数学建模和数学实验

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1、数学建模和数学实验数学建模和数学实验与大学数学教学内容的结合与大学数学教学内容的结合华南理工大学华南理工大学郝志峰郝志峰20052005年年8 8月月2121日日一、指导思想一、指导思想二、基本概念的理解二、基本概念的理解三、教学难点的理解三、教学难点的理解四、数学实验的观点四、数学实验的观点一、指导思想一、指导思想n教学内容的“可视化”n教学内容的惊奇性n教学内容的与时俱进实践历程实践历程n国家“十五”规划教材n教育部新世纪网络课程建设工程n面向21世纪课程教材n“九五”国家教委重点教材n高等教育百门精品教材n大学数学资源库一、指导思想一、指导思想二、基本概念的理解二、基本概念的理解三、教学

2、难点的理解三、教学难点的理解四、数学实验的观点四、数学实验的观点二、基本概念的理解二、基本概念的理解2.12.1、二阶导数、二阶导数n1998年月底，印度的人民报头版头条报道了印度国防部长提出的：中国威胁论，并抱怨议会削减了国防预算。但是，正如印度在野党的议员在1998年5月27日所反驳的：议会仅仅只是削减了国防预算增长的变化率。n用数学的话来说，预算的一阶导数仍然是正的（即预算仍旧是增长的），只是二阶导数为负了（即预算的增长率变缓了）。n同样，在2003年非典时期，4月20日前用的词语是“控制”， 4月20日后用的词语是“遏制”，请问您理解这两个词语的差别吗？2.12.1、二阶导数、二阶导数

3、n另外，萨缪尔逊在经济学中的一段话（设“总效用”指的是对消费某些商品的总的满意程度）：当消费同类商品时，总效用（心理上）就会增加，但是，随着新的商品的不断涌现，你的总效用会按照越来越慢的速度增长，这是一个根本倾向促成的，即你鉴赏更多的商品的心理能力变的更迟钝。2.12.1、二阶导数、二阶导数2.12.1、二阶导数、二阶导数n进一步的例子：已知可微函数 的图像如右图，问：(1)的图像；(2) ( )的图像。2.22.2、基础解系、基础解系n在城市中，不时听到人们抱怨塞车，这也成为不少城市的“一景”。下面的例子一方面给出了交通堵塞的部分数学解释，另一方面也给基础解系一个生动的刻划.n例：设一个“井

4、”字形环路，均为单向行驶，在八个出入口有一个记录口（或收费站），可记录单位时间进出该路段的车辆数目，已知八个出入口在某一个时间段的数目如右图。500400550650500600450350n问 路段上的车辆数目？解:根据“入 出”的准测，四个“十字”路口节点的方程为:(1)(4)(3)(2)节点2.22.2、基础解系、基础解系上述线性方程组的解为2.22.2、基础解系、基础解系n问题: (1) 基础解系 在该问题中代表了什么？n问题: (2)请您利用该结果对交通管理部门提出若干有用的建议. 2.22.2、基础解系、基础解系2.22.2、基础解系、基础解系n思考题：图中是某一地区的公路交通网络

5、图，所有的道路都是单行道，且道上不能停车，通行方向用箭头表示，标示的数字为高峰期每小时进出网络的车辆数。200300200100200300300ABCDEn试从交通流量平衡条件建立起线性代数方程组，并对解作出符合实际意义的解释。一、指导思想一、指导思想二、基本概念的理解二、基本概念的理解三、教学难点的理解三、教学难点的理解四、数学实验的观点四、数学实验的观点三、教学难点的理解三、教学难点的理解3.13.1、中值定理、中值定理n三大中值定理的归一：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理n基础：Fermat点（临界点、驻点）n在碗中掷毂子，最终落在何处，为什麽？3.13.1、中值定理、中值

6、定理n罗尔中值定理闭连开导、闭连开导、则有：则有：3.13.1、中值定理、中值定理n构造辅助函数：设、闭连开导，构造函数如下：n则满足罗尔中值定理的条件，故有3.13.1、中值定理、中值定理n令、，则有拉格朗日 中值定理：即3.13.1、中值定理、中值定理n注意到，辅助函数：这里，表示点， ，的三角形面积。求得的恰是使得达到极大值的点的值。3.13.1、中值定理、中值定理n令，则有柯西中值定理：即3.13.1、中值定理、中值定理n实际上，辅助函数：这里，表示点， ，的三角形面积（请发挥你的想象）。求得的同样恰是使得达到极大值的点的值。3.23.2、矩阵乘法、矩阵乘法n初步的例子：成本明细某工厂

7、生产三种产品A,B,C，各种产品所需的生产成本估计以及各个季度每一个产品的生产件数如下：产品成本ABC原材料劳动量管理费0.100.300.150.300.400.250.100.200.15季度产品ABC夏秋冬春400045004000450026002000240022005800620060006000n给出：指明各季度所需各类成本的明细表3.23.2、矩阵乘法、矩阵乘法n已知： ，则明细表为矩阵：原材料劳动量管理费夏秋冬春3.23.2、矩阵乘法、矩阵乘法n进一步的例子：循环比赛的成绩 (姜启源老师的书).例：已知比赛无平局，只有胜负(如:排球、乒乓球、羽毛球、网球 等)，共有六支队伍，

