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1、8.1.2 8.1.2 应力的概念应力的概念 ：与截面垂直的应力分量与截面垂直的应力分量切应力切应力 ：与截面相切的应力分量与截面相切的应力分量内力在一点处的分布集度内力在一点处的分布集度 Pa，常用千帕（，常用千帕（kPa）、兆帕（）、兆帕（MPa） 及吉帕（及吉帕（GPa），），1Pa=1N/m2 pm= F/ A18.4.1 8.4.1 基本概念基本概念8.4 8.4 平面弯曲杆件的应力和变形平面弯曲杆件的应力和变形8.4.2 8.4.2 梁横截面上的正应力公式梁横截面上的正应力公式 8.4.3 8.4.3 梁的切应力梁的切应力 8.4.4 8.4.4 梁的挠度和转角梁的挠度和转角 28
2、.4.1 8.4.1 基本概念基本概念1 1、平面弯曲、平面弯曲梁的轴线在纵向对称面内弯梁的轴线在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线，这种弯曲成一条平面曲线，这种弯曲称为曲称为平面弯曲平面弯曲，或，或对称弯对称弯曲。曲。2 2、纯弯曲、纯弯曲纯弯曲纯弯曲梁弯曲时，各横梁弯曲时，各横截面上只有弯矩而无剪力的截面上只有弯矩而无剪力的情况。情况。38.4.2 8.4.2 梁横截面上的正应力公式梁横截面上的正应力公式几何方面几何方面静力学方面静力学方面应力计算公式应力计算公式导出导出物理方面物理方面8.4.2.1 8.4.2.1 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力4要找出梁横截面上正应力要找出梁横截面上正应
3、力变化规律，须先找出纵向变化规律，须先找出纵向线应变在该截面上的变化线应变在该截面上的变化规律。规律。1 1、几何方面、几何方面梁变形后现象：梁变形后现象：各横向线仍为直线各横向线仍为直线,只倾斜一角度只倾斜一角度各纵向线弯成曲线各纵向线弯成曲线,上部纵向线缩短上部纵向线缩短,下部纵向线伸长下部纵向线伸长 纵向线伸长区梁宽减小纵向线伸长区梁宽减小;纵向线缩短区梁宽增大纵向线缩短区梁宽增大5由观察变形而得的假设由观察变形而得的假设:平面假设平面假设: 横截面变形后仍保持平面横截面变形后仍保持平面,且仍垂直于变且仍垂直于变形后梁轴线形后梁轴线,只绕横截面内某轴只绕横截面内某轴(中性轴中性轴)转一角
4、度转一角度单向单向(纵向纵向)受力假设受力假设: 变形后各纤维之间互不挤压变形后各纤维之间互不挤压,只受拉伸或压缩作用只受拉伸或压缩作用.中性层中性层中性层中性层: : 梁内既不伸长梁内既不伸长也不缩短的纵向纤维层也不缩短的纵向纤维层中性轴中性轴中性轴中性轴( (z z轴轴轴轴): ): 中性层与中性层与各横截面的交线各横截面的交线,垂直垂直于横截面的对称轴于横截面的对称轴y6纵向纤维线应变变化规律纵向纤维线应变变化规律:变形前：变形前：变形后变形后:abab的的的的伸长伸长量：量：量：量：abab的线应变的线应变的线应变的线应变: :72、物理方面（弹性）、物理方面（弹性）3 3、静力学方面
5、、静力学方面 ( (合力矩定理、合力定理合力矩定理、合力定理) )8推论推论1 : 中性轴必通过截面形心中性轴必通过截面形心推论推论2 : z 轴为主惯性轴轴为主惯性轴EIz 梁的弯曲刚度梁的弯曲刚度正应力计算公式正应力计算公式M 横截面上的弯矩横截面上的弯矩y 所计算点到中性轴的距离所计算点到中性轴的距离Iz 截面对中性轴的惯性矩截面对中性轴的惯性矩9最大正应力最大正应力危险截面危险截面: 最大弯矩所在截面最大弯矩所在截面 Mmax危险点：距中性轴最远边缘点危险点：距中性轴最远边缘点 ymax令令Iz /ymax=Wz ,则则 max=Mmax/WzWz 弯曲截面系数弯曲截面系数 应力正负号
6、确定应力正负号确定M为正时为正时,中性轴上部截面受压下部截面受拉中性轴上部截面受压下部截面受拉;M为负时为负时,中性轴上部截面受拉下部截面受压中性轴上部截面受拉下部截面受压. 在拉区在拉区 为正，压区为正，压区 为负为负10 例例67 一简支梁及其所受荷载如图所示。若分一简支梁及其所受荷载如图所示。若分别采用截面面积相同的矩形截面、圆形截面和别采用截面面积相同的矩形截面、圆形截面和工字形截面，试求以上三种截面梁的最大拉应工字形截面，试求以上三种截面梁的最大拉应力。设矩形截面高为力。设矩形截面高为140mm，宽为，宽为100mm，面，面积为积为140100 mm2。11解：解： kNm (1)矩
