《线性代数电子教案第一二章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数电子教案第一二章（143页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章第一章 行列式行列式 1.1 行列式的有关概念行列式的有关概念 ( (a a1111a a2222 a a1212a a2121) )x x1 1 = = b b1 1a a2222 a a1212b b2 2 ( (a a1111a a2222 a a1212a a2121) )x x2 2 = = a a1111b b2 2 b b1 1a a2121 当当当当a a1111a a2222 a a1212a a2121 0 0时时时时, ,a a1111x x1 1 + + a a1212x x2 2 = = b b1 1 a a2121x x1 1 + + a a2222x x2
2、2 = = b b2 2x x1 1= =b b1 1a a2222 a a1212b b2 2a a1111a a2222 a a1212a a2121, ,x x2 2= =a a1111a a2222 a a1212a a2121a a1111b b2 2 b b1 1a a2121. .一、一、 二元线性方程组与二阶行列式二元线性方程组与二阶行列式由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表定义定义定义定义即第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.1 1.1 行列式的有关概念行列式的有关概念行列式的有关概念行列式的有关概念请
3、思考有何运算规律副对角线主对角线对角线法则对角线法则二阶行列式的计算二阶行列式的计算对于二元线性方程组第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.1 1.1 行列式的有关概念行列式的有关概念行列式的有关概念行列式的有关概念=a11a22 a12a21a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2x x1 1= =b b1 1a a2222 a a1212b b2 2a a1111a a2222 a a1212a a2121, ,x x2 2= =a a1111a a2222 a a1212a a2121a a1111b b2 2 b b1 1a a2121
4、. .解为：a11 a12 a21 a22记D = ,b1 a12 b2 a22D1 = , a11 b1a21 b2D2 = ,则当D = a11a22 a12a21 0时,有唯一确定的解,=D1D=D2D.x1=b1a22 a12b2a11a22 a12a21x2=a11a22 a12a21a11b2 b1a21第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.1 1.1 行列式的有关概念行列式的有关概念行列式的有关概念行列式的有关概念注意：分母都为原方程组的系数行列式，分子与原方程组的关系留待稍后讨论.根据对角线法则的计算特点x x1 1= =b b1 1a a2222 a a121
5、2b b2 2a a1111a a2222 a a1212a a2121, ,x x2 2= =a a1111a a2222 a a1212a a2121a a1111b b2 2 b b1 1a a2121. .例例1 1解第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.1 1.1 行列式的有关概念行列式的有关概念行列式的有关概念行列式的有关概念二、二、 三阶行列式三阶行列式定义定义定义定义记记记记（4）式称为数表（3）所确定的三阶行列式三阶行列式.第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.1 1.1 行列式的有关概念行列式的有关概念行列式的有关概念行列式的有关概念三阶行列
6、式的计算注意：1.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负；2.红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.1 1.1 行列式的有关概念行列式的有关概念行列式的有关概念行列式的有关概念例例例例 解解解解按对角线法则，有按对角线法则，有第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.1 1.1 行列式的有关概念行列式的有关概念行列式的有关概念行列式的有关概念对角线法则是否适用于更高阶的行列式？第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.1 1.1 行列式的有关概念行列
7、式的有关概念行列式的有关概念行列式的有关概念三、三、 排列及其逆序数排列及其逆序数1 排列排列如：213是一个3级排列。 问：1，2，3可以有多少种不同的排列呢？ 3个自然数共有种不同排列。123,132,213,231,312,321如何区分这些相同元素的不同排列？第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.1 1.1 行列式的有关概念行列式的有关概念行列式的有关概念行列式的有关概念2 逆序逆序 n 个不同自然数按从小到大自然顺序的排列，称之为（n 级）排列的标准排列。标准排列如:123是一个（3级）标准顺序的排列。定义:若n个自然数组成的标准排列为p1p2psptpn(st)，若
8、有这n个自然数组成的任意一个排列p1p2ptpspn，则称ps与pt构成该排列的一个逆序；一个排列中，所有逆序的总数，称作该排列的逆序数。逆序数为偶数称为偶排列，逆序数为奇数称为奇排列，标准排列规定为偶排列。 第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.1 1.1 行列式的有关概念行列式的有关概念行列式的有关概念行列式的有关概念逆序数的计算设p1p2psptpn为1n的一个全排列，则其逆序数为 其中ti为排在pi前，且比pi大的数的个数。 例3：讨论1，2，3的全排列。全排列123231312132213321逆序数022113奇偶性偶奇第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行
9、列式1.1 1.1 行列式的有关概念行列式的有关概念行列式的有关概念行列式的有关概念用全排列的方式改写二阶，三阶行列式 二阶行列式 则是对1,2所有的全排列求和。若p1p2是1,2的全排列；t是p1p2的逆序数，三阶行列式注意：这里行标是按照自然顺序排列的！第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.1 1.1 行列式的有关概念行列式的有关概念行列式的有关概念行列式的有关概念若p1p2p3是1,2,3的全排列；则是对1,2,3所有的全排列求和。t是p1p2p3的逆序数；注意：这里行标也是按照自然顺序排列的！将二阶，三阶行列式推广可得n阶行列式的定义。四、四、 n阶行列式阶行列式定义定
10、义元的（称为行列式数), jiDaij第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.1 1.1 行列式的有关概念行列式的有关概念行列式的有关概念行列式的有关概念由n2个数组成的n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和(-1)ta1p1a2p2anpn.其中p1p2pn为自然数1,2,n的一个排列，t为这个排列的逆序数。 即可将n阶行列式记作：注意注意第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.1 1.1 行列式的有关概念行列式的有关概念行列式的有关概念行列式的有关概念1.n阶行列式是n！项的代数和;2.n阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n个元素的乘积;3
11、.一阶行列式a=a不要与绝对值记号相混淆;4. 的符号为例4： 计算,. 第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.1 1.1 行列式的有关概念行列式的有关概念行列式的有关概念行列式的有关概念解：D1中只有一项a11a22ann不含0，且列标构成排列的逆序数为：故同理D2中只有一项a1na2n-1an1不含0，且列标构成排列的逆序数为：故第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.1 1.1 行列式的有关概念行列式的有关概念行列式的有关概念行列式的有关概念结论：以主对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积以副对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于
