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1、学学习习内内容容及及学学习习重重点点q 学习内容：学习内容： 平面内的投影面平行线平面内的投影面平行线 平面内的最大斜度线平面内的最大斜度线q学习重点：学习重点： 平面内水平线的作图方法平面内水平线的作图方法 平面内正平线的作图方法平面内正平线的作图方法 对对V面、面、H面最大斜度线的作图方法面最大斜度线的作图方法第四节 平面内的特殊直线一、平面内的投影面平行线一、平面内的投影面平行线abcabcOXdd1.1.在已知平面内作在已知平面内作水平线水平线(1)(1)所作直线应既是水平所作直线应既是水平线，同时又在已知平面内线，同时又在已知平面内(2)(2)过过aa作作adad/OX/OX轴轴(3
2、)(3)求出求出dd的水平投影的水平投影 d d(4)(4)连接连接adad后，即得到平后，即得到平面面ABCABC内的水平线内的水平线ADAD3 34 4 平面内的特殊直线平面内的特殊直线作图思路：作图思路：一、平面内的投影面平行线一、平面内的投影面平行线2.2.在已知平面内作在已知平面内作正平线正平线(1)(1)所作直线应既是正平所作直线应既是正平线，同时又在已知平面内线，同时又在已知平面内(2)(2)过过a a作作aeae/OX/OX轴轴(3)(3)求出求出e e的正面投影的正面投影ee(4)(4)连接连接aeae后，即得后，即得到平面到平面ABCABC内的正平线内的正平线AEAEabc
3、abcOXee3 34 4 平面内的特殊直线平面内的特殊直线作图思路：作图思路：二、平面内的最大斜度线二、平面内的最大斜度线平面内对平面内对H H面的最大斜度线面的最大斜度线 平面内的最大平面内的最大斜度线就是平面内斜度线就是平面内垂直于各投影面的垂直于各投影面的平行线平行线的直线。的直线。 垂直于水平线垂直于水平线的直线叫做对的直线叫做对H H面的面的最大斜度线。最大斜度线。垂直于正平线垂直于正平线的直的直线叫做对线叫做对V V面的最大面的最大斜度线。斜度线。3 34 4 平面内的特殊直线平面内的特殊直线在图示的平面内，因为直线在图示的平面内，因为直线ABAC，且，且AC又是水平线，所以又是
4、水平线，所以AB是对是对H面的最大斜度线。根据直角的投影特性可知面的最大斜度线。根据直角的投影特性可知abac，也，也就是说，平面内对就是说，平面内对H面的最大斜度线的水平投影必垂直于该平面内面的最大斜度线的水平投影必垂直于该平面内的水平线的水平投影。的水平线的水平投影。（3 3）用直角三角形法求出）用直角三角形法求出BDBD对对H H面的倾角面的倾角。abcabcmmdd（1 1）在已知平面内作水平）在已知平面内作水平线线AMAM。（2 2）作）作bdambdam；作出；作出bdbd。BDBD即对即对H H面的最大面的最大斜度线。斜度线。3 34 4 平面内的特殊直线平面内的特殊直线例题例题
5、1：求作已知平面求作已知平面ABCABC内对内对H H面的最大斜度线，并求该线对面的最大斜度线，并求该线对H H面的倾角。面的倾角。作图思路：作图思路：（2 2）用直角三角形法求出）用直角三角形法求出MNMN对对V V面的倾角面的倾角。（1 1）由于直线）由于直线ABAB与与CDCD平行平行且均为正平线，所以不难且均为正平线，所以不难作出作出ABAB及及CDCD的垂线的垂线MNMN。直。直线线MNMN即对即对V V面的最大斜度线。面的最大斜度线。ababcdcdmnmn3 34 4 平面内的特殊直线平面内的特殊直线例题例题2：求作已知平面求作已知平面ABCDABCD内对内对V V面的最大斜度线
