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1、基本不等式知识点总结与例题讲解基本不等式知识点总结与例题讲解一、本节知识点一、本节知识点（1 1）基本不等式）基本不等式. .（2 2）利用基本不等式求最值）利用基本不等式求最值. .（3 3）基本不等式的拓展三个正数的基本不等式）基本不等式的拓展三个正数的基本不等式. .二、本节题型二、本节题型（1 1）利用基本不等式求最值）利用基本不等式求最值. .（2 2）利用基本不等式证明不等式）利用基本不等式证明不等式. .（3 3）基本不等式的实际应用）基本不等式的实际应用. .（4 4）与基本不等式有关的恒成立问题）与基本不等式有关的恒成立问题. .三、知识点讲解三、知识点讲解知识点知识点基本不
2、等式（均值不等式）基本不等式（均值不等式）一般地,a,bR R,有a2b22ab.当且仅当a b时,等号成立.特别地,当a 0,b 0时,分别用a, b代替上式中的a,b,可得a bab.2当且仅当a b时,等号成立.通常称不等式a ba bab为基本不等式基本不等式（也叫均值不等式均值不等式）,其中叫做正22数a,b的算术平均数算术平均数,ab叫做正数a,b的几何平均数几何平均数.基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. .注意注意重要不等式a b2ab与基本不等式22a bab成立的条件是不一样2的.前者a,b为任意实数,后者a
3、,b只能是正数.但两个不等式中等号成立的条件都是a b.基本不等式的变形基本不等式的变形a b（1）a b2 ab,ab.其中a,bR R+ +,当且仅当a b时,等号成立.22（2）当a 0时,a 112,当且仅当a ,即a 1时,等号成立;aa1当a 0时,a 2,当且仅当a 1时,等号成立.a11. aaa实际上,当a 0时,a 1111 a2, a2,即a 2.当且仅当 a ,aaa a即a 1（a 0）时,等号成立.（3）当a,b同号时,baba2,当且仅当a b时,等号成立;当a,b异号时,abab2,当且仅当a b时,等号成立.a2b2a b（4）不等式链不等式链: :ab（a
4、0,b 0,当且仅当a b时,1122ab2等号成立.）a ba2b2其中,ab,分别叫做正数a,b的调和平均数、几何平均数、调和平均数、几何平均数、1122ab2算术平均数、平方平均数算术平均数、平方平均数. .知识点知识点利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值设x 0, y 0,则有S2（1）若x y S（和为定值）,则当x y时,积xy取得最大值;4S2x yS（x, yR R+ +,有xy.）,xy422和定积最大和定积最大. .（2）若xy P（积为定值）,则当x y时,和x y取得最小值2 P.（x, yR R+ +,有x y2 xy,x y2 P.）积定和最小积定和最小. .说
5、明说明上述结论可简记为:和定积最大和定积最大, ,积定和最小积定和最小. .即两个正数的和为定值时 ,可求出其积的最大值;两个正数的积为定值时,可求出其和的最小值.利用基本不等式求最值时利用基本不等式求最值时, ,必须满足三个条件必须满足三个条件, ,即即: :一正、二定、三相等一正、二定、三相等. .一正一正: : 各项都必须为正数各项都必须为正数; ;二定二定: : 和或积为定值和或积为定值. .当和为定值时当和为定值时, ,积有最大值积有最大值, ,当积为定值时当积为定值时, ,和有最小值和有最小值; ;三相等三相等: : 等号能取到等号能取到, ,即取得最值的条件能满足即取得最值的条件
6、能满足. .（1）对于函数fx x 444,当x 0时,x 2 x 2 4 4,即fx4,当xxxx 444 x,即x 2时,等号成立;当x 0时,x 4,fx4,xxx当x 2时,等号成立.由此可见,对于函数fx x （2） 当0 x 4,x 0和x 0的最值情况是不一样的.x3时,求3 2xx的最大值时,32x与x的和不是定值,无法利用基21本不等式求最值,此时可对原式进行等价变形 ,变形为3 2xx 3 2x2x,即2可求出其最大值.13 2x 2x139132xx 32x2x222 28222933 2xx的最大值为,当且仅当32x 2x,即x 时,取得最大值.84（3） 求x2 2