12、副对角线上元素的乘积,并冠以符号特例：第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.1 1.1 行列式的有关概念行列式的有关概念行列式的有关概念行列式的有关概念定义：一个排列中某两个元素的位置互换成为对换。相邻对换：一般对换：仍以1，2，3的全排列为例全排列123231312132213321逆序数022113奇偶性偶奇五、五、 对换对换第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.1 1.1 行列式的有关概念行列式的有关概念行列式的有关概念行列式的有关概念定理1对换一次改变排列的奇偶性。证明思路：先证相邻对换，然后再证一般对换。(1) 相邻对换：对换后增加1,不变,故； 不变
13、,故：对换后减少1,； 所以对换后排列的奇偶性改变。(2) 一般对换：经过m次相邻对换经过m+1次相邻对换经过2m+1次相邻对换,排列的奇偶性改变将该对换分解为若干次相邻对换第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.1 1.1 行列式的有关概念行列式的有关概念行列式的有关概念行列式的有关概念定理1推论奇排列对换次数为奇数标准排列偶排列标准排列对换次数为偶数定理2注意：这里列标是标准排列，行表示自然数1n的全排列n阶行列式也可定义为：第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.1 1.1 行列式的有关概念行列式的有关概念行列式的有关概念行列式的有关概念六、六、 转置行列式转
14、置行列式若记, 其中，称DT为D的转置行列式。行列式转置的特点：以主对角线为对称轴，互换对称元素。作业：作业： 习题习题1（1）（）（3），），2（2）（）（3）（）（5）（）（6），），3第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式性质1.行列式与它的转置行列式相等.1.2 行列式的性行列式的性质及及应用用 1.2 1.2 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质质 设证明：其中D T为D 的转置行列式。则有故一、行列式的性质定理2第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式性质2.互换行列式中的两行（列）,行列式变号.1.2 1.2 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质
15、质 证明：设,则思路：利用行列式的定义证明第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.2 1.2 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质质 推论.若行列式D 中有两列完全相同,则D=0.第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式性质3(线性性质)1.2 1.2 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质质 (1)det(1,kj,n)=kdet(1,j,n);(2)det(1,j+j,n)=det(1,j,n)+det(1,j,n).推论：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。性质4.行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。证法：由
16、性质2的推论和性质3可证第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.2 1.2 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质质 性质5.把行列式的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上去,行列式的值不变.证法：根据性质2的推论和性质3、4可证1.上述性质给出了行列式关于行（列）的三种基本运算，即对换，数乘和加倍，它们构成行列式简化计算的依据；2.所有运算性质对于行或列均成立，因此在对一个行列式进行计算时对行和对列的运算均可使用。说明：思考：如何利用行列式的性质进行行列式的计算？上面的运算记作ci+kcj回忆例4：二、行列式性质的应用例4给我们了什么启示？第一章第一章第一章第一章 行列式行
17、列式行列式行列式1.2 1.2 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质质 第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.2 1.2 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质质 例5计算行列式常用方法：对具体的行列式，利用运算行列式的性质把行列式化为上(下)三角形行列式，从而算得行列式的值或者在此过程当中适当使用其它性质以简化计算。解：第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.2 1.2 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质质 这一步成立的依据是什么？第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.2 1.2 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质质 第
18、一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.2 1.2 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质质 千万要注意“行列式交换两行，符号要改变”.第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.2 1.2 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质质 第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.2 1.2 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质质 第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.2 1.2 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质质 第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.2 1.2 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质质
19、上三角行列式第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式例6. 1 2 1 2 4 4 2 2 1 2 2 1 3 4 3 4 2 2 ( ( 2) 2) 1 0 1 0 4 4 = = 2 6 1 2 6 1 3 10 3 10 2 2 1 1 0 0 0 0 = = 2 2 ( ( 7 7) ) 2 2 3 3 1 1 3 3 5 5 2 2 1 1 0 0 0 0= = 14 14 2 2 0 0 1 1 3 3 1 1 2 2 1 1 0 0 0 0= = 1414 2 2 1 1 0 0 3 3 2 2 1 1= = 14.14. 4 4 1 0 0 1 0 0 = = 2 6
20、 2 6 7 7 3 10 3 10 1414 ( ( 3) 3) 注: 本题也可以用定义或对角线法则计算. 1.2 1.2 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质质 第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式例7.设D=a a11 11 a a1 1mm a amm1 1 a ammmm D D1 1 = =, ,证明:D=D1D2.证明:对D1施行ri+krj 这类运算,把D1化为下三角形行列式:= =p p11 11 p pmm1 1 p pmmmm . . . .= = p p11 11 p pmmmm , ,b b11 11 b b1 1n n b bn n1 1 b b
21、nnnnD D2 2 = =, ,a a11 11 a a1 1mm 0 0 0 0 , ,a amm1 1 a amm mm 0 0 0 0 c c11 11 c c1 1m m b b11 11 b b1 1n n c cn n1 1 c cnm nm b bn n1 1 b bnn nn a a11 11 a a1 1mm a amm1 1 a ammmm D D1 1 = =1.2 1.2 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质质 第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式对D2施列ci+kcj 这类运算,把D2化为下三角形行列式:b b11 11 b b1 1n nb b
