数 学 精 品 课 件北 师 大 版 成才之路成才之路 · 数学数学路漫漫其修远兮路漫漫其修远兮 吾将上下而求索吾将上下而求索北师大版北师大版 · 选修选修2-2 推理与证明推理与证明第一章第一章 §3 反证法 反证法第一章第一章 课堂典例探究课堂典例探究2课课 时时 作作 业业4课前自主预习课前自主预习1 课前自主预习课前自主预习 了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．本节重点：反证法概念的理解以及反证法的解题步骤．本节难点：应用反证法解决问题. 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的方法．_________就是一种常用的间接证明方法.间接证明 反证法 1.(1)概念：假定命题结论的___________在这个前提下，若推出的结果与____________________矛盾，或与命题中的________相矛盾，或与假定相矛盾，从而断定_____________不可能成立，由此断定命题的结论成立．这样的证明方法叫作反证法(有时也叫归谬法)．反证法 反面成立．定义、公理、定理已知条件命题结论的反面 2．反证法的证题步骤包括以下三个步骤：(1)作出否定结论的假设(反设)——假设命题的结论不成立，即假定原命题的反面为真；(2)逐步推理，导出矛盾(归谬)——从假设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；(3)否定假设，肯定结论(存真)——由矛盾结果，断定假设不真，从而肯定原结论成立. 1.用反证法证明问题的本质反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定假设，达到肯定原命题正确的一种方法．反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)．用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)存真．也就是说，反证法是由证明p⇒q转向证明：¬q⇒r⇒…⇒t，t与假设或与某个真命题矛盾，¬q为假，推出q为真的方法． 从逻辑角度看，命题“若p则q”的否定是“若p则¬q”由此进行推理，如果发生矛盾，那么“若p则¬q”为假，因此可知“若p则q”为真．可以看出，反证法与证逆否命题是不同的．由于受“反证法就是证逆否命题”的错误影响，在否定结论后的推理过程中，往往一味寻求与原题设的矛盾，而不注意寻求其他形式的矛盾，这样就大大限制和影响了解题思路．归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木．推理必须严谨．导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾． 2．适宜用反证法证明的数学命题(1)结论本身是以否定形式出现的一类命题；(2)关于唯一性、存在性的命题；(3)结论是以“至多”“至少”等形式出现的命题；(4)结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题；(5)一些基本命题、定理．3．用反证法证明不等式，常用的否定形式有：“≥”的反面为“<”；“≤”的反面为“>”；“>”的反面为“≤”；“<”的反面为“≥”；“≠”的反面为“＝”；“＝”的反面为“≠”或“>及<”． 4．一些常见的“结论词”与“反设词”原结论词反设词原结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有n－1个p或q非p且非q至多有n个至少有n＋1个p且q非p或非q 1.用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是( )A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个是偶数[答案] B[解析] “至少有一个”的对立面是“一个都没有”． 2．反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．[答案] ③①②[解析] 考查反证法的证题步骤． 3．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设为________．[答案] x＝a或x＝b[解析] 对“且”的否定应为“或”，所以“x≠a且x≠b”的否定应为“x＝a或x＝b”． 求证：当x2＋bx＋c2＝0有两个不相等的非零实数根时，bc≠0.[分析] bc≠0的否定形式为bc＝0，包括①b＝0，c＝0；②b＝0，c≠0；③b≠0，c＝0三种情况，要注意分类讨论．