6、，并求该线对面的最大斜度线，并求该线对V V面的倾角。面的倾角。作图思路：作图思路：（3 3）连接）连接ekek，即得到，即得到正平线正平线EKEK。（1 1）在）在H H面过面过k k作正平线的作正平线的水平投影平行于水平投影平行于OXOX轴。轴。abcdabcdkkeffe（2 2）作辅助线）作辅助线CFCF，得平面，得平面内点内点E E。3 34 4 平面内的特殊直线平面内的特殊直线例题例题3：在由两相交直线在由两相交直线ABAB和和CDCD组成的平面内，组成的平面内，过交点过交点K K作一正平线。作一正平线。作图思路：作图思路：（3 3）在平面）在平面ADCADC内求出内求出最大斜度线
7、最大斜度线AEAE，进而求出，进而求出倾角倾角。（1 1）在）在V V面过面过cc作水平线作水平线的正面投影平行于的正面投影平行于OXOX轴。轴。（2 2）作）作abab的延长线的延长线得到得到d,d,进而求得进而求得cdcd。abccabddeemm3 34 4 平面内的特殊直线平面内的特殊直线例题例题4：在由直线在由直线ABAB和点和点C C组成的平面内，过组成的平面内，过A A点点作平面的最大斜度线，并求平面的坡度作平面的最大斜度线，并求平面的坡度角角。作图思路：作图思路：学学习习内内容容及及学学习习重重点点q 学习内容：学习内容： 直线和平面平行直线和平面平行 两平面平行两平面平行q学
8、习重点：学习重点： 掌握上述平行问题的判断方法掌握上述平行问题的判断方法 掌握上述平行问题的图示、图解方法掌握上述平行问题的图示、图解方法第五节 直线和平面平行、两平面平行一、直线和平面平行一、直线和平面平行 直线和平面平行的判直线和平面平行的判定规则是：定规则是： 一一直线直线和一平面内的和一平面内的直线直线平行，则此直线就该平行，则此直线就该平面平行。平面平行。3 35 5 直线和平面平行、两平面平行直线和平面平行、两平面平行 例题例题11：试判断直线试判断直线ABAB是否平行于是否平行于LMNLMN。作辅助直线的正面投作辅助直线的正面投影影cdabcdab。ababl mnlnmcdcd
9、 求出水平投影求出水平投影cdcd。由于由于cdcd不平行于不平行于abab, ,即即CDCD不平行于不平行于ABAB，所以，所以ABAB不平行于不平行于LMN LMN 。3 35 5 直线和平面平行、两平面平行直线和平面平行、两平面平行作图思路：作图思路： 例题例题22：试经过点试经过点A A作一条水平线平行于平面作一条水平线平行于平面BCDBCD。在平面在平面BCDBCD内作水平线内作水平线MNMN。过点过点A A作直线作直线AEMNAEMN，即所求。，即所求。aabbccddmnmnee3 35 5 直线和平面平行、两平面平行直线和平面平行、两平面平行作图思路：作图思路： 当直线和投影面
10、垂直面平行时，此垂直面有积聚性的当直线和投影面垂直面平行时，此垂直面有积聚性的迹线必和此直线的同面投影平行。并且，迹线必和此直线的同面投影平行。并且，abab和和P PH H之间的距之间的距离等于直线离等于直线ABAB与铅垂面与铅垂面P P之间的距离。之间的距离。 距离距离PHababHPABabPH3 35 5 直线和平面平行、两平面平行直线和平面平行、两平面平行特殊情况：特殊情况：二、两平面平行二、两平面平行平面和平面平行的判定平面和平面平行的判定规则是：规则是：ABCDPQA1B1C1D1若一平面内的若一平面内的相交相交两直两直线线对应平行于对应平行于另一平面另一平面内的内的相交相交两直
11、线，则此两直线，则此两平面相互平行。两平面相互平行。3 35 5 直线和平面平行、两平面平行直线和平面平行、两平面平行 例题例题11：试判断平面试判断平面ABCABC和平面和平面LMNLMN是否相互平行。是否相互平行。aabbcclmnlmnkk思路：思路：试图在平面试图在平面ABCABC内内作出相交两直线平行于平作出相交两直线平行于平面面LMNLMN。当在平面当在平面ABCABC内过内过A A点作一点作一条辅助直线不平行于平面条辅助直线不平行于平面LMNLMN时，即可判定两已知时，即可判定两已知平面不平行。平面不平行。3 35 5 直线和平面平行、两平面平行直线和平面平行、两平面平行 例题例