22、n n1 1 b bnnnnD D2 2 = = =q q11 11 q qn n1 1 q qnnnn . . . .= = q q11 11 q qnnnn , ,于是对D的前m行施行上述ri+krj 运算,再对D的后n列施列上述施列ci+kcj 运算,可得:. .p p11 11 p pmm1 1 p pmmmm c c11 11 c c1 1m m q q11 11 c cn n1 1 c cnm nm q qn n1 1 q qnnnn = =. . . . . .0= = p p11 11 p pmmmm q q11 11 q qnnnn = =D D1 1D D2 2. .a a
23、11 11 a a1 1mm 0 0 0 0 D D = =a amm1 1 a amm mm 0 0 0 0 c c11 11 c c1 1m m b b11 11 b b1 1n n c cn n1 1 c cnm nm b bn n1 1 b bnn nn 1.2 1.2 行列式的性行列式的性行列式的性行列式的性质质 行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值三、小结第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.2 1.2 行列式的性行列式的性行列式的性行
24、列式的性质质 作业：作业： 习题习题4（1）（）（3），），5（2）（）（3），），6定义：一般地,在n阶行列式中,把元素aij所在的第i行和第j列划去,留下来的n1阶行列式叫做元素aij的余子式,记作Mij,令Aij=(1)i+jMij,并称之为aij的代数余子式.中a32的余子式为a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44a11 a13 a14 a21 a23 a24 a41 a43 a44M32=,代数余子式A32 = ( 1)3+2M32 = M32. 例如,四阶行列式1.3 行列式的展开行列式的展开第一
25、章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.3 1.3 行列式的展开行列式的展开行列式的展开行列式的展开 引理 一个n 阶行列式，如果其中第i行所有元素除(i,j)外都为零，则这行列式等于aij与它的代数余子式的乘积，即D=aij Aij 例如例如第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.3 1.3 行列式的展开行列式的展开行列式的展开行列式的展开 证先证特殊情形，即当aij位于第一行第一列时,根据例7的结论，有又从而再证一般情形,此时第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.3 1.3 行列式的展开行列式的展开行列式的展开行列式的展开 第一章第一章第一章第一章
26、行列式行列式行列式行列式1.3 1.3 行列式的展开行列式的展开行列式的展开行列式的展开 把D的第i行依次与第i-1行，第i-2行，第1行对调得第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.3 1.3 行列式的展开行列式的展开行列式的展开行列式的展开 再把D的第j列依次与第j-1列，第j-2列，第1列对调得：中的余子式Mij。第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.3 1.3 行列式的展开行列式的展开行列式的展开行列式的展开 故得于是有第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.3 1.3 行列式的展开行列式的展开行列式的展开行列式的展开 定理 行列式等于它的任
27、一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即证第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.3 1.3 行列式的展开行列式的展开行列式的展开行列式的展开 第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.3 1.3 行列式的展开行列式的展开行列式的展开行列式的展开 思考：定理3的实用性如何？例例8第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.3 1.3 行列式的展开行列式的展开行列式的展开行列式的展开 第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.3 1.3 行列式的展开行列式的展开行列式的展开行列式的展开 证证用数学归纳法用数学归纳法例例9证明范德蒙德证明范
28、德蒙德(Vandermonde)行列式行列式第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.3 1.3 行列式的展开行列式的展开行列式的展开行列式的展开 第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.3 1.3 行列式的展开行列式的展开行列式的展开行列式的展开 即有再来证明（1）式对n阶范德蒙德行列式也成立。思考：如何计算Dn ？第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.3 1.3 行列式的展开行列式的展开行列式的展开行列式的展开 从第n行开始，用后行减去前行的x1倍，可得 n-1阶范德蒙德行列式第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.3 1.3 行列式
29、的展开行列式的展开行列式的展开行列式的展开 证证第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.3 1.3 行列式的展开行列式的展开行列式的展开行列式的展开 推论.n阶行列式的某一行(列)元素与另一行(列)的对应的代数余子式乘积之和为零.即 ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=0(ij) a1iA1j+a2iA2j+aniAnj=0(ij).同理相同第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.3 1.3 行列式的展开行列式的展开行列式的展开行列式的展开 关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.3 1.3 行列式
30、的展开行列式的展开行列式的展开行列式的展开 注:克罗内克(Kronecker)记号ij=1,i=j,0,ij.第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.3 1.3 行列式的展开行列式的展开行列式的展开行列式的展开 例10设D的(i,j)元的余子式和代数余子式依次记作Mij,和Aij。求：和思路：对本例来说，若直接计算每一项虽然难度不大，但计算量较大，且对于高阶行列式不现实，因此需考虑其他方法。解：若将视为某一行列式的展开式，则可先构造原行列式，然后计算该行列式即可。显然有下式成立第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.3 1.3 行列式的展开行列式的展开行列式的展开行
31、列式的展开 计算该行列式可得根据行列式的展开定理仿照上面的求解方法，我们构造一个以为展开式的行列式作业：作业： 习题习题4（4），），5（4），），7（1）（）（2）（）（6）交作业时间：3月15日对于二元线性方程组a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b21.4 行列式的行列式的应用用克拉默法克拉默法则回忆本课程开始时关于二元线性方程组与二阶行列式关系的讨论，若记则当D = a11a22 a12a21 0时,有唯一确定的解注意观察D1,D2与原方程组的关系.是否能将该方法推广到n元方程组的求解？第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.4 1.4
32、行列式的行列式的行列式的行列式的应应用用用用含有n个未知数x1，x2，xn的n个线性方程的方程组的系数行列式不等于零，即第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.4 1.4 行列式的行列式的行列式的行列式的应应用用用用一、克拉默法则其中Dj是把系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解可以表为第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.4 1.4 行列式的行列式的行列式的行列式的应应用用用用证明留待第二章。二、重要定理定理4如果线性方程组(1)的系数行列式D0，则方程组(1)一定有解,且解是唯一的
