排列、组合的应用

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1、排列、组合的应用排列、组合的应用 育英高中数学组1.对于无限制条件的排列组合问题，只有根据排列组合的定义，直接列出排列组合数。注意： 分清 ： 元素的个数 取出元素的个数 分类还是分步2.判断是排列问题（与顺序有关）还是组合（与顺序无关）问题。一、简单的排列组合应用问题一、简单的排列组合应用问题3.解决排列组合问题的基本思想是“化归”：即： 建立排列组合模型 由排列组合数计算结果 实际问题的解 10名教师，其中男教师6名，女教师4名。从中选3名参加会议（或选派去3个学校）问题：没有要求、至少（多）选一个男（女）教师、恰好一个女教师等，各有多少种选派 方法？步骤： 按要求选人 （组合） 分配到3

2、个学校 （排列 ) 例如：例如： 直接法：原则：特殊元素优先取 特殊位置优先安排 间接法（排除法）：原则：正难则反 注意：“都不是”“不都是”“至少”“至多”等词的含义二、二、有限制条件排列组合问题有限制条件排列组合问题要从4名男生和2名女生中选派4人参加社区服务，要求至少有1名女生的选派方法种数是多少？直接法：按选派女生（因为多女生人数有特殊要求）1名和2名分类间接法：总数-都是男生的方法 - 例例 题题捆绑法捆绑法 相邻问题相邻问题N个元素排成一排，其中K个元素要相邻。步骤：先把K个元素内部排列， 把这K个元素看成一个参加全排： 相邻问题相邻问题-捆绑法捆绑法 不相邻问题 插空法插空法N个

3、不同元素排成一排，其中K个元素互不相邻。（k n-k+1）步骤：先把其余n-K个元素全排列，有 并形成n-k+1个空隙。 再把这k个元素按序插入 n-k+1个空隙中。 有 种所以共有 种不同的排法 不相邻问题不相邻问题 插空法插空法例题10个人排成一排，其中某3人互不相邻。步骤：先把其余7个人全排列，有种方法，并形成8个空隙。 再把这3个人按序插入8个空隙中，有 所以共有 种不同的排法在排列问题中，某些元素的顺序是确定的（不一定相邻）n个元素排成一列，其中k个元素顺序确定。方法：1.等可能法：三、部分元素顺序相同的排列问题三、部分元素顺序相同的排列问题2.插空法：法1：先将n个位置选n-k个位

4、子排其余的n-k个元素， 有 种，留下k个空位。再把那k个元素按它们确定的顺序插入剩下的k个空位，只有一种方法。即共有 种。法2：先在n个位子中选k个给k个元素（ 种方法）剩下的n-k个位子给其余的n-k 个元素全排共有 种。实际上,上面三种方法的四个结果 = = = 相同元素的排列问题 隔板法隔板法 问题一：将7个相同的球放入4个不同的盒子，不出现空盒的放入方法有多少个？化归：7个球有6个空，分4组，需3个隔板，插入6个空位，一共有 =20种 四、相同元素的排列问题四、相同元素的排列问题 隔板法隔板法也可以理解为不定方程 有多少个正整数解？Doc1.docx一共有 种不同的放法 问题二：将7

5、个相同的球放入4个不同的盒子，可以出现空盒的放入方法有多少个？相当于借4个球，共11个球放入4个不同的盒子，不出现空盒的放入方法有多少个？10个球有9个空，分4组，需3个隔板，插入9个空位，一共有 种方法Doc2.docx也可以理解为不定方程有多少个自然数解？（可以为0） 例 题将10个优秀名额分配到一班、二班、三班3个班级，若各班名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方案？解析：先拿3个分配到二班1个，三班2个，剩下的7个名额再分配到3个班级，每个班至少分配1个，则共有 种不同的分配方案。Doc3.docx有6本 的书，按下列要求，各有多少种不同的分法？（1）分给甲、乙、丙三人，每人2

6、本；（2）分为三份，每份2本；（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；分组问题分组问题不同不同（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本； 有 种。（2）消序 ,有 种（平均分组问题）可见（1）=（2） 即先平均分组，再分配给3的人，乘以 。（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本； 有 =60 种（不平均分组问题）（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本； 把（3）分组的结果再分配给3个人 共有60 种。引申：部分平均分组问题有5本不同 的书，按下列要求，各有多少种不同的分法？分成2本、2本、1本三份有 种如果要分配给3个人，则再乘以 亲，听懂了吗？ 请再温习一遍哈 谢谢！