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1、开课单位：精密仪器与机械学系任课教师：尉昊赟（） 李 岩（）误 差 理 论 与 数 据 处 理清华大学本科生选修课清华大学本科生选修课课号：课号：00130172第二章第二章 误差的基本性质与处理误差的基本性质与处理第一节第一节 概率、随机误差概率、随机误差第二节 系统误差第三节 粗大误差一、概率定义对于某一随机试验，出现的事件A，B为有限个，且每个事件出现的可能性是相同的。若事件A出现的次数为L，各类事件出现总数为N，则L/N称为事件A出现的频率当各类事件总数N逐渐增多时，频率逐渐稳定于某个客观存在的实常数。它隶属于随机事件，处于0与1之间，称为理论概率。常用P(A)表示给定条件下事件A出现
2、的概率。 概率概率概率的定义有很多定义方式，有频率定义、古典定义、统计定义等例如：袋中5个球中只有1个红球，第1个球就取中红球的概率是1/5。 这类概率问题是离散型随机变量的概率问题。对于对于连续型随机变量连续型随机变量：常用常用 表示随机变量表示随机变量X落在落在 区间的概率。区间的概率。 连续型随机变量与离散型随机变量的一个根本区别是：连续型随机变量X取值任一定值a（x轴上某点）的概率为零。只有研究随机变量X落在某一区间的概率才不为零。概率概率2 2、概率密度函数（或分布密度函数）、概率密度函数（或分布密度函数）对于连续型随机变量，我们可以用概率密度函数来刻画随机变量取值的概对于连续型随机
3、变量，我们可以用概率密度函数来刻画随机变量取值的概率分布。率分布。定义：定义：对于随机变量对于随机变量X，如果存在非负可积函数，如果存在非负可积函数使对任意实数使对任意实数 a,b( aa,b( ab )b )，都有，都有 则称则称X为连续随机变量，并称为连续随机变量，并称f(x)f(x)为为X的概率密度函数。的概率密度函数。（简称概率密度或密度）（简称概率密度或密度）概率概率概率密度函数的性质概率密度函数的性质：(1)(2)随机变量x落在某一区间的概率：概率密度函数图概率密度函数图（概率微元）概率概率被测量的估计值常用算数平均值 表示，若 落于T1和T2 2之间的概率为 那么T1和T2之间的
4、区间称为 双侧的概率为p的置信区间； 称为置信水平 (level of confidence）,（也叫置信度、置信水准、置信概率等。）（也叫置信度、置信水准、置信概率等。）称为显著性水平或显著度。置信区间置信区间 对同一量值多次等精度测量，得到一系列不同的测量值（称为测量列）。每个测量值含有误差，前一个误差出现后，不能预定下一个测值误差的大小和方向，但就误差总体而言，具有统计规律。这类误差叫随机误差。 为了分析随机误差对测量结果的影响，需要对随机误差的分布规律进行研究。也就是研究随机误差的概率密度函数。随机误差的性质及其分布规律随机误差的性质及其分布规律如何做？分析测量的随机误差的分布规律，可
5、以对某一被测量进行多次测量对某钢球工件直径重复测量150次，得到下列测量点列图，可计算出数据集中在7.335mm附近：7.0857.3357.585导入例导入例（1）分组数=11，组距=0.05mm；（2）依次定各组的频数、频率和频率密度；（3）以数据为横坐标，频率密度为纵坐标，在横坐标上划出等分的子区间，划出各子区间的直方柱，即为所求统计直方图。77.17.27.37.47.57.600.040.080.120.160.20导入例导入例测量中的随机误差一般具有以下特点： 1）单峰性：小误差出现的概率比大误差出现的概率大 2）对称性：正误差出现的概率与负误差出现的概率相等。 3）抵偿性：随测量
6、次数增加，随机误差的算术平均值趋于零。 上述随机误差的性质可从数学上推导出误差的分布密度函数，（其中最重要的一个条件是：当测量值等于所有测值的算术平均值时出现的概率最大。)这个推导是高斯最早完成的，称正态分布。误差符合正态分布的条件：误差符合正态分布的条件：影响的因素很多（影响的因素很多（15个以上）个以上）、彼此独立彼此独立、各影响因素影响程度相当各影响因素影响程度相当。随机误差的性质随机误差的性质大量的测量实践表明，多数随机误差，特别是在多种各不占优势的独大量的测量实践表明，多数随机误差，特别是在多种各不占优势的独立随机因素综合作用下的随机误差，是服从正态分布律的，其概率密立随机因素综合作
7、用下的随机误差，是服从正态分布律的，其概率密度函数为：度函数为：式中 y概率分布密度，可理解为随机误差在单位区间内出现的概率； 随机误差； 均方误差； e自然对数的底，e=2.71828 随机误差的分布律随机误差的分布律正态分布曲线称为“高斯曲线” （GaussGauss）或“随机误差正态分布曲线”测值算术平均值不为零的正态分布测值算术平均值不为零的正态分布这时概率密度函数将以算术平均值为曲线对称轴，设连续型随机变量的概率密度函数为其中，为常数，且0，则称服从参数为，的正态分布，记为68.26% 95.45% 99.73% 随机误差的分布律随机误差的分布律值不同时，正态分布概率密度曲线的变化值
