素平方和 SS SSB B = = /k/kb b-C-C =(1092.0=(1092.02 2+1278.5+1278.52 2+1340.5+1340.52
33、2)/3)/3 -1530169.00 -1530169.00 =11153.17 =11153.17 下一张 主 页 退 出 上一张 C因素平方和因素平方和 SSC=T2C/kc-C =(1142.52+1245.02+1323.52)/3 -1530169.00 =5492.17 误差平方和误差平方和 SSe=SST-SSA-SSB-SSC =21238.00-1530.5-11153.17 -5492.17 =3062.16 下一张 主 页 退 出 上一张 总自由度总自由度 dfT =n-1=9-1=8 A因素自由度因素自由度 dfA =a-1=3-1=2 B因素自由度因素自由度 dfB
34、 =b-1=3-1=2 C因素自由度因素自由度 dfC =c-1=3-1=2 误差自由度误差自由度 dfe = dfT-dfA-dfB-dfC = 8-2-2-2 = 2下一张 主 页 退 出 上一张 2 2、列出方差分析表，进行、列出方差分析表，进行F F检验检验下一张 主 页 退 出 上一张 表表11-7 方差分析表方差分析表变变异来源异来源SSSSdfdfMSMSF FF0.05(2, 2)品种品种(A)(A)1530.501530.502 2765.25765.2511 19.0019.00密度密度(B)(B)11153.1711153.172 25576.595576.593.643
35、.64nsns施氮量施氮量(C)(C)5492.175492.172 22746.092746.091.791.79 ns ns误误差差3062.163062.162 21531.081531.08总变总变异异21238.0021238.008 8 F 检检验验结结果果表表明明，三三个个因因素素对对产产量量的的影影响响都都不不显显著著。究究其其原原因因可可能能是是本本例例试试验验误误差差大大且且误误差差自自由由度度小小(仅仅为为2)，使使检检验验的的灵灵敏敏度度低低，从从而掩盖了考察因素的显著性。而掩盖了考察因素的显著性。 由由于于各各因因素素对对增增重重影影响响都都不不显显著著，不不必必再再
36、进进行行各各因因素素水水平平间间的的多多重重比比较较。此此时时，可可从从表表11-6中中选选择择平平均均数数大大的的水水平平A2、B3、C3组组合合成成最优水平组合最优水平组合 A2B3C3。下一张 主 页 退 出 上一张 若若F检验结检验结果果3个因素个因素对试验对试验指指标标的影响的影响显显著或极著或极显显著，著，进进行各因素水平行各因素水平间间多重比多重比较较常采用常采用SSR法。法。 本例是本例是选选用相同水平正交表用相同水平正交表 L9(34)安排安排的的试验试验，A、B、C因素各水平重复数相因素各水平重复数相同，同，即即ka=kb=kc=3 3，它，它们们的的标标准准误误相相同，即
37、同，即下一张 主 页 退 出 上一张 单单个个观观测测值值正正交交试试验验资资料料的的方方差差分分析析，其其误误差差是是由由“空空列列”来来估估计计的的。然然而而“空空列列”并并不不空空，实际上是被未考察的交互作用所占据实际上是被未考察的交互作用所占据。 这这种种误误差差既既包包含含试试验验误误差差，也也包包含含交交互互作作用，称为用，称为模型误差模型误差。 若若交交互互作作用用不不存存在在，用用模模型型误误差差估估计计试试验验误误差差是是可可行行的的；若若因因素素间间存存在在交交互互作作用用，则则模模型型误误差差会会夸夸大大试试验验误误差差，有有可可能能掩掩盖盖考考察察因因素素的显著性的显著
38、性。下一张 主 页 退 出 上一张 试验误差应通过重复试验值来估试验误差应通过重复试验值来估计计。所以，进行正交试验最好能有二。所以，进行正交试验最好能有二次以上的重复。正交试验的重复，可次以上的重复。正交试验的重复，可采用采用完全随机完全随机或或随机区组设计随机区组设计。下一张 主 页 退 出 上一张 二二、 有重复观测值正交试验资料的方差分析有重复观测值正交试验资料的方差分析 【例【例【例【例111144】 为了探讨花生锈病药剂防治效果的好为了探讨花生锈病药剂防治效果的好为了探讨花生锈病药剂防治效果的好为了探讨花生锈病药剂防治效果的好坏，进行了坏，进行了坏，进行了坏，进行了药剂种类药剂种类
