方程的根与函数的零点

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1、第三章 函数的应用3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点1.1.理解函数零点的概念，了解函数零点与方程根的理解函数零点的概念，了解函数零点与方程根的关系关系. .（难点）（难点）2.2.掌握函数零点的判断方法并会判断函数零点的个掌握函数零点的判断方法并会判断函数零点的个数数. .( (易错点）易错点）3.3.会求函数的零点会求函数的零点. .（重点）（重点）探究：探究：求出下列一元二次方程的根并作出相应的二次求出下列一元二次方程的根并作出相应的二次 函数的图象，观察二者有何联系？函数的图象，观察二者有何联系？ （1 1）方程）方程x x2 2-2x-3=0-2x-3=0与函数与函数

2、y=xy=x2 2-2x-3-2x-3 （2 2）方程）方程x x2 2-2x+1=0-2x+1=0与函数与函数y=xy=x2 2-2x+1-2x+1 （3 3）方程）方程x x2 2-2x+3=0-2x+3=0与函数与函数y=xy=x2 2-2x+3-2x+3你知道方程对应的函你知道方程对应的函数是怎么找的吗？数是怎么找的吗？方程方程x x2 2-2-2x x+1=0+1=0x x2 2-2-2x x+3=0+3=0y y= =x x2 2-2-2x x-3-3y y= =x x2 2-2-2x x+1+1函数函数函函数数的的图图象象方程的实方程的实数根数根x x1 1=-1,=-1,x x

3、2 2=3=3x x1 1= =x x2 2=1=1无实数根无实数根(-1,0)(-1,0)、(3,0)(3,0)(1,0)(1,0)无交点无交点x x2 2-2-2x x-3=0-3=0. . . . . .x xy yO O1 13 32 21 11 12 25 54 43 3y y= =x x2 2-2-2x x+3+3函数的图象函数的图象与与x x轴的交点轴的交点. . . . . .y yx x1 12 21 11 12 2O Ox xy y1 13 32 21 11 12 21 12 23 34 4. . . . .0 0. .方程方程axax2 2+ +bxbx+c+c=0(=0

4、(a a0)0)的根的根函数函数y y= =axax + +bxbx+ +c c( (a a0)0)的的图象图象判别式判别式=b b2 24 4acac0 0=0=00 0函数的图象函数的图象与与x x轴的交点轴的交点有两个相等的有两个相等的实数根实数根x x1 1= =x x2 2没有实数根没有实数根x xy yx x1 1x x2 20 0x xy y0 0x x1 1x xy y0 0( (x x1 1,0),(,0),(x x2 2,0),0)( (x x1 1,0),0)没有交点没有交点两个不相等两个不相等的实数根的实数根x x1 1、x x2 2一一般般结结论论 一般地，方程一般地

5、，方程f(x)=0f(x)=0的实数根，也就是其对的实数根，也就是其对应函数应函数y=f(x)y=f(x)的图象与的图象与x x轴交点的横坐标轴交点的横坐标. .即方程即方程f(x)f(x)0 0有实数根有实数根 函数函数y yf(x)f(x)的图象与的图象与x x轴有交点轴有交点 对于函数对于函数y=f(x),y=f(x),我们把使我们把使f(x)=0f(x)=0的实数的实数x x叫做叫做函数函数y=f(x)y=f(x)的零点的零点. .函数零点的定义：函数零点的定义：零点指的是一个实数，零点指的是一个实数，不是一个点不是一个点方程方程f(x)f(x)0 0有有实数根数根 函数函数y yf(

6、x)f(x)的的图象与象与x x轴有交点有交点 函数函数y yf(x)f(x)有零点有零点结结论论现在知道如何求没有现在知道如何求没有公式的方程的根了吗公式的方程的根了吗？例例1 1 函数函数f(x)=x(xf(x)=x(x4)4)的零点为（的零点为（ ） A A(0(0，0)0)，(2(2，0)0) B B0 0 C C(4(4，0)0)，(0(0，0)0)， D D4 4，0 0D D解析：由解析：由x(xx(x4)=04)=0得得x=0x=0或或x=4.x=4.注意：函数的零点是实数，而不是点注意：函数的零点是实数，而不是点.解方程是求函数零点的一种方法解方程是求函数零点的一种方法1 1

7、 2 23 3 4 4 5 51 12 23 34 45 5x xy yO O-1-1-2-2-1-1-4-4-3-3-2-2探究：探究：对于不能通过求方程根的方法确定零点的函对于不能通过求方程根的方法确定零点的函 数该如何确定零点呢？数该如何确定零点呢？观察二次函数察二次函数f f( (x x) )x x2 22 2x x3 3的的图象：象：在区在区间-2-2，11上有零点上有零点_；f f(-2)=_(-2)=_，f f(1)=_(1)=_，f f(-2)(-2)f f(1)_0(1)_0(填填“”或或“”) )在区在区间(2(2，4)4)上有零点上有零点_；f f(2)(2)f f(4)

8、_0(4)_0（填填“”或或“”） x x= =1 14 45 5 x x=3=3 1 1 2 2 3 3 4 4 5 51 12 23 34 45 5xyO O-2-2 -1-1-4-4-3-3-2-2-1-1xyOabcd思考：思考：观察图象填空观察图象填空有有 有有 有有 在区间在区间(a,b)(a,b)上上,f(a),f(a)f(b)_0(f(b)_0(填填“”或或“”) )在区间在区间(a,b)(a,b)上上,_(,_(填填“有有”或或“无无”) )零点；零点；在区间在区间(b,c)(b,c)上上,f(b),f(b)f(c) _0(f(c) _0(填填“”或或“”) )在区间在区间(