8、两两之间均比赛过，结果如右图: 123456n问：如何排定名次?3.23.2、矩阵乘法、矩阵乘法思考 1：“获胜”是关键。于是，寻找一条从起点不断获胜的路径；如： 1 46 3 2 5 4 56 3 12明显有不合理且不可行的地方。第一，解明显不唯一。第二，强队一失手，真成千古之恨。（比如巴西负阿根廷，阿根廷再负，此种传递会得出极荒谬的结论。但注重“获胜”是体育竞赛精神之所在，也是建模的基本依据。n思考 2: 国际足联 积分制 1队: 4胜1负 8分 2队: 3胜2负 6分 3队: 3胜2负 6分 4队: 2胜3负 4分 5队: 2胜3负 4分 6队: 1胜4负 2分 这时1，6两队名次立即分

9、出。但2、3两队，4、5 两队呢？以体育界常用的做法，3胜2，故3在2之前。4胜5，故4在5之前。于是名次为： 1，3，2，4，5，6。但问题或困惑随之而来，就4、5而言，5胜的是3和6，而4胜的是5和6。看一看对手的实力， 我们又有理由说5会强一点，因为534。3.23.2、矩阵乘法、矩阵乘法n综合思路1、2，我们有以下的分析： 取胜的价值有所不同。由于积分制只关心取胜，不关心失败，所以取胜强队的价值(即分数)应高一些。依照此思想，在区分2、3和 4、5时，要给出更精细的分数。 以2、3为例,它们的精细分数为： 2 胜4、5、6，得 4+4+210分 3 胜1、2、4，得 8+6+418分3

10、.23.2、矩阵乘法、矩阵乘法 以4、5为例,它们的精细分数为: 4 胜5、6，得 4+26分 5 胜3、6，得 6+28分 需要说明的是这只是精细分数，不是说由于108，则2在1之前。这只是为了区分同一名次的。 从解决问题的角度来看，做到这里似乎目的达到了。但作为数学建模，这只是开始。我们只是有了些正确的思路，或解决问题的技巧，还没有建立模型。现在，我们朝着模型的方向前进着。3.23.2、矩阵乘法、矩阵乘法n于是, 我们转换为矩阵的做法试试看： 令设胜一场得2分, 负一场得0分. 记初始向量为(为什么?)3.23.2、矩阵乘法、矩阵乘法这就是区分2、3和4、5的过程这就是国际足协3.23.2

11、、矩阵乘法、矩阵乘法n注意到n这给出了“矩阵相乘”的一个解释看对手.n一般的定理: PerronFrobenius 定理注意:约束条件不可分矩阵对应的图是连通图3.23.2、矩阵乘法、矩阵乘法3.33.3、离散型随机变量、离散型随机变量n在网球比赛中，观众最兴奋、比赛最精彩之处莫过于Deuce情形。 乒乓球比赛也一样，20平、21平、22平、23平、24平、，观众的心都被提到了嗓子眼了，呐喊的、跺脚的，没有一个观众愿意此时离去(心脏病除外)。这时有一个问题， 如果比赛一直平下去，那岂不是把观众紧张死了，这可能出现吗? 当然你会说，这决不可能。为什么? 假设你赢一分的可能性为P，你的对手赢一分的

12、可能性为1-P，那么比赛一直进行下去的可能性为 。 这里 , 且 故上面的极限是0，即比赛不会持续下去。n: 比赛会不会持续下去?n: 若甲,乙的获胜概率为P,(1-P). 若此时甲领先, 问甲最终获胜的概率有多大?若甲,乙打平呢?若甲落后呢?3.33.3、离散型随机变量、离散型随机变量n好了，你将会看到比赛的结果的。但结局的各种可能性是多少呢? 这又是一个有趣的问题? 让我们来分析一下，就你现在的状态而言，你有5种情况: 1.赢了这一局，2. 只赢一分， 3.打平，4. 只输一分，5. 输了这一局。（样本空间）n出现情况：1、5则比赛结束，2、3、4则仍继续，出现2后，出现1的可能性为P、出

13、现3的可能性为1-P。4、5不可能出现，如此类推到3、4，则有如下的概率转移矩阵：3.33.3、离散型随机变量、离散型随机变量出现2后的一次发球的比赛结果的可能性是由此继续下去的第K次发球可能性则是3.33.3、离散型随机变量、离散型随机变量nA这个矩阵很有特点，每一行的和为1，且每个元素的值在0、1之间，这个矩阵称为Markov矩阵。我们的问题是问 的值是多少? 这又是一个是否收敛的问题。要证明它，可采用相似标准形等方法解决，注意A的一个自然的特征值1和对应的特征向量 。n现假设 存在，那么它是多少呢? 让我们先分析一下，既然 存在，那么它一定是稳态的，即只可能处于1或5状态，否则 又不同了