33、.定理4如果线性方程组(1)无解或有两个（或两个以上）不同的解，则它的系数行列式必为零.第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.4 1.4 行列式的行列式的行列式的行列式的应应用用用用齐次线性方程组x1=x2=xn=0一定是方程组（2）的解，称之为零解；方程组（2）有零解，但不一定有非零解。注意：定理定理5如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组(2)的系数行列式的系数行列式D0则齐次线则齐次线性方程组性方程组(2)没有非零解没有非零解.第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.4 1.4 行列式的行列式的行列式的行列式的应应用用用用定理定理5 如果齐次线性方程组如果齐次
34、线性方程组(2)有非零解有非零解,则它的系数行列式必则它的系数行列式必为零为零.必有非零解.系数行列式说明：例11用克拉默则解方程组解：第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.4 1.4 行列式的行列式的行列式的行列式的应应用用用用第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.4 1.4 行列式的行列式的行列式的行列式的应应用用用用第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.4 1.4 行列式的行列式的行列式的行列式的应应用用用用第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.4 1.4 行列式的行列式的行列式的行列式的应应用用用用例12解：由定理4可知，
35、若所给齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式D=0，即第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.4 1.4 行列式的行列式的行列式的行列式的应应用用用用计算行列式D由D =0可得将代入原方程组可验证得此时该方程组确有非零解。作业：作业： 习题习题8（1），），9，10交作业时间：3月9日请思考：克拉默法则的实用性如何？第二章第二章 矩阵矩阵 2.1 矩矩阵的基本概念的基本概念 一一. 矩阵概念矩阵概念 1. m n矩阵矩阵 元素元素: aij (i = 1, , m, j = 1, , n) a11 a12 a1na21 a22 a2n am1 am2 amn注: 元素都是实(复)
36、数的矩阵称为实(复)矩阵.今后除非特别说明, 我们所考虑的矩阵都是实矩阵.思考：矩阵与行列式的区别例例例例1 1. . 某厂家向三个代理商发送四种产品某厂家向三个代理商发送四种产品某厂家向三个代理商发送四种产品某厂家向三个代理商发送四种产品. . A A = =20 50 30 2520 50 30 2516 20 16 1616 20 16 16 B B = =200 180 190200 180 190100 120 100100 120 100150 160 140150 160 140180 150 150180 150 150第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.1 2.1
37、 矩矩矩矩阵阵概念概念概念概念 a1i表示第i种产品的单价，a2i表示第i种产品的单件重量；bij表示向第j个城市发送第i种产品的数量。2.1 2.1 矩矩矩矩阵阵概念概念概念概念 例例例例2 2. . 四个城市间的单向航线如图所示四个城市间的单向航线如图所示四个城市间的单向航线如图所示四个城市间的单向航线如图所示. . 若若若若a aij ij表示从表示从表示从表示从i i市市市市 到到到到j j市航线的条数市航线的条数市航线的条数市航线的条数, , 则右图可用矩阵表示为则右图可用矩阵表示为则右图可用矩阵表示为则右图可用矩阵表示为1 41 42 32 3A A = ( = (a aij ij
38、) =) =0 1 1 10 1 1 11 0 0 01 0 0 00 1 0 00 1 0 01 0 1 01 0 1 0例例例例3 3. . 直线的一般方程直线的一般方程直线的一般方程直线的一般方程 A A1 1x x+ +B B1 1y y+ +C C1 1z z+ +D D1 1 = 0 = 0 A A2 2x x+ +B B2 2y y+ +C C2 2z z+ +D D2 2 = 0 = 0 A A1 1 B B1 1 C C1 1A A2 2 B B2 2 C C2 2系数矩阵系数矩阵系数矩阵系数矩阵 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.1 2.1 矩矩矩矩阵阵概念概
39、念概念概念 3. 向量向量 n维行向量维行向量: 1 1 n n矩阵矩阵矩阵矩阵( (a a1 1 a a2 2 a an n) ) 或或或或 a a1 1, , a a2 2, , , , a an n n维列向量维列向量: n 1矩阵矩阵 a1a2an第第i分量分量: ai (i = 1, , n) n阶方阵阶方阵: n n矩阵矩阵 2. 方阵方阵 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.1 2.1 矩矩矩矩阵阵概念概念概念概念 4.两个矩阵的行数相等,列数也相等时,称它们是同型矩阵.5.若两个同型矩阵A =aijmn与B =bijmn 满足:对于任意的1im,1jn,aij =
40、bij都成立,则称这两个矩阵相等,记为A=B.第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.1 2.1 矩矩矩矩阵阵概念概念概念概念 二二. 几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵 1. 对称矩阵对称矩阵 则称则称A为为对称矩阵对称矩阵. 若若矩阵矩阵A = aijm n满足满足: m = n且且aij = aji (i, j = 1, 2, , n). 1 22 1 1 0 1 0 x 3 1 3 0第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.1 2.1 矩矩矩矩阵阵概念概念概念概念 2. 对角矩阵对角矩阵 方阵方阵A = aijn n的的a11, a
41、22, , ann称为称为对角线对角线 元素元素. 若方阵若方阵A = aijn n除了对角线元素除了对角线元素(可能不是可能不是 0)以外以外, 其它元素都是其它元素都是0, 则称则称A为为对角矩阵对角矩阵.对角线元素依次为对角线元素依次为 1, 2, , n的对角矩阵的对角矩阵 有时也记为有时也记为 = diag 1, 2, , n, 即即 = diag 1, 2, , n = 1 0 0 0 2 0 0 0 n.第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.1 2.1 矩矩矩矩阵阵概念概念概念概念 3. 数量矩阵数量矩阵 若对角矩阵若对角矩阵A = aijn n的对角线元素为同一的对角
42、线元素为同一 个数个数, 则称则称A为为数量矩阵数量矩阵(纯量矩阵纯量矩阵). 例如例如4. 单位矩阵单位矩阵 称为称为n阶单位矩阵阶单位矩阵. En =1 0 00 1 0 0 0 1 n n 2 0 0 0 2 0 0 0 23 00 3 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.1 2.1 矩矩矩矩阵阵概念概念概念概念 5. 反对称矩阵反对称矩阵 则称则称A为为反对称矩阵反对称矩阵. 若若矩阵矩阵A = aijm n满足满足: m = n且且aij = aji (i, j = 1, 2, , n). 0 22 0 0 1 1 1 0 3 1 3 0注意与对称矩阵的区别第二章第二章第
43、二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.1 2.1 矩矩矩矩阵阵概念概念概念概念 6. 零矩阵零矩阵 有时有时, 加下标指明其阶数加下标指明其阶数. 通常用通常用O表示零矩阵表示零矩阵. 0 00 0 0 0 00 0 00 0 00 0 00 0 0例如例如, 上述零矩阵分别可以记为上述零矩阵分别可以记为: O2, O2 3, O3. 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.2 2.2 矩矩矩矩阵阵的基本运算的基本运算的基本运算的基本运算 2.2 矩矩阵的基本运算的基本运算 一一. 矩阵的线性运算矩阵的线性运算 1. 加法加法 两个同型矩阵两个同型矩阵A = aijm n与与B = bij
44、m n的的和和C定义为定义为: C = cijm n = aij+bijm n.注注: 设矩阵设矩阵A = (aij)m n , 记记 A = ( aij)m n , 称之为称之为A的的负矩阵负矩阵. 设设A, B是同型矩阵是同型矩阵, 则它们的则它们的差差定义为定义为 A + ( B). 记为记为A B. 即即A B = A + ( B). 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.2 2.2 矩矩矩矩阵阵的基本运算的基本运算的基本运算的基本运算 2. 数乘数乘 设矩阵设矩阵A = (aij)m n , 数数k与与A的的乘积乘积定义为定义为 (kaij)m n ,记为记为kA或或Ak.
