弹性力学的内容绪论概述

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1、弹性力学弹性力学土木工程系 第二节第二节 弹性力学中的几个基本概念弹性力学中的几个基本概念 第三节第三节 弹性力学中的基本假定弹性力学中的基本假定 第一节第一节 弹性力学的内容弹性力学的内容 -研究弹性体由于受外力、边研究弹性体由于受外力、边界约束或温度改变、支座沉降等原因而发生界约束或温度改变、支座沉降等原因而发生的应力、形变和位移。的应力、形变和位移。弹性力学弹性力学1-1 1-1 弹性力学的内容弹性力学的内容 第一章第一章第一章第一章 绪绪绪绪 论论论论定义定义 研究弹性体的力学，有材料力学、结构力学、弹性力学。它们的研究对象分别如下：材料力学材料力学-研究杆件（如梁、柱和轴） 的拉压、

2、弯曲、剪切、扭转和组 合变形等问题。 弹性力学弹性力学-研究各种形状的弹性体，如杆 件、平面体、空间体、板壳、薄壁 结构等问题。 第一节第一节 弹性力学的内容弹性力学的内容 结构力学结构力学-在材料力学基础上研究杆系结构 （如 桁架、刚架等）。研究对象 ：在区域V内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，建立三套方程三套方程; 在边界s上考虑受力或约束条件，建立边界条件边界条件; 并在边界条件下求解上述方并在边界条件下求解上述方程程，得出较精确的解答。弹力研究方法弹力研究方法 在研究方法上，弹力和材力也有区别： 第一节第一节第一节第一节 弹性力学的内容弹性力学的内容弹性力学的内容弹性力学的内

3、容研究方法研究方法研究方法研究方法 材力 也考虑这几方面的条件，但不是十分严格的：常常引用近似的计算假设近似的计算假设（如平面截面假设）来简化问题，并在许多方面进行了近似的处理。第一节第一节第一节第一节 弹性力学的内容弹性力学的内容弹性力学的内容弹性力学的内容研究方法研究方法研究方法研究方法 因此材料力学建立的是近似理论近似理论，得出的是近似的解答近似的解答。从其精度来看，材料力学解法只能适用于杆件形状的结构。 弹性力学是其他固体力学分支学科的弹性力学是其他固体力学分支学科的基础。基础。 弹性力学是工程结构分析的重要手段。弹性力学是工程结构分析的重要手段。尤其对于安全性和经济性要求很高的近代大

4、尤其对于安全性和经济性要求很高的近代大型工程结构，须用弹力方法进行分析。型工程结构，须用弹力方法进行分析。第一节第一节 弹性力学的内容弹性力学的内容 弹性力学弹性力学在力学学科和工程学科中在力学学科和工程学科中, ,具有具有重要的地位：重要的地位：地位 在材力中引入平截面假定，得出结果：横截面正应力按直线分布。混凝土深梁x 在弹力中无须引入平截面假定，结果表明：对于深梁横截面正应力按曲线分布。最大正应力与材力计算结果相差悬殊。材力结果弹力结果qq3q3qq杆段平衡微元体不平衡，说明还有其它应力 弹性力学可以解决材料力学无法解决弹性力学可以解决材料力学无法解决的很多问题；并对杆状结果进行精确分析

5、，的很多问题；并对杆状结果进行精确分析，以及验算材力结果的适用范围和精度。与以及验算材力结果的适用范围和精度。与材料力学相比材料力学相比弹性力学弹性力学： 1 1）研究对象更为普遍；）研究对象更为普遍； 2 2）研究方法更为严密；）研究方法更为严密； 3 3）计算结果更为精确；）计算结果更为精确； 4 4）应用范围更为广泛。）应用范围更为广泛。第一节第一节 弹性力学的内容弹性力学的内容 工科学生学习弹力的目的：工科学生学习弹力的目的：学习目的（4 4）为进一步学习其他固体力学分支学）为进一步学习其他固体力学分支学 科打下基础。科打下基础。（3 3）能用弹力近似解法（变分法、差分法）能用弹力近似