7、1x 22的最小值时,虽然x2 2与1x2 21x 22都是正数,且乘积为定值 1,但是当x2 2 用基本不等式求其最小值.时,有x2 2 1,显然是不成立的,所以此时不能知识点知识点基本不等式的拓展三个正数的基本不等式基本不等式的拓展三个正数的基本不等式一般地,a,b,cR R+ +,有3a b cabc.3当且仅当a b c时,等号成立.上面的不等式表明:三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. .设x 0, y 0,z 0,则有（1）若xyz M,则当x y z时,和x y z取得最小值为3 M;N3（2）若x y z N,则当x y z时,
8、积xyz取得最大值.27关于三个正数的不等式链关于三个正数的不等式链3若a,b,c均为正数,则有3a2b2 c23a b cabc.11133abc当且仅当a b c时,等号成立.n个正数的基本不等式个正数的基本不等式对于n个正数a1,a2,a3,an,则有na1 a2 a3 ana1a2a3an.n当且仅当a1 a2 a3 an时,等号成立.上面的不等式表明:对于对于n个正数个正数（n2）的算术平均数不小于它们的几何平均数的算术平均数不小于它们的几何平均数. .四、例题讲解四、例题讲解a2b2a b例例 1. .若a 0,b 0,证明:ab.1122ab2分析分析: :本题即要求证明两个正数
9、的不等式链.证明证明: :a 0,b 0a b a b2 ab02a b2 ababa b（当且仅当a b时,等号成立）211abab11ab11a b2211abab（当且仅当a b时,等号成立）.a2b22aba2b2 a2b22ab a2b22a2b2a b2a b24a ba b2a2b2a2b2a2b2,即.4222222a2b2a b根据正数可开方性得:.22a2b2a b（当且仅当a b时,等号成立）.222a2b2a b综上所述,ab.1122ab2例例 2. .函数y x 1解解: :x 04（x 0）的最小值为_,此时x _.xy x 1当且仅当x 444 x 12 x1
10、2 4 1 3,即y3.xxx4,即x 2时,取等号.x4当x 2时,函数y x 1（x 0）取得最小值 3.x4例例 3. .已知a 3,求a 的最小值.a 3分析分析: :当利用基本不等式求最值时,若两项的乘积为定值（常数）,可求出两项和的最小值.当然,某些式子需要进行适当的变形 ,但要注意三个必须满足的条件 :一正、二定、三相等.解解: :a 3,a 3 0.a 44443 7,当且仅当a 3 ,即 a 332a 3a 3a 3a 3a 3a 5时,等号成立.a 4的最小值为 7.a 31的最小值是_.y例例 4. .已知x 1,且x y 1,则x 解解: :x y 1,x y 1.x
11、1,y 1 0,y 0.x 1111 y 1 y 12 y1 3.yyyy当且仅当y 1,即y 1时,等号成立.yx 1的最小值是 3.y另解另解: :x y 1,y x 1.x 1,y x 1 0x 11111 3. x x 112x 1x 1yx 1x 1当且仅当x 1x 1,即x 2时,等号成立.x 11的最小值是 3.y11的最小值.xy例例 5. .已知x 0, y 0,且x 2y 1,求解解: :x 2y 1,x 0, y 011x 2yx 2y2yx2yx 33 2 3 2 2.xyxyxyxy22yx,且x 2y 1,即x 2 1, y 1时,等号成立.2xy当且仅当1x1的最
12、小值为3 2 2.y点评点评本题若由1111 111 1 x 2y22 2xy 4 2,得的最xyxyxyxy小值为4 2,则结论是错误的,错因是连续使用基本不等式时,忽视了等号成立的条件一致性.所以有下面的警示.易错警示易错警示连续两次（多次）使用基本不等式时连续两次（多次）使用基本不等式时, ,应注意保证等号成立的条件是否相同应注意保证等号成立的条件是否相同. .例例 6. .已知x 0, y 0,且1x9y1,求x y的最小值.解解: :x 0, y 0,1x9y1x y x y1x9 y19xyyx9 10 9xyyx10 29xyyx16.当且仅当9xyyx,且1x9y1,即x 4,
13、 y 12时,等号成立.x y的最小值为 16.另解（消元法）另解（消元法）: :1x9y1,x yy 9x 0, y 0,yy 9 0,y 9.x y yy 9 y y 99y 9 y 19y 9 y 99109y 9 y 910 29y 9y 916.当且仅当9yy 9 y 9,且x y 9,即x 4, y 12时,等号成立.x y的最小值为 16.例例 7. .若正数x, y满足x 3y 5xy,则3x 4y的最小值是【（A）245（B）285（C）5（D）6】解解: :x 3y 5xy,131.5y5xx, y均为正数3 3x9412y133x12y 1 3x 4y 3x 4y5y5x