反证法证明“否定性”命题 [证明] 假设bc＝0.(1)若b＝0，c＝0，方程变为x2＝0，则x1＝x2＝0是方程x2＋bx＋c2＝0的两根，这与方程有两个不相等的实数根矛盾．(2)若b＝0，c≠0，方程变为x2＋c2＝0，但c≠0，此时方程无解，与x2＋bx＋c2＝0有两个不相等的非零实根相矛盾．(3)若b≠0，c＝0，方程变为x2＋bx＝0，方程根为x1＝0，x2＝－b，这与方程有两个非零实数根相矛盾．综上所述，可知bc≠0.[点评] 结论中出现“不”、“不是”、“不存在”、“不等于”等词语的命题，其反面比较具体，通过反设，转化为肯定性命题，作为条件应用，进行推理．此时用反证法更方便． 已知a≠0，求证：关于x的方程ax＝b有且只有一个根．[证明] 假设方程ax＝b(a≠0)至少存在两个实根，不妨设其中的实根分别为x1，x2，且x1≠x2，则ax1＝b，ax2＝b，ax1＝ax2，ax1－ax2＝0，∴a(x1－x2)＝0.又∵x1≠x2，x1－x2≠0，∴a＝0，这与已知a≠0矛盾，故假设不成立，原命题成立． “至少”“至多”型命题 [点评] 该命题中有“至少……”，直接方法很难证明，故可采用反证法．此题解法揭示：当命题中出现“至少……”、“至多……”、“不都……”、“都不……”、“没有……”、“唯一”等指示性词语时，宜用反证法．注意“至少有一个”、“至多有一个”、“都是”的否定形式分别为“一个也没有”、“至少有两个”、“不都是” 如图，AB，CD为圆的两条相交弦，且不全为直径．求证：AB，CD不能互相平分． 反证法在几何中的应用 [分析] 本题要证明的是AB、CD能不能互相平分，能与不能二者必居其一．由于不易证明“AB、CD不能互相平分”，不妨假设“AB、CD能互相平分”，以此为出发点，得出与条件“AB，CD不全为直径”矛盾的结论． [证明] 假设AB、CD互相平分，则四边形ACBD为平行四边形，所以∠ACB＝∠ADB，∠CAD＝∠CBD.因为四边形ACBD为圆内接四边形，所以∠ACB＋∠ADB＝180°，∠CAD＋∠CBD＝180°.因此∠ACB＝90°，∠CAD＝90°，所以对角线AB，CD均为直径，这与已知中“AB，CD不全为直径”相矛盾．因此AB，CD不能互相平分． [点评] 用反证法证明该几何问题时，反设之后，以反设为出发点，并且结合圆的内接四边形的性质得出与已知相矛盾的结论，从而证明了原命题成立． 如图所示，设SA，SB是圆锥的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直． [证明] 假设AC⊥平面SOB，连接AB.因为直线SO在平面SOB内，所以SO⊥AC．又因为SO⊥底面圆O，所以SO⊥AB.又因为AC∩AB＝A，所以SO⊥面SAB.所以平面SAB∥底面圆O.这显然不成立，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直. 反证法在数列中的应用 [点评] 当结论为否定形式时，通过反设，转化为肯定形式，可作为条件进行推理，此时应用反证法很方便. 已知a＋b＋c>0，abc>0，ab＋bc＋ca>0，求证：a，b，c都大于0.反证法的综合应用 [分析] [证明] 假设a>0不成立，则a≤0.分两种情况证明：(1)当a<0时，∵abc>0，∴bc<0.又∵a＋b＋c>0，∴b＋c>－a>0，a(b＋c)<0.∴ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc<0，与已知矛盾．(2)当a＝0时，abc＝0，与abc>0矛盾，由以上分析可知，假设不成立．因此，a>0.同理可得，b>0，c>0.综上a，b，c都大于0.[点评] 分类讨论的关键是要全面，考虑周到，不能遗漏．比如，本题“a>0”的反面是“a≤0”，即有两种情况“a<0”或“a＝0”，分类讨论时，不能遗漏其中任何一种情况． 已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数．[分析] 本题直接证明不易找思路，我们用间接证明的方法：反证法． [证明] 假设a不是偶数，则a为奇数．设a＝2m＋1(m为整数)，则a2＝4m2＋4m＋1.∵4(m2＋m)是偶数，∴4m2＋4m＋1为奇数，即a2为奇数，与已知矛盾．∴a一定是偶数. [点评] 否定结论时，没有全面否定． [点评] 利用反证法进行证题时，首先要对所要证明的结论作出否定性的假设，并以此为条件进行正确的推理，导出矛盾，从而证明原命题成立．即利用反证法证题时必须严格按照“否定—推理—否定”的步骤进行．错解在证明的过程中并没有用到假设的结论，因而证明方法不是反证法． 。