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1、一、矩阵的秩一、矩阵的秩一、矩阵的秩一、矩阵的秩1 1、子阵与、子阵与 阶子式阶子式将矩阵将矩阵的某些行和列划去（可以只的某些行和列划去（可以只划去某些行和列），剩下的元素按原来的顺序构成的划去某些行和列），剩下的元素按原来的顺序构成的新矩阵叫做新矩阵叫做矩阵矩阵 的子矩阵的子矩阵. .中，任取中，任取 行行 列列在在矩阵矩阵位于这些行与列交叉处的位于这些行与列交叉处的个元素，依照它们在个元素，依照它们在中的位置次序不变而得的中的位置次序不变而得的阶行列式，称为矩阵阶行列式，称为矩阵 的一个的一个定义定义定义定义阶子式阶子式. .矩阵共有矩阵共有 个个 阶子式阶子式. .最低阶为最低阶为 阶，
2、阶， 最高阶为最高阶为 阶阶. .如：矩阵如：矩阵取第取第1 1行、第行、第3 3行和第行和第1 1列、第列、第4 4列交叉处的元素，列交叉处的元素，二阶子式是二阶子式是组成的组成的的最高阶子式是的最高阶子式是3 3阶，共有阶，共有4 4个个3 3阶子式阶子式. .易见易见而在这个矩阵中而在这个矩阵中, ,都是矩阵都是矩阵 的子矩阵的子矩阵. .2 2 2 2、矩阵的秩、矩阵的秩、矩阵的秩、矩阵的秩定义定义定义定义（1 1）（2 2）则则 称为矩阵称为矩阵 的的最高阶非零子式最高阶非零子式. .记为记为 或或 . .（1 1）性质：性质：性质：性质：（2 2）（3 3）（4 4）阶方阵阶方阵
3、，（5 5）最高阶非零子式最高阶非零子式的阶数称为的阶数称为矩阵的矩阵的秩秩，定义定义定义定义阶方阵阶方阵 ，为为满秩阵满秩阵. .，则称，则称 定义定义定义定义，则称，则称 为为行满秩阵行满秩阵；，则称，则称 为为列满秩阵列满秩阵；例例解解计算计算A A的的3 3阶子式，阶子式， 用定义求矩阵的秩并非易事，后面我们将用用定义求矩阵的秩并非易事，后面我们将用初等初等变换法变换法去求矩阵的秩去求矩阵的秩. .先看一个例子，如：矩阵先看一个例子，如：矩阵易知该易知该行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵的秩为的秩为2 2注：注：行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵的秩等于行阶梯形矩阵非零行的行数的秩等于行阶梯形矩阵非零行的
4、行数任一矩阵均可通过初等变换化为阶梯形矩阵任一矩阵均可通过初等变换化为阶梯形矩阵问题：问题：初等变换是否改变矩阵的秩？初等变换是否改变矩阵的秩？定理定理 初等变换不改变矩阵的秩初等变换不改变矩阵的秩定理定理 设设A是一是一mn矩阵，矩阵，P、Q分分别为m阶、n阶可逆可逆矩矩阵，则 r(PA)=r(A); r(AQ)=r(A); r(PAQ)=r(A)结论结论结论结论矩阵的秩矩阵的秩最高阶非零子式的最高阶非零子式的阶阶数数行阶梯形矩阵非零行的行数行阶梯形矩阵非零行的行数行标准形矩阵非零行的行数行标准形矩阵非零行的行数标准形矩阵中单位矩阵的标准形矩阵中单位矩阵的阶阶数数注：注：注：注：（2 2）化
5、）化 为行阶梯形矩阵或行标准形矩阵，仅能为行阶梯形矩阵或行标准形矩阵，仅能用初等行变换，而化用初等行变换，而化 为标准形矩阵时，初等行变为标准形矩阵时，初等行变换和初等列变换均可使用换和初等列变换均可使用. .（3 3）任一矩阵的行标准形矩阵与标准形矩阵唯一）任一矩阵的行标准形矩阵与标准形矩阵唯一. .（4 4）标准形矩阵是等价类中最简单的矩阵）标准形矩阵是等价类中最简单的矩阵. .（1 1）同型同秩矩阵等价）同型同秩矩阵等价. .例例2设设其中其中求求解解分析：直接将化为阶梯形矩阵即可，故分析：直接将化为阶梯形矩阵即可，故二、矩阵秩的不等式二、矩阵秩的不等式二、矩阵秩的不等式二、矩阵秩的不等
6、式单个矩阵的秩既不超过其行数，也不超过其列数单个矩阵的秩既不超过其行数，也不超过其列数对于矩阵的和与乘积的秩有如下结果：对于矩阵的和与乘积的秩有如下结果：定理：定理：两个矩阵乘积的秩不超过每个因子的秩两个矩阵乘积的秩不超过每个因子的秩r(AB) minr(A), r(B)定理定理( (Sylvester公式公式) )：设设A、B分分别为m n与与n k的的矩阵，则矩阵，则 r(AB) r(A)+ r(B)-n特别地，若特别地，若AB= =O，则，则 r(A)+ r(B)n定理：定理：设设A、B均均为m n的的矩阵，则矩阵，则 r(A+B) r(A)+ r(B)例例例例3 3 3 3 设设A为n
7、阶幂等矩等矩阵，即，即A2=A则 r(A)+ r(I-A)=n证明：证明： 由由A2=A，知知A(I-A)=O故故 r(A)+ r(I-A)=n由由Sylvester公式公式 r(AB) r(A)+ r(B)-n，可知可知r(A)+ r(I-A)n -由由r(A+B) r(A)+ r(B)，得得r(A)+ r(I-A) r(A+I-A)=n -三、思考：三、思考：提示：提示：A A*=| A |I1、若、若r(A)= n，则| A | 0， | A* | 0设A为n阶方方阵，则故故r(A*)= n2、若、若r(A)= n-1，则A A* = 0,又因又因r(A)+r(A*) n (A A* =
8、 0) 且且r(A) = n-1故故r(A*) 1 且且A中至少有一个中至少有一个n-1阶子式非零子式非零,即即r(A*) 1 所以，所以，r(A*) =13、若若r(A) n-1，则A中所有中所有n-1阶子式子式为零零 故故r(A*) =0 思考二：思考二： 设设A为n阶方方阵，证明明：| A *|= | A |n-1其中，其中，A *为A 的伴随矩的伴随矩阵证明一：证明一： 因为因为A A *=| A |I, 故故| A A *|=| A |n若若| A | 0，| A* |=| A |n-1若若| A | =0， 则A A *=| A |I=0且且A *必不可逆，即必不可逆，即| A *|= | A |n-1=0。若若A *可逆，可逆， A A *=| A |I=0两端左乘两端左乘A *的逆的逆得得 A =0，进一步一步A *=0与与A *可逆矛盾可逆矛盾证明二证明二（利用秩关系式）（利用秩关系式）若若| A | 0，| A* |=| A |n-1若若| A | =0， 则r(A)n，r(A*) | A *|= | A |n-1=0
