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1、HUN-理科数学数学数学数学决胜高考专案突破名师诊断对点集训题型2010年2011年2012年小题第14题:直线与抛物线的位置关系.第5题:已知双曲线的渐近线方程求参数的值.第5题:求双曲线的方程.大题第19题:直线与圆锥曲线的位置关系(圆、椭圆的方程,等比数列求和).第21题:直线与圆锥曲线的位置关系(求方程、探索是否存在).第21题:直线与抛物线的位置关系(求轨迹方程、证明纵坐标之积为定值).【考情报告】名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考【考向预测】1.直线的方程命题重点是:直线的倾斜角与斜率,两条直线的位置关系,对称及与其他知识结合考查距离等.2.圆的方程命
2、题重点是:由所给条件求圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系.3.圆锥曲线命题重点是:常通过客观题考查圆锥曲线的基本量(概念、性质).通过大题考查直线与椭圆、抛物线的位置关系,求圆锥曲线的方程等.4.在知识交汇处命题是解析几何的显著特征:与平面向量、三角函名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考数、不等式、数列、导数等知识结合,考查综合分析与解决问题的能力.如结合三角函数考查角、距离;结合二次函数考查最值;结合平面向量考查平行、垂直、面积以及求参数的取值范围等.命题中常涉及数形结合思想、方程思想、分类讨论思想、等价转化思想.【知能诊断】名师诊断名师诊断专案突破专
3、案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考1.过点(5,2),且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是()(A)2x+y-12=0.(B)2x+y-12=0或2x-5y=0.(C)x-2y-1=0.(D)x-2y-1=0或2x-5y=0.【解析】当直线过原点时,方程为2x-5y=0;不过原点时,可设其截距式方程为+=1,再由过点(5,2)即可解出a=6.【答案】B名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考2.“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的()(A)充分必要条件.(B)充分不必要条件.(C)必要不充分条件.(D)既不充分也不必要
4、条件.【解析】直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行的充要条件是-=-且-1,即ab=4且a1,则“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的必要而不充分条件.【答案】C名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考3.(2012年天津)设m,nR,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则m+n的取值范围是()(A)1-,1+.(B)(-,1-1+,+).(C)2-2,2+2.(D)(-,2-22+2,+).【解析】圆心为(1,1),则圆心到直线(m+1)x+(n+1)y-2=0的距离为d=1,得
5、4mn=4(m+n)+4(m+n)2,解得m+n2+2或m+n2-2.【答案】D名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考4.(2012兰州调研)“-3m5”是“方程+=1表示椭圆”的()(A)充分不必要条件.(B)必要不充分条件.(C)充要条件.(D)既不充分也不必要条件.【解析】要使方程+=1表示椭圆,应满足解得-3m5且m1,名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考因此“-3m0),即-=1,a2=,b2=3,焦点坐标为(-4,0),(4,0),c=4.c2=a2+b2=4=16=4,双曲线方程为-=1.【答案】D名师诊断名师诊断专案突破专案
6、突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考7.(南京市、盐城市2012届高三年级第三次模拟)在平面直角坐标系xOy中,过点A(-2,-1)的椭圆C:+=1(ab0)的左焦点为F,短轴端点为B1、B2,=2b2.(1)求a、b的值;(2)过点A的直线l与椭圆C的另一交点为Q,与y轴的交点为R.过原点O且平行于l的直线与椭圆的一个交点为P.若|AQ|AR|=3|OP|2,求直线l的方程.【解析】(1)因为F(-c,0),B1(0,-b),B2(0,b),所以=(c,-b),=(c,b).名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考因为=2b2,所以c2-b2=2b2.因为椭圆C过A(
7、-2,-1),代入得+=1.由解得a2=8,b2=2,即a=2,b=.(2)由题意,设直线l的方程为y+1=k(x+2),所以R(0,2k-1).由得(x+2)(4k2+1)(x+2)-(8k+4)=0.因为x+20,所以x+2=,即xQ+2=.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考由题意,直线OP的方程为y=kx.由得(1+4k2)x2=8.则=.因为|AQ|AR|=3|OP|2,所以|xQ-(-2)|0-(-2)|=3.即|2=3.解得k=1,或k=-2.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考当k=1时,直线l的方程为x-y+1=0,当k
8、=-2时,直线l的方程为2x+y+5=0.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考1.直线方程的截距式只适用于截距存在且不为零的情况,本题容易漏掉截距为零时的情形.2.易忽略两直线重合时的情形.判断两直线是否平行时需要考虑直线的斜率是否存在以及两直线是否会重合.3.(1)直线方程中含字母时不太会用点到直线的距离公式;(2)不会用重要不等式进行转化求最值.4.易忽略“圆不是椭圆的特殊形式”.5.易默认椭圆是焦点在x轴上的椭圆,忽略对椭圆的焦点所在位置进行分类讨论.【诊断参考】名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考6.易忽视焦点位置对双曲线方程的影
9、响,双曲线的渐近线方程表示形式与焦点位置有关.7.(1)易将椭圆标准方程中参数a、b、c的关系与双曲线标准方程中三者关系相混淆;(2)涉及用点斜式设过一点的直线方程时,一定要优先考虑斜率是否存在,有时需要分类讨论;(3)列方程组求解直线与圆锥曲线关系问题时,不少学生一方面怕算,另一方面不会用设而不求法或其他方式简化运算.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考【核心知识】一、直线与圆1.直线的倾斜角:直线倾斜角的范围是0,).2.直线的斜率:(1)直线倾斜角为(90)的直线的斜率k=tan(90);倾斜角为90的直线斜率不存在;(2)经过两点P1(x1,y1)、P2(x
10、2,y2)的直线的斜率为k=(x1x2).名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考3.直线的方程:(1)点斜式:y-y0=k(x-x0)(不包括垂直于x轴的直线);(2)斜截式:y=kx+b(不包括垂直于x轴的直线);(3)两点式:=(不包括垂直于坐标轴的直线);(4)截距式:+=1(不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线);(5)一般式:任何直线均可写成Ax+By+C=0(A、B不同时为0)的形式;(6)设直线方程的一些常用技巧:与直线l:Ax+By+C=0平行的直线可设为Ax+By+C1=0;与直线l:Ax+By+C=0垂直的直线可设为Bx-Ay+C1=0.4.两直
11、线的位置关系直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0的位置关系:名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(1)平行A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C10;(2)相交A1B2-A2B10;(3)重合A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1=0.特殊地,直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0垂直A1A2+B1B2=0.5.距离公式:(1)点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=;(2)两平行线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0(C1C2)间的距离为d=名师诊断名师诊断专案突