45、 注注: 矩阵加法和数乘运算统称为矩阵的矩阵加法和数乘运算统称为矩阵的线性运线性运 算算.即即kA = Ak =ka11 ka12 ka1nka21 ka22 ka2n kam1 kam2 kamn第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.2 2.2 矩矩矩矩阵阵的基本运算的基本运算的基本运算的基本运算 3. 性质性质 设设A, B, C, O是同型矩阵是同型矩阵, k, l是数是数, 则则 (1) A + B = B + A, (2) (A + B) + C = A + (B + C), (3) A + O = A,(4) A + ( A) = O, (5) 1A = A, (6) k
46、(lA) = (kl)A, (7) (k + l)A = kA + lA,(8) k(A + B) = kA + kB.第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.2 2.2 矩矩矩矩阵阵的基本运算的基本运算的基本运算的基本运算 二二. 矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘 例例例例4 4. . 某厂家向三个代理商发送四种产品某厂家向三个代理商发送四种产品某厂家向三个代理商发送四种产品某厂家向三个代理商发送四种产品. . A A = =20 50 30 2520 50 30 2516 20 16 1616 20 16 16 B B = =200 180 190200 180 190100 120
47、100100 120 100150 160 140150 160 140180 150 150180 150 150思考：向某地发货的总重如何计算？第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.2 2.2 矩矩矩矩阵阵的基本运算的基本运算的基本运算的基本运算 1. 设设A = (aij)m s , B =(bij)s n , 则则A与与B的的乘积乘积是是 一个一个m n矩阵矩阵C = (cij)m n , 其中其中cij = ai1b1j + ai2b2j + aisbsj = aikbkj. k k=1=1s s记为记为C = AB. 称称AB为为“以以A左乘左乘B” 或或 “以以B 右乘
48、右乘A”.a a1111b b1111+ +a a1212b b2121+ +a a1313b b3131 a a1111b b1212+ +a a1212b b2222+ +a a1313b b3232a a2121b b1111+ +a a2222b b2121+ +a a2323b b3131 a a2121b b1212+ +a a2222b b2222+ +a a2323b b3232= =a a1111 a a1212 a a1313a a2121 a a2222 a a2323b b1111 b b1212 b b2121 b b2222b b3131 b b3232如如如如 第
49、二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.2 2.2 矩矩矩矩阵阵的基本运算的基本运算的基本运算的基本运算 2. 矩阵乘积的特殊性矩阵乘积的特殊性 (1)只有当矩阵只有当矩阵A的的列列数等于矩阵数等于矩阵B的的行行数时数时, 乘积乘积AB才有意义才有意义. (2)若若A是一个是一个m n矩阵矩阵, 而而B是一个是一个n m矩阵矩阵, 则则AB和和BA都有意义都有意义. 但但AB是一个是一个m阶方阶方 阵阵, BA是一个是一个n阶方阶方阵阵. 当当m n时时, AB 与与 BA谈不上相等不相等谈不上相等不相等. 即使即使m = n, AB与与BA是同阶是同阶方方阵也未必相等阵也未必相等. 例
50、如例如:第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.2 2.2 矩矩矩矩阵阵的基本运算的基本运算的基本运算的基本运算 1 1 2 2 2 4 1 2 1 0 0 1 1 1 2 2 2 4 1 2 1 0 0 1=0 00 0 3 3 6 1 1 2 2 2 4 = 1 1 2 2 1 21 2=0 00 0 1 1 2 2 1 21 2= 3 3 3 3注意对比AB与BA的差别第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.2 2.2 矩矩矩矩阵阵的基本运算的基本运算的基本运算的基本运算 设设k是数是数, 矩阵矩阵A, B, C 使以下各式中一端使以下各式中一端有意义有意义, 则另一端也
51、有意义并且等式成立则另一端也有意义并且等式成立: (1) (AB)C = A(BC), (2) A(B+C) = AB + AC, (A+B)C = AC+BC,(3) (kA)B = k(AB).3. 矩阵乘法的性质矩阵乘法的性质 注意：矩阵乘法有结合律，分配律，但是没有交换律！第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.2 2.2 矩矩矩矩阵阵的基本运算的基本运算的基本运算的基本运算 结合律的妙用之一结合律的妙用之一 设设A = BC, 其中其中B = , C = 1 2 3, 1231 2 3 2 4 6 , 3 6 9则则A = 我们可以定义我们可以定义A的的正整数幂正整数幂 A1
52、 = A, A2 = AA, , Ak+1 = AkA, 对于这里的对于这里的A, A2005 = ?当然当然, 对于任意方阵对于任意方阵A, 都可以像上面这样去都可以像上面这样去 定义定义A的正整数幂的正整数幂. 而且有如下结论而且有如下结论第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.2 2.2 矩矩矩矩阵阵的基本运算的基本运算的基本运算的基本运算 AkAl = Ak+l, (Ak)l = Akl (AB)k = AkBk 但即使但即使A与与B是同阶方阵是同阶方阵, 也未必成立也未必成立! 注注: 不能说不能说 “因为因为AB = BA未必成立未必成立, 所以所以(AB)k = AkBk
53、 未必成立未必成立”. 例如例如A = 0 10 0, B = 1 00 0, AB = 0 00 0,BA =0 10 0, AB BA, 但但(AB)k = AkBk成立成立. 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.2 2.2 矩矩矩矩阵阵的基本运算的基本运算的基本运算的基本运算 (AB)k = AkBk 要说明即使要说明即使A与与B是同阶方阵是同阶方阵, 也未必成立也未必成立, 只要举出一个反例即可只要举出一个反例即可. 例如例如A =1 10 0, B =1 01 0, AB =2 00 0,A2 =1 10 0= A,当然这里当然这里AB BA B2 =1 01 0=B,(
54、AB)2 =4 00 0, A2B2 = AB =2 00 0,=1 11 1.第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.2 2.2 矩矩矩矩阵阵的基本运算的基本运算的基本运算的基本运算 三三. 矩阵的转置矩阵的转置 1. 设矩阵设矩阵A = a11 a12 a1na21 a22 a2n am1 am2 amn, AT = a11 a21 am1a12 a22 am2 a1n a2n amn为为A的的转置转置. 则称矩阵则称矩阵 注意与行列式转置的对比。第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.2 2.2 矩矩矩矩阵阵的基本运算的基本运算的基本运算的基本运算 矩阵的转置运算满足如下
