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1、 碰碰 撞撞碰撞的应用碰撞的应用两球的碰撞两球的碰撞 恢复系数恢复系数碰撞过程的基本定理碰撞过程的基本定理碰撞的力学特征和模型碰撞的力学特征和模型 碰碰 撞撞 碰撞碰撞碰撞过程的特点及分类碰撞过程的特点及分类一、碰撞过程的特点一、碰撞过程的特点1）碰撞接触的时间很短，但相互作用力很大；）碰撞接触的时间很短，但相互作用力很大；2）由于碰撞接触时间很短，故由于碰撞接触时间很短，故碰撞过程结束后还没有产生碰撞过程结束后还没有产生位移，但会产生有限的速度位移，但会产生有限的速度变化；变化；应用积分形式的动力学方程；应用积分形式的动力学方程；常规作用往往可以忽略不计；常规作用往往可以忽略不计；二、碰撞的
2、分类二、碰撞的分类第十五章第十五章 碰撞碰撞碰撞过程的特点及分类碰撞过程的特点及分类1）对心碰撞与非对心碰撞；）对心碰撞与非对心碰撞；2）正碰撞与斜碰撞；）正碰撞与斜碰撞；3）光滑碰撞与非光滑碰撞；）光滑碰撞与非光滑碰撞；碰撞力碰撞力是否在两物体是否在两物体质心的连线上质心的连线上两物体两物体质心的速度质心的速度是否是否在接触面的公法线上在接触面的公法线上接触点公切线方向是否有摩擦约束接触点公切线方向是否有摩擦约束1). 准刚体模型准刚体模型: 物体仍看成刚物体仍看成刚体，但在碰撞处的极小范围体，但在碰撞处的极小范围内可以变形。内可以变形。碰撞过程的基本假设碰撞过程的基本假设2). 碰撞过程分
3、为两个阶段：碰撞过程分为两个阶段： 变形阶段变形阶段与与恢复阶段恢复阶段。3). 碰撞力很大，作用时间很短，碰撞力很大，作用时间很短，是瞬时力。在碰撞过程中，是瞬时力。在碰撞过程中，重重力等常规力可以忽略不计力等常规力可以忽略不计。4). 碰撞过程非常短促，因此物体的位移可以忽略不计；碰撞过程非常短促，因此物体的位移可以忽略不计；即即碰撞前后物体的位置不变碰撞前后物体的位置不变。研究碰撞就不得不考虑到接触点附近一小部研究碰撞就不得不考虑到接触点附近一小部分的局部变形。称为有局部变形的刚体模型。在分的局部变形。称为有局部变形的刚体模型。在理论力学中有两个地方必须谈到变形，请问另一理论力学中有两个
4、地方必须谈到变形，请问另一个是什么问题？个是什么问题？碰撞过程的基本定理碰撞过程的基本定理1) 质点系动量定理的积分形式：质点系动量定理的积分形式： 微分形式：微分形式：积分积分:2) 质点系动量矩定理的积分形式：质点系动量矩定理的积分形式： 微分形式：微分形式：积分积分:若刚体作平面运动：若刚体作平面运动：若刚体定轴转动：若刚体定轴转动：（1）碰撞过程中一般不便于应用动能定理；但在某）碰撞过程中一般不便于应用动能定理；但在某些特殊情况下，也能导出动能损失的公式。些特殊情况下，也能导出动能损失的公式。（2）碰撞过程除受动力学规律支配外，还与材料的）碰撞过程除受动力学规律支配外，还与材料的变形恢
5、复性能密切相关。变形恢复性能密切相关。两球的碰撞两球的碰撞 恢复系数恢复系数两球的速度在两球连心线的碰撞两球的速度在两球连心线的碰撞。一一 两球的正碰撞两球的正碰撞恢复系数恢复系数：恢复阶段与变形阶段的冲量之比恢复阶段与变形阶段的冲量之比e=0 时材料变形完全不能恢复，称为时材料变形完全不能恢复，称为塑性碰撞塑性碰撞。e=1 时材料变形完全恢复，称为时材料变形完全恢复，称为完全的弹性碰撞完全的弹性碰撞。e e如何如何获得？获得？恢复系数实验测定恢复系数实验测定恢复系数：恢复系数：碰撞后相对分离的速度与碰撞前相对接近的速度比。碰撞后相对分离的速度与碰撞前相对接近的速度比。塑性碰撞塑性碰撞: e=