12、破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考.6.圆的方程:(1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2;(2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F0).7.直线与圆的位置关系直线l:Ax+By+C=0和圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)的位置关系的判断:(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况):0相交,0相离,=0相切;(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小):设圆心到直线的距离为d,则dr相离,d=r名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考相切.8.圆与圆的位置关系:设两圆圆心分别为O1、O
13、2,半径分别为r1、r2,|O1O2|=d.dr1+r2外离4条公切线;d=r1+r2外切3条公切线;|r1-r2|dr1+r2相交2条公切线;d=|r1-r2|内切1条公切线;0d|r1-r2|内含无公切线.判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组由公共解的个数来解决.二、圆锥曲线1.灵活运用圆锥曲线的定义名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(1)要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a,且此常数2a一定要大于|F1F2|;双曲线中,与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a,且此常数2a一定要小于|F1F2|,定义中的
14、“绝对值”与2ab0);焦点在y轴上时+=1(ab0).名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(2)双曲线:焦点在x轴上时-=1(a0,b0);焦点在y轴上时-=1(a0,b0).(3)抛物线:开口向右时y2=2px(p0);开口向左时y2=-2px(p0);开口向上时x2=2py(p0);开口向下时x2=-2py(p0).3.圆锥曲线的几何性质:范围、顶点、对称中心与对称轴、离心率、渐近线、准线等.4.直线与圆锥曲线的位置关系:利用直线方程与圆锥曲线方程联立方程组,由方程组解的个数来确定直线与圆锥曲线的位置关系.5.弦长公式:若直线y=kx+b与圆锥曲线相交于两点A
15、、B,且x1、x2分别名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考为A、B的横坐标,则|AB|=|x1-x2|,若y1、y2分别为A、B的纵坐标,则|AB|=|y1-y2|.6.圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.特别提醒:因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,注意别忘了检验0!7.常用结论(1)双曲线-=1(a0,b0)的渐近线方程为-=0;名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(2)以y=x为渐近线的双曲线方程为-=(为参数,0);(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲
16、线方程可设为mx2+ny2=1;(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长为,抛物线的通径长为2p,焦准距为p;(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;(6)若抛物线y2=2px(p0)的焦点弦为AB,A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p,x1x2=,y1y2=-p2;名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(7)若OA、OB是过抛物线y2=2px(p0)顶点O的两条互相垂直的弦,则直线AB恒经过定点(2p,0).8.动点轨迹(或方程)(1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围;(2)求轨迹方程的常用方法:
17、直接法,待定系数法,定义法,代入转移法,参数法.【考点突破】热点一:直线方程及相关问题名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考直线部分,主要考查直线的斜率与倾斜角、距离公式、直线方程、两直线的位置关系等,试题多以选择、填空题的形式出现,属于基础题型,难度一般不大.解析几何中的大题也常考查直线的基础知识.若aR,则“a=-4”是“直线l1ax+2y-1=0与直线l2:2x+(a+3)y-2=0平行”的()(A)充分不必要条件.(B)必要不充分条件.(C)充分必要条件.(D)既不充分也不必要条件.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考【分析】先求出
18、两直线平行时a的值,再来确定前者是后者的什么条件.【解析】由a(a+3)-4=0得a=-4或a=1,当a=1时两直线重合;当a=-4时两直线平行,所以两直线平行等价于a=-4,所以为充分必要条件.【答案】C【归纳拓展】(1)命题的逻辑关系的判断可以通过判断两个命题的真假,也可以看对应集合的关系来确定.(2)在判断两条直线平行或垂直时,需要考虑两条直线的斜率是否存在.在不重合的直线l1与l2的斜率都存在的情况下才可以应用结论:l1l2k1=k2,l1l2k1k2=-1解决两直线的平行与垂直问题.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考变式训练1(江苏省盐城市2012届高三
19、年级第二次模拟)若直线y=kx+1与直线2x+k2y-4=0垂直,则k=.【解析】直线y=kx+1化为kx-y+1=0,由2k+(-1)k2=0得k=0或k=2.【答案】0或2名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考热点二:直线与圆直线与圆主要考查直线与圆的方程的基本知识,如圆的标准方程、圆的一般式方程、直线与圆的位置关系等,试题可以是选择、填空题,也可蕴含在大题中考查,一般是基础题,难度不大,解题时应注意挖掘圆的几何性质以及数形结合思想的应用.(江苏省南京市2012年3月高三第二次模拟)已知圆C经过直线2x-y+2=0与坐标轴的两个交点,又经过抛物线y2=8x的焦点,
20、则圆C的方程为.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考【分析】先求出圆所经过的三个点,然后利用待定系数法求圆的方程.【解析】直线与坐标轴的两个交点为(0,2)、(-1,0),抛物线的焦点为(2,0),设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点的坐标代入得圆的方程为x2+y2-x-y-2=0.【答案】x2+y2-x-y-2=0【归纳拓展】本题也可以利用圆经过两点,则圆心在两点连线段的中垂线上,通过求出圆心坐标和半径,写出圆的标准方程.求圆的方程名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考常可根据条件选择是先求圆心与半径写出标准方程,还是设出圆的
21、一般方程利用待定系数法求解.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考变式训练2在平面直角坐标系中,直线y=kx-2与圆C:x2+y2-8x+12=0有公共点,则k的最大值是.【解析】圆C的方程可化为:(x-4)2+y2=4,圆C的圆心为(4,0),半径为2.依题意2,0k.k的最大值是.【答案】名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考已知动圆C的圆心在直线l:x-y+10=0上.(1)若动圆C过点A(-5,0)、B(-2,1),求圆C的方程;(2)若圆C的半径为5,是否存在正实数r,使得动圆C中满足与圆O:x2+y2=r2相外切的圆有且仅有一个?
