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1、高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院第九章第九章多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用推广推广一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意: 善于类比善于类比, 区别异同区别异同 高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院一、平面点集一、平面点集二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性第一节多元函数的基本概念第一节多元函数的基本概念 高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院一、平面点集
2、一、平面点集 坐标平面：坐标平面： 把这种建立了直角坐标系的平面把这种建立了直角坐标系的平面直角坐标平直角坐标平面上的点面上的点有序实数组有序实数组二元有序实数组二元有序实数组 的全体，即的全体，即就表示坐标平面就表示坐标平面.高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院如果，以点如果，以点P P表示表示( (x , yx , y) )，| |OPOP| |表示点表示点P P到原点到原点O O的距离，那么集的距离，那么集合也可表示成：合也可表示成：= =如：平面上以原点为中心、如：平面上以原点为中心、r r 为半径的圆内所有点的为半径的圆内所有点的集合是集合是坐
3、标平面上坐标平面上具有某种性质具有某种性质p p的点的的点的集合集合称为称为平面点集平面点集，记作记作高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院邻域：邻域：xoy平面上以P0为中心，0为半径的圆内部的点P(x,y)的全体.高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院点集称为点 P0 的 邻域邻域. .例如例如, ,在平面上,( (圆邻域圆邻域) )在空间中,( (球邻域球邻域) )说明：说明：若不需要强调邻域半径 , ,也可写成点 P0 的去心邻域去心邻域记为高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工
4、程学院平面点集平面点集设设为坐标平面为坐标平面上的一点，上的一点，那么，那么，点点与与集集之间有怎样的之间有怎样的关系？关系？只有下面三种关系只有下面三种关系.下面用领域来描述点和点集之间的关系下面用领域来描述点和点集之间的关系.高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院 内点、外点、边界点内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P : 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P) E = , 若对点 P 的任一任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E则称 P 为 E 的内点内点；则称 P 为 E 的外点外点 ;则称 P 为
5、E 的边界点边界点 .的外点 ,显然显然, E 的内点必属于的内点必属于 E , E 的外点必不属于的外点必不属于 E , E 的的边界点可能属于边界点可能属于 E, 也可能不属于也可能不属于 E . 高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例, ,求求的内点和边界点的内点和边界点(1)满足的点都是E的内点;(2)满足的点都是E的边界点,都不属于E;满足的点都是E的边界点,都属于E;高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院聚点聚点若对任意给定的0 , ,点P 的去心邻域内总有E 中的点 , 则称 P 是 E 的聚点聚点.
6、聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 E 的边界点 )说明说明E的内点一定是E的聚点，E的边界点可能是E的聚点，也可能不是E的聚点高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例存在:点是的聚点，但圆周上的点都是的聚点，也属于 .高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院E 开区域及闭区域开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集开集； 若点集 E E , 则称 E 为闭集闭集； 若集 E 中任意两点都可用一完全属于 E 的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为闭区域闭区域.则称 E 是连通
7、集连通集 ; 连通的开集称为开区域开区域 ,简称区域区域 ;。 。 E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例如，例如，在平面上开区域闭区域高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院 整个平面 点集 是开集， 是最大的开域 , 也是最大的闭域 ;但非区域 .有界集有界集：对于平面点集E，如果存在某一正数r，使得 ，其中O是坐标原点，则称E为有界集.无界集无界集：一个集合如果不是有界集，就称这集合为无界集.连通的开集称为区域高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大
8、学数理与信息工程学院二、多元函数的概念二、多元函数的概念 引例引例: : 圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式当r和h在集合内取定一对值时，V的对应值就随之确定.高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院定义1 设D是 的一个非空子集，称映射f： 为定义在D上的二元函数，通常记为或点集D 称为该函数的定义域定义域，x、y 称为自变量自变量，z 称为因变量因变量，点集f(D)称为该函数的值域值域。二元函数的定义二元函数的定义高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院与一元函数类似， 记号f 与 f (x,y)
9、的意义但是，习惯上常用记号来表示D上的二元函数 f .是不同的，或表示二元函数的记号f 可以任意选取.高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院推广定义推广定义1. 设非空点集点集 D 称为函数的定义域定义域 ; 数集称为函数的值域值域 .特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数当 n = 3 时, 有三元函数映射称为定义在 D 上的 n 元函数元函数 , 记作高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院在上述函数概念中，关键的两点为:(1) 点(x,y)的变化范围，称为定义域；(2) 对应法则，即函数关系.关于函数概念，我
10、们主要研究下面三个问题：(1)求函数的定义域；(2)建立函数关系；(3)求函数值.高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例4 4要使ln(y2x)有意义，解解：即即 yy2 2x x所以，定义域：须使 y2x 0高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例5 5 求函数求函数的定义域的定义域. .解：有意义，须使高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院二元函数的几何意义二元函数的几何意义 设二元函数z=f(x
