数学物理教学PPT波动方程

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1、数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程第二章第二章 波动方程波动方程 1 方程的导出及其定解条件方程的导出及其定解条件 2 一维波动方程的初值问题一维波动方程的初值问题 3 半无界弦的自由振动问题半无界弦的自由振动问题 4 高维波动方程的初值问题高维波动方程的初值问题 5 混合问题的分离变量法混合问题的分离变量法数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程一、弦的一、弦的自由自由振动方程的建立振动方程的建立问题：均匀柔软且拉紧的细弦，在平衡位置附近作微小横振动，求不同时刻弦线的形状。1、方程的导出及其定解条件、方程的导出及其定解条件分析与假设：1)柔软的细弦：弦上的任

2、意一点仅有的张力且沿弦的切线方向。2)拉紧：指弦线在弹性范围内，服从虎克定律。3)横振动：指振动只有沿u轴方向的位移，可用u(x,t)表示。4)微小：指弦上各点位移与弦长相比很小，夹角很小，即数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程用微元法及牛顿运动定律推导：横向：纵向：其中：得：数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程其中：由：得：弦线无伸长，T不随时间变化，即数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程一维弦振动方程或 一维波动方程令：-非齐次方程非齐次方程自由项-齐次方程齐次方程忽略重力和外力作用：数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方

3、程 若在平面上放一个框架，其上一块均匀的紧张的薄膜，离开静止水平位置作垂直于水平位置的微小振动，则用类似的方法可导出其运动规律满足称为二维波动方程或膜振动方程其中：u(x,y,t)表示在 t 时刻、膜在 (x,y) 点处的位移f (x,y,t)表示单位质量所受的外力a2=T/ ： T表示张力、 为线密度对三维波动方程或声波方程可写出为数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程1、初始条件及柯西问题、初始条件及柯西问题边界条件是弦在两个端点的状态或受到的约束情况，一般有三种2、边界条件及边值问题、边界条件及边值问题其中函数 分别表示弦振动的初始位置和初始速度二、定解条件二、定解条件主

4、要有初始条件和边界条件数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程第一类边界条件：已知端点处弦的位移（运动规律）第二类边界条件：已知端点处弦所受的垂直于弦线的外力，第三类边界条件：已知具有弹性支承的端点处弦的位移和所受的垂直于弦线的外力数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程式中 分别代表两端支撑的弹性系数， 表示两端受到的外力,当外力为零时，表明弦固结在弹性支承上，有：3、混合、混合问题问题数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程2、一维波动方程的初值问题一维波动方程的初值问题 其特征方程为：得特征曲线：作变换：代入原方程可化为：从而：一、达朗贝尔公式

5、无界弦的自由振动问题：数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程一维波动方程的达朗贝尔公式 代回原变量：利用初始条件：积分得：数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程解：将初始条件代入达朗贝尔公式例1：解定解问题数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程例2、 求解Cauchy问题解：原方程的特征方程为令：故两特征线是：原方程化为：其通解为：带回原变量得：数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程利用初值条件得：积分得：联立求解得：即：带回u得：数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程结论：达朗贝尔解表示结论：达朗贝尔解表示沿沿x

6、 轴正、反向传播的轴正、反向传播的两列波速为两列波速为 a 波的叠波的叠加加，故称为行波法。故称为行波法。 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波，称为正行波 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波，称为反行波二、 解的物理意义数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程影响区域决定区域依赖区间特征线特征变换行波法又叫特征线法几个相关概念数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程一点的影响区域数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程三、非齐次问题的处理利用叠加原理将问题进行分解：数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程齐次化原理：若 是满足下述定解问题

7、的解：则：对u2可利用齐次化原理求解是下述定解问题的解数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程从而原问题的解为令：为求解定解问题化为：数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程3、半无界弦的自由振动问题半无界弦的自由振动问题 一、一端固定定解问题为将边界条件代入达朗贝尔公式，得由初速度和初始位移的独立性，得故两函数应为奇函数，可作奇延拓如下数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程于是原定解问题变为一维波动方程的初值问题由达朗贝尔公式得所以得解：数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程二、一端自由定解问题为类似的，将边界条件代入达朗贝尔公式，

