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1、1.3 函数的一般概念函数的一般概念一一.映射映射二二.函数的概念函数的概念三三.几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例四四.函数的性质函数的性质一、映射定义定义1 1：设设X 与与 Y 是两个非空集合，若对是两个非空集合，若对 X中的每一个元素中的每一个元素 x，均可找到均可找到 Y 中唯一确定的中唯一确定的元素元素 y 与之对应，则称这个对应是集合与之对应，则称这个对应是集合X 到到集合集合 Y 的一个映射，记为的一个映射，记为 f ，或者更详细地写或者更详细地写将将 x 的对应元的对应元 y 记作记作1.映射的概念并称并称 y 为映射为映射 f 下下 x 的的像像，而，而 x 称为映射称为
2、映射 f 下下 y 的的原像原像(或称为或称为逆像逆像). 集合集合 X 称为映射称为映射 f 的的定义域定义域，记作记作，而，而 X 的所有元素的像的所有元素的像f (x) 的集的集合合称为映射称为映射 f 的的值域值域，记为，记为 概括起来，构成一个映射必须具备下列三概括起来，构成一个映射必须具备下列三个个基本要素基本要素： 有唯一有唯一确定的确定的 y=f (x) 与之对应与之对应. 需要指出的是：需要指出的是： （1）映射要求元素的像必须是唯一的）映射要求元素的像必须是唯一的. （2）映射并不要求元素的逆像也是唯一的）映射并不要求元素的逆像也是唯一的.定义定义2 2： 设设 f 是集合
3、是集合X 到集合到集合Y 的一个映射，的一个映射，若若 f 的逆像也是唯一的，即对的逆像也是唯一的，即对X 中的任意两中的任意两个不同元素个不同元素 x1 x2 ，它们的像它们的像 y1 与与 y2 也满也满足足 y1 y2 ，则称则称 f 为为单射单射； 如果映射如果映射 f 满足满足 Rf = Y ，则称则称 f 为为满射满射； 如果映射如果映射 f 既是单射，既是单射， 又是满射，则称又是满射，则称 f 为为双射双射（又称一一对应（又称一一对应 ）.2 一一对应3.逆映射逆映射：逆映射： 如果映射如果映射 f 既是单射，又是满射，则既是单射，又是满射，则 逆映射，逆映射，4.4.复合映射
4、：复合映射：那就可以构造出一个那就可以构造出一个和和新的对应关系新的对应关系复合映射复合映射. . 二二 函数概念函数概念 函数是整个高等数学中最基本的研究函数是整个高等数学中最基本的研究对象象, , 可以可以说数学分析就是研究函数的数学分析就是研究函数的. .因此我因此我们对函数的概念以及常函数的概念以及常见的一些函数的一些函数应有一个清楚有一个清楚的的认识. . 例例 圆内接正多边形的周长圆内接正多边形的周长圆内接正圆内接正n 边形边形Or)因变量因变量自变量自变量D 称为称为定义域，定义域，记作记作Df ，即即 Df = D .函数值的全体构成的数集称为函数值的全体构成的数集称为值域，值
5、域，记为：记为：对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素: :定义域定义域与与对应法则对应法则.自变量自变量因变量因变量约定约定: 定义域是自变量所能取的使算式有定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值意义的一切实数值.定义定义: :如果自变量在定如果自变量在定义域内任取一个数值义域内任取一个数值时，对应的函数值总时，对应的函数值总是只有一个，这种函是只有一个，这种函数叫做单值函数，否数叫做单值函数，否则叫做多值函数则叫做多值函数 表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解析法(公式法). 用图形法表示函数是基于函数图形的概念, 坐标平面上的 函数的表示法 单值函数与多值函数 在函
6、数的定义中在函数的定义中,对每个对每个x D, 对应的函数值对应的函数值y总是总是唯一的唯一的, 这样定义的函数称为单值函数这样定义的函数称为单值函数. 如果给定一个对应法则如果给定一个对应法则, 按这个法则按这个法则, 对每个对每个x D, 总有确定的总有确定的y值与之对应值与之对应, 但这个但这个y不总是唯一的不总是唯一的, 我们称我们称这种法则确定了一个多值函数这种法则确定了一个多值函数. 例如, 由方程x2y2r2确定的函数是一个多值函数:下页 此多值函数附加条件“y0”后可得到一个单值分支 此函数称为绝对值函数, 其定义域为D(-, +),其值域为Rf 0, + ). (2) (1)
7、常值函数 yc.其定义域为D(-, ),其值域为Rf c.下页三几个特殊的函数举例三几个特殊的函数举例 (3) 符号函数符号函数 其定义域为D(-, +) ,其值域为Rf -1, 0, 1.(4) 取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大的最大整数整数阶梯曲线阶梯曲线其定义域为D=(-, +),其值域为 =Z. （5）“非负小数部分”函数它的定义域是有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(6) 狄利克雷函数狄利克雷函数其定义域为D=(-, +) ,其值域为 =0, 1.(7) 取最值函数取最值函数yxoxo在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用对应法则用不
8、同的不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.分分段段函函数数例例1 1脉冲发生器产生一个单三角脉冲脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图其波形如图所示所示,写出电压写出电压U与时间与时间 的函数关系式的函数关系式.解解单三角脉冲信号的电压单三角脉冲信号的电压例例2 2解解故故三、函数的性质M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX1函数的有界性函数的有界性:M-Myxoy =f (x)X有界有界无界无界M-MyxoX1函数的有界性函数的有界性:四、函数的性质四、函数的性质 f(x)sin x在(-, +)上是有界的: |sin x|1.所以函数无上界.下页有界函数举例 例例32函数的单调性函数的单调性:xyoxyo3函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数yxox-x奇函数奇函数yxox-x4函数的周期性函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.