12、题22：试过点试过点L L作一个平面平行作一个平面平行ABCABC。思路：思路：试图过点试图过点L L作两条作两条直线直线LMLM和和LNLN，其中使，其中使LMABLMAB，LNBCLNBC。aabbccl lmmnn3 35 5 直线和平面平行、两平面平行直线和平面平行、两平面平行 当两平面都是同一投影面的垂直面时，可直接根据当两平面都是同一投影面的垂直面时，可直接根据迹线来判断它们是否相互平行。并且，迹线的距离即等迹线来判断它们是否相互平行。并且，迹线的距离即等于两垂直面的空间距离。于两垂直面的空间距离。距离距离QHPHHQPHPQH3 35 5 直线和平面平行、两平面平行直线和平面平行
13、、两平面平行特殊情况：特殊情况：学学习习内内容容及及学学习习重重点点q 学习内容：学习内容： 直线和平面相交直线和平面相交 两平面相交两平面相交 可见性判断可见性判断q 学习重点：学习重点： 掌握线面相交求交点及可见性判断的方法掌握线面相交求交点及可见性判断的方法 掌握两平面相交求交线及可见性判断的方法掌握两平面相交求交线及可见性判断的方法第六节 直线和平面相交、两平面相交一、直线和特殊位置平面相交一、直线和特殊位置平面相交直线直线ABAB和平面和平面P P相交，相交，有一个有一个交点交点K K。PHPHAKBakb水平投影水平投影k k必是必是P PH H和和abab的交点。有了水平投的交点
14、。有了水平投影影k k，就可以在直线的，就可以在直线的正面投影上定出正面投影上定出kk。3 36 6 直线和平面相交、两平面相交直线和平面相交、两平面相交交点画法分析：交点画法分析：作图步骤作图步骤：(1)(1)用字母用字母k k标出标出abab和和P PH H的交点；的交点；aabbPHkk(2)(2)由由k k向上作铅垂联系向上作铅垂联系线与线与abab相交，得相交，得kk。3 36 6 直线和平面相交、两平面相交直线和平面相交、两平面相交 例题例题11：求作求作ABAB和铅垂面和铅垂面P P的交点。的交点。作图步骤：作图步骤：(1)(1)用字母用字母kk标出标出cdcd和和QvQv的交点
15、；的交点；(2)(2)由由kk向下作铅垂联向下作铅垂联系线与系线与cdcd相交，得相交，得k k。QVdcdckk3 36 6 直线和平面相交、两平面相交直线和平面相交、两平面相交 例题例题22：求作求作CDCD和正垂面和正垂面Q Q的交点。的交点。如图，求作直线如图，求作直线EFEF和一般位置平和一般位置平面面ABCABC的交点，应分三步进行：的交点，应分三步进行：（1）经过已知直线）经过已知直线EFEF作一个作一个辅助平面辅助平面P P；HPABCabcMNmnPHEefFkk（2）求辅助平面）求辅助平面P P同同已已知平面知平面ABCABC的的交线交线MNMN；（3）确定此交线）确定此交
16、线MNMN同同已知直线已知直线EFEF的交点。的交点。 为作图简化，过已为作图简化，过已知直线所作的辅助平面，知直线所作的辅助平面，通常选择通常选择特殊位置平面特殊位置平面。3 36 6 直线和平面相交、两平面相交直线和平面相交、两平面相交交点画法分析：交点画法分析：二、直线和二、直线和直线和一般位置平面相交直线和一般位置平面相交二、直线和一般位置平面相交二、直线和一般位置平面相交具体做法如下：具体做法如下：aaccbbeffePHmnmnkkHPABCabcMNmnPHEefFkk3 36 6 直线和平面相交、两平面相交直线和平面相交、两平面相交三、三、一般位置平面和特殊位置平面相交一般位置