22、若存在,请求出来,若不存在,请说明理由.【分析】(1)本题可以根据条件求出圆心与半径,写出圆的标准方程;(2)利用两圆的位置关系与圆心距之间的关系求解.【解析】(1)因为圆C过点A、B,所以圆心在线段AB的中垂线上,即圆心C在直线3x+y+10=0上,又圆心在直线x-y+10=0上,所以圆心C(-5,5),半径为|CA|=5,所以圆C的方程为(x+5)2+(y-5)2=25.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(2)圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d=5.当r满足r+5d时,r每取一个数值,动圆C中存在两个圆与圆O:x2+y2=r2相外切;当r满足r+5=d,即r
23、=5-5时,动圆C中有且仅有1个圆与圆O:x2+y2=r2相外切.【归纳拓展】(1)根据条件选择适当的圆的方程:当条件涉及圆心、半径时常考虑用标准方程;知道圆上点的坐标时可以先设出一般式,利用待定系数法求解;(2)直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系常考虑利用几何法,充分利用圆的几何特征求解,可以简化运算.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考变式训练3已知圆C:x2+(y-a)2=4,点A(1,0).(1)当过点A的圆C的切线存在时,求实数a的取值范围;(2)设AM、AN为圆C的两条切线,M、N为切点,当MN=时,求MN所在直线的方程.【解析】(1)过点A的切线存
24、在,即点A在圆外或圆上,1+a24,a或a-.(2)设MN与AC交于点D,O为坐标原点.MN=,DM=.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考又MC=2,CD=,cosMCA=,AC=,OC=2,AM=1,MN是以点A为圆心,半径AM=1的圆A与圆C的公共弦,圆A的方程为(x-1)2+y2=1,圆C的方程为x2+(y-2)2=4,或x2+(y+2)2=4,MN所在直线的方程为名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(x-1)2+y2-1-x2-(y-2)2+4=0,即x-2y=0,或(x-1)2+y2-1-x2-(y+2)2+4=0,即x+2y
25、=0,因此,MN所在直线的方程为x-2y=0或x+2y=0.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考热点三:圆锥曲线的定义、方程及几何性质圆锥曲线的定义、方程与几何性质是这部分内容的基石,是高考的重点及热点.圆锥曲线的定义、标准方程、离心率等都是常考内容,多以选择、填空题的形式出现,一般是中档题.(1)(2012年江苏省南通、泰州、扬州苏中三市高三第二次调研)若抛物线y2=2px(p0)上的点A(2,m)到焦点的距离为6,则p=.(2)(江苏省南京市2012届高三3月第二次模拟)已知双曲线-y2=1的一条渐近线方程为x-2y=0,则该双曲线的离心率e=.名师诊断名师诊断
26、专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考【分析】(1)利用抛物线的定义,将点A到焦点的距离用点A的横坐标及参数p表示,进而求解.(2)由双曲线的渐近线方程可求得参数a的值,进而求得离心率.【解析】(1)由抛物线的定义知点A(2,m)到焦点的距离为2+=6,解得p=8.(2)依题意=()2,所以|a|=2,离心率为.【答案】(1)8(2)【归纳拓展】(1)考查抛物线的定义,简单题.焦点在x轴上的抛物线y2名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考=2ax(a0)上的点P(x0,y0)到焦点F的距离为|PF|=|+|x0|;焦点在y轴上的抛物线x2=2ay(a0)上的
27、点P(x0,y0)到焦点F的距离为|PF|=|+|y0|.(2)焦点在x轴上的双曲线-=1的渐近线方程为y=x;焦点在y轴上的双曲线-=1的渐近线方程为y=x.求双曲线或椭圆的离心率:可以直接求出a、c,然后计算得离心率;也可以利用条件列出a、c的方程转化为的方程,进而求出离心率.需要注意的是椭圆与双曲线的离心率都有范围限制.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考变式训练4(1)(2012北京海淀区高三年级第一学期期末)抛物线x2=ay过点A(1,),则点A到此抛物线的焦点的距离为.(2)(苏锡常镇四市2012届高三教学调研测试二)已知双曲线-=1(m0)的一条渐近线
28、方程为y=x,则m的值为.【解析】(1)由已知可得:1=a,a=4.x2=4y.由抛物线的定义可知A点到焦点距离为A到准线的距离:yA+=+1=.(2)依题意,双曲线的方程为y=x,所以=,所以m=4.【答案】(1)(2)4名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考如图,A为椭圆+=1(ab0)上的一个动点,弦AB、AC分别过焦点F1、F2,当AC垂直于x轴时,恰好有|AF1|AF2|=31.(1)求椭圆的离心率;(2)设=1,=2,1、2R.当A点为该椭圆上的一个动点时,试判断1+2是否为定值?若是,请证明,若不是,请说明理由.【分析】(1)利用椭圆的定义、性质以及勾股
29、定理,可以找到a与c的关系,进而容易求出离心率.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考【解析】(1)当ACx轴时,设|AF2|=m,则|AF1|=3m.(2)设出相关点的坐标,利用向量关系式得出1、2的等式,把1+2表示成y1、y2的关系式,接下来自然是联立直线与椭圆的方程组成方程组,利用韦达定理得到结果.由题设及椭圆定义得消去m得a2=2c2,所以离心率e=.(2)(法一)由(1)知,b2=c2,所以椭圆方程可化为x2+2y2=2c2.设A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2),则+2=2c2.若A为椭圆的长轴端点,名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集
30、训对点集训决胜高考决胜高考则1=,2=或1=,2=,所以1+2=6.若A为椭圆上异于长轴端点的任意一点,则由=1,=2,得1=-,2=-,所以1+2=-y0(+).又直线AF1的方程为x+c=y,所以由得名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考2+(x0+c)2y2-2cy0(x0+c)y-c2=0.+2=2c2,(3c+2x0)y2-2y0(x0+c)y-c=0.由韦达定理得y0y1=-,y1=-.同理y2=.1+2=-y0(+)名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考=-y0(-+)=6.综上证得,当A点为该椭圆上的一个动点时,1+2为定值6
31、.(法二)设A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2),则=(-c-x0,-y0),=(x1+c,y1),=1,x1=-c,y1=-.又+2=2c2,+2=2c2,将x1、y1代入得(+c)2+2()2=2c2,名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考即(c+x0+c1)2+2=2c2,-得:2x0=c1-3c.同理:由=2得2x0=-c2+3c,c1-3c=-c2+3c,1+2=6.【归纳拓展】关于是否为定值的问题,一般先考虑特殊位置探求结论,这不失为一种非常好的做法.另外,本题第(2)问解题过程中的“设而不求”,“同理可得”是一把犀利的武器,对于迅速破解本
