《新高考一轮复习导学案第32讲 正弦定理、余弦定理的应用（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新高考一轮复习导学案第32讲 正弦定理、余弦定理的应用（解析版）（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第31讲 正弦定理、余弦定理的应用1仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图)2方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图)3方向角：相对于某一正方向的水平角(1)北偏东，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向(如图)(2)北偏西，即由指北方向逆时针旋转到达目标方向(3)南偏西等其他方向角类似区分两种角(1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角(2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角4坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角为坡角)(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度
2、之比(如图，i为坡度)坡度又称为坡比1、（2023年高考真题新高考卷）记的内角的对边分别为a，b，c，已知面积为，若D为BC中点，且（1）若，求；（2）若，求b，c【解析】（1）（方法一）由面积为，可知，又在中，有由，可得，故，代入可得在中，由余弦定理可得即，解得在中，故，有（方法二）D为BC中点，则过A作，垂足为E，在中，（2） 在中，由中线定理可得即，所以，由和，所以又，又，因，可得.1、为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC50 m，ABC105，BCA45就可以计算出A，B两点的距离为_A20 m
3、B30 mC40 mD50 m【答案】：D【解析】：由正弦定理得，则AB50(m)2、 已知ABC的面积S(a2b2c2)，则角C的大小为()A. 135 B. 45 C. 60 D. 120【答案】 B【解析】 因为S(a2b2c2)ab sin C，所以a2b2c22ab sin C，所以c2a2b22ab sin C.由余弦定理，得sin Ccos C，所以C45.3、 一块形状近似为三角形的草坪，若其中两角的正切值分别为与，且最长的边为 m，则最短的边为()A. m B. 2 mC. m D. 5 m【答案】 C【解析】 记草坪为ABC，tan A，tan B.因为C(AB)，所以ta
4、n Ctan (AB)1.又因为0C，所以C，所以边AB最长，即AB m又因为tan Atan B，A，B，所以角A最小，BC边为最短边由且A，得sin A.又由正弦定理，得BCAB(m).4、（2022年河北省承德市高三模拟试卷） 在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且B为锐角，若，sin B，SABC，则b的值为_【答案】【解析】由，可得，故ac，由SABCacsin B且sin B得ac5，联立，得a5，且c2.由sin B且B为锐角知cos B，由余弦定理知b225425214，b.故答案为：.考向一利用正弦、余弦定理解决实际问题例1、（2022年江苏省镇江市高三模拟试卷
5、）云台阁，位于镇江西津渡景区，全全落于云台山北峰，建筑形式具有宋元古建特征.如图，小明同学为测量云台阁的高度，在云台阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为12，在它们的地面上的点M（B，M，D三点共线）测得楼顶A，云台阁顶部C的仰角分别为15和60，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为30，则小明估算云台阁的高度为（ ）（，精确到1）A. 42B. 45C. 51D. 57【答案】D【解析】【详解】因为，所以在中，故，在中，则，所以由正弦定理得，故，所以在中，故.故选：D.变式1、（2022年江苏省徐州市高三模拟试卷） 如图，有一壁画，最高点A处离地面12m，最低点B处离地面7m.若从离地高4m的C处
6、观赏它，若要视角最大，则离墙的距离为（ ）A. B. 3mC. 4mD. 【答案】D【解析】【分析】设离墙的距离为为，求得关于的表达式，结合基本不等式求得取得最大值时的值.【详解】设离墙的距离为为，过作，交的延长线于，则，所以，当且仅当时等号成立.由于，所以当最大时，最大，此时.故选：D变式2、如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心，半径为10 m的扇形区域OCD，河的另一侧是一段笔直的河岸l，岸边有一烟囱AB(不计B离河岸的距离)，且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧的交点为E经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为45，30和60(1) 求烟