14、5y555x55y5x133x 12y136 2 2 5.55y5x55当且仅当3x12y1,且x 3y 5xy,即x 1, y 时,等号成立.5y5x23x 4y的最小值是 5.选择答案【 C 】.51,求代数式4x 2的最小值;44x 551（2）已知x ,求代数式4x 2的最大值.44x 5例例 8. .（1）已知x 分析分析: :本题考查利用基本不等式求代数式的最值 .注意三个必须满足的条件 :一正、二定、三相等.解解: :（1）x 5,4x 5 0.44x 21113 5. 4x 5324x 54x 54x 54x 513,即x 时,等号成立.4x 521代数式4x 2的最小值为 5
15、;4x 55（2）x ,4x 5 0.4当且仅当4x 5 4x 2111 4x 53 5 4x 34x 54x 55 4x13 23 15 4x 25 4x当且仅当5 4x 11,即x 1时,等号成立,4x 2取得最大值 1.5 4x4x 5例例9. .已知实数a 0,b 0,且11【】1,则a 2b的最小值是a 1b 1（A）3 2（B）2 2（C）3（D）2解解: :1a 11b 11b 1 a 1a 1b 11,整理得:ab 1.a 0,b 0a 2b2 a2b 2 2ab 2 21 2 2.当且仅当a 2b,即a 2,b 22时,等号成立.a 2b的最小值是2 2.选择答案【 B 】.
16、另解另解: :a 2b a 1 2b 13.a 0,b 0,1a 11b 11a 2b a 1 2b 131 a 11b 11a 1b 12b 1a 1 231a 12b 1a 1 2b 1b 1a 12b 1a 1 2 2.当且仅当a 1b 12b 1a 1,且1a 11b 11,即a 2,b 22时,等号成立.a 2b的最小值是2 2.例例 10. .设x 0, y 0,且3x y 5,则1x 13y的最小值为【（A）32（B）2（C）2 3（D）3解解: :3x y 53x 1 y 8,3x 18y81.】x 0, y 0133x 1x 1y8y13 39x 1y38x 1y88y8x
17、189x 1y39x 1y33332 2.8y8x 148y8x 1484当且仅当9x 18yy8x 1,且3x y 5,即x 13, y 4时,等号成立.13x 1y的最小值为32.选择答案【 A 】.另解另解: :3x y 5,y 53x.x 0, y 0,x 053x 0,解之得:0 x 53.x的取值范围为50,3.1313x 1yx 153x8x 153x83x2 2x 5.2设fx 3x2 2x 5 3x 11633x0,53,fx0,163.当x 113时,x 13 y83.min1623选择答案【 A 】.例例 11 . .代数式x2 7x 10x 1（x 1） 的最小值为（A
18、）2（B）7（C）9（D）102【】nax2bx ct的形式.分析分析: :形如的式子可化为mfxfxdx e2解解: :可设x 7x 10 x 1 mx 1 n.2x2m 2x m n 1 x2 7x 10m 2 7m 5,解之得:.m n 110n 4x2 7x 10 x 1 5x 1 4.2x2 7x 10x 15x 1 44 x 15x 1x 1x 12x 1,x 1 0x 1445 9.52x 1x 1x 1当且仅当x 14,即x 1时,等号成立.x 1x2 7x 10代数式（x 1）的最小值为 9.x 1选择答案【 C 】.x2 7x 10x 2x 5x 11x 1 4另解另解:
19、:x 1x 1x 1x 125x 1 4x 1 x 145.x 1x 1,x 1 0x 1445 9.52x 1x 1x 124 x 7x 10当且仅当x 1,即x 1时,等号成立, 9.x 1x 1min选择答案【 C 】.例例 12 . .求函数y 3x 解解: :x 2 02216的最小值.2 x2y 3x2161616222 3 2 x6 8 3 6. 3 2 x62222 x2 x2 x416x 3 2时,等号成立.ymin 8 3 6.,即32 x2当且仅当32 x2例例 13. .已知函数fx 4x （x 0,a 0） 在x 3时取得最小值,则a _.解解: :x 0,a 0ax