55、性质矩阵的转置运算满足如下性质 (1) (AT)T = A, (2) (A+B)T = AT + BT, (3) (kA)T = kAT, (4) (AB)T = BTAT.2. 性质性质 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.2 2.2 矩矩矩矩阵阵的基本运算的基本运算的基本运算的基本运算 方方阵的行列式的行列式 一一. 方阵行列式的定义方阵行列式的定义 n阶方阵阶方阵A = a11 a12 a1na21 a22 a2n An1 an2 ann的元素所构成的行列式称方阵的元素所构成的行列式称方阵A的行列式，的行列式，记作记作|A|或或detA（determinant）。）。第二章第
56、二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.2 2.2 矩矩矩矩阵阵的基本运算的基本运算的基本运算的基本运算 | A | = a11 a12 a1na21 a22 a2n an1 an2 ann即即注意：注意：注意：注意：构成行列式时不能改变矩阵各元素的位置！构成行列式时不能改变矩阵各元素的位置！构成行列式时不能改变矩阵各元素的位置！构成行列式时不能改变矩阵各元素的位置！只有方阵才有行列式只有方阵才有行列式只有方阵才有行列式只有方阵才有行列式重点强调：矩阵是一个数表，行列式是矩阵的各重点强调：矩阵是一个数表，行列式是矩阵的各重点强调：矩阵是一个数表，行列式是矩阵的各重点强调：矩阵是一个数表，行列式
57、是矩阵的各元素按照一定的运算法则所确定的一个数元素按照一定的运算法则所确定的一个数元素按照一定的运算法则所确定的一个数元素按照一定的运算法则所确定的一个数( (可以对可以对可以对可以对比一下矩阵和行列式的加法运算比一下矩阵和行列式的加法运算比一下矩阵和行列式的加法运算比一下矩阵和行列式的加法运算) )第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.2 2.2 矩矩矩矩阵阵的基本运算的基本运算的基本运算的基本运算 1阶方阵阶方阵A = a11的行列式的行列式|A|定义为定义为a11. a11 a12 a21 a222阶方阵阶方阵A = 的行列式的行列式|A|定义为定义为 a11 a12 a21
58、a22|A| = = a11a22 a12a21. a11 a12 a21 a22a11( 1)1+1a22 + a12 ( 1)1+2a21 a11 a12 a21 a22第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.2 2.2 矩矩矩矩阵阵的基本运算的基本运算的基本运算的基本运算 3阶方阵阶方阵A = 的行列式的行列式|A|定义为定义为 a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33|A| =a11 a12 a13 a21 a22 a23a31 a32 a33= a11A11 + a12A12 + a13A13 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31
59、 + a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31 . 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.2 2.2 矩矩矩矩阵阵的基本运算的基本运算的基本运算的基本运算 二二. 行列式的性质复习行列式的性质复习 性质性质1. 互换行列式中的两列互换行列式中的两列, 行列式变号行列式变号. 推论推论. 若行列式若行列式 D 中有两列完全相同中有两列完全相同, 则则 D = 0.性质性质2. (线性性质线性性质) (1) det( 1, , k j, , n) = kdet( 1, , j, , n); (2) det( 1, , j+ j, ,
60、n) = det( 1, , j, , n) + det( 1, , j, , n). 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.2 2.2 矩矩矩矩阵阵的基本运算的基本运算的基本运算的基本运算 推论推论. 若行列式若行列式 D 中有两列元素成比例中有两列元素成比例, 则则 D = 0.性质性质3. 把行列式的某一列的把行列式的某一列的k倍加到另一列倍加到另一列 上去上去, 行列式的值不变行列式的值不变.a a11 11 ( (a a1 1i i + + k ka a1 1j j) ) a a1 1j j a a1 1n n a a2121 ( (a a2 2i i + + k ka a
61、2 2j j) ) a a2 2j j a a2 2n n a an n1 1 ( (a an ni i + + k ka an nj j) ) a an nj j a annnn= =a a11 11 a a1 1i i a a1 1j j a a1 1n n a a2121 a a2 2i i a a2 2j j a a2 2n n a an n1 1 a an ni i a an nj j a annnn+ +a a11 11 k ka a1 1j j a a1 1j j a a1 1n n a a2121 k ka a2 2j j a a2 2j j a a2 2n n a an n1
62、 1 k ka an nj j a an nj j a annnn第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.2 2.2 矩矩矩矩阵阵的基本运算的基本运算的基本运算的基本运算 性质性质4. 设设A, B为为同阶同阶方阵方阵, 则则|AB| = |A|B|. 性质性质5. 设设A方阵方阵, 则则|AT| = |A| . 注注: 根据方阵的性质根据方阵的性质5, 前面几条关于前面几条关于列列的性的性 质可以翻译到质可以翻译到行行的情形的情形. 例如例如:性质性质1. 互换行列式中的两互换行列式中的两行行, 行列式变号行列式变号. 性质性质6. 设设A方阵方阵, 则则|kA| =kn|A| .
63、第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.2 2.2 矩矩矩矩阵阵的基本运算的基本运算的基本运算的基本运算 定理定理 n阶行列式阶行列式D等于它的任意一行等于它的任意一行 (列列) 的各元素与其对应的的各元素与其对应的代数余子式代数余子式乘积乘积 之和之和. 即即 D = a11A11 + a12A12 + + a1nA1n = a21A21 + a22A22 + + a2nA2n = = an1An1 + an2An2 + + annAnn = a11A11 + a21A21 + + an1An1 = a12A12 + a22A22 + + an2An2 = = a1nA1n + a2
64、nA2n + + annAnn . 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.2 2.2 矩矩矩矩阵阵的基本运算的基本运算的基本运算的基本运算 性质性质7. n阶行列式的某一行阶行列式的某一行(列列)元素与另一元素与另一 行行(列列)的对应的代数余子式乘积之和的对应的代数余子式乘积之和 为零为零. 即即 ai1Aj1 + ai2Aj2 + + ainAjn = 0 (i j) a1iA1j + a2iA2j + + aniAnj = 0 (i j).定理定理 设设n阶行列式阶行列式D = |aij|, 则则注注: 克罗内克克罗内克(Kronecker)记号记号 ij = 1, i = j