7、囱AB的高度；(2) 如果要在CE间修一条直路，求CE的长【解析】：(1) 设AB的高度为h在CAB中，因为ACB45，所以CBh在OAB中，因为AOB30，AEB60，所以OBh，EBh由题意得h10，解得h15故烟囱AB的高度为15 m(2) 在OBC中，cosCOB所以在OCE中，CE2OC2OE22OCOEcosCOE300300600100故CE的长为10 m方法总结：(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理考向二 利用正弦、余
8、弦定理解决范围问题例2、（2022年辽宁省大连市高三模拟试卷） 在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答已知锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_，且（1）求角C的值；（2）求a的取值范围注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分【答案】（1） （2）【解析】【小问1详解】选择条件，由正弦定理，得，即，选择条件由，得，则由余弦定理，得，选择条件，结合，得由正弦定理，得，即则由余弦定理，得，【小问2详解】，为锐角三角形，且，又，由正弦定理，得，即a的取值范围为变式1、（2022年福建省福州四校联盟高三模拟试卷）某景区的平面图如图所示，其中AB，AC为两条公路，M，
9、N为公路上的两个景点，测得，为了拓展旅游业务，拟在景区内建一个观景台P，为了获得最佳观景效果，要求P对M，N的视角.现需要从观景台P到M，N建造两条观光路线PM，PN.（1）求M，N两地间的直线距离；（2）求观光线路长的取值范围.【解析】【小问1详解】由余弦定理得.【小问2详解】设，由正弦定理得，所以，所以，由于，所以.即长的取值范围是（单位：）.变式2、（2022年河北省衡水中学高三模拟试卷） 已知的内角，的对边分别为，且满足（1）求；（2）若，为边的中点，求的最小值【解析】：（1）中，内角，的对边分别为，且利用正弦定理得：，整理得：，即，由于，所以：（2）因为的面积为，解得；在中，,两边同
10、平方得：，当且仅当时，等号成立，所以，即的最小值为变式3、（2022江苏宿迁高三期末）在；，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.问题：在中，内角的对边分别为，且_.（1）求角；（2）若是锐角三角形，且，求的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【解析】：（1）选择：条件即，由正弦定理可知，在中，所以，所以，且，即，所以；选择：条件即，即，在中，所以，则，所以，所以.选择：条件即，所以，在中，所以.（2）由（1）知，所以，由正弦定理可知，由是锐角三角形得，所以.所以，所以，故的取值范围为.方法总结：一边一对角问题求最值或范围问题，有两种处理方法：(1) 利
11、用正弦定理转化成角的函数(2) 利用余弦定理转化成边的函数考向三 利用正弦、余弦定理解决多边形的问题例3、（2022江苏常州高三期末）已知在四边形中，且，（1）求；（2）求【解析】（1）在中，则，又在中，故（2）设，则，由 即可知，即在中，又，则有故在中，即，解之得，即的长为7变式1、（2022年重庆市巴蜀中学高三模拟试卷） 重庆奉节小寨天坑景区拥有世界上深度和容积最大的岩溶漏斗，吸引橙子辅导来此参观留影.为了测量天坑边上如图1所示的，两点间的距离，现在旁边取两点，测得米，（假设，四点在同一平面上，则两点的距离为_米.【解析】如图所示：在中，由正弦定理得：，解得，在中，所以，在中，由余弦定理得
12、，所以所以两点的距离为.故答案为：变式2、（2022江苏海安高三期末）在平面四边形ABCD中，BAD2ACB4BAC，AB2，BC，CD（1）求ACB的大小；（2）求四边形ABCD的面积【解析】（1）由题意，设，则，在中，由正弦定理有，即，解得.所以，因为，所以.（2）由（1），可知，由正弦定理有，即，解得，在中，由余弦定理有，即，解得，四边形ABCD的面积.变式3、（2022湖北高三期末）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（1）求角A；（2）如图，若，点D是外一点，设，求平面四边形面积的最大值及相应的值【解析】（1），由正弦定理知，由余弦定理知，.（2）由（1）以及，得是等边三
13、角形设，则余弦定理可得：，则故四边形面积，当时，S取得最大值为，故平面四边形面积的最大值为，此时1、（2022湖北襄阳高三期末）在中，则角的最大值为（ ）ABCD【答案】A【解析】设，则，由余弦定理可得，当且仅当时，等号成立，因为，则.故选：A.2、（2022江苏如东高三期末）某校数学建模社团学生为了测量该校操场旗杆的高AB，先在旗杆底端的正西方点C处测得杆顶的仰角为45，然后从点C处沿南偏东30方向前进20m到达点D处，在D处测得杆顶的仰角为30，则旗杆的高为（ ）A20mB10mCmDm【答案】B【解析】如图示，AB表示旗杆，由题意可知：，所以设 ，则，在 中， ,即 ，解得 ，（舍去），故选：B. 3、（2022年福建省龙岩市高三模拟试卷）如图，中，角的平分线交边于点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】在中，根据正弦