32、题起到至关重要的作用.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考变式训练5(江苏省南京市2012届高三3月第二次模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切.(1)求椭圆C的方程;(2)已知点P(0,1),Q(0,2),设M、N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点,直线PM与QN相交于点T,求证:点T在椭圆C上.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考【解析】(1)由题意知b=.因为离心率e=,所以=.所以a=2.所以椭圆C的方程为+=1.(2)由题意可设M,
33、N的坐标分别为(x0,y0),(-x0,y0),则直线PM的方程为y=x+1.直线QN的方程为y=x+2.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考联立解得x=,y=,即T(,).由+=1可得=8-4.因为()2+()2=1.所以点T坐标满足椭圆C的方程,即点T在椭圆C上.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考热点四:直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系是高考的一个重点与热点,综合性较高,难度较大,通常与圆锥曲线的方程、几何性质等一起考查.(盐城市2012届高三年级第二次模拟考试)已知椭圆+=1(ab0)的离心率为,且过点P(,),记
34、椭圆的左顶点为A.(1)求椭圆的方程;(2)设垂直于y轴的直线l交椭圆于B,C两点,试求ABC面积的最大值;名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(3)过点A作两条斜率分别为k1,k2的直线交椭圆于D,E两点,且k1k2=2,求证:直线DE恒过一个定点.【分析】(1)将点的坐标代入方程结合离心率以及a2=b2+c2可求出a、b的值,写出方程;(2)设出B点坐标,写出面积关于点B坐标的表达式并利用基本不等式求最值;(3)写出直线方程,将直线方程与椭圆方程联立方程组求出D、E坐标,写出直线DE的方程,可证明直线过定点.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高
35、考决胜高考【解析】(1)由解得所以椭圆C的方程为x2+2y2=1.(2)设B(m,n),C(-m,n),则SABC=2|m|n|=|m|n|.又1=m2+2n22=2|m|n|,所以|m|n|,当且仅当|m|=|n|时取等号,从而SABC,即ABC面积的最大值为.(3)因为A(-1,0),所以AD:y=k1(x+1),AE:y=k2(x+1),由消去y,得(1+2)x2+4x+2-1=0,解得x=-1或x=,名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考点D(,).同理,有E(,),而k1k2=2,E(,),直线DE的方程为y-=(x-),即y-=(x-),即y=x+.所以2
36、y-(3x+5)k1+4y=0,则由得直线DE恒过定点(-,0).【归纳拓展】(1)椭圆既是轴对称图形又是中心对称图形,充分利用椭圆的对称性可以减少计算.(2)有关最值问题,可以利用基本不等式求解,或转化为函数最值利用函数的有关性质求解.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考变式训练6(2012金华模拟)已知过点A(-4,0)的动直线l与抛物线G:x2=2py(p0)相交于B、C两点.当直线l的斜率是时,=4.(1)求抛物线G的方程;(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b,求b的取值范围.【解析】(1)设B(x1,y1),C(x2,y2),当直线l的斜率是时,l的
37、方程为y=(x+4),即x=2y-4.由得2y2-(8+p)y+8=0,名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考又=4,y2=4y1,由及p0得:y1=1,y2=4,p=2,即抛物线G的方程为x2=4y.(2)设l:y=k(x+4),BC的中点坐标为(x0,y0),由得x2-4kx-16k=0,名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考x0=2k,y0=k(x0+4)=2k2+4k.线段BC的中垂线方程为y-2k2-4k=-(x-2k),线段BC的中垂线在y轴上的截距为:b=2k2+4k+2=2(k+1)2.对于方程,由=16k2+64k0得k0或
38、k-4,b(2,+).名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考热点五:综合问题解析几何综合题除自身相关知识的综合外还常与平面向量、三角函数、不等式、函数等相综合,一方面考查相关基础知识,另一方面考查综合运用相关知识分析与解决问题的能力,同时也是对数学中的函数与方程思想、数形结合思想、等价转化思想以及分类讨论思想的考查.(广东省肇庆市中小学教学质量评估2012届高中毕业班第一次模拟)已知圆C与两圆x2+(y+4)2=1、x2+(y-2)2=1外切,圆C的圆心轨迹方程为L,设L上的点与点M(x,y)的距离最小值为m,点F(0,1)与名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对
39、点集训决胜高考决胜高考点M(x,y)的距离为n.(1)求圆C的圆心轨迹L的方程;(2)求满足条件m=n的点M的轨迹Q的方程;(3)试探究轨迹Q上是否存在点B(x1,y1),使得过点B的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于?若存在,请求出点B的坐标,若不存在,请说明理由.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考【分析】(1)利用动圆与两已知圆相外切,可得动圆圆心C与两已知圆的圆心的距离关系,从而得点C的轨迹方程;(2)可转化为到定点的距离与到定直线距离相等的点的轨迹,由抛物线的定义可得轨迹方程;(3)假设存在,写出三角形的面积关于点B坐标的表达式,利用条件列出方程求解,求
40、出的坐标符合条件就存在,否则不存在.【解析】(1)两圆半径都为1,两圆心分别为C1(0,-4)、C2(0,2),由题意得|CC1|=|CC2|,可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线,C1C2的中点为(0,-1),直线C1C2的斜率不存在,故圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线方程为y=-1,即圆C的圆心轨迹L的方程为y=-1.(2)因为m=n,所以M(x,y)到直线y=-1的距离与到点F(0,1)的距离相等,名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考故点M的轨迹Q是以y=-1为准线,点F(0,1)为焦点,顶点在原点的抛物线,=1,即p=2,所以轨迹Q的方程是x2=
41、4y.(3)由(2)得y=x2,y=x,所以过点B的切线的斜率为k=x1,切线方程为y-y1=x1(x-x1),令x=0得y=-+y1,令y=0得x=-+x1,因为点B在x2=4y上,所以y1=,故y=-,x=x1,所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S=|x|y|=|-|x1|=|,名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考设S=,即|=,得|x1|=2,所以x1=2.当x1=2时,y1=1,当x1=-2时,y=1,所以点B的坐标为(2,1)或(-2,1).【归纳拓展】(1)两圆相外切,则两圆的圆心距等于两圆的半径和.(2)求轨迹或轨迹方程,可以用直接法、定义法、待定
