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1、定义定义(dngy):自变量取正整数的函数(hnsh)称为数列,记作或称为(chn wi)通项(一般项) .若数列及常数 a 有下列关系 :当 n N 时,总有记作此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .几何解释 :即或则称该数列的极限为 a ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共23页第一页，共24页。例如例如(lr),趋势(qsh)不定收 敛发 散机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第2页/共23页第二页，共24页。例例1.已知已知证明(zhngmng)数列的极限(jxin)为1. 证: 欲使即只要(zhyo)因此 , 取则当时, 就有故机动 目录 上页 下页 返回 结束
2、 第3页/共23页第三页，共24页。二、收敛数列二、收敛数列(shli)的性质的性质证: 用反证法.及且取因故存在(cnzi) N1 , 从而(cng r)同理, 因故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有1. 收敛数列的极限唯一.使当 n N1 时, 假设从而矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当 n N 时, 故假设不真 !满足的不等式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共23页第四页，共24页。例例2.证明证明(zhngmng)数数列列是发散(fsn)的. 证: 用反证法.假设(jish)数列收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .取则存在 N ,但因交替取值 1 与1 , 内,而此
3、二数不可能同时落在长度为 1 的开区间 使当 n N 时 , 有因此该数列发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共23页第五页，共24页。2.收敛数列收敛数列(shli)一定一定有界有界.证: 设取则当时, 从而(cng r)有取 则有由此证明收敛(shulin)数列必有界.说明: 此性质反过来不一定成立 .例如,虽有界但不收敛 .有数列机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共23页第六页，共24页。3.收敛收敛(shulin)数数列的保号性列的保号性.若且时, 有证:对 a 0 ,取推论(tuln):若数列(shli)从某项起(用反证法证明)机动 目录 上页 下页 返回
4、结束 第7页/共23页第七页，共24页。*4.收敛数列的任一子数列收敛于同一收敛数列的任一子数列收敛于同一(tngy)极限极限.证: 设数列(shli)是数列(shli)的任一子数列 .若则当 时, 有现取正整数 K , 使于是当时, 有从而有由此证明 *机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共23页第八页，共24页。三、极限存在三、极限存在(cnzi)准则准则由此性质(xngzh)可知 ,若数列(shli)有两个子数列(shli)收敛于不同的极限 ,例如， 发散 !夹逼准则; 单调有界准则; 柯西审敛准则 .则原数列一定发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 第9页/共23
5、页第九页，共24页。1.夹逼准则夹逼准则(zhnz)(准则准则(zhnz)1)(P49)证: 由条件(tiojin) (2) ,当时,当时,令则当时, 有由条件(tiojin) (1)即故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共23页第十页，共24页。例例5.证明证明(zhngmng)证: 利用(lyng)夹逼准则 .且由机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共23页第十一页，共24页。2.单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限(jxin)(准则准则2)(P52)( 证明(zhngmng)略 )机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第12页/共23页第
6、十二页，共24页。例例6.设设证明(zhngmng)数列极限(jxin)存在 . (P52P54)证: 利用(lyng)二项式公式 , 有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共23页第十三页，共24页。大 大 正又比较(bjio)可知机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第14页/共23页第十四页，共24页。根据根据(gnj)准则准则2可知数列可知数列记此极限(jxin)为 e , e 为无理数 , 其值为即有极限(jxin) .原题 目录 上页 下页 返回 结束 又第15页/共23页第十五页，共24页。内容内容(nirng)小结小结1. 数列(shli)极限的 “ N ” 定
7、义及应用2. 收敛(shulin)数列的性质:唯一性 ; 有界性 ; 保号性;任一子数列收敛于同一极限3. 极限存在准则:夹逼准则 ; 单调有界准则 ; 柯西准则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共23页第十六页，共24页。思考思考(sko)与与练习练习1. 如何判断(pndun)极限不存在?方法1. 找一个(y )趋于的子数列;方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.2. 已知, 求时,下述作法是否正确? 说明理由.设由递推式两边取极限得不对!此处机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共23页第十七页，共24页。作业作业(zuy)P30 P.30:1(2,4,6,8) 4
8、 (3) 提示(tsh):可用数学(shxu)归纳法证 第三节 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共23页第十八页，共24页。故极限(jxin)存在，备用备用(biyng(biyng) )题题 1.1.设 , 且求解：设则由递推公式(gngsh)有数列单调递减有下界，故利用极限存在准则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共23页第十九页，共24页。机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 2.设设证:显然(xinrn)证明(zhngmng)下述数列有极限 .即单调增,又存在“拆项相消” 法第20页/共23页第二十页，共24页。感谢您的欣赏(xnshng)！第23页/共23页第二十三页，共24页。内容(nirng)总结定义:。第1页/共23页。第2页/共23页。1. 收敛数列的极限唯一.。2. 收敛数列一定有界.。3. 收敛数列的保号性.。*。若数列有两个子数列收敛于不同的极。由条件 (2) ,。证: 利用(lyng)夹逼准则 .。方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.。刘徽(约225 295年)。它包含了“用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”的重要。柯西(1789 1857)。第22页/共23页第二十四页，共24页。