6、解法（变分法、差分法 和有限单元法）解决工程实际问题；和有限单元法）解决工程实际问题；（2 2）能阅读和应用弹力文献；）能阅读和应用弹力文献；（1 1）理解和掌握弹力的基本理论；）理解和掌握弹力的基本理论；建筑工程思考题思考题1.弹性力学和材料力学相比，其研究对象有什么区别？2. 弹性力学和材料力学相比，其研究方 法有什么区别？ 3. 试考虑在土木、水利工程中有哪些非 杆件和杆系的结构？ -其他物体对研究对象（弹性体）的作用力。 外力外力第一章第一章 绪论绪论外力1 12 2 弹性力学中的几个基本概念弹性力学中的几个基本概念 外力外力 体积力 表面力 1.外力：体力 分布在物体体积内部。（重力

7、、惯性力）xyzVFffzfyfx f =VFDDlimVD0面力 分布在物体表面。（流体压力、接触力）xyzFSFDDlimS D0Sfzfyfx体力的集度面力的集度力长度-3力长度-2体力分量、面力分量均与坐标轴正方向相同为正。=ff -（定义）作用于物体体积内的力。 体力体力（表示）以单位体积内所受的力来量 度，（量纲）第二节弹性力学中的几个基本概念第二节弹性力学中的几个基本概念 （符号）坐坐标标正正向为正向为正。体力 在国际单位制(SI)中，七个基本物理量长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量、 发光强度的量纲符号分别是L、M、T、I、Q、N和J。 速度. v = ds/dt 量

8、纲：L*T(-1) 加速度.a = dv/dt 量纲：L*T(-2) 力. F = ma 量纲： M*L*T(-2) 压强. P = F/S 量纲： M*L*T(-2)*L(-2) = M*T(-2)*L(-1) -（定义）作用于物体表面上的力。面力面力（表示）以单位面积所受的力来量 度， 第二节弹性力学中的几个基本概念第二节弹性力学中的几个基本概念 （符号）坐标正向为正坐标正向为正 。（量纲）面力例：表示出下图中正的体力和面力第二节弹性力学中的几个基本概念第二节弹性力学中的几个基本概念 2、内力：物体内部相邻部分之间的相互作用力。xyzFpp_=AFDDlinAD0A 应力：内力的集度p正应

9、力：应力沿其作用面的法向分量。剪应力：应力沿其作用面的切向分量。xyzysyztyxtxsxztxyt zzxtzytzszxtzytysyxtyzt 正应力的下标表示作用面垂直的坐标轴也表示作用方向沿哪个坐标轴。 剪应力的第一下标表示作用面垂直的坐标轴，第二下标表示作用方向沿哪个坐标轴。一点应力状态及其表示正面负面 -假想切开物体，截面两边互相作用 的力（合力和合力矩)，称为内力。内力内力第二节弹性力学中的几个基本概念第二节弹性力学中的几个基本概念 内力（量纲）（表示） - 面上沿 向正应力， - 面上沿 向切应力。（符号）应力成对出现，坐标面上的应坐标面上的应 力以正面正向，负面负向为正。

10、力以正面正向，负面负向为正。 -截面上某一点处，单位截面面积上 的内力值。应力应力第二节弹性力学中的几个基本概念第二节弹性力学中的几个基本概念 应力例：正的应力第二节弹性力学中的几个基本概念第二节弹性力学中的几个基本概念 在正面上，两者正方向一致， 在负面上，两者正方向相反。应力与面力应力与面力第二节弹性力学中的几个基本概念第二节弹性力学中的几个基本概念 材力：以材力：以拉拉为正为正材力：材力：顺时针顺时针向为正向为正第二节弹性力学中的几个基本概念第二节弹性力学中的几个基本概念 弹力弹力与材力材力 相比，正应力符号，相同 切应力符号，不同xyz 由微分体的平衡条件 得： 第二节弹性力学中的几个

