《数学思想方法解读与渗透》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学思想方法解读与渗透（93页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 初中常用数学思想方法解读与渗透河南师大附中吴向辉数学是认识世界的一座重要桥梁 思想是指明前进方向的灯塔数学思想方法是数学知识殿堂的支柱和框架。初中常用数学思想方法解读与渗透1.数学思想方法概述2.数学思想方法对中学生数学学习的意义3.初中常用数学思想方法4.如何在日常教学中渗透数学思想方法5.交流互动环节数学思想方法概述数学思想数学方法数学思想与数学方法的关系数学思想方法的基本构架数学思想数学思想仅仅是科学思想的一部分是长期实践与研究，超越数学知识与理论本身，更高级、更本质、更概括的认识特点一：它不同于概念、法则、性质、公式、公理、定理等一般的数学知识，而是人们在获取这些知识的过程中必不可少
2、的纽带和桥梁；特点二：它往往不以独立的形式而存在，而是蕴涵于处理问题的过程之中。数学方法数学方法就是提出、分析和解决数学具体问题时所采用的方式、途径和手段一是高度的抽象性和概括性二是逻辑的严密性及结论的确定性三是应用的普遍性和可操作性数学思想与数学方法的关系“思想”指导“方法”，“方法”体现“思想”，两者相互依存、相得益彰,犹如刀之与刃也前者给出了解决问题的方向，后者给出了解决问题的策略和途径。中学数学中处理具体问题时，数学思想与方法相互渗透，常常是形跟影随、相伴出现，教学中很难、也没有必要将二者予以明确区分数学思想方法的基本构架基本数学思想基本数学思想1.两大两大“基石基石”思想思想(1)符
3、号化与变元表示思想：换元思想、方程思想、参数思想；符号化与变元表示思想：换元思想、方程思想、参数思想；(2)集合思想：分类思想、交集思想、补集思想。集合思想：分类思想、交集思想、补集思想。2.两大两大“支柱支柱”思想思想(1)对应思想：函数思想、变换思想、递归思想、数形结合思想；对应思想：函数思想、变换思想、递归思想、数形结合思想；(2)公理化与结构思想：公理化思想、结构思想、极限思想公理化与结构思想：公理化思想、结构思想、极限思想3.两大两大“主梁主梁”思想思想(1)系统与统计思想：系统思想系统与统计思想：系统思想(整体思想、分解组合思想、运动变化思想、整体思想、分解组合思想、运动变化思想、
4、最优化思想最优化思想)、统计思想、统计思想(随机思想、统计调查思想、假设检验思想、量随机思想、统计调查思想、假设检验思想、量化思想化思想)；(2)化归与辩证思想：化归思想化归与辩证思想：化归思想(纵向化归、横向化归、同向化归、逆向化归纵向化归、横向化归、同向化归、逆向化归思想思想)，辩证思想，辩证思想(对立统一、互变、一分为二思想对立统一、互变、一分为二思想)。基本数学方法1.几种重要的科学认识方法几种重要的科学认识方法(1)观察与实验；观察与实验；(2)比较与分类；比较与分类；(3)归纳与类比；归纳与类比；(4)想象；想象；(5)直觉与顿悟。直觉与顿悟。2.几种重要的推理方法几种重要的推理方
5、法(1)综合法与分析法（逆推证法综合法与分析法（逆推证法）；(2)完全归纳法（枚举法）与数学归纳法；完全归纳法（枚举法）与数学归纳法；(3)演绎法；演绎法；(4)反证法反证法(正难则反）与同一法。正难则反）与同一法。3.数学中的几种重要求解方法数学中的几种重要求解方法(1)数学模型法；数学模型法；(2)关系映射反演方法；关系映射反演方法；(3)构造法构造法两幅图片有何联系？142857与2、3、4.等数字的乘积：142857x2=285714、142857x3=428571、142857x4=571428.。去年12月21日（玛雅人预言的世界末日）前后，有人声称古埃及金字塔里的142857与玛
6、雅文化中的一组奇妙数字1366560有关联。而这一关联是由1366560除7得到的，即13665607=195222.857142857（142857为小数点后第4位上的循环节）。达芬奇说过：“不懂数学的人请不要读我的著作”。这句话或许是在提示后人：人们不仅要注意大师作品中的一些用肢体语言摆出的数字组合，还要注意到大师在画面中刻意绘制的具有不同间隔与间断的尺子。仔细观察素描人物脚下的足尺。在这把足尺的间隔与间距中，金字塔内数组142857表达的更加直白。在下图可以看到，足尺单侧有四个间断：14；足尺双侧有八个间断：28；足尺单端有五个小间隔七个大间隔：57。数学思想方法对中学生数学学习的意义课