20、fx 4x aa2 4x 4 a.xxaa,即x 时,等号成立,函数fx取得最小值4 a.2x当且仅当4x a 3,解之得:a 36.2aa4实际上,函数fx 4x 4x （x 0,a 0）,当x xx数fx取得最小值.所以a 3,从而求得a 36.22aa时,函42例例 14. .设正实数x, y满足x 2y xy,若m 2m x 2y恒成立,则实数m的取值范围是_.分析分析: :利用基本不等式可求出x 2y的最小值.要使m 2m x 2y恒成立,只2需m2 2m x 2ymin即可.解解: :x, y为正实数,x 2y xyx 2y121xyyx4yx4yx4yx 21 2 44 2x 2
21、y x 2y 2 8xyxyxyxy当且仅当4yx,即x 4, y 2时,等号成立.xyx 2ymin 8.m2 2m x 2y恒成立只需m2 2m x 2ymin即可m2 2m 8,解之得:4 m 2.实数m的取值范围是 4,2.例例 15. .已知fx x2 2x（0 x 1）,求fx的最大值.分析分析: :当两个正数的和为定值 S 时,这两个正数的乘积在两个正数相等时取得最大值,简称为：和定积最大.本题中,观察到2x 2 2x 2为定值,故考虑用基本不等式求函数fx的最大值,但要对原解析式解析等价变形.解解: :0 x 1,22x 012x 2 2x1111fx x2 2x2x2 2x.
22、222222当且仅当2x 22x,即x fx的最大值为1时,等号成立.21.2另解另解: :0 x 1,22x 0x 1 x11fx x2 2x 2 x1 x2 2.22 222当且仅当x 1 x,即x fx的最大值为1时,等号成立.21.2x2例例 16. .求代数式（x 1）的最大值.x 1nax2bx ct的形式.分析分析: :形如的式子可化为mfxfxdx e解解: :x 1,1 x 0.x2x211x 1x 1111 x 1 x 1 2x 1x 1x 1x 1x 111 21 x 2 2 2 01 x 2 1 x1 x当且仅当1 x 1,即x 0时,等号成立.1 xx2代数式（x 1
23、）的最大值为 0.x 1注意注意使用基本不等式法求最值时,一定要满足三个条件:一定、二正、三相等.例例 17. .已知0 x 解解: :0 x 11,求y x1 2x的最大值.221,12x 0.22212x 1 2x11111y x12x2x1 2x.424 21624当且仅当2x 12x,即x ymax1时,等号成立.41.16112,若k恒成立,则k的最大值为_.2m12m例例 18. .设0 m 分析分析: :只需12k即可,这样问题就转化为求12的最小值的m12m m1 2mmin问题.解解: :121 2m 2m1.m1 2mm1 2mm1 2m0 m 1,12m 021111 8
24、.211m12m112m 1 2m2m12m24222当且仅当2m 12m,即m 11时,等号成立（.注意注意, ,当当0 m 时时, ,2m1 2m 0）4212的最小值为 8.m12m12k恒成立m12m1,12m 02k8,k的最大值为 8.另解另解: :0 m 12124m1 2m2m 1 2m 2 2m1 2m1 2mm m1 2m4m1 2m4m1 2m 8.4 21 2mm1 2mm 4当且仅当4m12m1,即m 时,等号成立.12mm412的最小值为 8.m12m12k恒成立m12mk8,k的最大值为 8.例例 19. .若对任意x 0,解解: :x 0xa恒成立,则实数a的取
25、值范围是_.x23x 1xx23x 111111235x 32 x13xx当且仅当x 1,即x 1时,等号成立.xx1.2 x 3x 1max5对任意x 0,xa恒成立x23x 1x.a2 x 3x 1max11.,a,即实数a的取值范围是55例例 20. .已知x 0, y 0,xy x 2y,若xym 2恒成立,则实数m的最大值是_.分析分析: :可求出m的取值范围,根据范围确定其最大值.这种方法叫做不等分析法不等分析法.解解: :xyx2yx2y211.xyxyx0,y02212 1212xyx yxy81, xy8.xy21, 即x4,y2时, 等号成立.xymin8.xy当且仅当xy