42、系数法、代入法等,根据不同的条件选用不同的方法.(3)曲线的切线问题,可以利用直线方程与圆锥曲线方程组成方程组,消去一个变量后转化为另一变量的二次方程有唯一解来解决;如果曲线方程可写成y=f(x),则它在x=x0处的切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0).名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考变式训练7已知A(-2,0),B(2,0),动点P与A、B两点连线的斜率分别为kPA和kPB,且满足kPAkPB=t(t0且t-1).(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)当t0时,曲线C的两焦点为F1、F2,若曲线C上存在点Q使得F1QF2=120,求t的取值范围.名师
43、诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考【解析】(1)设点P坐标为(x,y),依题意得=ty2=t(x2-4)+=1.轨迹C的方程为+=1(x2).(2)当-1t0时,曲线C为焦点在x轴上的椭圆,设|QF1|=r1,|QF2|=r2,则r1+r2=2a=4.在F1QF2中,|F1F2|=2c=4,F1QF2=120,由余弦定理,得4c2=+-2r1r2cos120=+r1r2名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考=(r1+r2)2-r1r2(r1+r2)2-()2=12,16(1+t)12,t-.所以当-t0时,曲线上存在点Q使F1QF2=120.
44、当t-1时,曲线C为焦点在y轴上的椭圆,设|QF1|=r1,|QF2|=r2,则r1+r2=2a=4,在F1QF2中,|F1F2|=2c=4.F1QF2=120,由余弦定理,得4c2=+-2r1r2cos120=+r1r2=(r1+r2)2-r1r2(r1+r2)2-()2=-12t,16(-1-t)-12tt-4.所以当t-4时,曲线上存在点Q使F1QF2=120.综上知当t0时,曲线上存在点Q使F1QF2=120的t的取值范围是(-,-4-,0).名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考限时训练卷(一)一、选择题1.直线ax+2y-3=0与直线2x-3y+4=0垂直
45、,则a的值为()(A)-3.(B)-.(C)2.(D)3.【解析】由(-)=-1,得a=3.【答案】D名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考2.已知两直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则a的值为()(A)3.(B)-1.(C)3或-1.(D)-3或1.【解析】由13=a(a-2),得a=3或a=-1,又a=3时两直线重合,所以a=-1时,l1l2.【答案】B名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考3.若O(0,0),A(4,-1)两点到直线ax+ay+6=0的距离相等,则实数a等于()(A)0或-4.(B).(
46、C)-4.(D)-.【解析】由题意,得=,即4a-a+6=6,解之得a=0或-4,检验得a=0不合题意,所以a=-4.【答案】C名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考4.已知圆C:x2+y2-4x=0,l是过点P(1,)的直线,则()(A)l与C相交.(B)l与C相切.(C)l与C相离.(D)以上三个选项均有可能.【解析】圆方程化为(x-2)2+y2=4,因为(1-2)2+()2=30)的公共弦的长为2,则a=.【解析】两圆的方程相减,得公共弦所在的直线方程为(x2+y2+2ay-6)-(x2+y2)=0-4,即y=,又a0,由=1得a=1.【答案】1名师诊断名师诊断
47、专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考12.(苏州市2012届高三调研)过点P(,1)的直线l与圆C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,当ACB最小时,直线l的方程为.【解析】当ACB最小时,弦AB的长最小,对应的弦心距最大,所以当CPAB时满足题意,因为kCP=-2,所以kAB=,直线l的方程为2x-4y+3=0.【答案】2x-4y+3=0名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考13.在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=64,圆O1与圆O相交,圆心为O1(9,0),且圆O1上的点与圆O上的点之间的最大距离为21.(1)求圆O1的标准方程;(2
48、)过定点P(a,b)作动直线l与圆O,圆O1都相交,且直线l被圆O,圆O1截得的弦长分别为d,d1.若d与d1的比值总等于同一常数,求点P的坐标及的值.【解析】(1)设圆O1的半径为r,由题设,得9+8+r=21,所以r=4.所以O1的标准方程为(x-9)2+y2=16.(2)当直线l的斜率存在时,设直线l为y-b=k(x-a),即y-kx+ka-b=0.三、解答题名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考则O,O1到直线l的距离分别为h=,h1=,从而d=2,d1=2.由=,得64-=216-,整理得64-a2-162+2(a-9)2k2+2ba-2(a-9)k+64-
49、b2-2(16-b2)=0.由题意,上式对于任意实数k恒成立,所以名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考由2ba-2(a-9)=0,得b=0或a-2(a-9)=0.如果b=0,则64-162=0,解得=2(舍去负值),从而a=6或18,所以=2,点P(6,0)或P(18,0).如果a-2(a-9)=0,显然a=9不满足,从而2=,所以3a2-43a+192=0.但=432-43192=-4550,因此该方程无实数根,舍去.当点P的坐标为(6,0)时,若直线l的斜率不存在,此时d=4,d1=2,名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考所以=2,也
50、满足.综上所述,满足题意的=2,点P有2个,坐标分别为(6,0)和(18,0).名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考1.抛物线y=-8x2的焦点坐标为()(A)(-,0).(B)(,0).(C)(0,-).(D)(0,).【解析】抛物线y=-8x2可化为x2=-y,焦点在y轴上,开口向下,焦点为(0,-).【答案】C限时训练卷(二)一、选择题名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考2.从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为F,则MPF的面积为()(A)5.(B)10.(C)20.(D).【解析
51、】易知F(1,0),P(4,4),故MPF的面积为10.【答案】B名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考3.(湛江市2012年普通高考测试题二)设F是双曲线-=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为()(A)5.(B)5+4.(C)7.(D)9.【解析】记右焦点为F1(4,0),|PF|+|PA|=4+|PF1|+|PA|4+|AF1|=9.【答案】D名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考4.准线方程为x=-4的抛物线y2=2px(p0)上一点M(1,m)到其焦点的距离()(A)2.(B)3.(C)4
52、.(D)5.【解析】由准线方程为x=-4得p=8,所以距离为1+=5.【答案】D名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考5.方程+=1表示双曲线,则k的取值范围为()(A)(10,+).(B)(-,-5).(C)(-5,10).(D)(-,-5)(10,+).【解析】由(10-k)(5+k)0,所以k10或k0,b0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的,则该双曲线的渐近线方程是()(A)x2y=0.(B)2xy=0.(C)xy=0.(D)xy=0.【解析】双曲线-=1(a0,b0)的一个焦点到一条渐近线的距离为b,=,因此b=c,a=c,=,因此其渐近线方程为xy=