11、基本概念第二节弹性力学中的几个基本概念 在弹力中， 与 不仅数值相同数值相同，符号也相同符号也相同。 在材力中， 与 数值相同，符号相反。因此，弹力与材力中的符号规定不完全相同(为什么?)。 切应力互等定理切应力互等定理：作用在两个互相垂直的面作用在两个互相垂直的面上并且垂直于这两面交线的剪应力是互等的。上并且垂直于这两面交线的剪应力是互等的。 - 形状的改变。以通过一点的沿坐坐 标正向微分线段标正向微分线段的正应变 和切 应变 来表示。形变形变第二节弹性力学中的几个基本概念第二节弹性力学中的几个基本概念 形变 形变形变： 形状的改变形状的改变正应变：各线段单位长度的伸缩。正应变：各线段单位长

12、度的伸缩。 伸长为正，缩短为负。伸长为正，缩短为负。xyz剪应变：各线段之间的直角改变。剪应变：各线段之间的直角改变。 变小为正，变大为负。变小为正，变大为负。yzzxxyxyz yzzxxy（无因次），这无因次），这6个应变个应变 分量可以完全确定分量可以完全确定该点的形变状态。称为该点的形变分量。该点的形变状态。称为该点的形变分量。 正的正应力对应于正的线应变, 正的切应力对应于正的切应变。第二节弹性力学中的几个基本概念第二节弹性力学中的几个基本概念 位移位移 - 一点位置的移动，用 , , 表示, 量纲为 L。以坐标正向为正。变形前 变形后第二节弹性力学中的几个基本概念第二节弹性力学中的

13、几个基本概念 位移思考题思考题1.试画出正负 y 面上正的应力和正的面力 的方向。2.在 的六面体上，试问x面和y面上切应力的合力是否相等？ 由微分体的平衡条件，建立平衡微分方程； 由应力与形变之间的物理关系, 建立物理方程； 弹性力学的研究方法，在体积弹性力学的研究方法，在体积V 内内： 由微分线段上形变与位移的几何关系， 建立几何方程；第一章第一章 绪绪 论论 研究方法研究方法1 13 3 弹性力学中基本假定弹性力学中基本假定 在给定约束的边界 上， 建立位移边界条件。位移边界条件。 在给定面力的边界 上， 建立应力边界条件应力边界条件; ;第三节第三节 弹性力学中的基本假定弹性力学中的基

14、本假定 研究方法研究方法 在边界在边界S面面上上: : 然后在边界条件下求解上述方程，得出应力、形变和位移。 任何学科的研究，都要略去影响很小的次要因素，抓住主要因素,从而建立计算模型,并归纳为学科的基本假定。第三节第三节 弹性力学中的基本假定弹性力学中的基本假定 基本假定基本假定 为什么要提出基本假定基本假定？（1）连续性连续性-假定物体是连续的。 因此，各物理量可用连续函数表示。第三节第三节 弹性力学中的基本假定弹性力学中的基本假定 材料性质假定材料性质假定 弹性力学中的五个基本假定弹性力学中的五个基本假定。 关于材料性质的假定材料性质的假定及其在建立弹性力学理论中的作用： （2）完全弹性

15、完全弹性 - 假定物体是,因此，即应力与应变关系可用胡克定律表示（物理线性）。第三节第三节 弹性力学中的基本假定弹性力学中的基本假定 材料性质假定材料性质假定 a.完全弹性外力取消，变形恢复，无 残余变形。b.线性弹性应力与应变成正比。（3）均匀性均匀性-假定物体由同种材料组成。 因此， E、等与位置 无关。（4）各向同性各向同性-假定物体各向同性。因此， E、等与方向无关。符合（1）-（4）假定的称为理想弹性体理想弹性体。第三节第三节 弹性力学中的基本假定弹性力学中的基本假定 材料性质假定材料性质假定 由（3）,（4）知E、等为常数（5）小变形假定小变形假定-假定位移和形变为很小。第三节第三

16、节 弹性力学中的基本假定弹性力学中的基本假定 变形状态假定变形状态假定 变形状态假定：变形状态假定：例：梁的 103 1, 1弧度（57.3）.a.位移物体尺寸, 例：梁的挠度v梁高h. 小变形假定的应用：小变形假定的应用： a.简化平衡条件：简化平衡条件：考虑微分体的平衡条件时，可以用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。 b.简化几何方程：简化几何方程：在几何方程中，由于 可略去 等项,使几何方程成为线性方程。第三节第三节 弹性力学中的基本假定弹性力学中的基本假定 变形状态假定变形状态假定 弹性力学基本假定，确定了弹性力学的研究范围:第三节第三节 弹性力学中的基本假定弹性力学中的基本假定 研究范围