9、b,c)(b,c)上上,_(,_(填填“有有”或或“无无”) )零点；零点；在区间在区间(c,d)(c,d)上上f(c)f(c)f(d) _0(f(d) _0(填填“”或或“”) )在区间在区间(c,d)(c,d)上上,_(,_(填填“有有”或或“无无”) )零点；零点；xyOabcdxyOabc【总结提升总结提升】 如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上的图象是连续不上的图象是连续不断的一条曲线，并且有断的一条曲线，并且有f(a)f(a)f(b)0f(b)0，那么，函数，那么，函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内有零点，即存在内有零点，即

10、存在c(a,b),c(a,b),使得使得f(c)=0,f(c)=0,这个这个c c也就是方程也就是方程f(x)=0f(x)=0的一个根的一个根. .例例2 2 判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例（1 1）已知函数）已知函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上连续，且上连续，且f(a)f(a) f(b)0f(b)0，则，则f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内有且仅有一个零点内有且仅有一个零点. .（ ）（2 2）已知函数）已知函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上连续，且上连续，且f(a)f(a) f(

11、b)f(b)0 0，则，则f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内没有零点内没有零点. .（ ）（3 3）已知函数）已知函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上满足上满足f(a)f(a)f(b) 0f(b) 0，则则f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内存在零点内存在零点. .（ ）解析：解析：（1 1）已知函数）已知函数y=f (x)y=f (x)在区间在区间a,ba,b上连续，且上连续，且 f(a) f(a)f(b) 0 f(b) 0 ，则，则f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内有且仅有一内有且仅有一 个零点个零点. . （ ）abOxy如

12、图如图, ,函数函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)上有上有3 3个零点个零点, ,故故“在区间在区间(a,b) (a,b) 内有且仅有一个零点内有且仅有一个零点”的说法是错误的的说法是错误的. .满足条件一定有零点，满足条件一定有零点，但不确定有几个但不确定有几个可知，函数可知，函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上连续，上连续，f(a)f(a)f(b)f(b)0 0，但，但f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内有零点内有零点. .故论断不正确故论断不正确. . （2 2）已知函数）已知函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上

13、连续，且上连续，且 f(a) f(a)f(b) f(b) 0 0，则，则f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内没有零点内没有零点. . （ ）a ab bO Ox xy y如图如图, , 虽然函数虽然函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上满足上满足f(a)f(a)f(b) f(b) 0,0,但是图但是图象象不是连续的曲线，则不是连续的曲线，则f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内不存在零点故论断不正确内不存在零点故论断不正确. .（3 3）已知函数）已知函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上满足上满足f(a)f(a)f(b)0f(b)0，

14、则则f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内存在零点内存在零点. .（ ）abOxy如图如图, , 若函数若函数y=5xy=5x2 2-7x-1-7x-1在区间在区间a,ba,b上的图象上的图象是连续不断的曲线，且函数是连续不断的曲线，且函数y=5xy=5x2 2-7x-1-7x-1在在(a,(a,b)b)内有零点，则内有零点，则f(a)f(a)f(b)f(b)的值的值( )( )A.A.大于大于0 B.0 B.小于小于0 0 C.C.无法判断无法判断 D.D.等于等于0 0C C 【变式练习变式练习】f(a)f(b)0,f(a)f(b)0,则函数则函数y=f(x)y=f(x)在在(

15、a,b)(a,b)上一定有零点，上一定有零点，但是函数但是函数y=f(x)y=f(x)在在(a,b)(a,b)上有零点，上有零点，f(a)f(b)0f(a)f(b)0不一不一定成立定成立. .由表可知由表可知f(2)0f(2)0f(3)0，由于函数由于函数f(x)f(x)在定义域在定义域(0,+)(0,+)内是增函数，所内是增函数，所以它仅有一个零点以它仅有一个零点用计算器或计算机作出用计算器或计算机作出x x、f(x)f(x)的对应值表和图象；的对应值表和图象；例例3.3.求函数求函数f(x)=lnx+2xf(x)=lnx+2x6 6的零点的个数的零点的个数. .解：解：x x1 12 23

16、 34 45 56 67 78 89 9f(xf(x) )-4-4-1.306 9-1.306 91.098 61.098 63.386 33.386 35.609 45.609 47.791 87.791 89.945 99.945 912.079 412.079 4 14.197 214.197 2方法一方法一f(x)=lnx+2xf(x)=lnx+2x6 6从而从而f(2)f(2)f(3)0,f(3)0,函数函数f(x)f(x)在区间在区间(2,3)(2,3)内有零点内有零点10108 86 64 42 2-2-2-4-45 51 1 2 23 34 46 6x xy yO Oy=y=2

17、x+62x+6y=lnxy=lnx6 6Ox x1 1 2 2 3 3 4 4y y即求方程即求方程lnx+2x-6=0lnx+2x-6=0的根的个数，即求的根的个数，即求lnx=6-2xlnx=6-2x的根的的根的个数，即判断函数个数，即判断函数y=lnxy=lnx与函数与函数y=6-2xy=6-2x的交点个数的交点个数. .如图可知，只有一个交点，如图可知，只有一个交点，即方程只有一根，函数即方程只有一根，函数f(x)f(x)只有一个零点只有一个零点. .方法二：方法二：函数函数零点零点方程方程的根的根图象图象交点交点转化转化. . . . .无数个无数个（）2.2.方程方程lnx= lnx= 必有一个根的区间是必有一个根的区间是( )( ) A.(1,2) B.(2,3) A.(1,2) B.(2,3) C.( ,1) D.(3,+) C.( ,1) D.(3,+)B B【解题关键解题关键】将方程转化为函数，利用零点的存在性定理判断将方程转化为函数，利用零点的存在性定理判断