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1、数的发展历程数系的扩充正整数在古代，首先有的在古代，首先有的是正整数，古代的是正整数，古代的人为记录一天的劳人为记录一天的劳作结果，常常以结作结果，常常以结绳来计数。我国古绳来计数。我国古书易经中就有书易经中就有“结绳而治结绳而治”的记的记载。载。结绳记事数的概念是从实数的概念是从实践中产生和发展践中产生和发展起来的。早在人起来的。早在人类社会初期，人类社会初期，人们在狩猎，采集们在狩猎，采集果实等活动中，果实等活动中，由于计数的需要，由于计数的需要，就产生了就产生了1,2,3,41,2,3,4等数等数正整数用利器在树皮用利器在树皮上或兽皮上刻上或兽皮上刻痕，或者用小痕，或者用小棍摆在地上计棍
2、摆在地上计数也是古人常数也是古人常用的计数方法用的计数方法。结绳记事正整数正整数随着生产，生活的需要，人们慢慢发现，仅仅表示出正整数是不够的。如果分配猎物时，5个人分三只羊，每个人应该得到多少呢？自然地，分数就出现了。等额分配问题等额分配问题正整数正整数正整数正整数分数分数毕达哥拉斯毕达哥拉斯勾股定理勾股定理在“数”的发展史上，希腊的毕达哥拉斯学派发现了“无理数”。毕达哥拉斯学派基本的信条是“万物皆数”。他们所说的数仅指整数，分数被看成两个整数的比，他们相信任何量都可以表示成两个整数之比。即可得到，任何两条线段的比都是整数的比，即有理数。然而，毕达哥拉斯学派的成员希帕苏斯后来发现：并不是任意两
3、条线段都有一个公共度量。无理数的发现重大突破毕达哥拉斯毕达哥拉斯现在假设一个直角三角形的两条直角边的长度都是1，那么斜边的长度是多少呢？无理数的发现重大突破设斜边长是设斜边长是x,根据勾股定理可得，根据勾股定理可得， 11因此斜边长度因此斜边长度x必定是其平方等于必定是其平方等于2 2的的一个数。这个数能否写成两个整数比一个数。这个数能否写成两个整数比的形式呢？答案是否定的，即没有任的形式呢？答案是否定的，即没有任何一个分数的平方等于何一个分数的平方等于2,2,也就是说也就是说 不是有理数。不是有理数。x2 =12+12=2无理数的发现重大突破 不可公度量的发现，大约是在公元前不可公度量的发现
4、，大约是在公元前470470年左右，年左右，当时毕达哥拉斯早已不在人世。传说学派成员希帕苏斯当时毕达哥拉斯早已不在人世。传说学派成员希帕苏斯发现了不可公度性，他认为边长为发现了不可公度性，他认为边长为1 1的正方形的对角线的正方形的对角线的长不能用有理数来表示。当时他们正在海上泛舟集会，的长不能用有理数来表示。当时他们正在海上泛舟集会，希帕苏斯说出他的发现后，惊恐不已的其他成员将他抛希帕苏斯说出他的发现后，惊恐不已的其他成员将他抛进了大海。还有一种说法是希帕苏斯因泄露了不可公度进了大海。还有一种说法是希帕苏斯因泄露了不可公度的秘密而遭此厄运。的秘密而遭此厄运。 无理数的发现对毕达哥拉斯学派无理
5、数的发现对毕达哥拉斯学派“万物皆数万物皆数”的信的信条造成了强烈的震撼。后来，人们又陆续发现了条造成了强烈的震撼。后来，人们又陆续发现了 以以外的许多无理数外的许多无理数 。这些。这些“怪物怪物”深深地困扰着古希腊深深地困扰着古希腊的数学家们，这就是数学史上的的数学家们，这就是数学史上的“第一次数学危机第一次数学危机”。正整数正整数正整数正整数分数分数分数分数无理数无理数无理数无理数正整数正整数正整数正整数分数分数分数分数无理数无理数无理数无理数班级信息栏负数的引入重大进步 我国公元我国公元3世纪的刘徽已经对负数世纪的刘徽已经对负数有了深刻的认识。在九章算术注有了深刻的认识。在九章算术注中，他
6、认为中，他认为“今两算得失相反，要令今两算得失相反，要令正负以名之。正负以名之。”他还认为他还认为“言负者未言负者未必负于少，言正者未必正于多。必负于少，言正者未必正于多。”这这两句话都是关于正负数的绝对值而言两句话都是关于正负数的绝对值而言的，即负数的绝对值未必小，正数的的，即负数的绝对值未必小，正数的绝对值未必大。这种思想与现代的数绝对值未必大。这种思想与现代的数学思想是完全一致的。学思想是完全一致的。 中国是世界上对负数认识最早的国家，负数是在九章算术里首先发现的。但欧洲人承认负数却在16世纪，比中国晚了一千多年。 在生产实践中，人在生产实践中，人们往往需要测量相反意义的们往往需要测量相
