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1、定义定义(dngy):自变量取正整数的函数称为(chn wi)数列,记作或称为(chn wi)通项(一般项) .若数列及常数 a 有下列关系 :当 n N 时,总有记作此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .几何解释 :即或则称该数列的极限为 a ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共24页第一页，共25页。例例1.已知已知证明(zhngmng)数列的极限(jxin)为1. 证: 欲使即只要(zhyo)因此 , 取则当时, 就有故机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共24页第二页，共25页。例例2.已知已知证明(zhngmng)证:欲使只要(zhyo)即取则当时, 就有故故也
2、可取(kq)也可由N 与 有关, 但不唯一.不一定取最小的 N .说明: 取机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共24页第三页，共25页。例例3.设设证明(zhngmng)等比数列证:欲使只要(zhyo)即亦即因此(ync) , 取, 则当 n N 时,就有故的极限为 0 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共24页第四页，共25页。二、收敛二、收敛(shulin)数列的数列的性质性质证: 用反证法.及且取因故存在(cnzi) N1 , 从而(cng r)同理, 因故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有1. 收敛数列的极限唯一.使当 n N1 时, 假设从而矛盾.因此收
3、敛数列的极限必唯一.则当 n N 时, 故假设不真 !满足的不等式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共24页第五页，共25页。2.收敛收敛(shulin)数数列一定有界列一定有界.证: 设取则当时, 从而(cng r)有取 则有由此证明收敛(shulin)数列必有界.说明: 此性质反过来不一定成立 .例如,虽有界但不收敛 .有数列机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共24页第六页，共25页。3.收敛收敛(shulin)数数列的保号性列的保号性.若且时, 有证:对 a 0 ,取推论(tuln):若数列(shli)从某项起(用反证法证明)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页
4、/共24页第七页，共25页。*4.收敛收敛(shulin)数列的任一子数列收数列的任一子数列收敛敛(shulin)于同一极限于同一极限.证: 设数列(shli)是数列(shli)的任一子数列 .若则当 时, 有现取正整数 K , 使于是当时, 有从而有由此证明 *机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共24页第八页，共25页。三、极限存在三、极限存在(cnzi)准则准则由此性质(xngzh)可知 ,若数列(shli)有两个子数列(shli)收敛于不同的极限 ,例如， 发散 !夹逼准则; 单调有界准则; 柯西审敛准则 .则原数列一定发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 第9页
5、/共24页第九页，共25页。1.夹逼准则夹逼准则(zhnz)(准则准则(zhnz)1)(P49)证: 由条件(tiojin) (2) ,当时,当时,令则当时, 有由条件(tiojin) (1)即故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共24页第十页，共25页。例例5.证明证明(zhngmng)证: 利用(lyng)夹逼准则 .且由机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共24页第十一页，共25页。2.单调单调(dndio)有界数列必有极限有界数列必有极限(准则准则2)(P52)( 证明(zhngmng)略 )机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第12页/共2
6、4页第十二页，共25页。故极限(jxin)存在，备用备用(biyng(biyng) )题题 1.1.设 , 且求解：设则由递推公式(gngsh)有数列单调递减有下界，故利用极限存在准则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共24页第十三页，共25页。例例6.设设证明(zhngmng)数列极限(jxin)存在 . (P52P54)证: 利用(lyng)二项式公式 , 有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共24页第十四页，共25页。大 大 正又比较(bjio)可知机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第15页/共24页第十五页，共25页。根据准则根据准则2可知可知(k
7、zh)数列数列记此极限(jxin)为 e , e 为无理数 , 其值为即有极限(jxin) .原题 目录 上页 下页 返回 结束 又第16页/共24页第十六页，共25页。*3.柯西极限存在柯西极限存在(cnzi)准则准则(柯西审敛原理柯西审敛原理)(P55)数列(shli)极限(jxin)存在的充要条件是:存在正整数 N ,使当时,证: “必要性”.设则时, 有 使当因此“充分性” 证明从略 .有柯西 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共24页第十七页，共25页。内容内容(nirng)小结小结1. 数列极限的 “ N ” 定义(dngy)及应用2. 收敛(shulin)数列的性质:唯一性
8、 ; 有界性 ; 保号性;任一子数列收敛于同一极限3. 极限存在准则:夹逼准则 ; 单调有界准则 ; 柯西准则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共24页第十八页，共25页。思考思考(sko)与与练习练习1. 如何判断极限(jxin)不存在?方法1. 找一个(y )趋于的子数列;方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.2. 已知, 求时,下述作法是否正确? 说明理由.设由递推式两边取极限得不对!此处机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共24页第十九页，共25页。作业作业(zuy)P30 3 (2) , (3) , 4 , 6P56 4 (1) , (3)4 (3) 提示(t
9、sh):可用数学(shxu)归纳法证 第三节 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共24页第二十页，共25页。机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 2.设设证:显然(xinrn)证明下述数列(shli)有极限 .即单调增,又存在“拆项相消” 法第21页/共24页第二十一页，共25页。感谢您的欣赏(xnshng)！第24页/共24页第二十四页，共25页。内容(nirng)总结定义:。第1页/共24页。第2页/共24页。不一定取最小的 N .。第3页/共24页。1. 收敛数列的极限唯一(wi y).。2. 收敛数列一定有界.。3. 收敛数列的保号性.。若数列有两个子数列收敛于不同的极。证: 利用夹逼准则 .。证: “必要性”.。方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.。4 (3) 提示:。刘徽(约225 295年)。它包含了“用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”的重要。西全集共有 27 卷.。感谢您的欣赏第二十五页，共25页。