7、标突出强调：教师应“帮助学生真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动和经验”。“在教学中，应当引导学生在学好概念的基础上掌握数学的规律（包括法则、性质、公式、公理、定理、数学思想和方法）。”课标还对学生在不同学段对数学思想方法的的掌握程度提出了具体要求，并在评价和测试中，广泛渗透数学思想方法的内容。因此，重视数学思想方法的教学，是教学中着重关注的目标之一。数学思想方法对中学生数学学习的意义有利于理解和记忆新的知识内容有利于实现学习的迁移为后续学习夯实基础影响学生一生的发展“学生在初中或高中所学到的数学知识，在进入社会之后，学生在初中或高中所学到的数学知识，在进入社
8、会之后，几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学通常在几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学通常在出校门不到一两年就忘记了，然而不管他们从事什么业务出校门不到一两年就忘记了，然而不管他们从事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法却长工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用。期地在他们的生活和工作中发挥着作用。”古希腊哲学家、数学家、物理学家英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家瑞士数学家和物理学家傅里叶法国物理学家、数学家哈密尔顿爱尔兰数学物理学家高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家初中常用数学思
9、想方法公理化思想方法演绎推理与证明假设思想方法归纳思想方法类比思想方法集合、分类思想数形结合思想方法化归思想方法模型化思想方法符号化思想符号化思想课标明确指出：“符号感主要表现在：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所表示的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题”，要求学生要“经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程”，并把通过解决实际问题发展学生的“符号感”作为重要的课程目标之一。数学符号的层次基本符号1.元素符号2.运算符号3.关系符号4.结合符号5.性质符号6.省略符号组合符号公式符号1.用字母表示数的思想：是表示
10、数量关系和变化规律的基础，如代数式、方程、函数等。2.变化思想：函数，不等式，不等式组等3.列方程（不等式）解应用题和函数思想4.变元思想符号化思想的应用计算解：设卦名二进位制十进位制坤0000震0011坎0102兑0113艮1004离1015巽1106乾1117模型化思想方法欧拉模型化思想方法课标指出：“数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象”。建立数学模型是数学的本质特征抽象的绝对化的体现，也是人们以数学方式认识具体事物、描述客观现象的最基本的形式，是思维过程用语言符号外化的结果。它使复杂问题简洁化、明朗化、本质化，是高级、高效的数学思维反映。学生建模能力的强弱，是检验教师在教学中实施素
11、质教育成效的重要方面。因此，是教学的重中之重。模型化思想方法数学家像画家和诗人一样，是模式制造家。化为数学语言验证所求结果建立数学模型阅读分析理解解决数学问题数学实际问题1.算术应用题模型算术应用题模型工程问题，行程问题、还原问题等，每一类典型应用题都可以看做是一个数学模型例例1.牧场上有一片均匀生长的牧草，可供牧场上有一片均匀生长的牧草，可供27头牛吃头牛吃6周，周，或供或供23头牛吃头牛吃9周。那么可供周。那么可供21头牛吃几周？头牛吃几周？2.方程（组）模型方程（组）模型方程（组）模型，是从问题的数量关系入手，运用数学语言分析问题中未知元素（未知量）的个数，再将已知条件与未知条件之间的等
