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1、高等数学 第三十二讲1BBD38反常积分第八节反常积分 第三章 二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分常义积分积分区间被积函数推广一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分反常积分 (广义积分)是有限的在上有界2BBD38反常积分一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分引例引例. 曲线和直线及 x 轴所围成的开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为 若曲线为和直线及 x 轴所围成的开口曲边梯形的面积可记作积分收敛积分发散3BBD38反常积分定义定义1. 设若存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分反常积分, 记作这时称反常积分收敛 ;如果上述极限不存在,就称反常积分发散 .类似地
2、 , 若则定义4BBD38反常积分则定义( c 为任意取定的常数 )只要有一个极限不存在 , 就称发散 .无穷限的反常积分也称为第一类第一类反常积分积分. 并非不定型 ,说明说明: 上述定义中若出现 它表明该反常积分发散 .5BBD38反常积分引入记号则有类似牛 莱公式的计算表达式 :6BBD38反常积分例例1. 计算反常积分解解:思考思考: 分析分析:原积分发散 !注意注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 .7BBD38反常积分例例2. 证明第一类 p 积分证证:当 p =1 时有 当 p 1 时有 当 p 1 时收敛 ; p1 时发散 .因
3、此, 当 p 1 时,反常积分收敛 , 其值为当 p1 时,反常积分发散 . 8BBD38反常积分例例3. 计算反常积分解解:解：解：原式9BBD38反常积分二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分引例引例:曲线所围成的与 x 轴, y 轴和直线开口曲边梯形的面积 可记作其含义可理解为 可见把被积函数推广到在有限区间上是无界的情形是可能的，而且是有用的。10BBD38反常积分定义定义2. 设而在点 a 的右邻域内无界,存在 ,这时称反常积分收敛 ; 如果上述极限不存在,就称反常积分发散 .类似地 , 若而在 b 的左邻域内无界,若极限数 f (x) 在 a , b 上的反常积分, 记作则定
4、义则称此极限为函 11BBD38反常积分若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明说明: 而在点 c 的无界函数的积分又称作第二类反常积分第二类反常积分, 无界点常称邻域内无界 ,为瑕点瑕点(奇点奇点) .例如,间断点,而不是反常积分. 则本质上是常义积分, 则定义12BBD38反常积分注意注意: 若瑕点的计算表达式 : 则也有类似牛 莱公式的若 b 为瑕点, 则若 a 为瑕点, 则若 a , b 都为瑕点, 则则可相消吗可相消吗?13BBD38反常积分例例4. 计算反常积分解解: 显然瑕点为 a , 所以原式14BBD38反常积分下述解法是否正确: , 积分收敛的收敛性 . 解解:所以反
5、常积分发散 .例例5. 讨论反常积分15BBD38反常积分例例6. 证明反常积分证证: 当 q = 1 时,当 q 1 时收敛 ; q1 时发散 .当 q1 时所以当 q 1 时, 该反常积分收敛 , 其值为当 q 1 时, 该反常积分发散 .16BBD38反常积分例例7：计算解：解：则此反常积分发散。注：若疏忽了是被积函数的瑕点，而将它误认为定积分来计算则有错误的结果。17BBD38反常积分例例8：判断反常积分的敛散性，解：解：则这个积分既是无界函数，又是无穷区间上的反常积分，因此，我们先分别考察积分和若收敛求其值。令18BBD38反常积分令：19BBD38反常积分例例9.解解：求的无穷间断
6、点, 故 I 为反常积分.20BBD38反常积分例例10 试证, 并求其值 .解解:令21BBD38反常积分22BBD38反常积分内容小结内容小结 反常积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限说明说明: (1) 有时通过换元 ,反常积分和常义积分可以互相转化 .例如 ,(2) 当一题同时含两类反常积分时, 应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.23BBD38反常积分说明说明: (1) 有时通过换元 ,反常积分和常义积分可以互相转化 .例如 ,(2) 当一题同时含两类反常积分时, 应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.24BBD38反常积分P224 1 1 3 5 作业作业25BBD38反常积分
