《新高考数学二轮复习专题培优练习专题23 解析几何解答题分类练（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新高考数学二轮复习专题培优练习专题23 解析几何解答题分类练（解析版）（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题23 解析几何解答题分类练一、圆锥曲线方程与轨迹方程的确定1. （2024届广东省江门市部分学校高三上学期9月联考）在直角坐标系xOy中，动点P到直线的距离是它到点的距离的2倍，设动点P的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)直线与曲线C交于A，B两点，求面积的最大值【解析】（1）设，因为点P到直线的距离是它到点的距离的2倍，所以，则，整理得，故曲线的方程为（2）设，联立方程组整理得，则，因为过点，所以令，则在上恒成立，在上单调递增，则当时，则的最大值为3故面积的最大值为32（2023届四川省成都市蓉城名校联盟高三第一次联考）已知椭圆的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心
2、率，且过点(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与椭圆交于两点，且直线的倾斜角互补，判断直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由【解析】（1）设椭圆的标准方程为，由题意知， 故椭圆的标准方程又为，即，又椭圆过点， 椭圆的标准方程为；（2）由题意可知直线的斜率存在且不过点，设直线的方程为，由，消去整理得，需满足，则，直线的倾斜角互补，将，代入得，整理得，而， 所以直线的斜率为定值，其定值为2.3.（2024届安徽省皖东智校协作联盟高三上学期10月联考）平面直角坐标系中，为动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，且，记动点的轨迹为.(1)求的方程；(2)已
3、知点，设点与点关于原点对称，的角平分线为直线，过点作的垂线，垂足为，交于另一点，求的最大值.【解析】（1）由题意设，由点到直线距离公式得，又垂足位于第一象限，垂足位于第四象限，的轨迹方程为.（2）解：由对称性，不妨设在第一象限，设，则，设直线的斜率为，记，由为的角平分线，则有，其中，同理得：，代入中，化简得：.将代入，中，解得：，设直线的方程为，将代入，解得：，直线的方程为，由点到直线距离公式得：.由直线的斜率为，设直线的方程为，将点代入，解得：，直线的方程为，将其与联立得：，设，则，由可知，由均值不等式，当且仅当，即时，等号成立，故，当且仅当时，等号成立.的最大值为.二、长度与周长问题4.
4、（2024届云南省三校高三联考）已知点到定点的距离和它到直线：的距离的比是常数(1)求点的轨迹的方程；(2)若直线：与圆相切，切点在第四象限，直线与曲线交于，两点，求证：的周长为定值【解析】（1）设，由条件可知：，等号的两边平方，整理后得：；（2）由（1）的结论知：曲线C是方程为的椭圆，设，依题意有：，则，所以直线l的方程为：，联立方程： ，得：，设，则，由条件可知：，的周长，即定值为10；综上，曲线C的方向为，的周长.5（2023届福建省厦门第一中学高三四模）已知，分别是椭圆：的右顶点和上顶点，直线的斜率为. (1)求椭圆的方程；(2)直线，与，轴分别交于点，与椭圆相交于点，.（i）求的面积
5、与的面积之比；（）证明：为定值.【解析】（1）、是椭圆，的两个顶点，且，直线的斜率为，由，得，又，解得，椭圆的方程为；（2）设直线的方程为，则，联立方程消去，整理得，得设，.（i），的面积与的面积之比为1；（ii）证明：综上，.三、面积问题6.（2023届四川省南充高级中学高三下学期第三次模拟） 已知椭圆的左、右焦点为，离心率为.点是椭圆上不同于顶点的任意一点，射线分别与椭圆交于点，的周长为8.(1)求椭圆的标准方程；(2)设，的面积分别为.求证：为定值.【解析】（1）因为的周长为，即所以，可得，由椭圆的离心率，可得，从而，所以椭圆的标准方程为（2）证明：设，则，可设直线PA的方程为，其中，联
6、立方程，整理得，则，同理可得， 因为，所以所以是定值7（2023届河北省唐山市迁西县第一中学高三二模）已知椭圆，连接E的四个顶点所得四边形的面积为4，是E上一点(1)求椭圆E的方程；(2)设斜率为的直线与椭圆E交于A，B两点，D为线段的中点，O为坐标原点，若E上存在点C，使得，求三角形的面积【解析】（1）由题意知连接E的四个顶点所得四边形的面积为，又点在E上，得，解得，故椭圆E的方程为（2）设直线的方程为，由，消去得，又，得，设，则，由，可得为三角形的重心，所以，且，故由在椭圆E上，得，得，又原点到直线的距离为，所以，故8（2023届新疆伊犁州伊宁县第三中学高三上学期诊断）已知椭圆C：经过点，
7、O为坐标原点，若直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l与直线OM的斜率乘积为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若四边形OAPB为平行四边形，求四边形OAPB的面积.【解析】（1）由题意可设：直线l，则，可得：直线l的斜率，直线OM的斜率，因为A，B两点在椭圆C上，则，两式相减得整理得，即，所以，可得，又因为点在椭圆C上，则，解得，所以椭圆C的标准方程为.（2）因为四边形OAPB为平行四边形，则M为的中点，可得，则，可得直线l的斜率，所以直线l的方程为，即，可得点到直线l的距离，由（1）可知：椭圆C的标准方程为，即，联立方程，消去y得，可得，且，则，所以四边形OAPB的面积.四