6、0完全的弹性碰撞完全的弹性碰撞: e=1二二 碰撞中的能量损失碰撞中的能量损失完全塑性碰撞完全塑性碰撞:若第二个物体初始速度为零若第二个物体初始速度为零，即有即有 v2=0 :碰撞前动能：碰撞前动能：碰撞后动能：碰撞后动能：完全弹性碰撞完全弹性碰撞:小锤大砧小锤大砧大锤小桩大锤小桩实例解释：实例解释： 表演者躺在地板上，身上压一块重石板。另一表演者用重锤表演者躺在地板上，身上压一块重石板。另一表演者用重锤猛击石板，石板碎裂，但石下的表演者却毫无损伤。猛击石板，石板碎裂，但石下的表演者却毫无损伤。将石板变小或干脆去掉行吗？将石板变小或干脆去掉行吗？将石板变成木板？将石板变成木板？碰撞前后两球速度
7、矢不在两球接触碰撞前后两球速度矢不在两球接触面的公法线上。面的公法线上。一一 两球的斜碰撞两球的斜碰撞碰撞刚体碰撞刚体接触点接触点在在公法线方向公法线方向的的相相对分离速度对分离速度与与相对接近速度相对接近速度。二二 刚体的斜碰撞刚体的斜碰撞两球的斜碰撞两球的斜碰撞斜碰撞恢复系数：两球沿斜碰撞恢复系数：两球沿公法线方向公法线方向碰撞后碰撞后相对分离的速度相对分离的速度与碰撞前与碰撞前相对接近的速度比相对接近的速度比例例1质质量量为为m的的刚刚体体绕绕O作作定定轴轴转转动动，对对O轴轴的的转转动动惯惯量量为为Jo，角角速速度度为为 。在在某某瞬瞬时时受受已已知知冲冲量量I作作用用，求求碰碰撞撞后
8、后的的角角速速度度和和碰撞过程中轴承碰撞过程中轴承O的约束碰撞冲量的约束碰撞冲量Io。I0yI0xI0yI0x由质心运动定理：由质心运动定理：质质量量为为m的的刚刚体体绕绕O作作定定轴轴转转动动，对对O轴轴的的转转动动惯惯量量为为Jo，角角速速度度为为 。在在某某瞬瞬时时受受已已知知冲冲量量I作作用用，求求碰碰撞撞后后的的角角速速度度和和碰碰撞撞过程中轴承过程中轴承O的约束碰撞冲量的约束碰撞冲量Io。解：由定轴转动动力学方程：解：由定轴转动动力学方程：轴承的约束轴承的约束碰撞冲量为零？碰撞冲量为零？vCI0yI0x当作用当作用冲量垂直于轴冲量垂直于轴O与质心与质心C连线连线时，时，如其如其作用
9、点的位置还满足作用点的位置还满足:撞击中心撞击中心(center of percussion)一长一长2a的均质杆，由水平位置绕转轴的均质杆，由水平位置绕转轴O下落并下落并撞在固定支座上弹回。为使轴承撞在固定支座上弹回。为使轴承O处不发生约束碰处不发生约束碰撞冲量，支座应装在杆的撞击中心的位置上：撞冲量，支座应装在杆的撞击中心的位置上：讨论：讨论：例题例题2 台球棍打击台球，使台球不借助摩擦而能作纯滚动。台球棍打击台球，使台球不借助摩擦而能作纯滚动。假设棍对球只施加水平力，试求满足上述运动的球棍位置假设棍对球只施加水平力，试求满足上述运动的球棍位置高度高度h。 hCId rv解：解：动量定理：