17、研究范围 理想弹性体的小变形问题。理想弹性体的小变形问题。第一章教学参考资料第一章教学参考资料 与其他任何学科一样，从这门力学的发展史中，我们可以看出人们认识自然的不断深化的过程：从简单到复杂，从粗糙到精确，从错误到正确的演变历史。许多数学家、力学家和实验工作者做了幸勤的探索和研究工作，使弹性力学理论得以建立，并且不断地深化和发展。 1 14 4 弹力的发展简史弹力的发展简史第一章教学参考资料第一章教学参考资料 1、发展初期（约于16601820） 这段时期主要是通过实验探索了物体的受力与变形之间的关系。1678年，胡克通过实验，发现了弹性体的变形与受力之间成比例的规律。1807年，杨做了大量

18、的实验，提出和测定了材料的弹性模量。伯努利（1705）和库仑（1776）研究了梁的弯曲理论。一些力学家开始了对杆件等的研究分析。 第一章教学参考资料第一章教学参考资料 2、 理 论 基 础 的 建 立 （ 约 于 18211855）这段时间建立了线性弹性力学的基本理论，并对材料性质进行了深入的研究。纳维（1820）从分子结构理论出发，建立了各向同性弹性体的方程，但其中只含一个弹性常数。柯西（18201822）从连续统模型出发，建立了弹性力学的平衡（运动）微分方程、几何方程和各向同性的广义胡克定律。第一章教学参考资料第一章教学参考资料格林（1838）应用能量守衡定律，指出各向异性体只有21个独立

19、的弹性常数。此后，汤姆逊由热力学定理证明了上述结果。同时拉梅等再次肯定了各向同性体只有两个独立的弹性常数。至此，弹性力学建立了完整的线性理论，弹性力学问题已经化为在给定边界条件下求解微分方程的数学问题。 3、线性理论的发展时期（约于18541907）在这段时期，数学家和力学家应用已建立的线性弹性理论，去解决大量的工程实际问题，并由此推动了数学分析工作的进展。第一章教学参考资料第一章教学参考资料第一章教学参考资料第一章教学参考资料圣维南（18541856）发表了关于柱体扭转和弯曲的论文，并提出了圣维南原理。艾里（1862）提出了应力函数，以求解平面问题。赫兹（1882）求解了接触问题。克希霍夫（

20、1850及以后）解决了平板的平衡和震动问题。还有，爱隆对薄壳作了一系列工作等等。弹性力学在这段时期得到了飞跃的发展。第一章教学参考资料第一章教学参考资料 4 4、 弹弹 性性 力力 学学 更更 深深 入入 的的 发发 展展 时时 期期（1907-至今）1907年以后，非线性弹性力学迅速地发展起来。卡门（1907）提出了薄板的大挠度问题；卡门和钱学森提出了薄壳的非线性稳定问题；力学工作者还提出了大应变问题，非线性材料问题（如塑性力学等）等等。同时，线线性性弹弹性性力力学学也也得得到到进进一一步步的的发发展展，出现了许多分支学科，如薄壁构件力学、薄壳力学、热弹性力学、粘弹性力学、各向异性弹性力学等

21、。第一章教学参考资料第一章教学参考资料 弹弹性性力力学学的的解解法法也在不断地发展。首先是变分法（能量法）及其应用的迅速发展。贝蒂（1872）建立了功的互等定理，卡斯蒂利亚诺（18731879）建立了最小余能原理，以后为了求解变分问题出现了瑞利里茨（1877，1908）法，伽辽金法（1915）。此外，赫林格和瑞斯纳（1914，1950）提出了两类变量的广义变分原理，胡海昌和鹫津（1954，1955）提出了三类变量的广义变分原理。第一章教学参考资料第一章教学参考资料 其次，数数值值解解法法也广泛地应用于弹性力学问题。迈可斯（1932）提出了微分方程的差分解法，差分解法，并得到广泛应用。 在20世