39、药剂种类药剂种类（A A）、）、）、）、浓度浓度浓度浓度（B B）、剂量、剂量、剂量、剂量（C C）3 3因素试验，各有因素试验，各有因素试验，各有因素试验，各有3 3个水平，选用正交表个水平，选用正交表个水平，选用正交表个水平，选用正交表L L9 9(3(34 4) )安安安安排试验。排试验。排试验。排试验。 试验重复试验重复试验重复试验重复2 2次，随机区组设计。正交试验方次，随机区组设计。正交试验方次，随机区组设计。正交试验方次，随机区组设计。正交试验方案及试验结果案及试验结果案及试验结果案及试验结果( (产量产量产量产量 kg/ kg/小区，小区面积小区，小区面积小区，小区面积小区，小
40、区面积133.3m133.3m2 2) )见表见表见表见表11101110，对试验结果进行方差分析。，对试验结果进行方差分析。，对试验结果进行方差分析。，对试验结果进行方差分析。下一张 主 页 退 出 上一张 用用r表示试验处理的重复数表示试验处理的重复数(区组数区组数)； n，a、b、c，ka、kb、kc的意义同上的意义同上。此例此例 r=2； n=9， a=b=c=3， ka=kb=kc=3。下一张 主 页 退 出 上一张 下一张 主 页 退 出 上一张 表表11-10 11-10 防治花生锈病药剂种类、浓度、剂量正交试验方案及结果计算表防治花生锈病药剂种类、浓度、剂量正交试验方案及结果计
41、算表试验试验号号 因因 素素 产产量量x(kg/小区小区)TtABC区区组组I区区组组II(1)(2)(3)11（百菌清）（百菌清）1（高）（高）1（80）28.028.556.528.2521（百菌清）（百菌清）2（中）（中）2（100）35.034.869.834.9031（百菌清）（百菌清）3（低）（低）3（120）32.232.564.732.3542（敌锈敌锈灵）灵）1（高）（高）2（100）33.033.266.233.1052（敌锈敌锈灵）灵）2（中）（中）3（120）27.427.054.427.2062（敌锈敌锈灵）灵）3（低）（低）1（80）31.832.063.831.9
42、073（波（波尔尔多）多）1（高）（高）3（120）34.234.568.734.3583（波（波尔尔多）多）2（中）（中）1（80）22.523.045.522.7593（波（波尔尔多）多）3（低）（低）2（100）29.430.059.429.70T T1 1191.0191.0191.4191.4165.8165.8 273.5273.5275.5275.5549.0549.0T T2 2184.4184.4169.7169.7195.4195.4 T T3 3173.6173.6187.9187.9187.8187.8 31.8331.8331.9031.9027.6327.6330.
43、7330.7328.2828.2832.5732.5728.9328.9331.3231.3231.3031.30 Ti为各因素同一水平试验指标之和为各因素同一水平试验指标之和 ，T为为9个试个试验号的试验指标之和验号的试验指标之和； 为为各因素同一水平各因素同一水平试验试验指指标标的平均数的平均数。 下一张 主 页 退 出 上一张 对对于于有有重重复复、且且重重复复采采用用随随机机区区组组设设计计的的正正交交试试验验，总总变变异异可可以以划划分分为为处处理理间间、区区组组间间和和误误差差变变异异三三部部分分，而而处处理理间间变变异异可可进进一一步步划划分分为为A因因素素、B因因素素、C因因素
44、素与与模模型型误误差差变变异异四四部分部分。此时，平方和与自由度分解式为：。此时，平方和与自由度分解式为： SST=SSt+SSr+SSe2 dfT = dft + dfr + dfe2 而而 SSt=SSA+SSB+SSC+SSe1 dft = dfA + dfB + dfC + dfe1 于是于是 SST= SSA+SSB+SSC+SSr+SSe1+ SSe2 dfT = dfA + dfB + dfC + dfr + dfe1 + dfe2 其中：其中：SSr为区组间平方和；为区组间平方和；SSe1为为模型误差平方和；模型误差平方和；SSe2为试验误差平方和；为试验误差平方和；SSt为处