65、,0, i j. 按行展开按行展开 aikAjk = D ij , k k=1=1n n按列展开按列展开 akiAkj = D ij . k k=1=1n n第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.2 2.2 矩矩矩矩阵阵的基本运算的基本运算的基本运算的基本运算 三三. 方阵行列式的应用方阵行列式的应用 设设A = aijn n为方阵为方阵, 元素元素aij的代数余子的代数余子 式为式为Aij, 则称如下矩阵则称如下矩阵A*=A11 A21 An1A12 A22 An2 A1n A2n Ann为方阵为方阵A的的伴随矩阵伴随矩阵. 1. 伴随矩阵伴随矩阵注意：与A相比，A A* *元素的
66、行标对应A的元素列标，A A* *元素的列标对应A元素的行标第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.2 2.2 矩矩矩矩阵阵的基本运算的基本运算的基本运算的基本运算 A*=A11 A21 An1A12 A22 An2 A1n A2n AnnA = a11 a12 a1na21 a22 a2n An1 an2 annA21 A*12第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.2 2.2 矩矩矩矩阵阵的基本运算的基本运算的基本运算的基本运算 例例 求求A = a b c d 的伴随矩阵的伴随矩阵. 解解: A11 = d, A21 = b, A12 = c, A22 = a. A*=
67、A11 A21 A12 A22 = d b c a . 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.2 2.2 矩矩矩矩阵阵的基本运算的基本运算的基本运算的基本运算 例例9 设设A为方阵为方阵, A*为其伴随矩阵为其伴随矩阵. 证明证明: AA*= A*A= |A|E.证明证明: AA*= a11 a1n an1 ann A11 An1A1n Ann = n n n n a1kA1k a1kAnk k k=1 =1 k k=1=1 n n n n ankA1k ankAnk k k=1 =1 k k=1=1 = |A| |A| . 问题：| |AAAA* *| |= |= |A A* *A
68、 A | | = |= |A A| |成立否？成立否？成立否？成立否？四四. 共轭矩阵共轭矩阵第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.2 2.2 矩矩矩矩阵阵的基本运算的基本运算的基本运算的基本运算 当当A=（aij）为复矩阵（即矩阵元素为复数）为复矩阵（即矩阵元素为复数）时，若记时，若记aij 的共轭复数为的共轭复数为，则，则称为称为A的共轭矩阵。的共轭矩阵。共轭矩阵的运算规律：共轭矩阵的运算规律：本节作业：本节作业： 习题习题3，4，8，9第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.3 2.3 方方方方阵阵的逆矩的逆矩的逆矩的逆矩阵阵 2.3 方方阵的逆矩的逆矩阵 上式表示由n
69、个变量x1,x2,xn到变量y1,y2,ym的关系式称为变量x1,x2,xn到变量y1,y2,ym的线性变换。将上面的线性变换写成矩阵形式Y=AX其中A为系数矩阵，X, Y可分别记为第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.3 2.3 方方方方阵阵的逆矩的逆矩的逆矩的逆矩阵阵 线性变换的矩阵形式线性变换的矩阵形式Y=AX相当于用相当于用X表示了表示了Y（或者说已知（或者说已知X求求Y），在实际），在实际中常会遇到已知中常会遇到已知Y求求X，即要求用，即要求用Y表示表示X。问题：问题： 如何从上式得到如何从上式得到YX的表示式？即求的表示式？即求X=BY中中B的表达。的表达。回忆一下本章回
70、忆一下本章例例9 9（课本（课本P43P43页）页）第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.3 2.3 方方方方阵阵的逆矩的逆矩的逆矩的逆矩阵阵 我们前面的问题：我们前面的问题： 如何从如何从Y=AX得到得到YX的表示式的表示式X=BY例例9 设设A为方阵为方阵, A*为其伴随矩阵为其伴随矩阵. 证明证明: AA*= A*A= |A|E.受例受例9启发，给启发，给A*A= |A|E两端右乘两端右乘X，可得，可得A*AX= |A|EX= |A|XY=AXA*Y = |A|X（其中（其中|A|0）若若记记，则可得，则可得YX的线性变换的线性变换X=BY（我们（我们 常称之为常称之为线性变换
71、线性变换Y=AX 的逆变换的逆变换）。第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.3 2.3 方方方方阵阵的逆矩的逆矩的逆矩的逆矩阵阵 若将若将X=BY代入代入Y=AX 可得可得Y=A(BY)=(AB)Y显然，上式说明显然，上式说明AB是恒等变换矩阵，因此是恒等变换矩阵，因此AB=E同样，将同样，将Y=AX 代入代入 X=BY可得可得X=B (AX)=(BA)X显然，显然，BA也是恒等变换矩阵，即也是恒等变换矩阵，即BA=E故，若故，若X=BY是线性变换是线性变换Y=AX的逆变换，则系的逆变换，则系数矩阵数矩阵A，B满足满足AB=BA=E第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.3
72、2.3 方方方方阵阵的逆矩的逆矩的逆矩的逆矩阵阵 一一. 逆矩逆矩阵的概念的概念 1. 定义定义: 设设A为方阵为方阵, 若存在方阵若存在方阵B, 使得使得 AB = BA = E. 则称则称A可逆可逆, 并称并称B为为A的的逆矩阵逆矩阵. 2. 逆矩阵的唯一性逆矩阵的唯一性事实上事实上, 若若AB = BA = E, AC = CA = E,则则B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C.今后我们把可逆矩阵今后我们把可逆矩阵A的逆矩阵记为的逆矩阵记为A 1，即，即若若AB=BA=E，则，则B= A 1定理定理1. 设方阵设方阵A可逆可逆, 则其逆矩阵是唯一的则其逆矩阵是唯
73、一的. 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.3 2.3 方方方方阵阵的逆矩的逆矩的逆矩的逆矩阵阵 定理定理定理定理2 2. . 若方阵若方阵A可逆可逆, 则则|A|0.其中其中A*是矩阵是矩阵A的伴随矩阵的伴随矩阵定理定理定理定理3. 3.若若|A|0，则方阵，则方阵A可逆可逆, 且且由定理由定理2，3可知可知矩阵矩阵A可逆可逆|A|0或矩阵或矩阵A非奇异非奇异推论：推论：A，B是是n阶方阵，若阶方阵，若AB=E，则，则B=A-1第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 3. 逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质 设设A, B为同阶可逆方阵为同阶可逆方阵, 数数k 0. 则则 (1)
74、 (A 1) 1 = A. (2) (AT) 1 = (A 1)T. (3) (kA) 1 = k 1A 1. (4) (AB) 1 = B 1A 1. 2.3 2.3 方方方方阵阵的逆矩的逆矩的逆矩的逆矩阵阵 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.3 2.3 方方方方阵阵的逆矩的逆矩的逆矩的逆矩阵阵 例例10：已知：已知 ，求，求A-1-1。解：解：由于，矩阵A的逆阵存在。由定理三可得这样的求逆阵方式太麻烦！第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.3 2.3 方方方方阵阵的逆矩的逆矩的逆矩的逆矩阵阵 例例11：已知：已知AXB=C,求求X。其中。其中 解：解：思路：借鉴代数