17、平面和特殊位置平面相交如图，一般位置平面和如图，一般位置平面和特殊位置平面相交，所特殊位置平面相交，所得交线投影的画法，可得交线投影的画法，可归结为求作一般位置平归结为求作一般位置平面内的面内的两条直线两条直线ABAB、CDCD和特殊位置平面的和特殊位置平面的两个两个交点交点M M、N N的投影。可见，的投影。可见，这个问题的解法是前一这个问题的解法是前一个问题的应用。个问题的应用。HPABCabcMNmnPH3 36 6 直线和平面相交、两平面相交直线和平面相交、两平面相交三、一般位置平面和特殊位置平面相交三、一般位置平面和特殊位置平面相交求求ABCABC和铅垂面和铅垂面P P的交线。的交线
18、。aaccbbPHmnmn分别求出直线分别求出直线ABAB和和CDCD与与铅垂面铅垂面P P的的交点交点M M和和N N，再连接再连接MNMN即所求。即所求。3 36 6 直线和平面相交、两平面相交直线和平面相交、两平面相交具体做法如下：具体做法如下：四、两个一般位置平面相交四、两个一般位置平面相交 求作两个一般位求作两个一般位置平面的交线时，必置平面的交线时，必须加上须加上两个辅助平面两个辅助平面T1、T2，求出所给，求出所给平面的平面的两个公共点两个公共点、，再用直线，再用直线联接这联接这两个公共点两个公共点，即为所，即为所求的交线。辅助平面求的交线。辅助平面的选择，显然也是以的选择，显然
19、也是以特殊位置平面为好。特殊位置平面为好。3 36 6 直线和平面相交、两平面相交直线和平面相交、两平面相交T1Vabcdabcd1T2Vefklefkl2123 36 6 直线和平面相交、两平面相交直线和平面相交、两平面相交 例题例题 ：求作两个一般位置平面的交线求作两个一般位置平面的交线。五、直线与平面相交的可见性判断五、直线与平面相交的可见性判断 在直线和平面的交点确定了以后，还会产生判别在直线和平面的交点确定了以后，还会产生判别直直线可见性线可见性的问题。的问题。交点交点是可见部分与不可见部分的是可见部分与不可见部分的分界分界点点，不可见部分画成，不可见部分画成虚线虚线。 (1)读出直
20、线和平面在空间的趋势读出直线和平面在空间的趋势(上行或下行上行或下行)，从而确定直线的可见性；从而确定直线的可见性； (2)利用直线和平面上的重影点的可见性，从而确利用直线和平面上的重影点的可见性，从而确定直线的可见性。定直线的可见性。3 36 6 直线和平面相交、两平面相交直线和平面相交、两平面相交判别可见性的途径有下面两条：判别可见性的途径有下面两条：kccddQVk直线与正垂面相交直线与正垂面相交3 36 6 直线和平面相交、两平面相交直线和平面相交、两平面相交kaabbkPH直线与铅垂面相交直线与铅垂面相交 例题例题11：一般位置直线与特殊平面相交后的可见性判断一般位置直线与特殊平面相
21、交后的可见性判断。1 2aaccbbeffekk121 (2)3 4343 (4)利用重影点判断可见性利用重影点判断可见性3 36 6 直线和平面相交、两平面相交直线和平面相交、两平面相交 例题例题22：一般位置直线与一般位置平面相交后可见性判断一般位置直线与一般位置平面相交后可见性判断。立体图立体图投影图投影图LANMKHBlmncCcckba (b)lmnmnalk3 36 6 直线和平面相交、两平面相交直线和平面相交、两平面相交 例题例题33：投影面垂直线与一般位置平面相交后可见性判断投影面垂直线与一般位置平面相交后可见性判断。利用铅垂线利用铅垂线水平投影的积聚性水平投影的积聚性作可见性
22、判断作可见性判断作法：作法：(1)用用m和和n分别标出分别标出ac和和bc与与Pv的交点；的交点；aabbccPVmnmn(2)用用m向下作铅垂联系线，在向下作铅垂联系线，在ac上得上得m点；点；(3)由由m作直线平行于作直线平行于ab，在，在bc上得上得n点。点。判别判别ABC的可见性：因空间线的可见性：因空间线段段MC和和NC都在都在P面以下面以下，所以它，所以它们的水平投影均不可见，应画成虚们的水平投影均不可见，应画成虚线。线。交线交线是可见部分和不可是可见部分和不可见部分的见部分的分界线分界线。3 36 6 直线和平面相交、两平面相交直线和平面相交、两平面相交 例题例题44：已知已知A
