《高中数学第三章几何概型（共6套）新课标人教Ａ版必修3几何概型２》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第三章几何概型（共6套）新课标人教Ａ版必修3几何概型２（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、复习复习n古典概型的两个基本特点古典概型的两个基本特点: :（1 1）所有的基本事件只有有限个）所有的基本事件只有有限个; ;（2 2）每个基本事件发生都是等可能的）每个基本事件发生都是等可能的. . 那么对于有无限多个试验结果的情况那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如果求呢相应的概率应如果求呢? ? 问题问题1:图中有两个转盘图中有两个转盘.甲乙两人玩转甲乙两人玩转盘游戏盘游戏,规定当指针指向规定当指针指向B区域时区域时,甲获甲获胜胜,否则乙获胜否则乙获胜.在两种情况下分别求甲在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少获胜的概率是多少?问题情境问题情境 事事实上上,甲甲获胜的概率与字母的
2、概率与字母B所在扇所在扇形区域的形区域的圆弧的弧的长度有关度有关,而与字母而与字母B所在区域的所在区域的位置无关位置无关.因因为转转盘时,指指针指向指向圆弧上哪一点都是等可能的弧上哪一点都是等可能的.不不管管这些区域是相些区域是相邻,还是不相是不相邻,甲甲获胜的概率是不的概率是不变的的.问题问题2 2. .取一根长度为取一根长度为30cm30cm的绳子，拉直后在任意的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于10cm10cm的的概率有多大？概率有多大？从从30cm30cm的绳子上的任意一点剪断的绳子上的任意一点剪断. .基本事件基本事件: :对于
3、问题对于问题2.2.记记“剪得两段绳长都不小于剪得两段绳长都不小于10cm10cm”为事为事件件A. A. 把绳子三等分把绳子三等分, ,于是当剪断位置处在中间一于是当剪断位置处在中间一段上时段上时, ,事件事件A A发生发生. .由于中间一段的长度等于绳长由于中间一段的长度等于绳长的的1/3.1/3. 下图是卧室和书房地板的示意图，图中下图是卧室和书房地板的示意图，图中每一块方砖除颜色外完全相同，小猫分别在每一块方砖除颜色外完全相同，小猫分别在卧室和书房中自由地走来走去，并随意停留卧室和书房中自由地走来走去，并随意停留在某块方砖上。在哪个房间里，小猫停留在在某块方砖上。在哪个房间里，小猫停留
4、在黑砖上的概率大？黑砖上的概率大？卧卧 室室书书 房房问题问题3 如果每个事件发生的概率只与构成该如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的事件区域的长度长度(面积或体积面积或体积)成比例成比例,则称则称这样的概率模型为几何概率模型这样的概率模型为几何概率模型,简称为简称为几几何何概型概型.几何概型的特点几何概型的特点: :(1)(1)基本事件有无限多个基本事件有无限多个;( (2)2)基本事件发生是等可能的基本事件发生是等可能的.建构数学 一般地,在几何区域D中随机地取一点,记“该点落在其内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率:注:(2)D(2)D的测度不为的测度不为0,0,当当D
5、D分别是分别是线段、平面图形、立体图形线段、平面图形、立体图形时时, ,相应的相应的“测度测度”分别是分别是长度、面积和体积或角度长度、面积和体积或角度. .（1 1）古典概型与几何概型的区别在于：）古典概型与几何概型的区别在于：几何概型是无限多个等可能事件的情况，几何概型是无限多个等可能事件的情况，而古典概型中的等可能事件只有有限多个；而古典概型中的等可能事件只有有限多个；（3 3）区域应指）区域应指“开区域开区域” ，不包含边界点；在区域，不包含边界点；在区域 内随机内随机取点是指：该点落在取点是指：该点落在 内任何一处都是等可能的，落在任何部分内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性