45、理间平方和；为处理间平方和； dfr 、 dfe1 、dfe2 、dft 为相应自由度。为相应自由度。 注意注意 ，对于重复采用完全随机设计的正交，对于重复采用完全随机设计的正交试验，在平方和与自由度划分式中无试验，在平方和与自由度划分式中无 SSr、dfr项。项。 1 1、计算各项平方和与自由度、计算各项平方和与自由度 矫正数矫正数 C =T2/ r n =549.02/（29）=16744.50 下一张 主 页 退 出 上一张 总平方和总平方和 SST=x2-C =28.02+35.02+30.02-16744.50 =246.62 区组间平方和区组间平方和 SSr=T2r /n-C =(
46、273.52+275.52)/9- 16744.50 =0.22 下一张 主 页 退 出 上一张 处理间平方和处理间平方和 SSt = T2t / r - C =(56.52+69.82+59.42)/2-16744.50 =245.96 A因素平方和因素平方和 SSA = T2A / kar - C = (191.02+184.42+173.62)/(32) - 16744.50 =25.72 下一张 主 页 退 出 上一张 B B因素平方和因素平方和因素平方和因素平方和 SSSSB B =T T2 2B B / k/ kb br - Cr - C =(191.4=(191.42 2+169
47、.7+169.72 2+187.9+187.92 2)/(32) - 16744.50)/(32) - 16744.50 = =45.2445.24 C C因素平方和因素平方和因素平方和因素平方和 SS SSC C = = T T2 2C C / k/ kc cr - Cr - C = =(165.8(165.82 2+195.4+195.42 2+187.8+187.82 2)/(32) -16744.50)/(32) -16744.50 = =78.7778.77 下一张 主 页 退 出 上一张 模型误差平方和模型误差平方和模型误差平方和模型误差平方和 SS SSe1 e1 = = SSS
48、St t SS SSA A SS SSB B - SS- SSC C = =245.96- 25.72- 45.24.- 78.77245.96- 25.72- 45.24.- 78.77 = = 96.2396.23 试验误差平方和试验误差平方和试验误差平方和试验误差平方和 SSSSe2 e2 = =SSSST T SS SSr r - SS- SSt t = =246.62- 0.22- 245.96246.62- 0.22- 245.96 = = 0.440.44 下一张 主 页 退 出 上一张 总自由度总自由度 dfT=rn-1=29-1=17 区组自由度区组自由度 dfr=r-1=2
49、-1=1 处理自由度处理自由度 dft=n-1=9-1=8 A因素自由度因素自由度 dfA=a-1=3-1=2 B因素自由度因素自由度 dfB=b-1=3-1=2 C因素自由度因素自由度 dfC=c-1=3-1=2下一张 主 页 退 出 上一张 模型误差自由度模型误差自由度 dfe1 = dft-dfA-dfB-dfC = 8-2-2-2= 2 试验误差自由度试验误差自由度 dfe2=dfT-dfr-dft =17-1-8 = 8 2 2、列出方差分析表，进行、列出方差分析表，进行F F检验检验下一张 主 页 退 出 上一张 表表表表11-10 11-10 11-10 11-10 有重复观测值
50、正交试验资料的方差分析表有重复观测值正交试验资料的方差分析表有重复观测值正交试验资料的方差分析表有重复观测值正交试验资料的方差分析表变变异来源异来源SSdfMSFF0.05F0.01 A25.72212.86214.33*4.107.55 B45.24222.62377.00*C78.77239.39656.50*区区组组0.2210.223.67ns4.9610.01模型模型误误差差(e1)96.23248.12802.00*试验误试验误差差(e2)0.4480.06总总 的的246.6217 首先检验首先检验MSe1与与MSe2差异的显著性，若经差异的显著性，若经F检验不显著，则可将其平方