14、。3.33.3、离散型随机变量、离散型随机变量n于是n由于 ，所以AB=B，解之，得： 3.33.3、离散型随机变量、离散型随机变量n以 为例，若你现在赢一分, 则你取胜的可能性是 ；若你现在与对手打平, 则你取胜的可能性是 ；若你现在输一分则你取胜的可能性是1/4。n在这个模型中，你会发现，当A赢一分之后再赢一份的概率保持不变，这与现实情况并不完全相同. 因为你一分在手，在比赛中的心情和战术变化也不同，应该取胜的可能性也大一些。这种模型可能会有变换，请你自己动手一下。3.33.3、离散型随机变量、离散型随机变量n思考题：（醉汉问题）一个醉汉在床与三步之远的楼梯之间徘徊。每走一步，朝着床走的机

15、会与朝着楼梯走的机会是3:1，如果到了位置1，就会摔下楼梯，如果到了位置4，就会睡个好觉到天亮。假设该醉汉不会清醒，也不会伏下，且现在离天亮还有很长的一段时间。n请问：试证明：该醉汉最终一定到床和楼梯这两个位置中的一个； 假设醉汉现在()：离床两步远(位置2)，()：离床一步远 (位置3)，分别计算他到床上去的概率。位置1位置4位置2位置33.33.3、离散型随机变量、离散型随机变量3.33.3、离散型随机变量、离散型随机变量n2000年考研题：某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将熟练工支援其他部门，其缺额由招收的新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考

16、核有成为熟练工。设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占比例分别为和，记成向量(1)求与的关系式并写成矩阵形式3.33.3、离散型随机变量、离散型随机变量(2)求，是A的两个线性无关的特征向量，并球出相应的特征值；(3)当 时，求 。一、指导思想一、指导思想二、基本概念的理解二、基本概念的理解三、教学难点的理解三、教学难点的理解四、数学实验的观点四、数学实验的观点n参见软件实例四、数学实验的观点四、数学实验的观点4.14.1、解线性方程组、解线性方程组4.24.2、线性变换线性变换n(4.2.1)书号的编制： 以姜启源老师的书数学模型为例，有ISBN 7040045052国际标准书号中文出版设

17、社内码校验位若分别赋予权重, 即.70 40 0 4 5 0 52并求和：70+32+20+20+10+215410987654321n注意： (mod 11) 事实上，这对任何一本正式出版的书都是对的，n问题：(1) 上述的游戏有用吗? 校验位. (2) 请您发现一本最末一位是“X”的书。 (3) 国际标准期刊号 华南理工大学学报（自然科学版） ISSN 1000 565X (4) 这个方法如何推广到一般的情形? 代数方法。4.24.2、线性变换、线性变换n(4.2.2)古代将军的命令传说中，有一位古代将军命令他的传令兵发出一个“进攻”的信息，他要求该命令必须准确无误地发出，否则将处死传令兵

18、。这可急坏了这位传令兵，要发一条信息并不难，难的是如何保证不出错，真是急得一身汗。 正在此时，传令兵突然急中生智，他毫不犹豫地站在传令台上，向前挥舞“进攻”的命令一百次，然后下来。结果当然是信息发了出去，而且接受方也知道了“进攻”。因为接受方虽不能保证一百次看到的都是“进攻”，但可以几乎以概率为1的把握确定是“进攻”。因为一百次样本还是较大的，接受方理解为“进攻”的可能性很大。4.24.2、线性变换、线性变换 现在用向量代数的语言来诠释传令兵的思想，假设发出的信息为a，则传令兵发出的信息是 。 当然我们有理由批评传令兵没有注意保密，因为这个信息有可能被间谍也窃取了。但考虑到传令兵所处的环境，当

19、然也就不会追究了。但现在的研究人员却需要考虑这一点，比如书号的模型就是一例。如果你不知道编码方法，可能会摸索一段时间， 当然上述两个例子仍是最简的。4.24.2、线性变换、线性变换(4.2.3)现代通信的例子n低维高维: 现代加密, 解密的基本方法.n人造卫星的信号. 明文: 发: 即 (注:1低维高维, 2 线性变换) 收: 若: 4.24.2、线性变换、线性变换则存在奇数个错, 且一个错的可能性很大, 这是因为若一个错的概率为 ，则 出三个错的出错概率为 出五个错的出错概率为若.则不能完全判断，若出错，至少有偶数个错，其概率至少为故在民用电报中，上述方法是一个简便的方法。4.24.2、线性变换、线性变换观点：观点：n“可视化”n惊奇性n与时俱进数学建模和数学实验可以实现大学数学教学内容的郝志峰华南理工大学数学科学学院020-31250026谢谢各位老师和专家谢谢各位老师和专家