7、反意义的量，例如海拔，高度等等，量，例如海拔，高度等等，因此负数也就应运而生了。因此负数也就应运而生了。负数的引入重大进步班级信息栏 在在7世纪，印度学家也开始使用负数。负数通过阿拉伯人的著世纪，印度学家也开始使用负数。负数通过阿拉伯人的著作传入欧洲，但是，到了作传入欧洲，但是，到了16,17世纪，欧洲的大多数数学家并不承世纪，欧洲的大多数数学家并不承认它是数，也不认为它是方程的根。一些数学家们甚至把负数称认它是数，也不认为它是方程的根。一些数学家们甚至把负数称为荒谬的数，为荒谬的数，例如著名数学家巴斯卡认为，从例如著名数学家巴斯卡认为，从0 0减去减去4 4纯粹是胡说。纯粹是胡说。 1629
8、 1629年，吉拉尔出版了它的著作代数新年，吉拉尔出版了它的著作代数新发现。在这本书中，他明确主张：负数发现。在这本书中，他明确主张：负数与正数具有相同的地位与正数具有相同的地位; ;负数可以作为方程负数可以作为方程的根，他还指出，负数是正数的相反数，的根，他还指出，负数是正数的相反数，直到这个时期，在欧洲的数学舞台上，负直到这个时期，在欧洲的数学舞台上，负数终于有了一席之地数终于有了一席之地 。正整数正整数正整数正整数分数分数分数分数无理数无理数无理数无理数正整数正整数正整数正整数分数分数分数分数无理数无理数无理数无理数负数负数负数负数零的发现 人类很早就发现了正整数、无理数、负数，但是人类
9、很早就发现了正整数、无理数、负数，但是“0 0”的发现却晚得多。的发现却晚得多。“0 0”最早源自于人们表示的最早源自于人们表示的“没有没有”，用一个空位来表示它，后来才逐渐地把它，用一个空位来表示它，后来才逐渐地把它当成一个数来认识，这是一个漫长的过程。当成一个数来认识，这是一个漫长的过程。 在我国，战国时期人们就用在我国，战国时期人们就用“空空”表示表示“0 0”了，了，但没有把但没有把“空空”看做是一个单独的数。看做是一个单独的数。 印度人起初也用空位表示印度人起初也用空位表示“0 0”，后记成，后记成“点点”，最后发展成最后发展成“圆圆”。直到公元。直到公元1111世纪，包括有世纪，包
10、括有“0 0”的的印度数码和十进制计数法臻于成熟。特别是印度人不印度数码和十进制计数法臻于成熟。特别是印度人不仅把仅把“0”看作是记数法中的空位，而且也把它看作可看作是记数法中的空位，而且也把它看作可施行运算的一个特殊的数。施行运算的一个特殊的数。“0 0”的发明是印度人对世界文明的杰出贡献。的发明是印度人对世界文明的杰出贡献。分数分数分数分数负数负数负数负数正整数正整数正整数正整数零零零零无理数无理数无理数无理数正整数正整数正整数正整数分数分数分数分数零零零零负数负数负数负数无理数无理数无理数无理数数还够用吗数还够用吗数还够用吗数还够用吗小结 数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集因生产
11、和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾。盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾。 但是，数集扩充到实数集但是，数集扩充到实数集R R以后，像以后，像 +1=0 +1=0这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于平方等于
12、-1.-1. 如何解决这个问题？这就是我们今天如何解决这个问题？这就是我们今天要探讨的课题。要探讨的课题。 3.1.1 数系的扩充和 复数的概念 为了解决负数开平方问题，为了解决负数开平方问题，数学家大胆引入数学家大胆引入数学家大胆引入数学家大胆引入一个新一个新一个新一个新数数数数 i i ，把，把，把，把 i i 叫做虚数单位，并且规定：叫做虚数单位，并且规定：叫做虚数单位，并且规定：叫做虚数单位，并且规定： (1) (1) i i 2 2 2 21 1 1 1； (2)(2)实数可以与实数可以与实数可以与实数可以与 i i 进行四则运算进行四则运算进行四则运算进行四则运算, , , ,在进
13、行四则运算时在进行四则运算时在进行四则运算时在进行四则运算时, , , ,原有的加原有的加原有的加原有的加法与乘法的运算律法与乘法的运算律法与乘法的运算律法与乘法的运算律( ( ( (包括交换律、结合律和分配律包括交换律、结合律和分配律包括交换律、结合律和分配律包括交换律、结合律和分配律) ) ) )仍然成立仍然成立仍然成立仍然成立. . . . 问题解决问题解决一一. 复数的复数的定义定义 复数的定义：复数的定义：形如形如a+bi( (a, b R ) )的数叫复的数叫复数，数，a叫复数的实部，叫复数的实部，b叫复数的虚部叫复数的虚部. .全全体复数所成的集合叫做复数集，用字母体复数所成的集