51、和与自由度分别合检验不显著，则可将其平方和与自由度分别合并，计算出合并的误差均方，进行并，计算出合并的误差均方，进行F检验与多重检验与多重比较，以提高分析的精度；若比较，以提高分析的精度；若F检验显著，说明检验显著，说明存在交互作用存在交互作用 ，二者不能合并，二者不能合并 ， 此时只能以此时只能以MSe2进行进行F检验与多重比较。检验与多重比较。 下一张 主 页 退 出 上一张 本例本例MSe1 / MSe2=802.00* ，模型误差，模型误差均方均方 MSe1 与试验误差均方与试验误差均方 MSe2 差异极显差异极显著，著，说明试验因素间交互作用极显著说明试验因素间交互作用极显著，只能，
52、只能以试验误差均方以试验误差均方 MSe2 进行进行F检验与多重比检验与多重比较。较。 F检验结果表明，检验结果表明，药剂种类药剂种类（A）、）、浓浓度度（B）、）、剂量剂量（C）3 因素对花生产量都因素对花生产量都有极显著影响；区组间差异不显著有极显著影响；区组间差异不显著 。下一张 主 页 退 出 上一张 3、 多重比较多重比较 (1) 若若模模型型误误差差显显著著，说说明明试试验验因因素素间间存存在在交交互互作作用用，各各因因素素所所在在列列有有可可能能出出现现交交互互作作用用的的混混杂杂，此此时时各各试试验验因因素素水水平平间间的的差差异异已已不不能能真真正正反反映映因因素素的的主主效
53、效，因因而而进进行行各各因因素素水水平平间间的的多多重重比比较较无无多多大大实实际际意意义义，但但应应进进行行试试验验处处理理间间的的多多重重比比较较，以以寻寻求求最最处处理理，即即最最优优水水平平组组合合。进进行行各各试试验验处处理理间间多多重重比比较较时时选选用用试试验验误误差差均均方方MSe2。模模型型误误差差显显著著，还还应应进进一一步步试试验，以分析因素间的交互作用。验，以分析因素间的交互作用。 下一张 主 页 退 出 上一张 (2) 2) 若若模型误差不显著模型误差不显著 ，说明试验因说明试验因素间交互作用不显著，各因素所在列有可能素间交互作用不显著，各因素所在列有可能未出现交互作
54、用的混杂，此时各因素水平间未出现交互作用的混杂，此时各因素水平间的差异能真正反映因素的主效，因而进行各的差异能真正反映因素的主效，因而进行各因素水平间的多重比较有实际意义，并从各因素水平间的多重比较有实际意义，并从各因素水平间的多重比较中选出各因素的最优因素水平间的多重比较中选出各因素的最优水平相组合，得到最优水平组合水平相组合，得到最优水平组合。 下一张 主 页 退 出 上一张 进行各因素水平间的多重比较时，用合并进行各因素水平间的多重比较时，用合并的误差均方的误差均方 MSe=（SSe1+ SSe2）/（dfe1+ dfe2） 此时可不进行试验处理间的多重比较。此时可不进行试验处理间的多重
55、比较。 本例模型误差极显著，说明因素间存在交本例模型误差极显著，说明因素间存在交互作用，不必进行各因素水平间的多重比较，互作用，不必进行各因素水平间的多重比较，应进行试验处理间的多重比较应进行试验处理间的多重比较 ， 以寻求最处以寻求最处理，即最优水平组合理，即最优水平组合。为了让读者了解多重比。为了让读者了解多重比较的方法，下面仍对各因素水平间、各试验处较的方法，下面仍对各因素水平间、各试验处理间进行多重比较。理间进行多重比较。下一张 主 页 退 出 上一张 （1）A、B、C因素各水平平均数的多重比较因素各水平平均数的多重比较 表表11-12 A11-12 A因素各水平平均数的多重比因素各水
56、平平均数的多重比较较表表( (SSRSSR法法) ) A A因素因素因素因素平均数平均数平均数平均数-28.93-28.93-30.73-30.73A A1 131.8331.832.902.90*1.101.10* *A A2 230.7330.731.801.80*A A3 328.9328.93下一张 主 页 退 出 上一张 表表11-13 B11-13 B因素各水平平均数的多重比因素各水平平均数的多重比较较表表( (SSRSSR法法) ) B B因素因素因素因素平均数平均数平均数平均数 - -28.2828.28 - -31.3231.32B B1 131.9031.903.623.6
57、2*0.580.58*B B3 331.3231.323.043.04*B B2 228.2828.28下一张 主 页 退 出 上一张 表表11-14 C11-14 C因素各水平平均数的多重比因素各水平平均数的多重比较较表表( (SSRSSR法法) ) C C因素因素因素因素平均数平均数平均数平均数 - - 27.63 27.63 - -31.30 31.30 C C2 232.5732.574.944.94*1.271.27*C C3 331.3031.303.673.67*C C1 127.6327.63下一张 主 页 退 出 上一张 因因为为 由由dfe=8和和k=2, 3, 查得查得S