12、量关系转化为相应个数的方程，然后通过解方程（组），从而使问题得到解决。1.从整体上分析题意，确定未知量的个数，2.根据题设中的条件写出与未知量相关联的代数式；3.利用已知条件找出等量关系，列出方程（组）；4.解方程（组）；5.验证方程（组）的解是否符合题意，确定实际问题的答案。2.方程（组）模型方程（组）模型例2.用方程方法解第三节例2“牛吃草问题”。解法二：设牧场原有的牧草为x 每周新长出的草为可y可得方程组：解得：答：可供21头牛吃12周。3.不等式（组）模型不等式（组）模型现实世界中量的不等关系是普遍存在的。为了研究某个问题，对于其中的某个（些）量，有时不必要确定其具体的数值，有时也很难
13、确定其具体的数值，但只要能确定这个（些）量的变化范围，就满足了问题的要求。解决这类问题需要构建不等式模型，并求出它的解集。近年来中招试题中出现了一个“热门”题型“决策性”应用题，是考查学生应用能力的重要题型。解答这类问题，通常要构造不等式（组）模型。3.不等式（组）模型不等式（组）模型例例1.（2007年年济南市）某校准备组织济南市）某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李名学生进行野外考察活动，行李共有共有100件。学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共件。学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载每辆最多能载40人和人和10件行李，乙种汽车每
14、辆最多能载件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和人和20件行李。件行李。（1）设租用甲种汽车）设租用甲种汽车a辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；（2）如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为）如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、元、1800元，元，请你选择最省钱的一种租车方案。请你选择最省钱的一种租车方案。4.4.函数模型函数模型一般地，在研究量与量的关系时，要对问题的数学特征进行观察、分析、判断，通过深入思考，产生由此及彼的联系，最后构造出量与量互相联系的数学模型，这个数学模型就是函数模型。函数模型描述了现实世界中数量之间的关系，体现了
15、“联系和变化”的辩证唯物主义观点。初中数学要求学生熟练掌握的是反比例函数、一次函数、二次函数，这些是最基本的函数模型。解答此类问题，一般是从建立函数的解析式入手，将实际问题模型化，再结合函数图像、性质来探求解题思路。因此，挖掘题目中的条件构造函数模型，掌握求函数解析式的方法，是解决函数问题的首要一环。4.4.函数模型函数模型例1.某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成（如图所示）若设花园的边长BC为xm，花园的面积为ym2。当x取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？墙（例1）5.5.样本模型样本模型用样本估计总体的
16、思想是统计学的基本思想，其基本方是抽取样本。用样本的频率分布去估计总体分布，或者用样本的数字特征去估计总体的相应数字特征。从总体中抽取的样本称为样本模型。抽样方法有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样。它们的共同特点是，在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等，因此抽样方法是客观性、公平性的。化归思想方法“化归”是转化和归结的简称，也称化转或转化。人们在解决数学问题时，常常是将要解决的问题A，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择适当的方法进行变换，归结为一个相对较易解决或已有固定解决程式的问题B，且通过对问题B的解答可以得到原问题A的解答。这种解决问题的思想方法，称为化归思想方法。化归思想方法待