8、得由初速度和初始位移的独立性，得故两函数应为偶函数，可作偶延拓如下数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程于是原定解问题变为一维波动方程的初值问题由达朗贝尔公式得所以得解：数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程4 高维波动方程的初值问题一、三维波动方程的球平均法考虑柯西问题改写一维达朗贝尔公式 上两式恰是两函数在以x为中心，以at为半径的区域 上的算术平均值。数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程在以p为中心，以at为半径的球面上作初始函数 和 的平均值，分别为：于是问题的形式解就应该是：其中S代表以P为中心，以r=at为半径的球面，上式称为三维波

9、动方程柯西问题的泊松公式，此法也称为球面平均法 p r数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程为计算方便，可将公式化为球坐标下的累次积分，球面的方程为设M为球面上的点，则有 p r数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程解：将初始条件代入泊松公式得例：求解三维波动方程数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程二、二维波动方程的求解-降维法二维波动方程的初始问题其解u(x,y,t)可看成是三维柯西问题解u(x,y,z,t)与z无关的量数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程由三维公式得 由于初始函数是与z无关的柱函数，故在球面上的积分可化为球

10、面在z=0平面上投影区域上的积分由球面上的面积元素和其投影元素的关系及两面积元素法线方向的夹角余玄得： p r数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程将上下球面上的曲面积分都化为同一圆域上的二重积分，得二维齐次波动方程柯西问题的Poisson公式 使用时，可将其化为极坐标数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程依赖区域与影响区域依赖区域影响区域三、Poisson公式的物理意义1、三维数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程Huygens原理无后效原理对于空间任一点P只有当 t=d/a 时，点P才受到影响当 td/a 时，扰动在P点的影响已消失点扰动数学

11、物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程D0Pdmindmax当 t dmin/a 时，扰动尚未到达P点当 dmin/a t dmax/a 时，扰动在P点的影响消失当初始扰动限制在一个有界区域D0时，三维波有清晰的前阵面和后阵面，这个现象称为Huygens原理无后效原理扰动后恢复原状未扰动区域D0数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程依赖区域、决定区域、影响区域、特征锥依赖区域影响区域2、二维情况数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程波的弥散现象:对于空间任一点P当 t dmin/a 时，扰动影响P点并永不消失D0Pdmin未扰动区域D0当初始扰动限制

12、在一个有界区域D0时，二维波有清晰的前阵面，而无后阵面，此时Huygens原理不成立，这种现象称为波的弥散现象数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程5 混合问题的分离变量法混合问题的分离变量法对两端固定的弦自由振动问题 对上述有界区域上求解偏微分方程定解问题的基本方法是分离变量法, 理论基础是富里叶级数展开和叠加原理.数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程一 预备知识1、富里叶展开 在适当条件下,一个函数可以按泰勒展开成为幂级数,也可以按富里叶展开成为三角级数. 设f(x)是以2l为周期的函数，在-L，L上满足狄利克莱条件，则可在-L，L上展开成富里叶三角级数.

13、数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程 特别，当f(x)是偶函数时， 当f(x)是奇函数时，数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程2、二阶常系数常微分方程的通解 由根的取值可得相应的解为 ：数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程令带入方程：令带入边界条件考虑两端固定的弦自由振动问题二、定解问题的求解数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程特征（固有）值问题：分情况讨论：1）2）3） 令 ， 为非零实数 数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程 由初始条件 ： 相当于

14、函数按奇函数展开，可得系数为：数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程分离变量求特征值和特征函数求另一个函数求通解确定常数解法小结数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程三、 解的物理意义 x=x0时：其中：驻波法 t=t0时：在考察的弦上，各点以同样的角频率作简谐振动，各点的初相相同、振幅则随点的位置改变，在任一时刻弦的外形是一正弦曲线，并在下述点保持不动数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程四、非齐次方程及非齐次边界条件的情形1、非齐次方程齐次边界条件的定解问题利用齐次化原理可得解：其中 是下述混合问题的解数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程令：为求解定解问题化为：数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程从而原问题的解为2、非齐次边界条件的定解问题数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程作变换可将边界条件齐次化，如令则V满足齐次边界条件及非齐次方程和非齐次初始条件再作变换因此可用叠加原理求出V，再解得u=V+U数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程波动方程作业：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，若a=100，试写出定解问题并求弦作微小横向振动时的位移。