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1、目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 两个重要极限两个重要极限 一、函数极限与数列极限的关系一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则及夹逼准则第六节极限存在准则及两个重要极限 第一章 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则函数极限与数列极限的关系及夹逼准则1. 函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系定理定理1. (归结原则归结原则/海涅定理海涅定理)有定义,为确定起见 , 仅讨论的情形.有目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1.有定义, 且设即当有有定义 , 且对上述 ,时, 有于是当时故可用反证法证明. (略)有证：证：当 “ ”“ ”目录
2、上页 下页 返回 结束 定理定理1.有定义且有说明说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 .法法1 找一个数列不存在 .法法2 找两个趋于的不同数列及使目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 证明不存在 .证证: 取两个趋于 0 的数列及有由定理 1 知不存在 .目录 上页 下页 返回 结束 2. 函数极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则准则准则且( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 )目录 上页 下页 返回 结束 例例2 2解解由夹逼定理得由夹逼定理得目录 上页 下页 返回 结束 单调增加单调增加单调减少单调减少单调数列单调数列几何解释几何解释:相应地，函数也有类似准则(见P55)3.单调
3、有界准则单调有界准则目录 上页 下页 返回 结束 例例3 3证明证明(舍去舍去)目录 上页 下页 返回 结束 圆扇形AOB的面积二、二、 两个重要极限两个重要极限 证证: 当即亦即时，显然有AOB 的面积AOD的面积故有注注注 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求解解: 例例5. 求解解: 令则因此原式目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 求解解: 原式 =例例7. 已知圆内接正 n 边形面积为证明: 证证: 说明说明: 计算中注意利用目录 上页 下页 返回 结束 类似地类似地,目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 证证: 当时, 设则(P5354)目录 上页 下
4、页 返回 结束 当则从而有故说明说明: 此极限也可写为时, 令目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 求解解: 令则说明说明 ：若利用则 原式目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 求解解: 原式 =目录 上页 下页 返回 结束 (充分条件)4.柯西准则即 收敛数列不一定单调但是收敛数列一定有界。相应地，有目录 上页 下页 返回 结束 的不同数列内容小结内容小结1. 函数极限与数列极限关系的应用(1) 利用数列极限判别函数极限不存在 (2) 数列极限存在的夹逼准夹逼准则则法法1 找一个数列且使法法2 找两个趋于及使不存在 .函数极限存在的夹逼准则目录 上页 下页 返回 结束 3. 两个重要极限或注注: 代表相同的表达式2.三个准则目录 上页 下页 返回 结束 P56 1 (3) (4)，(5)，(6) ; 2 (2)，(3)，(4) ; 4 (2) , (3)，(4)第七节 作业