6、只与该部分的测度成正比而与其性状位置无关的可能性只与该部分的测度成正比而与其性状位置无关解解: :设设A=A=等待的时间不多于等待的时间不多于1010分钟分钟.我们所我们所关心的事件关心的事件A A恰好是打开收音机的时刻位于恰好是打开收音机的时刻位于50,6050,60时间段内时间段内, ,因此由几何概型的求概率因此由几何概型的求概率的公式得的公式得即即“等待的时间不超过等待的时间不超过1010分钟分钟”的概率为的概率为例例1 1 某人午觉醒来某人午觉醒来, ,发现表停了发现表停了, ,他他打开收音机打开收音机, ,想听电台报时想听电台报时, ,求他等待求他等待的时间不多于的时间不多于1010
7、分钟的概率分钟的概率. .数学应用数学应用练习练习. .取一个边长为取一个边长为2a2a的正方形及其内切圆，随机的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率. .2a数学应用数学应用例例2 2 假设你家订了一份报纸假设你家订了一份报纸, ,送报人可能在早送报人可能在早上上6:306:307:307:30之间把报纸送到你家之间把报纸送到你家, ,你父亲你父亲离开家去工作的时间在早上离开家去工作的时间在早上7:007:008:008:00之间之间, ,问你父亲在离开家前能得到报纸问你父亲在离开家前能得到报纸( (称为事件称为事件A)A
8、)的概率是多少的概率是多少? ?解解: :以横坐标以横坐标X X表示报纸送到时间表示报纸送到时间, ,以纵坐标以纵坐标Y Y表表示父亲离家时间建立平面直角坐标系示父亲离家时间建立平面直角坐标系, ,假设随机假设随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的试验落在方形区域内任何一点是等可能的, ,所以所以符合几何概型的条件符合几何概型的条件. .根据题意根据题意, ,只要点落到阴只要点落到阴影部分影部分, ,就表示父亲在离开家前能得到报纸就表示父亲在离开家前能得到报纸, ,即即时间时间A A发生发生, ,所以所以 “抛抛阶阶砖砖”是是国国外外游游乐乐场场的的典典型型游游戏戏之之一一. .参参与与者者
9、只只须须将将手手上上的的“金金币币”（设设“金金币币”的的半半径径为为r）抛抛向向离离身身边边若若干干距距离离的的阶阶砖砖平平面面上上，抛抛出出的的“金金币币”若若恰恰好好落落在在任任何何一一个个阶阶砖砖（边边长长为为a的的正正方方形形）的的范范围围内内（不不与与阶阶砖砖相相连连的的线线重重叠叠），便便可可获获奖奖. .练习练习: : 抛阶砖游戏抛阶砖游戏 玩抛阶砖游戏的人，一般需换购代用玩抛阶砖游戏的人，一般需换购代用“金币金币”来参加游戏来参加游戏. . 那么要问：参加者获那么要问：参加者获奖的概率有多大？奖的概率有多大？ 显然，显然，“金币金币”与阶砖的相对大小将决定与阶砖的相对大小将决
10、定成功抛中阶砖的概率成功抛中阶砖的概率. .设阶砖每边长度为设阶砖每边长度为a , ,“金币金币”直径为直径为d .a 若若“金币金币”成功地落成功地落在阶砖上，其圆心必在阶砖上，其圆心必位于右图的绿色区域位于右图的绿色区域A内内. .问题化为问题化为: :向平面区域向平面区域S （面积为（面积为a2）随机投）随机投点（点（ “金币金币” 中心），求该点落在区域中心），求该点落在区域A内内的概率的概率.aASa aA于是成功抛中阶砖的概率于是成功抛中阶砖的概率由此可见，当由此可见，当d接近接近a, p接近于接近于0; 而当而当d接近接近0， p接近于接近于1. 0da, 你还愿意玩这个游戏吗？
11、你还愿意玩这个游戏吗？ 例例-3-3.(.(会面问题会面问题)甲、乙二人约定在下午甲、乙二人约定在下午1212点到点到下午下午5 5点之间在某地会面，先到者等一个小时后即点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去离去, ,设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求二人能会面的概率。的，且二人互不影响。求二人能会面的概率。解：解： 以以 X , YX , Y 分别表示甲分别表示甲、乙二人到达的时乙二人到达的时刻，于是刻，于是 即即 点点 M M 落在图中的阴影部落在图中的阴影部分分. .所有的点构成一个正所有的点构成一个正方形，即有方形，即