11、,y)的定义域为xoy面上的某一区域D，对于D上的每一点P(x,y)，在空间可以作出一点M(x,y,f(x,y)与它对应； 当点P(x,y)在D中变动时，点M(x,y,f(x,y)就在空间作相应地变动，它的轨迹是一个曲面.高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例如, 二元函数定义域为圆域说明说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D图形为中心在原点的上半球面.的图形一般为空间曲面 .三元函数 定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院三、多元函数的极限三、多元函数的
12、极限定义定义2. 设二元函数点 ,则称常数A 为函数(也称为 二重极限)定义域为D,P0 是 D 的聚若存在常数 A ,使得当点记作都有对任意正数 , 总存在正数 ,高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例1. 设求证:证证:故总有要证要证 高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例2. 设求证：证：证：故总有要证要证 高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院 若当点若当点趋于不同值或有的极限不存在，趋于不同值或有的极限不存在，解解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x
13、趋于点 (0, 0) ,在点 (0, 0) 的极限.则可以断定函数极限则可以断定函数极限则有k 值不同极限不同 !在 (0,0) 点极限不存在 .以不同方式趋于以不同方式趋于不存在不存在 .例例3. 讨论函数函数函数高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例4. 求解解: 因而此函数定义域不包括 x , y 轴则故高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院P0(0,2)为D的聚点.则由积的运算法则：例例5. 求解解: 这个函数的定义域D=(x,y)|x0,y R多元函数的极限运算，有与一元函数类似的运算法则多元函数的极限运
14、算，有与一元函数类似的运算法则. .高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院仅知其中一个存在,推不出其他二者存在.注注. 二重极二重极限限不同不同. 如果它们都存在, 则三者相等.例如例如,显然与累次极限与累次极限但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 .例3高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院四、四、 多元函数的连续性多元函数的连续性 定义定义3 . 设 二 元函数的定义域为 D， 如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上连续，为D的聚点，且则称 函数或称f(x,y)是D 上的连续函数连续函数.连续
15、, 如果定义定义4. 设 二 元函数的定义域为 D， 为D的聚点，且此时称为函数f(x,y)的间断点间断点 .在点P0不连续，如果函数f(x,y)高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例如例如, 函数在点(0 , 0) 极限不存在, 又如又如, 函数上间断. 故 ( 0, 0 )为其间断点.在圆周结论结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续一切多元初等函数在定义区域内连续.高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例6. 设设f(x,y)=sinx，证明，证明f(x,y)是是R2上的连续函数上的连续函数.证证:由于sin
16、x在x0处连续，故存在0，当时，有以上述做P0的领域U(P0,),则当从而，即sinx在点P0处连续，由P0的任意性知，sinx作为x,y的二元函数在R2上连续.高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院解解: :例例7. .求该函数是初等函数，它的定义域为：P0(1,2)为D的内点，故有U(P0)是f(x,y)的一个定义域，因此：一般地，求极限一般地，求极限如果如果f(Pf(P) )是初等函数，是初等函数，且且P0P0是是f(Pf(P) )定义域的内点，那么定义域的内点，那么f(Pf(P) )在在P0P0处连续，处连续，有：有：高等数学高等数学浙江师范大学数
17、理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院定理定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则* (4) f (P) 必在D 上一致连续 .在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(3) 对任意(有界性定理有界性定理) (最值定理最值定理) (介值定理介值定理) (一致连续性定理一致连续性定理) 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略) 高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院解解: : 原式例例8. .求例例9. 求函数的连续域.解解:高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师
18、范大学数理与信息工程学院内容小结内容小结1. 区域区域 邻域 : 区域连通的开集 2. 多元函数概念多元函数概念n 元函数常用二元函数 (图形一般为空间曲面)三元函数高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院有3. 多元函数的极限多元函数的极限4. 多元函数的连续性多元函数的连续性1) 函数2) 闭域上的多元连续函数的性质:有界定理 ;最值定理 ; 介值定理3) 一切多元初等函数在定义区域内连续P64 题 2; 4; 5 (3), (5) ( 画图 ) ; 8P133 题 3; *4思考与练习思考与练习高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学
19、数理与信息工程学院解答提示解答提示: :P64 题 2. 称为二次齐次函数 .P65 题 4.P65 题 5(3).定义域P65 题 5(5).定义域高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院P65 题 8. 间断点集P133 题 3.定义域P133 题 *4.令 y= k x ，若令, 则 可见极限不存在高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院 P65 5 (2), (4), (6) 6 (2), (3), (5), (6) 作作 业业 高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院备用题备用题1. 设求解法解法1 令高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院1 .设求解法解法2 令即高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院 2. 证明在全平面连续.证证:为初等函数 , 故连续.又故函数在全平面连续 .由夹逼准则得