17、解决的问题A易解决的问题B问题B的解答问题A的解答（化 归 对 象）转化还原 （化 归 目 标）化归思想方法1.具体与抽象、已知与未知的转化具体与抽象、已知与未知的转化2.局部与整体的转化局部与整体的转化3.运算之间的转化运算之间的转化4.方程之间的转化方程之间的转化5.函数中的转化函数中的转化6.图形之间的转化图形之间的转化7.命题之间的转化命题之间的转化8.有限与无限的转化有限与无限的转化9.待定系数法待定系数法方程之间的转化方程之间的转化1.多元方程（组）一元化2.高次方程低次化3.分式方程整式化4.无理方程有理化5.二次方程一次化6.一次方程简单化函数中的转化函数中的转化1.表示方法的
18、转化2.函数与方程（组）的转化3.函数与不等式的转化4.函数与几何知识的转化函数与不等式的转化Oxy-1(3)-22函数与几何知识的转化（例4）（例8-2）（例8-1）（A）（B）（C）（D）(例1)图形之间的转化图形之间的转化（例12-1）（例12-2）（例14-1）（例14-2）数形结合思想方法数形结合的基本思想是把数和形结合起来，用统一的观点去研究解决某一数学问题。它可以使抽象思维和形象思维的协同作用得到更好的发挥，是贯穿初中数学的一种重要思想方法。数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞；数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞；数无形时少直觉，形少数时难入微；数无形时少直觉，形少数时难入微；数形
19、结合百般好，隔离分家万事休；数形结合百般好，隔离分家万事休；切莫忘，几何代数统一体，永远联系切莫分切莫忘，几何代数统一体，永远联系切莫分离。离。数形结合思想方法1.利用线段图2.利用数轴3.利用坐标系4.利用图形性质5.运动变化中的数形结合(点、线、图形）利用数轴求使不等式a有解的的取值范围 34x利用坐标系利用图形性质（例2-1）（1）赵君卿图 （2）李 锐图 （3）何梦瑶图（4）安清翘图 （5）杨作枚图 （6）项明达图（7）陈 杰图 （8）梅文鼎图 （9）华蘅芳图（例3）运动变化中的数形结合(点、线、图形）一天中钟表的时针，分针，秒针三者重合几次？（暴难的哦，思想不要太简单）1:05之后有
20、一次，2:10之后有一次，3:15之后有一次，4:20之后有一次，5:25之后有一次，6:30之后有一次，7:35之后有一次，8:40之后有一次，9:45之后有一次，10:50之后有一次，12:00整有一次。24小时之中总共22次。而且，相邻两次重合之间所需时间相同，即12/11小时。准确说都分别是0点，12/11点，24/11点，36/11点，48/11点，60/11点，72/11点，84/11点，96/11点，108/11点，120/11点，12点，144/11点，156/11点，168/11点，180/11点，192/11点，204/11点，216/11点，228/11点，240/11点
21、，252/11点。有趣的是这11个点，正好是圆内接正11边形，其中一个顶点在12点处。集合、分类思想人们在研究问题时，把一定范围内确定的、彼此完全不同的对象，当作一个整体来看待，这个整体就是一个集合。其中各个不同的对象叫做集合的元素。按照这些标准将相同性质的对象归于一类，不同性质的对象归于另外的类别，然后对每一类对象分别予以研究得出该类对象的结论，最后再综合这些结论得到整个问题的答案。这样的思想方法称分类思想或分类讨论法。集合思想四 边 形平行四边形矩形菱形正方形梯形等腰 直角 梯形 梯形 分类思想数的分类绝对值的意义解不等式解方程多边形的分类动态问题 的所有可能的值有几个？（例2）数一数下图
22、中有几个矩形?(例5-1)(例5-2)类比思想方法在观察、研究事物时，常把两类不同的对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就可以根据一类对象的某些已知特性推断另一类对象也具有这种特性。这种思维方法称为类比思想方法，也称为类比推理。甲具有属性a、b、c、d乙具有属性a、b、c所以，乙也具有属性d。类比推理是从特殊到特殊的推理，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠。概念的类比概念的类比数量关系的类比性质、法则类比解题方法的类比几何图形中数量关系的类比数与形之间的类比数量关系的类比解题方法的类比 步骤解方程解不等式比较异同1. 去分母相同2. 去括号相同3. 移项相同4. 合