58、SR值并计算出值并计算出LSR值列于表值列于表11-15。 下一张 主 页 退 出 上一张 表表11-15 SSR值与值与LSR值表值表dfdfe ek kSSRSSR0.050.05SSRSSR0.010.01LSRLSR0.050.05LSRLSR0.010.018 82 23.263.264.744.740.330.330.470.473 33.393.395.005.000.340.340.500.50下一张 主 页 退 出 上一张 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 多重比较结果表明：多重比较结果表明： A因素各水平平均因素各水平平均产量间产量间 、B因素各水平平均产
59、量间因素各水平平均产量间 、C因素因素各水平平均产量间差异显著或极显著。各因各水平平均产量间差异显著或极显著。各因素的最优水平为素的最优水平为A1、B1、C2。 注意，本例模型误差显著，试验因素间注意，本例模型误差显著，试验因素间存在交互作用存在交互作用 ，不宜从各因素水平间的多重，不宜从各因素水平间的多重比较中选出各因素的最优水平相组合来得到比较中选出各因素的最优水平相组合来得到最优水平组合。最优水平组合。 表表11-16 11-16 各各试验处试验处理平均数多重比理平均数多重比较较表表( (LSDLSD法法) ) 试验试验试验试验号号号号平均数平均数平均数平均数- -22.7522.75
60、- -27.2027.20 -28.25-28.25-29.70-29.70-31.90-31.90-32.35-32.35-33.10-33.10-34.35-34.352 234.9034.9012.1512.15*7.707.70*6.656.65*5.205.20*3.003.00*2.552.55*1.801.80*0.550.557 734.3534.3511.6011.60*7.157.15*6.106.10*4.654.65*2.452.45*2.002.00*1.251.25*4 433.1033.1010.3510.35*5.905.90*4.854.85*3.403.40
61、*1.201.20*0.750.75* *3 332.3532.359.609.60*5.155.15*4.104.10*2.652.65*0.450.456 631.9031.909.159.15*4.704.70*3.653.65*2.202.20*9 929.7029.706.956.95*2.502.50*1.451.45*1 128.2528.255.505.50*1.051.05*5 527.2027.204.454.45*8 822.7522.75（2）各试验处理平均数间的多重比较）各试验处理平均数间的多重比较 下一张 主 页 退 出 上一张 因为因为 由由dfe=8, 查得查得
62、t0.05(8)=2.306，t0.01(8)=3.355，计算出计算出LSD值为：值为： LSD0.05= t0.05(8) =2.3060.245=0.565 LSD0.01= t0.01(8) =3.3550.245=0.822 下一张 主 页 退 出 上一张 各试验处理间平均数多重比较结果，除各试验处理间平均数多重比较结果，除第第2号试验处理与第号试验处理与第7号试验处理号试验处理 、第、第3号试号试验处理与第验处理与第 6 号试验处理平均产量差异不显号试验处理平均产量差异不显著外，其余各试验处理平均产量间差异极显著外，其余各试验处理平均产量间差异极显著或显著，著或显著，最优水平组合为第最优水平组合为第 2 号试验处理号试验处理A1B2C2（或（或第第7号试验处理号试验处理A3B1C3） 下一张 主 页 退 出 上一张 本例模型误差显著，试验因素间本例模型误差显著，试验因素间存在交互作用，应以试验处理间的多存在交互作用，应以试验处理间的多重比较寻求的最优水平组合，重比较寻求的最优水平组合， 即第即第2 2号试验处理号试验处理 A A1 1B B2 2C C2 2 （或第（或第7 7号试验处号试验处理理 A A3 3B B1 1C C3 3 ）为该试验的最优水平组）为该试验的最优水平组合。合。
