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1、第十一章 复变函数第一节 、 复平面第二节、复变函数第三节、解析函数第一节、复平面第一节、复平面一、复数的概念二、复数的各种表示、模与辐角三、复平面上的点集与区域一、复数的概念一、复数的概念定义；设 x,y为两个任意实数，称形如x+yi 的数为复数，记为 z= x+yi ，其中 i 满足i2 =-1，i称为虚数单位.实数x 和 y分别称为复数z 的实部和虚部，记为x=Rez,y=Imz. 各数集之间的关系可表示为 复数的代数运算复数的代数运算设复数 , 定义 z1 与 z2 的四则运算如下：加法： 减法： 乘法： 除法： 复数四则运算规律：复数四则运算规律：（1）加法交换律: (2）乘法交换律
2、 （3）加法结合律 （4）乘法结合律 （5）乘法对于加法的分配律 复数运算的其它结果：（1） （2） （3）若 ，则 Z1与 Z2至少有一个为零，反之亦然.共轭复数的运算性质共轭复数的运算性质： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 为实数例例1 化简化简例2 二、复数的各种表示、模与辐角二、复数的各种表示、模与辐角1.复数的几何表示由复数z=x+iy 的定义可知，复数是由一对有序实数(x,y) 惟一确定的，于是可建立全体复数和 平面上的全部点之间的一一对应关系，即可以用横坐标为x ，纵坐标为y的点 表示复数 （如图），这是一种几何表示法，通常称为点表示，并将点 P 与数 看作同义词
3、. 2.复数的向量表示复数的向量表示复数复数 还可以用起点为原点，终点为还可以用起点为原点，终点为P(x,y) 的向量的向量 来表示（如图），来表示（如图）， x 与与 y 分别是分别是实部和虚部分实部和虚部分.3.复数的模与辐角复数的模 Z0对应的向量 的长（如图）, 与实轴正方向所夹的角 ，称为复数 Z的辐角,记作argz ，即 =argz+2k , k为整数并规定 按逆时针方向取值为正，顺时针方向取值为负.4.复数的的三种表示式.复数的表示式 称为复数 的三角表示式.复数的表示式 称为复数 的指数表示式复数的表示式 称为复数 的代数表示式三三、复平面上的点集与区域、复平面上的点集与区域扩
4、充复平面 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.有限复平面 不包括无穷远点的复平面称为有限复平面，或复平面.邻域 平面上以 z0为心 ，0为半径的圆： 内部所有点z0 的集合称为点z0的 邻域，记为 N(z0,) . 称集合 (z0 - , z0 + ) 为 z0 的去心 邻域 记作开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内点，则称 D 为开集.闭集如果点集D的余集为开集，则称 D为闭集.连通集 设是D开集，如果对D 内任意两点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属D则称开集是连通集.区域（或开区域） 连通的开集称为区域或开区域.闭区域 开区域 连同它的边界一起，称为闭区域，记为 .第二节
5、、第二节、复变函数复变函数一、复变函数的概念一一、复变函数的概念：、复变函数的概念：定义1 设 D为给定的平面点集，若对于D 中每一个复数z=x+iy ，按着某一确定的法则f ，总有确定的一个或几个复数 与之对应，则称 f是定义在D上的复变函数（复变数 是复变数Z的函数），简称复变函数，记作 =f(z) 其中 Z称为自变量, 称为因变量，点集 D 称为函数的定义域. 例1 将定义在全平面上的复变函数 化为一对二元实变函数.解 设 第三节、解析函数第三节、解析函数一、复变函数的导数二、解析函数的定义三、柯西黎曼条件一、复变函数的导数一、复变函数的导数1.导数的定义定义1 设函数f(z) 在包含