8、、斜率问题9. （2024届陕西省商洛市部分学校高三上学期10月测试）已知椭圆C：过点，且C的右焦点为(1)求C的离心率；(2)过点F且斜率为1的直线与C交于M，N两点，P直线上的动点，记直线PM，PN，PF的斜率分别为，证明：【解析】（1）由得C的半焦距为，所以，又C过点，所以，解得，所以，故C的离心率为（2）由（1）可知C的方程为设，由题意可得直线MN的方程为，联立 ，消去y可得，则，则，又，因此10（2024届山东省金科大联考高三上学期9月质量检测）如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点.(1)求双曲线的标准方程；
9、(2)设直线，的斜率分别为，求的值；(3)证明：直线过定点.【解析】（1）因为点和点在双曲线上，所以，解得，所以双曲线的标准方程为.（2）由题可知，直线的斜率不等于零，故可设直线的方程为，设，联立，整理得，若，即，直线的斜率为，与渐近线平行，此时直线与双曲线有且仅有一个交点，不满足题意，所以，所以，因为,所以，所以.（3）（i）当轴时，且，所以，则，联立，整理得，即，解得或，当时，所以，由于对称性，此时直线过定点；（ii）当不垂直于轴时，以下证明直线仍过定点设为，因为，所以联立，即，所以，解得或，当时，所以,同理，将上述过程中替换为可得，所以，因为，所以，所以，所以三点共线，即此时直线恒过定点
10、，综上直线过定点.11（2024届河南省周口市项城市高三5校青桐鸣大联考）已知是椭圆上的两点，关于原点对称，是椭圆上异于的一点，直线和的斜率满足.(1)求椭圆的标准方程；(2)若斜率存在且不经过原点的直线交椭圆于两点异于椭圆的上、下顶点），当的面积最大时，求的值.【解析】（1）设，易知，由，得，化简得，故椭圆的标准方程为.（2）设的方程为，将代入椭圆方程整理得，则，又原点到的距离为，故，当且仅当时取等号，此时，的面积最大.故.五、定点问题12. （2024届四川省达州外国语学校高三9月月考）已知椭圆：经过，两点，是椭圆上异于的两动点，且，直线的斜率均存在.并分别记为，.(1)求椭圆的标准方程(
11、2)证明直线过定点.【解析】（1）椭圆过和，解得，椭圆的方程为：，（2）如图所示：由知与关于直线对称在上任取一点，设关于直线对称的点为，则，解得，从而，于是设点，：由得，从而同理，由（1）有，故，为方便，记，则，即由此可知，当变化时，直线过定点13（2024届广西玉林市高三联考）已知椭圆的左焦点为，且点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程；(2)椭圆的上、下顶点分别为，点，若直线与椭圆的另一个交点分别为点，证明：直线过定点，并求该定点坐标.【解析】（1）因为椭圆的左焦点，可得，由定义知点到椭圆的两焦点的距离之和为，故，则，所以椭圆的标准方程为.（2）由椭圆的方程，可得，且直线斜率存在，设，设直线的
12、方程为：，与椭圆方程联立得：，则直线的方程为，直线的方程为，由直线和直线交点的纵坐标为4得，即又因点在椭圆上，故，得，同理，点在椭圆上，得，即即即即化简可得，即，解得或，当时，直线的方程为，直线过点，与题意不符.故，直线的方程为，直线恒过点14（2024届贵州省高三适应性联考）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为.(1)求的方程；(2)过双曲线的右焦点作互相垂直的两条弦（斜率均存在）、.两条弦的中点分别为、，那么直线是否过定点?若不过定点，请说明原因；若过定点，请求出定点坐标.【解析】（1）设双曲线的焦点坐标为，依题意渐近线方程为，即，有，解得，；（2）由（1）可知右焦点，设直线
13、：，由联立直线与双曲线，化简得，故，又，则，同理可得：，化简得，故直线过定点.六、定值问题15.（2023届陕西省丹凤中学高三模拟演练）已知椭圆的左、右顶点分别为，长轴长为短轴长的2倍，点在上运动，且面积的最大值为8(1)求的方程；(2)若直线经过点，交于两点，直线分别交直线于，两点，试问与的面积之比是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由【解析】（1）由题意得，即当点为的上顶点或下顶点时，的面积取得最大值，所以，即联立，得故的方程为（2）与的面积之比为定值由（1）可得，由题意设直线联立得，则，所以直线的方程为，令，得，即同理可得故与的面积之比为，即与的面积之比为定值16（2024届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考）已知椭圆的左右焦点分别为是椭圆的中心，点为其上的一点满足(1)求椭圆的方程；(2)设定点，过点的直线交椭圆于两点，若在上存在一点，使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，求的范围【解析】（1）设，在中，设，所以椭圆的方程为：（2）设，直线的方程为，设，若为常数，则，即，而此时，又，即或，综上所述，或，存在点，使