7、形截面矩形截面 mm3=3.27105mm3 Pa=91.7MPa(2)圆形截面圆形截面 d=133.5mmmm3=2.34105mm3 Pa=128.2MPa12(3)工字形截面工字形截面 50Ccm3Pa=14.4MPa以上计算结果表明，在承受相同荷载截面面积以上计算结果表明，在承受相同荷载截面面积相同（即用料相同）的条件下，工字形截面梁所相同（即用料相同）的条件下，工字形截面梁所产生的最大拉应力最小，矩形次之，圆形最大。产生的最大拉应力最小，矩形次之，圆形最大。反过来说，使三种截面的梁所产生的最大拉应力反过来说，使三种截面的梁所产生的最大拉应力相同时，工字梁所能承受的荷载最大。相同时，工
8、字梁所能承受的荷载最大。 13 例例6-8 一一T形截面外伸梁及其所受荷载如形截面外伸梁及其所受荷载如图所示。试求最大的拉应力及最大的压应图所示。试求最大的拉应力及最大的压应力。已知截面的惯性矩力。已知截面的惯性矩 m4。 14解：解：MC=30kNm MB=40kNm(1) B截面截面Pa=21.4MPaPa=38.6MPa(2) C截面截面Pa=28.9MPaPa=18.1MPa15由计算可知，全梁最大的拉应力为由计算可知，全梁最大的拉应力为28.9MPa，发生在，发生在C截面下边缘各点处，截面下边缘各点处，最大的压应力为最大的压应力为38.6MPa，发生在，发生在B截面截面下边缘各点处。
9、下边缘各点处。 思考：思考：若将截面倒置，则若将截面倒置，则最大的拉应力和压最大的拉应力和压应力又为多少？应力又为多少？ 168.4.3 8.4.3 梁的切应力梁的切应力1 1、矩形截面梁、矩形截面梁切应力分布假设：切应力分布假设： 横截面上的切应力都平行于竖向边界；横截面上的切应力都平行于竖向边界； 切应力沿截面宽度均匀分布，与中性轴切应力沿截面宽度均匀分布，与中性轴等距处等距处 大小相等大小相等FQ横截面上剪力；横截面上剪力；Iz整个横截面对中性轴的惯性矩；整个横截面对中性轴的惯性矩；b 所求剪应力处的截面宽度；所求剪应力处的截面宽度；Sz*所求剪应力处横线一侧部分面积所求剪应力处横线一侧
10、部分面积A*对中性轴静矩对中性轴静矩17切应力沿截面高度的变化规律：切应力沿截面高度的变化规律：切应力沿截面高度按二次抛物线规律变化，切应力沿截面高度按二次抛物线规律变化， y=h/2, =0; y=0, = max; 18A圆截面的面积圆截面的面积3、圆形截面梁、圆形截面梁 切应力分布假设不适用切应力分布假设不适用 最大切应力仍发生在中性轴上最大切应力仍发生在中性轴上:4、薄壁圆环截面梁、薄壁圆环截面梁 A薄壁圆环截面的面积薄壁圆环截面的面积19 例例6-9 一矩形截面梁如图所示，一矩形截面梁如图所示，该梁某一截面上所受的剪力该梁某一截面上所受的剪力FQ=200kN，试计算该截面最，试计算该
11、截面最大的切应力及大的切应力及A、B点的切应点的切应力。若分别改用截面面积相同力。若分别改用截面面积相同圆形截面（圆形截面（d=133.5mm）和工）和工字形截面（字形截面（50C），试求最大），试求最大的切应力。的切应力。 解解:(1) 计算矩形截面梁最大的切应力计算矩形截面梁最大的切应力Pa=21.4MPa20(2) 计算矩形截面梁计算矩形截面梁A、B点切应力点切应力mm4=2.29107mm4mm3=165000mm3mm3=120000mm3Pa=14.4MPaPa=10.4MPa21(3) 求圆形截面最大的切应力求圆形截面最大的切应力Pa=19.1MPa(4) 求工字钢最大的切应力求
12、工字钢最大的切应力Pa=29.9MPa227.4.1 7.4.1 梁的强度计算梁的强度计算1、 正应力强度条件正应力强度条件 材料的许用正应力材料的许用正应力2、 正应力强度计算正应力强度计算校核强度校核强度:截面设计截面设计:确定许用荷载确定许用荷载:233、梁的切应力强度校核、梁的切应力强度校核（1）切应力计算公式）切应力计算公式FQmax 梁内最大剪力梁内最大剪力Sz* 面积面积A对中性轴静矩对中性轴静矩Iz 截面惯性矩截面惯性矩b 截面宽度或腹板厚度截面宽度或腹板厚度（2）切应力强度条件）切应力强度条件 材料弯曲时许用切应力材料弯曲时许用切应力24设计梁时必须同时满足正应力和切应力设计