6、z0 的某区域 D内有定义，当变量z 在点z0 处取得增量 时，相应地，函数 取得增量 若极限（ ） 存在，则称f(z) 在点 z处可导，此极限值称为f(z) 在点 z处的导数，记 或 ，即 二、二、解析函数的定义解析函数的定义 定义3 如果函数 f(z)不仅在点 z0处可导，而且在点z0 的某邻域内的每一点都可导，则称 f(z) 在点z0 处解析，并称点z0 是函数的解析点；如果函数 f(z) 在区域D内每一点都解析，则称 f(z) 在区域 D内解析或称 为区域D 内的解析函数，区域 D 称为 的解析区域. 如果 f(z) 在点z0 处不解析，但在z0 的任一邻域内总有 z0 的解析点,则称
7、 z0 为f(z) 的奇点.例例5 讨论函数讨论函数 f(z)=z2的解析性的解析性.解 由例2知，f(z)=z2 在整个复平面内处处可导且 ，则由函数在某区域内解析的定义可知，函数 f(z)=z2在整个复平面上解析。三、三、 柯西柯西黎曼条件黎曼条件定理 设函数 在区域 D 内有定义，则 在 D内解析的充分必要条件为 在 D内任一点 处（1）可微； （2）满足 上式称为柯西黎曼条件（或方程），简称CR条件（或方程）. 定理 函数 在区域 D 内解析的充要条件为 （1） 在D内连续；（2） 在 D 内满足CR条件 ， 第四节、初等解析函数第四节、初等解析函数一、指数函数二、对数函数三、幂函数四
8、、三角函数一、一、 指数函数指数函数定义3 复变量的指数函数定义为 指数函数的一些重要性质：（1）指数函数 ez在整个Z的有限平面内都有定义，且处处不为零. （2）ez1+z2 =ez1ez2 （3）指数函数是以2i 为周期的周期函数（4）指数函数ez 在整个复平面上解析，且有 (ez)=ez 二、对数函数二、对数函数 定义4 对数函数定义为指数函数的反函数.若 ，则称 是Z的对数函数，记作 对数函数是一个多值函数，每一个Z 对应着多个LnZ的值.若令k=0 ，则上式中的多值函数便成为了单值函数，则称这个单值函数为多值函数LnZ 的主值. 记作lnz 例1 求 .解 因为-1的模为 1，其辐角
9、的主值为 ，所以 而 又因为 iii的模为1，而其辐角的主值为 ，所以 复变量对数函数具有与实变量对数函数同样复变量对数函数具有与实变量对数函数同样的基本性质：的基本性质：（ 5）对数函数的解析性可以证明 Lnz在除去原点与负实轴的Z平面内解析，所以 Lnz的各个分支也在除去原点与负实轴的Z平面内解析。三、幂函数三、幂函数 定义5 设 为任意复常数，定义一般幂函数为 它是指数与对数函数的复合函数，是多值函数(因 对数函数是多值的). 幂函数的几种特殊情形：（1）当 为整数时，是与K 无关的单值函数（0,n 为正整数）时， f(z)=zn为Z的 次乘方， （2）当 为有理数 时（为既约分数， n
10、0 ），只有 n 个不同的值，即当 K 取 0,1,2,n-1时的对应值.（3）当 为无理数或复数时，z 有无穷多个值. 此时的 z 与根式函数 的区别 是无穷多值函数.而后者的值是有限的。（1）当）当 =n（ n 为正整数）时，为正整数）时，zn 在整个在整个复平面内单值解析，且复平面内单值解析，且 （2）当 =-n（n 为正整数）时， 在除原点的复平面内解析，且 四、三角函数四、三角函数定义7 设 Z 为任一复变量，称 与 分别为复变量Z的正弦函数与余弦函数，分别记为sinz 与cosz 正弦函数与余弦函数的性质：（1）sinz 与 cosz都是以 2为周期的周期函数 （2） sinz为奇函数，cosz 为偶函数，即对任意的Z 有 （3）（4） 和和 都是无界的都是无界的.因为 可见，当 无限增大时， 趋于无穷大，同理可知， 也是无界的.