53、0.【答案】C名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考8.已知点P(x,y)的坐标满足+=10,则点P所在曲线的离心率为()(A).(B).(C).(D).【解析】设F1(0,0),F2(-4,-4),|F1F2|=4,|PF1|+|PF2|=104=|F1F2|,所以P点的轨迹是以F1、F2为焦点且长轴长为10的椭圆,e=.【答案】D名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考9.(2012年长春市高中毕业班第一次调研)设e1、e2分别为具有公共焦点F1、F2的椭圆和双曲线的离心率,P是两曲线的一个公共点,且满足|+|=|,则的值为()(A).(B
54、)2.(C).(D)1.【解析】设|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c,不妨设mn.由|+|=|知,F1PF2=90,则m2+n2=4c2,e1=,e2=,+=2,=.【答案】A名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考二、填空题10.(苏州市2012届高三调研)与双曲线-=1有公共的渐近线,且经过点A(-3,2)的双曲线方程是.【解析】设所求双曲线的方程为-=(0),又过点A(-3,2),所以-=,所以=,所以所求双曲线方程为-=1.【答案】-=1名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考11.已知抛物线C:y2=2px(p0)的准线
55、为l,过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A,与C的一个交点为B.若=,则p=.【解析】过B作BE垂直于准线l于E,=,M为AB的中点,|BM|=|AB|,又斜率为,BAE=30,|BE|=|AB|,|BM|=|BE|,M为抛物线的焦点,p=2.【答案】2名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考12.(河北省唐山市2012届高三上学期期末)椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,过F2作x轴的垂线与椭圆的一个交点为P,若F1PF2=45,则椭圆的离心率e=.【解析】根据题意可知,RtPF1F2中|PF2|=,|F1F2|=2c,F1PF2=45,|F1F2
56、|=|PF2|,=2c,又b2=a2-c2,代入整理得:c2+2ac-a2=0,e2+2e-1=0,e=-1,0e0,b为常数)的椭圆为D.(1)求C和椭圆D的标准方程;(2)当b=1时,求证:椭圆D上任意一点都不在C的内部;(3)已知点M是椭圆D的长轴上异于顶点的任意一点,过点M且与x轴不垂直的直线交椭圆D于P、Q两点(点P在x轴上方),点P关于x轴的对称点为N,设直线QN交x轴于点L,试判断是否为定值?并证明你的结论.三、解答题名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考【解析】(1)圆心C(m,0)(-1m0,从而2p=,解得a=,故选A.【答案】A限时训练卷(三)一
57、、选择题名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考2.双曲线-=1的左焦点与抛物线y2=-12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()(A).(B)4.(C)3.(D)5.【解析】抛物线y2=-12x的焦点为(-3,0),双曲线-=1中,b2=9-4=5,双曲线渐近线方程为y=x.所以焦点到渐近线的距离d=.【答案】A名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考3.(湖北省孝感市20112012学年度高中三年级第一次统一考试)已知抛物线y2=8x的焦点与双曲线-y2=1的一个焦点重合,则该双曲线的离心率为()(A).(B).(C).(D)
58、3.【解析】由题意可知抛物线的焦点为(2,0),双曲线的右焦点为(,0),因两点重合故有=2,即a2=3且c=2.则双曲线的离心率为e=.【答案】B名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考4.抛物线x2=y上的点到直线2x-y=4的最短距离是()(A).(B).(C).(D).【解析】与2x-y=4平行且与x2=y相切的直线方程为2x-y-1=0,两直线间的距离为.【答案】A名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考5.已知方程-=1是焦点在y轴上的双曲线,则该双曲线的离心率的取值范围是()(A)(1,2).(B)(1,).(C)(,+).(D)(
59、2,+).【解析】先将方程化成焦点在y轴上的标准方程-=1,则解得m2.由离心率的计算公式可得:e2=2+.再由m2得e22,所以离心率的范围是e.【答案】C名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考6.过抛物线x2=2py(p0)的焦点F作倾斜角为30的直线,与抛物线分别交于A、B两点,若(0,1),则的值为()(A).(B).(C).(D).【解析】由题意可设AB所在的直线方程为y=x+.联立得或名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考由图可知A(-p,p),B(p,p).作AAx轴于A,BBx轴于B,=.【答案】C名师诊断名师诊断专案突破专案
60、突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考7.若椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点F分成53的两段,则此椭圆的离心率为()(A).(B).(C).(D).【解析】依题意有(c+)(c-)=53,则c=2b,又a2=b2+c2,所以=,所以e=.【答案】B名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考8.已知椭圆+=1的一个焦点是(,0),且截直线x=所得弦长为,则该椭圆的方程为()(A)+=1.(B)+=1.(C)+=1.(D)+=1.【解析】由已知c=,直线x=过椭圆焦点,且垂直于x轴,由可得y=,过焦点的弦长为,由得a2=6
61、,b2=4.所求椭圆的方程为+=1.【答案】D名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考9.已知圆x2+y2-9x=0与顶点在原点、焦点在x轴上的抛物线交于A、B两点,OAB的垂心恰为抛物线的焦点,则抛物线的方程为()(A)y2=-8x.(B)y2=-4x.(C)y2=4x.(D)y2=8x.【解析】依题意,设所求抛物线方程为y2=2px(p0),焦点F(,0),A(x0,y0),B(x0,-y0),则+(2p-9)=0.OABF,名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考=-1,即=-1,x0=p.把代入得p=2,所求抛物线的方程为y2=4x.【答
62、案】C名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考10.已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1、F2,点P是C1与C2的一个公共点,PF1F2是一个以PF1为底的等腰三角形,|PF1|=4,C1的离心率为,则C2的离心率为.【解析】因为PF1F2是一个以PF1为底的等腰三角形,|PF1|=4,C1的离心率为,所以|PF2|=|F1F2|=3,所以C2中的2a=1,2c=3,所以C2的离心率e=3.【答案】3二、填空题名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考11.(山东实验中学2012届高三模拟考试)以抛物线y2=20x的焦点为圆心,且与双曲线-=1