12、有无穷多个结果无穷多个结果. .由于每人在任一时刻到达由于每人在任一时刻到达都是等可能的，所以落在正都是等可能的，所以落在正方形内各点是方形内各点是等可能的等可能的. .M(X,Y)y543210 1 2 3 4 5 x二人会面的条件是：二人会面的条件是： 0 1 2 3 4 5yx54321y=x+1y=x -1记记“两人会面两人会面”为事件为事件A练习练习: 甲、乙两艘轮船都要停靠在同甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，他们可能在一昼夜的任意一个泊位，他们可能在一昼夜的任意时刻到达。设甲乙两艘轮船停靠泊位时刻到达。设甲乙两艘轮船停靠泊位的时间分别是的时间分别是4小时和小时和6小时，求有一小
13、时，求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时的艘轮船停靠泊位时必须等待一段时的概率。概率。分析：有一艘分析：有一艘轮船停靠泊位船停靠泊位时必必须等待一段等待一段时间就是就是一艘船到达一艘船到达时另一艘船另一艘船还停靠在泊位中。停靠在泊位中。Oyx2424则有一艘船停靠泊位则有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的条时必须等待一段时间的条件是件是-4 x-y 6解：设事件解：设事件A=有一艘轮船有一艘轮船停靠泊位必须等待一段时停靠泊位必须等待一段时间间。以。以x轴和轴和y轴分别表示轴分别表示甲乙两船到达泊位的时间甲乙两船到达泊位的时间.例例-4.(体积问题体积问题)在在5升水中有一个病毒升水中有一个病毒
14、,现从中随机的取出现从中随机的取出1升水升水,求含有病毒的求含有病毒的概率是多少概率是多少?变式：一个病毒改为两个病毒呢？析：设两病毒为甲.乙，则含甲的概率为1/5，含乙的概率为1/5，这两种情况都包括了既有甲又有乙的情况，故应去掉这种情况。解：练习练习1.1.两根相距两根相距8m8m的木杆上系一根拉直绳子的木杆上系一根拉直绳子, ,并在绳子上挂一盏灯并在绳子上挂一盏灯, ,求灯与两端距离都大于求灯与两端距离都大于3m3m的概率的概率. .数学应用解：记解：记“灯与两端距离都大于灯与两端距离都大于3m3m”为事件为事件A A，由于绳长由于绳长8m8m，当挂灯位置介于中间，当挂灯位置介于中间2m
15、2m时，事件时，事件A A发生，于是发生，于是练习练习2.2.国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，谈话， 发现发现30min30min的磁带上，从开始的磁带上，从开始30s30s处起，有处起，有10s10s长长的一段内容包含间谍犯罪的的一段内容包含间谍犯罪的 信息后来发现信息后来发现, ,这段谈话这段谈话的部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是的部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此后起往后的所有内容都被擦掉无意中按错了键，使从此后起往后的所有内容都被擦掉了那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或了那么由于
16、按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？全部擦掉的概率有多大？解解: :记事件记事件A:A:按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉则事件全部擦掉则事件A A发生就是在发生就是在-minmin时间时间段内按错键故段内按错键故 P(A)= 2 2 3 330= 1 1 4545思考：一个棱长为4的正方体封闭盒子中有一个半径为1的小球，若将盒子任意翻动，求小球达不到的空间的概率。解：课堂小结课堂小结n1.1.古典概型与几何概型的区别古典概型与几何概型的区别. .相同：相同：两者基本事件的发生都是等可能的；两者基本事件的发生都是等可能的；不同：不同：古典概型要求基本事件有有限个，古典概型要求基本事件有有限个， 几何概型要求基本事件有无限多个几何概型要求基本事件有无限多个. . n2.2.几何概型的概率公式几何概型的概率公式. . n3.3.几何概型问题的概率的求解几何概型问题的概率的求解. .