13、梁时必须同时满足正应力和切应力的强度条件。对细长梁，弯曲正应力强度条的强度条件。对细长梁，弯曲正应力强度条件是主要的，一般按正应力强度条件设计，件是主要的，一般按正应力强度条件设计，不需要校核切应力强度，只有在个别特殊情不需要校核切应力强度，只有在个别特殊情况下才需要校核切应力强度。况下才需要校核切应力强度。说明说明25（1）画出梁的剪力图和弯矩图）画出梁的剪力图和弯矩图, 确定确定|FQ|max和和|M|max及及其所在截面的位置，即确定危险截面。注意两者不一定其所在截面的位置，即确定危险截面。注意两者不一定在同一截面；在同一截面；（2）根据截面上的应力分布规律，判断危险截面上的）根据截面上
14、的应力分布规律，判断危险截面上的危险点的位置，分别计算危险点的应力，即危险点的位置，分别计算危险点的应力，即 max和和 max（二者不一定在同一截面，更不在同一点）；（二者不一定在同一截面，更不在同一点）；（3）对）对 max和和 max分别采用正应力强度条件和切应力分别采用正应力强度条件和切应力强度条件进行强度计算，即满足强度条件进行强度计算，即满足 max , max 弯曲强度计算的步骤弯曲强度计算的步骤26 例例7-4 如图所示一简支梁及其所受的荷载。如图所示一简支梁及其所受的荷载。设材料的许用正应力设材料的许用正应力10 MPa，梁的截，梁的截面为矩形，宽度面为矩形，宽度b80 mm
15、，试求所需的截，试求所需的截面高度。面高度。27解解：（：（1）由正应力强度条件确定截面高度）由正应力强度条件确定截面高度kNm=5kNmm3=510-4m3对于矩形截面对于矩形截面（ ）m=0.194m可取可取 h=200mm该梁的最大弯矩为该梁的最大弯矩为28 例例7-5 一一T形截面铸铁梁所受荷载如图所示。形截面铸铁梁所受荷载如图所示。已知已知b=2m，IZ=5493104mm4，铸铁的许用，铸铁的许用拉应力拉应力t30MPa，许用压应力，许用压应力c90MPa，试求此梁的许用荷载，试求此梁的许用荷载 F。29解解：（：（1）作弯矩图并判断危险截面）作弯矩图并判断危险截面铸铁梁截面关于中
16、心轴不对称，铸铁梁截面关于中心轴不对称，中心轴到上下边缘的距离分别中心轴到上下边缘的距离分别为为 y1=134mm, y2=86mm全梁的最大拉应力和最大的压应全梁的最大拉应力和最大的压应力点不一定都发生在最大弯矩截力点不一定都发生在最大弯矩截面上，故面上，故B、C截面都可能是危险截面都可能是危险截面。截面。30（2）求许用荷载）求许用荷载FC截面的下边缘各点处产生最大的截面的下边缘各点处产生最大的拉应力，上边缘各点处产生最大拉应力，上边缘各点处产生最大的压应力。的压应力。t=30106PaF24.6kNc=90106PaF115kN31B截面的下边缘各点处产生截面的下边缘各点处产生最大的压应
17、力，上边缘各点最大的压应力，上边缘各点处产生最大的拉应力。处产生最大的拉应力。t=30106PaF19.2kNc=90106PaF38.9kN综上所得综上所得F=19.2kN327.4.3 7.4.3 提高梁承载能力的措施提高梁承载能力的措施1、强度方面、强度方面（1）采用合理截面形状）采用合理截面形状 原则：当面积原则：当面积A一定时一定时,尽可能增大截面的高度尽可能增大截面的高度,并将并将较多的材料布置在远离中性轴的地方较多的材料布置在远离中性轴的地方,以得到较大的弯以得到较大的弯曲截面模量曲截面模量 可以用比值可以用比值Wz/A说明说明,比值越大越合理。比值越大越合理。 直径为直径为h圆
18、形截面圆形截面: Wz/A=( h3/32)/ ( h2/4)=0.125h 高为高为h宽为宽为b矩形截面矩形截面: Wz/A=(bh2/6)/bh=0.167h 高为高为h槽形及工字形截面槽形及工字形截面: Wz/A=(0.270.31)h可见可见, 工字形、槽形截面比矩形合理工字形、槽形截面比矩形合理, 圆形截面最差。圆形截面最差。33（2）采用变截面梁）采用变截面梁目的目的: 节省材料和减轻自重节省材料和减轻自重理想情况理想情况: 变截面梁各横截面上最大正应力相变截面梁各横截面上最大正应力相等等等强度梁等强度梁:每个截面上的最大正应力都达到材每个截面上的最大正应力都达到材料的许用应力的梁。料的许用应力的梁。34（3）改善梁的受力状况）改善梁的受力状况示例示例1 调整支座位置调整支座位置35示例示例2 增加辅梁增加辅梁36