63、的两条渐近线都相切的圆的方程为.【解析】由已知可以知道,抛物线的焦点坐标为(5,0),双曲线的渐近线方程为y=x,则所求的圆的圆心为(5,0),利用圆心到直线3x-4y=0的距离为半径r,则有r=3,故圆的方程为(x-5)2+y2=9.【答案】(x-5)2+y2=9名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考12.(浙江省2012年高三调研)若点P在曲线C3:-=1上,点Q在曲线C1:(x+5)2+y2=1上,点R在曲线C2:(x-5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是.【解析】如图所示,点P应在右支上,名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决
64、胜高考|PQ|max=|PC1|+1,|PR|min=|PC2|-1,(|PQ|-|PR|)max=|PQ|max-|PR|min=|PC1|-|PC2|+2,P点在双曲线上,|PC1|-|PC2|=2a=8,|PQ|-|PR|的最大值是10.【答案】10名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考13.(2012年长春市高中毕业班第一次调研测试)已知点A(-1,0),B(1,0),动点M的轨迹曲线C满足AMB=2,|cos2=3,过点B的直线交曲线C于P、Q两点.(1)求|+|的值,并写出曲线C的方程;(2)求APQ面积的最大值.【解析】(1)设M(x,y),在MAB中,
65、|AB|=2,AMB=2,根据余弦定理得|2+|2-2|cos2=4.即(|+|)2-2|(1+cos2)=4.即(|+|)2-4|cos2=4.三、解答题名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考而|cos2=3,所以(|+|)2-43=4.所以|+|=4.又|+|=42=|AB|,因此点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆(点M在x轴上也符合题意),a=2,c=1.所以曲线C的方程为+=1.(2)设直线PQ的方程为x=my+1.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考由消去x并整理得(3m2+4)y2+6my-9=0.显然方程的0,设P(x1,y1)
66、,Q(x2,y2),则SAPQ=2|y1-y2|=|y1-y2|,由韦达定理得y1+y2=-,y1y2=-.所以(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=48.令t=3m2+3,则t3,(y1-y2)2=.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考由于函数(t)=t+在3,+)上是增函数,所以t+,当t=3m2+3=3,即m=0时取等号.所以(y1-y2)2=9,即|y1-y2|的最大值为3.所以APQ面积的最大值为3,此时直线PQ的方程为x=1.一、选择题名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考1.(广东省惠州市2012届高三第三次调研)“
67、a=-2”是“直线ax+2y=0垂直于直线x+y=1”的()(A)充分不必要条件.(B)必要不充分条件.(C)充分必要条件.(D)既不充分也不必要条件.【解析】a=-2时两直线垂直;反之两直线垂直时a=-2,所以是充分必要条件.【答案】C名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考2.设圆x2+y2-4x-5=0的弦AB的中点为P(3,1),则直线AB的方程是()(A)x-y-2=0.(B)x+y-4=0.(C)x-5y+2=0.(D)5x+y-16=0.【解析】圆x2+y2-4x-5=0的圆心为C(2,0),AB是过点P垂直于CP的直线,所以方程为y-1=-(x-3),即
68、x+y-4=0.【答案】B名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考3.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与C交于A、B两点,则cosAFB=()(A).(B).(C)-.(D)-.【解析】联立消y得x2-5x+4=0得x=1或x=4,不妨设点A在x轴下方,所以A(1,-2),B(4,4),因为F(1,0),所以=(0,-2)与=(3,4),因此cosAFB=-.故选D.【答案】D名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考4.(2012届黑龙江绥化市一模)若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称,则由点
69、(a,b)向圆所作的切线长的最小值是()(A)2.(B)3.(C)4.(D)6.【解析】直线2ax+by+6=0过圆心C(-1,2),所以a-b-3=0,当点M(a,b)到圆心距离最小时,切线长最短;|MC|=,得a=2时最小,b=-1,此时切线长等于4.【答案】C名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考5.若双曲线-=1的渐近线与圆C:(x-2)2+y2=3相切,则此双曲线的离心率为()(A).(B).(C)2.(D)4.【解析】双曲线-=1的渐近线方程为y=x,圆C的圆心为(2,0),则=,即=,所以e=.【答案】A名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决
70、胜高考决胜高考6.已知对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线方程为y=x(a0,b0),若双曲线上有一点M(x0,y0),使b|x0|b时,在x轴上.(D)当ab时,在y轴上.【解析】由双曲线的渐近线方程可设双曲线的方程为:-=,由b|x0|a|y0|可得|x0|,代入方程可得b0)的左顶点为A,上顶点为B,右焦点为F.设线段AB的中点为M,若2+0,则该椭圆离心率的取值范围为.【解析】因为A(-a,0),B(0,b),M(-,),F(c,0),又2+0,所以2a2-2ac-c20,即e2+2e-20,结合0e1得0b0),点P为其上一点,F1、F2为椭圆的焦点,F1PF2的外角平分线为l,点F2
71、关于l的对称点为Q,F2Q交l于点R.(1)当P点在椭圆上运动时,求R形成的轨迹方程;(2)设点R形成的曲线为C,直线m:y=k(x+a)与曲线C相交于A、B两点,当AOB的面积取得最大值时,求k的值.【解析】(1)点F2关于l的对称点为Q,连结PQ,则|F1Q|=|F1P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a.连结OR,O为F1F2中点,R是F2Q中点,故|OR|=a,名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考故R点的轨迹方程是x2+y2=a2(y0).(2)如右图,SAOB=|OA|OB|sinAOB=sinAOB.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训
72、决胜高考决胜高考当AOB=90时,SAOB最大值为a2.此时弦心距|OC|=.在RtAOC中,AOC=45,=cos45=,k=.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考17.已知抛物线x2=2py(p0)被直线y=x截得的弦长是4.(1)求p的值;(2)设点M为抛物线上的动点,问:在y轴上是否存在一定点A(0,m),使得以AM为直径的圆被直线y=3截得的弦长恒为定值?若存在,求出点A的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由解得,或.=4,p=2.(2)假设存在符合题意的定点A(0,m),名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考设M(x,y