22、纪30年代及以后，出现了用复变函数的实部和虚部分别表示弹性力学的物理量，并用复复变变函函数数理理论论求求解解弹弹性性力力学学问问题题的的方方法法，萨文和穆斯赫利什维利作了大量的研究工作，解决了许多孔口应力集中等问题。第一章教学参考资料第一章教学参考资料 1946年之后，又出现了有限单元法有限单元法，并且得到迅速的发展和应用，成为现在解决工程结构分析的强有力的工具。 弹性力学及有关力学分支的发展，为解决现代复杂工程结构的分析创造了条件，并促进了技术的进步和发展。弹力的主要解法弹力的主要解法 1 1、解解析析法法根据弹性体的静力学、几何学、物理学等条件，建立区域内的微分方程组和边界条件，并应用数学

23、分析方法求解这类微分方程的边值问题，得出的解答是精确的函数解。第一章教学参考资料第一章教学参考资料第一章教学参考资料第一章教学参考资料 2 2、变变分分法法（能能量量法法）根据变形体的能量极值原理，导出弹性力学的变分方程，并进行求解。这也是一种独立的弹性力学问题的解法。由于得出的解答大多是近似的，所以常将变分法归入近似的解法。 3 3、差差分分法法是微分方程的近似数值解法。它将弹力中导出的微分方程及其边界条件化为差分方程（代数方程）进行求解。第一章教学参考资料第一章教学参考资料 4 4、有有限限单单元元法法是近半个世纪发展起来的非常有效、应用非常广泛的数值解法。它首先将连续体变换为离散化结构，

24、再将变分原理应用于离散化结构，并使用计算机进行求解的方法。 5 5、实实验验方方法法模型试验和现场试验的各种方法。 对于许多工程实际问题，由于边界条件、外荷载及约束等较为复杂，所以常常应用近似解法变分法、差分法、有限单元法等求解。 第一章 总结第一章第一章 绪绪 论论 ( (一一) )本章的学习要求及重点本章的学习要求及重点 1、弹性力学的研究内容，及其研究对象和 研究方法，认清他们与材料力学的区别。 2、弹性力学的几个主要物理量的定义、量 纲、正负方向及符号规定等，及其与材料力学相 比的不同之处。 3、弹性力学的几个基本假定，及其在建立 弹性力学基本方程时的应用。 ( (二二) )本章内容提

25、要本章内容提要 1、弹性力学的内容弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2、弹性力学中的几个基本物理量：体力体力分布在物体体积内的力、记号为 、 、 ，量纲为L-2MT-2，以坐标 正向为正。第一章教学参考资料第一章教学参考资料面力面力 分布在物体表面上的力，记号为 。量纲为L-1MT-2 ，以坐 标正向为正。应力应力 单位截面面积上的内力，记号 ，量纲为L-1MT-2，以正 面正向为正，负面负向为正；反之 为负。第一章教学参考资料第一章教学参考资料 形变形变用线应变 和切应变 表示， 量纲为1，线应变以伸长为正，切 应变以直角减小为正。第一章教

26、学参考资料第一章教学参考资料位移位移一点位置的移动，记号为 、， 量纲为L，以坐标正向为正。第一章教学参考资料第一章教学参考资料 3 3、弹性力学中的基本假定、弹性力学中的基本假定 理想弹性体假定连续性，完全弹性，均匀性，各向同性。 小变形假定。 4 4、弹性力学、弹性力学问题的问题的研究方法研究方法 已知：物体的边界形状，材料性质，体力,边界上的面力或约束。 求解：应力、形变和位移。第一章教学参考资料第一章教学参考资料 解法：在弹性体区域V 内， 根据微分体上力的平衡条件，建立平衡微分方程；根据微分线段上应变和位移的几何条件，建立几何方程；根据应力和应变之间的物理条件，建立物理方程。 在弹性体边界s上， 根据面力条件，建立应力边界条件， 根据约束条件，建立位移边界条件。 然后在边界条件下，求解区域内的微分方程，得出应力、形变和位移。