23、BC的一边的一边AB平行于正垂面平行于正垂面P，BC为侧平行线为侧平行线。求作。求作ABCABC和正垂面和正垂面P P的交线，并判别三角形的交线，并判别三角形ABCABC的可见性。的可见性。思路：过其中一个三角形的两条思路：过其中一个三角形的两条边分别作边分别作两个辅助平面两个辅助平面，去求所，去求所给平面的给平面的两个公共点两个公共点，以定，以定交线交线。aabbccddeeffPVmmQVnn1 2121(2)34343(4)(1)过过AC作正垂面作正垂面Pv，求出，求出AC和和DEF的交点的交点M；(2)过过BC作正垂面作正垂面Qv，求出，求出DC和和DEF的交点的交点N；(3)连接连接
24、M和和N，MN即为所求交即为所求交线。线。(4)利用重影点的方法判别可见利用重影点的方法判别可见性。性。3 36 6 直线和平面相交、两平面相交直线和平面相交、两平面相交 例题例题55：求作求作ABC和和DEF的交线，并判别它们的可见性。的交线，并判别它们的可见性。学学习习内内容容及及学学习习重重点点q 学习内容：学习内容： 直线和平面垂直直线和平面垂直 两平面垂直两平面垂直q学习重点：学习重点： 掌握直线和平面垂直的作图法掌握直线和平面垂直的作图法 掌握求点到平面距离的作图法掌握求点到平面距离的作图法 掌握两平面垂直的作图法掌握两平面垂直的作图法第七节 直线和平面垂直、两平面垂直一、直线和平
25、面垂直一、直线和平面垂直 由立体几何可知：一条直由立体几何可知：一条直线若和一个平面内的任意线若和一个平面内的任意两条两条相交直线相交直线垂直，则这条直线就垂直，则这条直线就和这个平面互相垂直。和这个平面互相垂直。 由左图推导可得出由左图推导可得出结论：平面垂线结论：平面垂线AB的的水平投影必垂直于这个水平投影必垂直于这个平面内平面内水平线的水平投水平线的水平投影影。 同理，平面垂线同理，平面垂线的正面投影必垂直于这的正面投影必垂直于这个平面内个平面内正平线的正面正平线的正面投影投影；平面垂线的侧面；平面垂线的侧面投影必垂直于这个平面投影必垂直于这个平面内侧平线的侧面投影内侧平线的侧面投影。3
26、 37 7 直线和平面垂直、两平面垂直直线和平面垂直、两平面垂直第二步：第二步：过已知点过已知点A的水平的水平投影投影a作作ae垂直于水平线垂直于水平线BM的水平投影的水平投影bm。aabbccddmmnnee第一步：第一步：过所给过所给BCD的的一个顶点一个顶点B作一条水平线作一条水平线BM和一条正平线和一条正平线BN。3 37 7 直线和平面垂直、两平面垂直直线和平面垂直、两平面垂直 问题问题11：经过已知点作直线垂直于已知平面经过已知点作直线垂直于已知平面。最后最后ae和和ae即即为所求垂线为所求垂线AE的投影。的投影。第三步：第三步：又过已知点又过已知点A的正的正面投影面投影a和和ae
27、垂直于正平垂直于正平线线BN的正面投影的正面投影bn。aaabbccddmmnnee刚才并没有求出刚才并没有求出AE在在BCD上的上的垂足，为求垂足垂足，为求垂足K，需要利用辅助平，需要利用辅助平面法求出面法求出AE和和BCD的交点。一的交点。一旦求出了垂足旦求出了垂足K，再用直角三角形法再用直角三角形法求出求出AK的实长，的实长，那么所求实长就是那么所求实长就是已知点已知点A到到BCD的真实距离的真实距离3 37 7 直线和平面垂直、两平面垂直直线和平面垂直、两平面垂直 问题问题11：经过已知点作直线垂直于已知平面经过已知点作直线垂直于已知平面。aaabbccddeekk距离第二步：第二步：