10、动量定理： 对质心动量矩定理：对质心动量矩定理： 运动学关系：纯滚动时运动学关系：纯滚动时 冲量分析（图）、运动分析冲量分析（图）、运动分析IN Is hCId例例3 质质量量为为m长长为为l的的均均质质细细杆杆与与光光滑滑地地面面成成 角角，并并以以速速度度v平平行行于于杆杆自自身身而而撞撞击击地地面面；设设碰碰撞撞是是完完全全弹弹性性的的，求求碰碰撞后杆的运动。撞后杆的运动。补充恢复系数方程：补充恢复系数方程：例例3 质质量量为为m长长为为l的的均均质质细细杆杆与与光光滑滑地地面面成成 角角，并并以以速速度度v平平行行于于杆杆自自身身而而撞撞击击地地面面；设设碰碰撞撞是是完完全全弹弹性性的
11、的，求碰撞后杆的运动。求碰撞后杆的运动。l/2解解：杆杆作作平平面面运运动动，由由积积分分形形式式的的刚体平面运动微分方程有：刚体平面运动微分方程有：例例4 边长为边长为l的正方形物块，以匀速的正方形物块，以匀速v运动，突然与一小凸台相撞，运动，突然与一小凸台相撞，如图示。设碰撞为塑性的，求（如图示。设碰撞为塑性的，求（1）物块翻转瞬时的角速度；）物块翻转瞬时的角速度；（2）凸台对物块的碰撞冲量；（）凸台对物块的碰撞冲量；（3）物体动能的损失。）物体动能的损失。解：解： （1）碰撞过程物块的冲量图）碰撞过程物块的冲量图对对O点用动量矩定理点用动量矩定理（2）由质心运动定理）由质心运动定理塑性碰
12、撞塑性碰撞: vo=0，物块的运动由平动突变为，物块的运动由平动突变为定轴转动定轴转动。yx（3）动能的损失）动能的损失解决碰撞问题的步骤为：解决碰撞问题的步骤为：1）分析碰撞前后物体的动量，画出动量图或速度分析图；）分析碰撞前后物体的动量，画出动量图或速度分析图；2）分析碰撞过程的碰撞冲量，画出冲量图；）分析碰撞过程的碰撞冲量，画出冲量图；3）应用有限形式的动量和动量矩定理，建立碰撞过程的动力学方程；）应用有限形式的动量和动量矩定理，建立碰撞过程的动力学方程；4）列写其他补充方程，如恢复系数关系式、运动学补充方程等；）列写其他补充方程，如恢复系数关系式、运动学补充方程等；5）求解以上方程并讨
13、论其结果。）求解以上方程并讨论其结果。P279 习题习题9-19 边长为边长为a的方形木箱在无摩擦的地板上滑动，并与一小障碍的方形木箱在无摩擦的地板上滑动，并与一小障碍A相碰撞。碰撞后绕相碰撞。碰撞后绕A翻转。试求木箱能完成上述运动的最小翻转。试求木箱能完成上述运动的最小初速初速vo；木箱碰撞后其质心的瞬时速度；木箱碰撞后其质心的瞬时速度vc与瞬时角速度与瞬时角速度。 若箱刚能完成翻转，则转到最高点时若箱刚能完成翻转，则转到最高点时 ，碰撞前后箱对碰撞前后箱对A点的动量矩守恒点的动量矩守恒 从碰后到最高点机械能守恒：从碰后到最高点机械能守恒： 势能零点：势能零点： 例例5 质量质量m=2kg的
14、均质圆盘无初速度地从高度的均质圆盘无初速度地从高度h=1m自由下落，自由下落，碰到一个固定尖角碰到一个固定尖角O上。若圆盘半径上。若圆盘半径r=20cm，距离距离a=8cm，碰碰撞时的恢复系数撞时的恢复系数e=0.8，假设接触时没有滑动，求碰撞后圆盘的假设接触时没有滑动，求碰撞后圆盘的角速度和质心的速度，以及碰撞前后动能的损失。角速度和质心的速度，以及碰撞前后动能的损失。解解：（1）碰撞前后圆盘的运动分析图及略去）碰撞前后圆盘的运动分析图及略去非碰撞力后的冲量图非碰撞力后的冲量图（2）由动能定理决）由动能定理决定碰撞前质心的速度定碰撞前质心的速度平面运动刚体碰撞动力学方程平面运动刚体碰撞动力学