23、并同类项相同5. 系数化为1不同6. 答案是原方程的解。是原不等式的解集。不同几何图形中数量关系的类比正方形：正方体：长方形：长方体：三角形：三棱锥：梯形：棱台：平面图形立体图形面积公式体积公式数与形之间的类比函数的最小值为_如何在日常教学中渗透数学思想方法研读课标，把握要求，深刻理解，明晰内涵总体设计，分段实施，细化到节，逐步渗透突出个性化教学原则1.化隐为显性原则；2.激发兴趣性原则(pc)；3.学生主体性原则；4.系统模块化原则；5.做一题，明一路原则。哈佛大学面试题中的数学思想方法烧一根不均匀的绳，从头烧到尾总共需要1个小时。现在有若干条材质相同的绳子，问如何用烧绳的方法来计时一个小时
24、十五分钟呢?你有一桶果冻，其中有黄色、绿色、红色三种，闭上眼睛抓取同种颜色的两个。抓取多少个就可以确定你肯定有两个同一颜色的果冻?如果你有无穷多的水，一个3公升的提捅，一个5公升的提捅，两只提捅形状上下都不均匀，问你如何才能准确称出4公升的水?一个岔路口分别通向诚实国和说谎国。来了两个人，已知一个是诚实国的，另一个是说谎国的。诚实国永远说实话，说谎国永远说谎话。现在你要去说谎国，但不知道应该走哪条路，需要问这两个人。请问应该怎么问?12个球一个天平，现知道只有一个和其它的重量不同，问怎样称才能用三次就找到那个球。13个呢?(注意此题并未说明那个球的重量是轻是重，所以需要仔细考虑)在9个点上画1
25、0条直线，要求每条直线上至少有三个点?数学教材中数学思想方法的分布七（上）：丰富的图形世界：感知对称思想、数形结合思想；有理数及其运算：感知转化思想；用字母表示数：感知符号化思想；平面图形及其位置关系：感知分类思想；一元一次方程：感知方程思想、符号化思想；生活中的数据：感知统计思想；可能性：感知概率思想。数学教材中数学思想方法的分布七（下）：整式的运算：了解符号化思想、数形结合思想；平行线与相交线：了解综合法，分类思想；生活中的数据：了解统计思想；概率：了解概率思想；三角形：理解分类思想、数形结合思想；变量之间的关系：掌握分类思想，了解函数思想；生活中的轴对称：感知对称思想。八（上）：勾股定理
26、：理解分类思想、数形结合思想；实数：掌握分类思想、数形结合思想；图形的平移与旋转：掌握分类思想、理解对称思想、运动变化思想；四边形性质探索：掌握分类思想，感受综合法、分析法；位置的确定：理解数形结合思想；一次函数：了解函数思想，掌握数形结合思想，理解待定系数法；二元一次方程组：理解方程思想，灵活运用消元法和换元法；数据的代表：理解统计思想。数学教材中数学思想方法的分布八（下）：一元一次不等式和一元一次不等式组：运用分类思想和方程思想；相似图形：掌握并运用数形结合思想；分解因式：理解配方法，掌握转化思想；分式：理解类比思想；数据的收集和整理：理解统计思想；证明：掌握综合法。数学教材中数学思想方法
27、的分布九（上）：证明：熟练运用综合法，了解分析法、反证法；一元二次方程：掌握配方法；视图与投影：掌握分类思想、理解类比思想、转化思想；反比例函数：理解函数思想，掌握数形结合思想和待定系数法；频率与概率：理解概率统计思想。数学教材中数学思想方法的分布九（下）：直角三角形的边角关系：会运用分类、函数和数形结合思想；二次函数：掌握函数思想、数形结合思想和待定系数法；圆：会运用分类、数形结合和对称思想，熟练运用综合法；概率与统计：进一步理解统计概率思想。数学教材中数学思想方法的分布教教育育的的过过程程就就是是一一个个不不完完美美的的人人引引领领着着另另一一个个（或或一一群群）不不完完美美的的人人追追求求完完美美的的过过程程。也也许许我我们们始始终终只只能能在在现现实实与与理理想想之之间间徘徘徊徊，然然而而，我我们们眺眺望望着着理理想想的的高高地地，我我们们不不屈屈服服于于现现实实。我我们们也也会会有有暂暂时时的的休休憩憩和和沮沮丧丧，但但我我们们永永远远怀怀着着找找寻精神家园的冲动，且行且思。寻精神家园的冲动，且行且思。 肖川肖川 交流互动环节对于数学思想方法的教学，你有什么看法？今后，如果你有这方面的问题和想法，可以通过以下方式和我联系：E-mail:微信或qq:1592966116手机:13782552196