8、不同时，正态分布概率密度曲线的变化随机误差的分布律随机误差的分布律测值的算术平均值测值的算术平均值算术平均值设x1，x2，xn为n次测量所得之值，该组测值的算术平均值为算术平均值原理由于随机误差的存在，对某一量值作多次重复测量所得的测值，必然是互不相同。这时，应以所有测得值的算术平均值作为测量结果，才是最合理的。算术平均值原理的证明 设1，2n为每次测量所产生的随机误差，若被测量的真值为L0，则有 将上述n式相加得 测值的算术平均值测值的算术平均值根据随机误差的对称性，当n时 随着重复测量次数的增多，其所有测值的算术平均值最接近于真值。测值的算术平均值测值的算术平均值残余误差的代数和等于零，即
9、 （24）可以利用这一性质对算术平均值的计算进行校核。残余误差各个测得值与算术平均值之差，叫作残余误差（也称残差）vi，即 （23）残余误差及其性质残余误差及其性质 标准偏差与实验标准偏差标准偏差与实验标准偏差为了判断随机误差对测量结果分散性的影响，有必要建立一项衡量测量结果分散性的数值指标。最常用，也是最基本的一种指标，为标准偏差，亦称均方误差，即高斯方程中的值。值越小，则e的指数的绝对值大，于是y随的增加而减少得很快，即曲线更陡；与此同时，因小，所以e前面的系数值则大，从而对应于误差为零（=0）处的纵坐标也更大，则曲线顶点更高。反之，越大，则曲线变化更平稳，曲线顶点也更低。标准偏差在等精度
10、的测量列中，即同一条件下所得一系列测值中，各随机误差平方和平均值的平方根，即（25）存在问题：存在问题：因其中的表示“真差”（即实际测得值与真值之差），而因为在一般情况下真值未知，所以不能直接按定义求出值。上述定义只是数学理论意义上的定义，无法利用上式来计算单次测量的标准偏差。单次测量的标准偏差单次测量的标准偏差单次测量的实验标准单次测量的实验标准 偏偏 差差在实际测量中，只能用残余误差vi计算出标准偏差的估计值，称为单次测量的实验实验标准偏差，用s或s表示。如何由实际测量值的残余误差vi求s或s呢？由可得（26）单次测量的实验标准单次测量的实验标准 偏偏 差差各式相加得各式相加得将上式（26
11、式）中各等式平方后相加：单次测量的实验标准单次测量的实验标准 偏偏 差差当n适当大时，可认为代入式（28）有单次测量的实验标准单次测量的实验标准 偏偏 差差（210）式称为贝塞尔（Bessel）公式根据它可由算术平均值的残余误差求得单次测量的实验标准偏差。问题讨论：问题讨论：贝塞尔（Bessel）公式是否只适用于正态分布?（210）（29）单次测量的实验标准单次测量的实验标准 偏偏 差差说明：通常用表示标准偏差（定义式、理论公式） 而用s或 s表示单次测量的实验标准偏差（Bessel公式）用游标卡尺测某一尺寸用游标卡尺测某一尺寸1010次，数据见表（设无系统和粗大次，数据见表（设无系统和粗大误
12、差），求算术平均值及单次测值的实验标准差。误差），求算术平均值及单次测值的实验标准差。测 序li/mmvi/mmvi2/mm2175.01-0.0350.001225275.04-0.0050.000025375.07+0.0250.000625475.00-0.0450.002025575.03-0.0150.000225675.09+0.0450.002025775.06+0.0150.000225875.02-0.0250.000625975.05+0.0050.0000251075.08+0.0350.001225实例实例可得课堂问题讨论：课堂问题讨论：利用贝赛尔公式求出的实验标准差是
13、上述10个测值的测量组中单次测量的实验标准差。这如何理解？75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.05，75.08这10个测值是等精度测量，每一个测值的实验标准差都是 0.0303 mm 。 实例实例单次测值的实验标准差单次测值的实验标准差在数据处理中的意义在数据处理中的意义 1）可比较不同测量组的测量可靠性 例：对同一被测量进行了两组测量（如由两人），其数据是： 测量结果一样，哪个测量者的测量水平高、测值更可靠？2）当用单次测量值作为测量结果时，可反映单次测量测量结果的可靠性 问题：何时会用单次测量值作为测量结果？说明：（1）单次测量的实验标准偏差s并非只测量一次就能得到的。对于一定的测量方法或量仪，必须通过多次测试才能获得。（即所谓“用统计方法得出”）（2）一旦得出了s值，在今后使用该量仪或测量方法时，s便为已知值，便能对单次测量给出测量不确定度。（3）在有的仪器说明书里或手册表格中往往也给出了s值。此时，在测量过程中便可直接引用，而不必自己去求出。需进一步研究的问题：需进一步研究的问题：我们已可求出单次测量的实验标准偏差s，那么，多个测值的算术平均值的实验标准差又怎样计算？单次测值的实验标准差单次测值的实验标准差在数据处理中的意义在数据处理中的意义