15、方程运动学方程运动学方程恢复系数恢复系数OCInItvcvcnvcttn碰撞前的动能碰撞前的动能碰撞后的动能碰撞后的动能碰撞过程能量的损失碰撞过程能量的损失例例5 质量质量m=2kg的均质圆盘无初速度地从高度的均质圆盘无初速度地从高度h=1m自由下落，碰到一个自由下落，碰到一个固定尖角固定尖角O上。若圆盘半径上。若圆盘半径r=20cm，距离距离a=8cm，碰撞时的恢复系数碰撞时的恢复系数e=0.8，假设接触时没有滑动，求碰撞后圆盘的角速度和质心的速度，以及碰撞假设接触时没有滑动，求碰撞后圆盘的角速度和质心的速度，以及碰撞前后动能的损失。前后动能的损失。OCInItvcvcnvcttn例例6 两
16、两均均质质杆杆的的质质量量均均为为m，长长度度均均为为l，用用光光滑滑铰铰链链连连接接，求求在在冲冲量量I作作用用下下两两杆杆获获得得的的角角速速度度及及各各铰铰处处的的约约束束碰碰撞冲量。撞冲量。AB杆为平面运动：杆为平面运动：两两均均质质杆杆的的质质量量均均为为m，长长度度均均为为l，用用光光滑滑铰铰链链连连接接，求求在在冲冲量量I作作用用下下两两杆杆获获得得的的角角速速度度及各铰处的约束碰撞冲量。及各铰处的约束碰撞冲量。解：解：将两杆拆开并作受力图将两杆拆开并作受力图: OA杆为定轴转动：杆为定轴转动：补充运动学关系：补充运动学关系：由由OA杆的质心运动方程求轴杆的质心运动方程求轴O处处
17、的碰撞冲量：的碰撞冲量：两两均均质质杆杆的的质质量量均均为为m，长长度度均均为为l，用用光光滑滑铰铰链链连连接接，求求在在冲冲量量I作作用用下下两两杆杆获获得得的的角角速速度及各铰处的约束碰撞冲量。度及各铰处的约束碰撞冲量。由由AB杆的质心运动方程杆的质心运动方程求求A处的碰撞冲量：处的碰撞冲量：例例7 三根长均为三根长均为l的均质杆的均质杆AB，BC，CD铰接成正方形三边置于铰接成正方形三边置于水平面上，如图所示，水平面上，如图所示，D铰固定。今在铰固定。今在A点作用一沿点作用一沿DA方向的方向的冲量冲量I。试求碰撞后三杆的角速度。试求碰撞后三杆的角速度。解解 ： 作作AB，BC，CD三杆的
18、冲量图三杆的冲量图,运运动分析图动分析图分别列写三杆碰撞分别列写三杆碰撞过程的动力学方程过程的动力学方程AB杆：杆：E为质心为质心BC杆：杆： F为质心为质心CD杆：杆：运动学方程运动学方程以上以上11个方程联立求解可得到全部未知量个方程联立求解可得到全部未知量可可整整体体分分析析，避避免免内内约约束束冲冲量量出出现现（例例如如用用拉拉氏氏方方程程，见见刘刘延延柱等理论力学，高教出版社，柱等理论力学，高教出版社，1991，p380385）作业：作业：解决碰撞问题应注意以下几点：解决碰撞问题应注意以下几点：1）分分清清碰碰撞撞与与非非碰碰撞撞过过程程，碰碰撞撞过过程程不不计计重重力力等等有有限力的影响。限力的影响。2）碰碰撞撞过过程程用用动动量量和和动动量量矩矩定定理理的的积积分分形形式式或或冲冲量量和冲量矩定理列写物体的动力学方程。和冲量矩定理列写物体的动力学方程。3）碰碰撞撞过过程程除除列列写写物物体体动动力力学学方方程程外外还还需需补补充充写写出出恢复系数的表达式及运动学关系式。恢复系数的表达式及运动学关系式。