14、合叫做复数集，用字母C表示表示. .其中其中a 叫做叫做实部实部 , b 叫做虚部叫做虚部 , 二二.复数的代数形式复数的代数形式通常用字母通常用字母 z 表示，即表示，即 称为称为虚数单位虚数单位.问问:复数集复数集 C 和实数集和实数集 R 之间有什么关系？之间有什么关系？ 三三复复数数的的分分类类两个复数相等的定义：两个复数相等的定义：如果两个复如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。就说这两个复数相等。 这就是说，如果这就是说，如果a，b，c，dR，那么那么a+bi=c+di a=c，b=d需要掌握的一个充要条件需要掌握的一个充要条
15、件 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.需要掌握的一个结论需要掌握的一个结论现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小虚数这种假设虚数这种假设, ,是需要勇气的是需要勇气的, ,人们在当时是无法接人们在当时是无法接受的受的, ,认为她是想象的认为她是想象的, ,不存在的不存在的, ,但这丝毫不影响数学家但这丝毫不影响数学家对虚数单位的假设研究对虚数单位的假设研究: :第一次认真讨论这种数的是文艺第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时期意大利有名的数学复兴时期意大
16、利有名的数学家家“怪杰怪杰”卡丹卡丹，他是，他是15451545年年开始讨论这种数的，当时复数被他称作开始讨论这种数的，当时复数被他称作“诡辩量诡辩量”. .几乎几乎过了过了100100年，年，笛卡尔笛卡尔才给这种才给这种“虚幻之数虚幻之数”取了一个名字取了一个名字虚数但是又过了虚数但是又过了140140年，年，欧拉欧拉还是说这种数只是存还是说这种数只是存在于在于“幻想之中幻想之中”，并用（，并用（imaginaryimaginary，即虚幻的缩写），即虚幻的缩写）来表示它的单位来表示它的单位. . 复数的发展史复数的发展史 后来德国数学家后来德国数学家高斯高斯给出给出了复数的定义，但他们仍感
17、到了复数的定义，但他们仍感到这种数有点虚无缥缈，尽管他这种数有点虚无缥缈，尽管他们也感到它的作用们也感到它的作用18301830年，年，高斯详细论述了用直角坐标系高斯详细论述了用直角坐标系的复平面上的点表示复数，使的复平面上的点表示复数，使复数有了立足之地复数有了立足之地, ,人们才最人们才最终承认了复数终承认了复数. .到今天复数已到今天复数已经成为现代科技中普遍运用的经成为现代科技中普遍运用的数学工具之一数学工具之一. . 例1.请说出下列复数的实部和虚 部，并指出有没有纯虚数？ 例2复数-2i+3.14的实部和虚部是什么？ 例例3 实数实数m取什么值时，复数取什么值时，复数 是（是（1）
18、实数？）实数？ （2）虚数？）虚数？ （3）纯虚数？）纯虚数？解解: （1）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是实数是实数（2）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是虚数是虚数（3）当当即即 时，复数时，复数z 是是纯虚数纯虚数练习练习1:1:当当m m为何实数时，复数为何实数时，复数 是是 （1 1）实数）实数 （2 2）虚数）虚数 （3 3）纯虚数）纯虚数（1）（2）（3） 如果两个复数的如果两个复数的实部实部和和虚部虚部分别相分别相 等，那么我们就说这两个等，那么我们就说这两个复数相等复数相等例例4 已知已知 ，其中，其中 求求解：根据复数相等的定义，得方程组解：根据复数相等的定义，得方程组解：根据复数相等的定义，得方程组解：根据复数相等的定义，得方程组解得解得 如果两个复数的如果两个复数的实部实部和和虚部虚部分别相分别相 等，那么我们就说这两个等，那么我们就说这两个复数相等复数相等1.1.虚数单位虚数单位i的引入；的引入；3.3.复数的分类复数的分类2.2.复数有关概念：复数有关概念： 学习小结复数相等复数相等复数的代数形式复数的代数形式:复数的实部复数的实部 、虚部、虚部虚数、纯虚数虚数、纯虚数课后作业课后作业1 .1 .求求实数数1 .1 .谢谢合作