26、m2恒成立m2xymin, 即m28, 解之得:m10.实数m的最大值是 10.a2例例 21 . .若不等式9xa1（常数a0） 对一切正实数x恒成立, 求实数a的x取值范围.解解: :x0,a0a2a26a.9x2 9xxxa2a当且仅当9x, 即x时, 等号成立.x3a29x6a.xmina29xa1对一切正实数x恒成立xa2只需9xa1即可xmin16aa1, 解之得:a.51.,实数a的取值范围是5方法总结方法总结解决与不等式恒成立有关的问题解决与不等式恒成立有关的问题, ,把参数从不等式中分离出来把参数从不等式中分离出来, ,使不等式的一端使不等式的一端是含有参数的代数式是含有参数
27、的代数式, ,另一端是一个具体的函数另一端是一个具体的函数, ,这样就把问题转化为只有一端是参数的不这样就把问题转化为只有一端是参数的不等式的形式等式的形式, ,便于问题的解决便于问题的解决. .例例 22. .已知a,b是正实数,且a 2b3ab 0,则ab的最小值是_,a b的最小值是_.解解: :a 2b3ab 0a 2b 3ab,a,b是正实数211.3a3b2122ba12baa b1a b 3a3b33a3b33a3b1 22ba2 21.3a 3b32 1时,等号成立.3当且仅当222ba,b ,即a 33a3b2 2.3a b的最小值为1a,b是正实数,22113a3b2122
28、1 213a 3b9ab3a3b8.92142当且仅当,即a ,b 时,等号成立.3a3b338ab的最小值是.9ab例例 23. .已知x 0, y 0,且x 2y 3,则xy的最大值是_,3x y的最小xy值是_.解解: :x 0, y 0,x 2y 32 x2y 2 2xyx 2y 3933xy,当且仅当x 2y,即x , y 时,等号成立.8249xy的最大值是.8x2yx 2y 3,1.333x y13x2y13 1x2yx2y7 2 xyxy 33 xy3y3xy3x32x 2y7272 6 7. 2y 3x3333当且仅当3 6 3183 6x2y, y ,即x 时取等号.510
29、y3x2 6 73x y的最小值是.3xy例例24. .要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是， 平方米10元,则该容器的最低总造价是【】（A）80 元（B）120 元（C）160 元（D）240 元解解: :由题意可知:该容器的底面积为 4 m2,设底面长为xm,则底面宽为4m,容器的x总造价为y元.则有444y 204 210x 20x 80202 x80 160（元）xxx当且仅当x 4,即x 2时,等号成立.x该容器的最低总造价是 160 元.选择答案【 C 】.例例 25. .设x 0, y 0,x 2y 5,则x 12
30、y 1xy的最小值为_.解解: :x 2y 5x 12y 1xy2xy x 2y 1xyxy 32xy 6xy 4 3. 2 xy 63 . 2xy xyxy223xyxy当且仅当xy ,且x 2y 5,即x 3, y 1或x 2, y 3时,等号成立.2x 12y 1xy的最小值为4 3.注意注意注意与下面的例 25 做比较.例例 26. .设a,b 0,且a b 1,则ab1的最小值为_.ab分析分析: :利用基本不等式求最值时,一定要满足三个条件:一定、二正、三相等一定、二正、三相等. .a,b 0,ab11 2.2 abababab 11当且仅当ab 时,等号成立,此时ab无实数解.a
31、ba b 1上面的等号是取不到的,即ab解解: :a,b 0,且a b 11的最小值不是 2.ababa b11,0 ab.22410,设ab t,则t .411y t 在t 0,上单调递减t4111117ymin f 4 .4 44144117ab的最小值为.ab4例例 27. .设0 x 2,求代数式4x 2x的最大值.解解: :0 x 222 x 04x2x22x2 x2 x2 x2 当且仅当x 2 x,即x 1时,等号成立.代数式4x 2x2的最大值2.例例 28. .已知x 0, y 0,z 0,求证:证明证明: :x 0, y 0,z 0x 2 x22yz xz xy8. xxyy zz 2yzxzyzxy2 xy2 xz 0, 0. 0,xzyyxxzzy当且仅当x y z时,上面三个等号同时成立.yz xz xy8 yz xzxy8xyz 8. xxyy zz xyzxyz当且仅当x y z时,等号成立.例例 29. .已知a 0,b 0,c 0,且a bc 1.求证:1119.abc证明证明: :a 0,b 0,c 0,a bc 1111a b ca b ca b cabcabcbacacb 3 ab ac bc 3 2b ac ac b 2 2 3 2 2 2 9a ba cb c当且仅当a b c时,等号成立.