73、),以AM为直径的圆与直线y=3交于C、D两点,则圆心B(,),点B到直线y=3的距离d=.圆的半径R=,=R2-d2=(x2-4my+12y+12m-36)名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考=(4y-4my+12y+12m-36)=(4-m)y+3m-9.当m=4时,(4-m)y+3m-9恒为定值3,即弦长恒为定值2.存在这样的定点A(0,4)符合题意.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考18.已知圆C1:(x-2)2+(y-1)2=,椭圆C2:+=1(ab0)的离心率为,如果C1、C2相交于A、B两点,且线段AB恰为圆C1的直径,求
74、直线AB与椭圆C2的方程.【解析】由e=,得a2=2b2,于是椭圆C2的方程为x2+2y2=2b2,设直线AB的方程为y-1=k(x-2)(直线AB的斜率存在).由得(1+2k2)x2+4k(1-2k)x+2(2k-1)2-2b2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则=2,即=2,得k=-1,因此直线AB的方程为:y=-x+3,此时,式即为3x2-12x+18-2b2=0,名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考那么|AB|=|x1-x2|=2,解得b2=8,椭圆方程为+=1,故所求的直线与椭圆方程分别为:y=-x+3与+=1.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对
75、点集训对点集训决胜高考决胜高考19.(河北省唐山市2012届高三摸底)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,过点F作直线l与抛物线交于A、B两点,抛物线的准线与x轴交于点C.(1)证明:ACF=BCF;(2)求ACB的最大值,并求ACB取得最大值时线段AB的长.【解析】(1)由题设知,F(,0),C(-,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l方程为x=my+,代入抛物线方程y2=2px,得y2-2pmy-p2=0.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考y1+y2=2pm,y1y2=-p2.不妨设y10,y20,tanACF=1,当且仅当y1=p时取等号
76、,名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考此时ACF取最大值,ACB=2ACF取最大值,并且A(,p),B(,-p),|AB|=2p.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考20.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C1:2x2-y2=1.(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积;(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点,若l与圆x2+y2=1相切,求证:OPOQ;(3)设椭圆C2:4x2+y2=1.若M、N分别是C1、C2上的动点,且OMON,求证:O到直线MN的距离是定值.【解析】(1)
77、双曲线C1:-y2=1,左顶点A(-,0),渐近线方程:y=x.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考过点A与渐近线y=x平行的直线方程为y=(x+),即y=x+1.解方程组得所以所求三角形的面积为S=|OA|y|=.(2)设直线PQ的方程是y=x+b.因直线与已知圆相切,故=1,即b2=2.由得x2-2bx-b2-1=0.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考设P(x1,y1),Q(x2,y2),则又y1y2=(x1+b)(x2+b),所以=x1x2+y1y2=2x1x2+b(x1+x2)+b2=2(-b2-1)+b2b+b2=b2-2=0
78、,故OPOQ.(3)当直线ON垂直于x轴时,名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考|ON|=1,|OM|=,则O到直线MN的距离为.当直线ON不垂直于x轴时,设直线ON的方程为y=kx(显然|k|),则直线OM的方程为y=-x.由得所以|ON|2=.同理|OM|2=.设O到直线MN的距离为d,因为(|OM|2+|ON|2)d2=|OM|2|ON|2,名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考所以=+=3,即d=.综上,O到直线MN的距离是定值.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考21.(2012北京海淀区高三第一学期期
79、末)已知焦点在x轴上的椭圆C过点(0,1),且离心率为,Q为椭圆C的左顶点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)已知过点(-,0)的直线l与椭圆C交于A、B两点.若直线l垂直于x轴,求AQB的大小;若直线l与x轴不垂直,是否存在直线l使得QAB为等腰三角形?如果存在,求出直线l的方程;如果不存在,请说明理由.【解析】(1)设椭圆C的标准方程为+=1(ab0),且a2=b2+c2.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考由题意可知:b=1,=.所以a2=4.所以,椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)由(1)得Q(-2,0).设A(x1,y1),B(x2,y2).当直线l垂直于
80、x轴时,直线l的方程为x=-.由解得或名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考即A(-,),B(-,-)(不妨设点A在x轴上方).则直线AQ的斜率kAQ=1,直线BQ的斜率kBQ=-1.因为kAQkBQ=-1,所以AQBQ.所以AQB=.当直线l与x轴不垂直时,由题意可设直线AB的方程为y=k(x+)(k0).名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考由消去y得(25+100k2)x2+240k2x+144k2-100=0.因为点(-,0)在椭圆C的内部,显然0.因为=(x1+2,y1),=(x2+2,y2),y1=k(x1+),y2=k(x2+)
81、,所以=(x1+2)(x2+2)+y1y2名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考=(x1+2)(x2+2)+k(x1+)k(x2+)=(1+k2)x1x2+(2+k2)(x1+x2)+4+k2=(1+k2)+(2+k2)(-)+4+k2=0.所以.所以QAB为直角三角形.假设存在直线l使得QAB为等腰三角形,则|QA|=|QB|.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考取AB的中点M,连接QM,则QMAB.记点(-,0)为N.另一方面,点M的横坐标xM=-=-,所以点M的纵坐标yM=k(xM+)=.所以=(,)(,)=0.所以与不垂直,矛盾.所以当直线l与x轴不垂直时,不存在直线l使得QAB为等腰三角形.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考
