《新高考一轮复习导学案第34讲 平面向量的概念与线性运算（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新高考一轮复习导学案第34讲 平面向量的概念与线性运算（解析版）（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第34讲 平面向量的概念与线性运算1、 向量的有关概念(1)零向量：长度为0的向量叫零向量，其方向是不确定的(2)平行(共线)向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量我们规定零向量与任一向量平行(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量(5)相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量2、向量的线性运算(1)向量加法满足交换律abba，结合律(ab)ca(bc)向量加法可以使用三角形法则，平行四边形法则(2)向量的数乘：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：|a|a|；当0时，a与a方向相同；当0时，a与a方向相反；
2、当a0时，a0；当0时，a0(3)实数与向量的运算律：设，R，a，b是向量，则有：(a)()a；()aaa；(ab)ab3、 向量共线定理：如果有一个实数，使ba(a0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a0)是共线向量，那么有且只有一个实数，使ba1、【2022年新高考1卷】在中，点D在边AB上，记，则（）ABCD【答案】B【解析】因为点D在边AB上，所以，即，所以 故选：B2、【2020年新高考2卷（海南卷）】在中，D是AB边上的中点，则=（）ABCD【答案】C【解析】故选：C1、在下列命题中，真命题的是（填序号）长度为0的向量都是零向量；零向量的方向都是相同的；单位向量的长度都相
3、等；单位向量都是同方向；任意向量与零向量都共线【答案】 【解析】 由定义知正确；零向量的方向是任意的，故不正确；，显然正确，不正确2、 如图，已知a，b，3，2，则等于() A. baB. abC. abD. ba【答案】 D【解析】 由题意，得（）ab.3、已知4e12e2，2e1te2，若M、P、Q三点共线，则t( )A. 1 B. 2 C. 4 D. 1【答案】A【解析】M、P、Q三点共线，则与共线，即4e12e2(2e1te2)，得解得t1. 故选A. 4、已知a5b，3a6b，4ab，则()A.A，B，D三点共线 B.A，B，C三点共线C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线【
4、答案】A【解析】由题意得a5b，又，有公共点B，所以A，B，D三点共线.考向一平面向量的有关概念例1、给出下列命题，正确的有()A若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B若A，B，C，D是不共线的四点，且，则四边形ABCD为平行四边形Cab的充要条件是|a|b|且abD已知，为实数，若ab，则a与b共线【答案】B【解析】A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；B正确，因为，所以|且，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；C错误，当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，所以|a|b|且ab不是ab的充
5、要条件，而是必要不充分条件；D错误，当0时，a与b可以为任意向量，满足ab，但a与b不一定共线变式1、给出下列命题：若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若|a|b|，则ab；若，则A，B，C，D四点构成平行四边形；在平行四边形ABCD中，一定有；若mn，np，则mp；若ab，bc，则ac.其中错误的命题是（填序号）【答案】 【解析】 若两向量起点相同，终点相同，则两向量相等，但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故错误；若|a|b|，则a与b大小相等，但a与b的方向不确定，所以a，b不一定相等，故错误；若，则A，B，C，D四点有可能在一条直线上，故错误；，显然正确；零向量与任一向量平
6、行，故当b0时，a与c不一定平行，故错误变式2、如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心（1）与相等的向量有 ；（2）与相等的向量有 ；（3）与共线的向量有 答案：（1），；（2）；（3）方法总结：向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线考向二 向量的线性运算例2、如图，在ABC中，若，则. 【答案】 【解析】 由题意，得（）.又，所以，.变式1、（1）在ABC中，AD为BC边上的中线，
7、E为AD的中点，则等于()A. B.C. D.（2）如图，在等腰梯形ABCD中，DCAB，BCCDDA，DEAC于点E，则等于()A. B.C. D.【答案】（1）A（2）A【解析】1作出示意图如图所示()().故选A.2因为DCAB，BCCDDA，DEAC，所以E是AC的中点，可得()，故选A.变式2、设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则（用表示）【答案】 4【解析】 因为M是平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，所以2，2，所以4.方法总结：向量的线性运算，即用几个已知向量表示某个向量，基本技巧为：一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求
8、差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则考向三 共线定理的应用例3、设两个非零向量a与b不共线(1) 若ab，2a8b，3(ab)，求证：A，B，D三点共线；(2) 试确定实数k，使kab和akb同向【解析】 (1) 由题意，得2a8b3a3b5(ab)5，所以，共线又因为有公共点B，所以A，B，D三点共线(2) 因为kab与akb同向，所以存在实数(0)，使得kab(akb)，即kabakb，所以(k)a(k1)b.因为a，b是不共线的两个非零向量，所以解得或又因为0，所以k1.变式1、如图，在ABC中，D是BC上靠近点B的四等分点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两
9、点，设a，b.(1) 试用a，b表示，；(2) 证明：B，E，F三点共线【解析】 (1) 由题意，得ba. （ ）a(ba)ab；ab.(2) 因为ab，a（ab）ab，所以与共线又与有公共点B，所以B，E，F三点共线变式2、如图，在ABO中，AD与BC相交于点M，设a，b.试用a和b表示.【解析】设manb，则manba(m1)anb.ab.又A、M、D三点共线，与共线存在实数t，使得t，即(m1)anbt(ab)(m1)anbtatb.消去t得，m12n，即m2n1.又manba(m)anb，baab.又C、M、B三点共线，与共线存在实数t1，使得t1，(m)anbt1(ab)，消去t1得
10、，4mn1.由得m，n，ab.方法总结：利用共线向量定理解题的方法(1)abab(b0)是判断两个向量共线的主要依据注意待定系数法和方程思想的运用(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线即A，B，C三点共线，共线(3)若a与b不共线且ab，则0.(4) (，为实数)，若A，B，C三点共线，则1.1、 已知a，b是不共线的向量，a2b，a(1)b，且A，B，C三点共线，则的值为()A. 1 B. 2C. 2或1 D. 1或2【答案】 D【解析】 因为A，B，C三点共线，所以存在唯一一个实数，使得，即a2ba(1
11、)b，所以解得1或2.2、.在ABC中，下列命题正确的是( )A.B.0C.若()()0，则ABC为等腰三角形D.若0，则ABC为锐角三角形【答案】BC【解析】由向量的运算法则知；0，故A错，B对；()()220，22，即ABAC，ABC为等腰三角形，故C对；0，角A为锐角，但三角形不一定是锐角三角形故选BC.3、（2020届山东省泰安市高三上期末）如图，在四边形ABCD中，ABCD，ABAD，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，且，F为AE的中点，则（ ）ABCD【答案】ABC【解析】 ABCD，ABAD，AB=2AD=2DC，由向量加法的三角形法则得，A对；，又F为AE的中点，B对；，C对；，D错；故选：ABC4、（2022年河北省承德市高三模拟试卷） 如图在梯形中，设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】因为，所以，又，所以.故选：D.
