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1、排列、组合的应用排列、组合的应用 育英高中数学组1.对于无限制条件的排列组合问题,只有根据排列组合的定义,直接列出排列组合数。注意: 分清 : 元素的个数 取出元素的个数 分类还是分步2.判断是排列问题(与顺序有关)还是组合(与顺序无关)问题。一、简单的排列组合应用问题一、简单的排列组合应用问题3.解决排列组合问题的基本思想是“化归”:即: 建立排列组合模型 由排列组合数计算结果 实际问题的解 10名教师,其中男教师6名,女教师4名。从中选3名参加会议(或选派去3个学校)问题:没有要求、至少(多)选一个男(女)教师、恰好一个女教师等,各有多少种选派 方法?步骤: 按要求选人 (组合) 分配到3
2、个学校 (排列 ) 例如:例如: 直接法:原则:特殊元素优先取 特殊位置优先安排 间接法(排除法):原则:正难则反 注意:“都不是”“不都是”“至少”“至多”等词的含义二、二、有限制条件排列组合问题有限制条件排列组合问题要从4名男生和2名女生中选派4人参加社区服务,要求至少有1名女生的选派方法种数是多少?直接法:按选派女生(因为多女生人数有特殊要求)1名和2名分类间接法:总数-都是男生的方法 - 例例 题题捆绑法捆绑法 相邻问题相邻问题N个元素排成一排,其中K个元素要相邻。步骤:先把K个元素内部排列, 把这K个元素看成一个参加全排: 相邻问题相邻问题-捆绑法捆绑法 不相邻问题 插空法插空法N个
3、不同元素排成一排,其中K个元素互不相邻。(k n-k+1)步骤:先把其余n-K个元素全排列,有 并形成n-k+1个空隙。 再把这k个元素按序插入 n-k+1个空隙中。 有 种所以共有 种不同的排法 不相邻问题不相邻问题 插空法插空法例题10个人排成一排,其中某3人互不相邻。步骤:先把其余7个人全排列,有种方法,并形成8个空隙。 再把这3个人按序插入8个空隙中,有 所以共有 种不同的排法在排列问题中,某些元素的顺序是确定的(不一定相邻)n个元素排成一列,其中k个元素顺序确定。方法:1.等可能法:三、部分元素顺序相同的排列问题三、部分元素顺序相同的排列问题2.插空法:法1:先将n个位置选n-k个位
4、子排其余的n-k个元素, 有 种,留下k个空位。再把那k个元素按它们确定的顺序插入剩下的k个空位,只有一种方法。即共有 种。法2:先在n个位子中选k个给k个元素( 种方法)剩下的n-k个位子给其余的n-k 个元素全排共有 种。实际上,上面三种方法的四个结果 = = = 相同元素的排列问题 隔板法隔板法 问题一:将7个相同的球放入4个不同的盒子,不出现空盒的放入方法有多少个?化归:7个球有6个空,分4组,需3个隔板,插入6个空位,一共有 =20种 四、相同元素的排列问题四、相同元素的排列问题 隔板法隔板法也可以理解为不定方程 有多少个正整数解?Doc1.docx一共有 种不同的放法 问题二:将7
5、个相同的球放入4个不同的盒子,可以出现空盒的放入方法有多少个?相当于借4个球,共11个球放入4个不同的盒子,不出现空盒的放入方法有多少个?10个球有9个空,分4组,需3个隔板,插入9个空位,一共有 种方法Doc2.docx也可以理解为不定方程有多少个自然数解?(可以为0) 例 题将10个优秀名额分配到一班、二班、三班3个班级,若各班名额数不少于班级序号数,共有多少种不同的分配方案?解析:先拿3个分配到二班1个,三班2个,剩下的7个名额再分配到3个班级,每个班至少分配1个,则共有 种不同的分配方案。Doc3.docx有6本 的书,按下列要求,各有多少种不同的分法?(1)分给甲、乙、丙三人,每人2
6、本;(2)分为三份,每份2本;(3)分为三份,一份1本,一份2本,一份3本;(4)分给甲、乙、丙三人,一人1本,一人2本,一人3本;分组问题分组问题不同不同(1)分给甲、乙、丙三人,每人2本; 有 种。(2)消序 ,有 种(平均分组问题)可见(1)=(2) 即先平均分组,再分配给3的人,乘以 。(3)分为三份,一份1本,一份2本,一份3本; 有 =60 种(不平均分组问题)(4)分给甲、乙、丙三人,一人1本,一人2本,一人3本; 把(3)分组的结果再分配给3个人 共有60 种。引申:部分平均分组问题有5本不同 的书,按下列要求,各有多少种不同的分法?分成2本、2本、1本三份有 种如果要分配给3个人,则再乘以 亲,听懂了吗? 请再温习一遍哈 谢谢!