28、确定确定A点到点到直线直线EF的距离的距离第一步：第一步：过过A点作平面点作平面垂直于直线垂直于直线EFaaeeffbbccaaeeffbbcc1122kk距离3 37 7 直线和平面垂直、两平面垂直直线和平面垂直、两平面垂直 问题问题22：经过已知点作平面垂直于已知直线经过已知点作平面垂直于已知直线。第三步：第三步：用直线连接用直线连接A和和K，即得所求，即得所求.二、两平面垂直二、两平面垂直据此条件并运用据此条件并运用平面垂线平面垂线的投影特性的投影特性，即可解决两，即可解决两平面垂直的作图问题。平面垂直的作图问题。由立体几何可知，两平由立体几何可知，两平面垂直的条件是：如果面垂直的条件是
29、：如果一个平面经过一个平面经过另一个平另一个平面的一条垂线面的一条垂线，那么这，那么这两个平面就互相垂直。两个平面就互相垂直。aa11223434nnmm解题的第一步应过已知点解题的第一步应过已知点A作一条直线垂直于已知作一条直线垂直于已知平面；第二步应过这条垂平面；第二步应过这条垂线作平面。线作平面。过点过点A作平面垂直于已知平面作平面垂直于已知平面3 37 7 直线和平面垂直、两平面垂直直线和平面垂直、两平面垂直学学习习内内容容及及学学习习重重点点q 学习内容：学习内容： 综合性作图问题综合性作图问题 q学习重点：学习重点： 对本章所述知识点的综合运用能力对本章所述知识点的综合运用能力 第
30、八节 综合性作图问题举例3 38 8 综合性作图问题举例综合性作图问题举例分析：所作直线要满足两分析：所作直线要满足两个条件：个条件：平行于已知平平行于已知平面面BCD；与已知直线与已知直线MN相交。相交。aabbccdd112233kkmnmn满足第一个条件有无数解，满足第一个条件有无数解，这些这些解的轨迹解的轨迹是一个通过是一个通过A点又平行于已知平面点又平行于已知平面BCD的的平面平面。可以先画出这个可以先画出这个轨迹平面轨迹平面，再求出已知直线再求出已知直线MN和和和和轨迹平面轨迹平面的交点的交点K，直线，直线AK就同时满足上述两个条就同时满足上述两个条件。件。3 38 8 综合性作图
31、问题举例综合性作图问题举例 例题例题11：过点过点A A作直线平行于平面作直线平行于平面BCDBCD且和且和MNMN相交。相交。分析：根据分析：根据矩形的顶角必为直角矩形的顶角必为直角这一特征，可以先把问题转化为：这一特征，可以先把问题转化为：补作直角补作直角ABC的正面投影。的正面投影。adcbbcmmnn1212ad因为直角因为直角ABC的一边的一边BC是已知的，是已知的，所以所以通过通过B点且垂直于点且垂直于BC的平面的平面可以作出。该平面也就是可以作出。该平面也就是通过通过B点且垂直于点且垂直于BC的直线的轨迹的直线的轨迹。当。当作出了这个轨迹平面以后，由于作出了这个轨迹平面以后，由于
32、它它必然通过必然通过AB，所以可求出，所以可求出AB的正面投影的正面投影ab。3 38 8 综合性作图问题举例综合性作图问题举例 例题例题22：已知矩形已知矩形ABCDABCD的水平投影及一边的水平投影及一边BCBC的正面投影，试完成的正面投影，试完成矩形的正面投影。矩形的正面投影。分析：问题的实质就是要在分析：问题的实质就是要在直线直线EF上求得一点上求得一点C，使，使C点与点与A、B两点等距离两点等距离。aabbeeffddmmnnRVllcc平行（1）与）与A、B两点等距离的点形成两点等距离的点形成了一个了一个轨迹轨迹，这个轨迹是，这个轨迹是直线直线AB的中垂面的中垂面。这个。这个中垂面（中垂面（MDN）与与EF直线的交点直线的交点就是就是C点。点。（2）R为为包含包含EF的水平的水平辅助面。辅助面。辅助面辅助面R与中垂面与中垂面MDN的交线为：的交线为：过过L点且为点且为水平线水平线DM的平行线的平行线；该平行线与该平行线与EF的交点的交点C即为所求。即为所求。3 38 8 综合性作图问题举例综合性作图问题举例 例题例题33：以直线以直线ABAB为底边作一等腰三角形为底边作一等腰三角形ABCABC，使其顶点，使其顶点C C 落在直落在直线线EFEF上。上。本章结束
