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1、三角函数的恒等变形与求值一、要点扫描要点扫描1、了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程。2、能利用已知条件,正确合理地运用三角恒等变形公式进行三角函数式的化简、求值及恒等式证明。二、课前热身课前热身1若 ， 则 的值为 。小结：小结：从角的特点考虑从角的特点考虑 :异角化同角异角化同角, 抓住角之间的规律抓住角之间的规律(如互余、互补、和倍关系等等如互余、互补、和倍关系等等);从变换的需要考虑从变换的需要考虑 :达到分解、化简或将条件与结论挂达到分解、化简或将条件与结论挂钩等目的钩等目的; 尽量避开讨论尽量避开讨论求2函数 的最小正周期为 最大值为 。小结：小结：变角变角 对命题中的某
2、些角进行分拆，从而使命题中的角尽量统一对命题中的某些角进行分拆，从而使命题中的角尽量统一; 3已知 和 是方程 的两个根，则a、b、c的关系是 。小结：小结：运用代数变换中的常用方法运用代数变换中的常用方法 因式分解、配方、凑项、添项、换元等等因式分解、配方、凑项、添项、换元等等.对公式会“正用”，“逆用”，“变用”。 变角变角 对命题中的某些角进行分拆，从而使命题中的角尽量统一对命题中的某些角进行分拆，从而使命题中的角尽量统一; 1.从函数的名称考虑从函数的名称考虑 切割化弦切割化弦( (有时也可考虑有时也可考虑“弦化切弦化切” ) ), 异名化同名异名化同名( (使函使函数的名称尽量统一数
3、的名称尽量统一) ); 三角函数式化简目标三角函数式化简目标1.项数尽可能少项数尽可能少;2.三角函数名称尽可能少三角函数名称尽可能少;3.角尽可能小和少角尽可能小和少;4.次数尽可能低次数尽可能低;5.分母尽可能不含三角式分母尽可能不含三角式;6.尽可能不带根号尽可能不带根号;7.能求出值的求出值能求出值的求出值.小结：小结： 三、例题探究三、例题探究例1已知函数求：（I）函数的最小正周期； （II）函数的单调增区间 运用倍、半角公式进行升幂或降次变换运用倍、半角公式进行升幂或降次变换, 从而改变三角函从而改变三角函数式的结构数式的结构;对公式会“正用”，“逆用”，“变用”。 一、两角和与差
4、的三角函数一、两角和与差的三角函数二、二倍角公式二、二倍角公式( (升幂公式升幂公式) )( (降次公式降次公式) )sin( )=sin cos cos sin cos( )=cos cos sin sin - - + tan( )= tan tan 1 tan tan - - + asin +bcos = a2+b2 sin( + ) cos2 =cos2 - -sin2 =2cos2 - -1=1- -2sin2 sin2 =2sin cos tan2 = 2tan 1- -tan2 sin2 =1- -cos2 2 cos2 =1+cos2 2 如图，在平面直角坐标系 中，以 轴为始边
5、做两个锐角 ，它们的终边分别与单位圆相交于 两点，已知 的横坐标分别为 （1）求 的值（2）求 的值。OAB x y任意角的三角函数任意角的三角函数定义定义.P(x, y)yxor sin = ; cos = ; tan = ;yrxryxcot = ; sec = ; csc = ;xyrxry方法点拨方法点拨1两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型：求值题，化简题，证明题。（1）对公式会“正用”，“逆用”，“变用”。（2）掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如:,等等，把握式子的变形方向，准确运用公式；（3）将公式和其它知识衔接起来使用。例3已知其中 ,
6、设函数 （）求函数 的的值域； （）若 =8, 求函数 的值.某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A,B及CD的中点P处，已知AB=20km， BC=10km,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且与A,B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP，设排污管道的总长为y km.（1）按下列要求写出函数关系式：设 ，将y表示成的函数关系式; （2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。BCDAOP四、方法点拨四、方法点拨1两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型：求值题，化简题，证明题。（1）对公式会“正用”，“逆用”，“变用”。（2）掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如:,等等，把握式子的变形方向，准确运用公式；（3）将公式和其它知识衔接起来使用。2三角变换主要体现在：函数名称的变换、角的变换、1的变换、和积的变换、幂的变换等方面；