75、中求解未知数的方法，但是要注意矩阵运算时与代数运算的不同之处。由于|A|=2，|B|=1，矩阵A，B的逆阵存在。则可以分别给AXB=C两端左乘A-1，右乘B-1：A-1AXBB-1= A-1CB-1矩阵乘法的结合律(A-1A)X(BB-1)= A-1CB-1X= A-1CB-1提醒：矩阵乘法没有交换律第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.3 2.3 方方方方阵阵的逆矩的逆矩的逆矩的逆矩阵阵 例例12：已知：已知A满足足A2-5A+4E=O,求求证A-3E可逆。可逆。解：解：思路：借鉴代数中因式分解的方法，求得A-3E的表达式（同样要注意矩阵运算时与代数运算的不同之处）。对已知方程进行
76、因式分解：(A-3E)(A-2E)-2E= O(A-3E)(A-2E)=2E|(A-3E)(A-2E)|=|(A-3E)| (A-2E)|= 2n显然：|(A-3E)|0，|(A-2E)|0 即：A-3E和A-2E的逆矩阵存在，其中 (A-3E)-1=(A-2E)/2第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.3 2.3 方方方方阵阵的逆矩的逆矩的逆矩的逆矩阵阵 例例13：已知：已知解：解：思路：先求A,写出An的表达式,再观察有无简单的计算方法。给AP = P右乘右乘P -1可得可得 A= PP -1故A2= (PP-1)(PP-1)= P2P -1 同样：可用数学归纳法证明, AP =
77、 P。求求An因因|P|0， 故故P-1存在。存在。进一步给出A3= P3P -1 借用数学归纳法可证得：An= PnP-1 则An易得。第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 四四. 方阵的多项式方阵的多项式 设A为一个方阵,f(x)为x的一个多项式 称之为方阵A的m次多项式. f(x) = asxs + as 1xs 1 + + a1x + a0 规定 f(A) = amAm + am 1Am 1 + + a1A + a0E 注意：由于矩阵Ak、E均是可交换的，因此矩阵A的不同多项式是可交换的。2.3 2.3 方方方方阵阵的逆矩的逆矩的逆矩的逆矩阵阵 这说明：这说明：A的多项式可以像代
78、数中的多项式可以像代数中x的多项式那样进的多项式那样进行因式分解。行因式分解。（例（例12就是一个例子）就是一个例子）即f(A)q(A)= q(A)f(A)第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.3 2.3 方方方方阵阵的逆矩的逆矩的逆矩的逆矩阵阵 例例12：已知：已知A满足足A2-5A+4E=O,求求证A-3E可逆。可逆。解：解：思路：借鉴代数中因式分解的方法，求得A-3E的表达式（同样要注意矩阵运算时与代数运算的不同之处）。对已知方程进行因式分解：(A-3E)(A-2E)-2E= O(A-3E)(A-2E)=2E|(A-3E)(A-2E)|=|(A-3E)| (A-2E)|= 2n
79、显然：|(A-3E)|0，|(A-2E)|0 即：A-3E和A-2E的逆矩阵存在，其中 (A-3E)-1=(A-2E)/2第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.4 2.4 分分分分块块矩矩矩矩阵阵 一一. 基本概念基本概念 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 0 1 0 4 50 1 0 4 50 0 1 7 60 0 1 7 63 2 1 0 03 2 1 0 06 5 4 0 06 5 4 0 02.4 分分块矩矩阵 1 0 01 0 0 1 2 1 2 0 1 00 1 0 4 5 4 50 0 10 0 1 7 6 7 63 2 1 3 2 1 0 00 06 5 4 6
80、 5 4 0 00 0= = E3 B C O2分块矩阵的概念：分块矩阵的概念： 如果将矩阵用若干条横线和纵线分割成许多小矩阵，则如果将矩阵用若干条横线和纵线分割成许多小矩阵，则每一个小块都可构成一个矩阵（称之为原矩阵的每一个小块都可构成一个矩阵（称之为原矩阵的子块子块），以），以子块为元素的形式上的矩阵称为子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵分块矩阵。特点：同行上的子矩阵有相同的特点：同行上的子矩阵有相同的“行数行数”；同列上的子矩阵有相同的同列上的子矩阵有相同的“列数列数”第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.4 2.4 分分分分块块矩矩矩矩阵阵 A = A1, A2, , An
81、, （每个子块都是列向量）（每个子块都是列向量）二二. 常用的分块法常用的分块法1.设A为mn矩阵,记Aj为A的第j列,i为A 的第i行(j =1,n,i =1,m),则有如下两种简单、重要的分块方法 1 2 mA =. （每个子块都是行向量）（每个子块都是行向量） 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.4 2.4 分分分分块块矩矩矩矩阵阵 设A为n阶矩阵,若A的分块矩阵只有主对角线上有非零子块,其余子块都为零矩阵,且非零子块都是方阵,即A A = = A A1 1 O O O OO O A A2 2 O O O O O O A As s, ,其中A1,A2,As都是方阵,则称A为分
82、块对角矩阵(或准对角矩阵).例如2. 分块对角矩阵分块对角矩阵（对一些特殊的矩阵适用）（对一些特殊的矩阵适用） 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.4 2.4 分分分分块块矩矩矩矩阵阵 注意：将矩阵A分块的方式不是唯一的，如矩阵Amn可以分块为但是这里必然有 成立。同时也必然有Aij与Akj的列数相同，Aik与Aij的行数相同。在对阶数较高的矩阵进行运算时常常把矩阵分成适当的小块矩阵，然后把每个小块当作“数”一样处理，使运算简便（有限元方法中就常常用到）。 矩阵分块的意义矩阵分块的意义 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.4 2.4 分分分分块块矩矩矩矩阵阵 三三. 基
83、本运算基本运算（与普通矩阵的运算规则相类似与普通矩阵的运算规则相类似） 1.分块加法分块加法 A A = = A A1111 A A1212 A A1 1r rA A2121 A A2222 A A2 2r r A As s1 1 A As s2 2 A Asrsr, ,B B = = B B1111 B B1212 B B1 1r rB B2121 B B2222 B B2 2r r B Bs s1 1 B Bs s2 2 B Bsrsr, , 其中其中Aij与与Bij是同型的是同型的“小小”矩阵矩阵（即行、列（即行、列数分别相同）数分别相同）. 则则A+B可看成是分块矩阵的和。可看成是分块
84、矩阵的和。 设矩阵设矩阵A与与B是是同型同型的的, 采用相同的分块采用相同的分块 法分别将法分别将A与与B分块如下分块如下A A1111+ +B B1111 A A1212+ +B B1212 A A1 1r r + +B B1 1r r A A2121+ +B B2121 A A2222+ +B B2222 A A2 2r r + +B B2 2r r A As s1 1+ +B Bs s1 1 A As s2 2+ +B Bs s2 2 A Asr sr + +B Bsrsr . .A A + + B B = = 设矩阵设矩阵设矩阵设矩阵A A = = A A1111 A A1212 A
85、A1 1r rA A2121 A A2222 A A2 2r r A As s1 1 A As s2 2 A Asrsr, , 为常数为常数为常数为常数. . A A1111 A A1212 A A1 1r r A A2121 A A2222 A A2 2r r A As s1 1 A As s2 2 A Asrsr. .则则则则 A A = = 2. 分块数乘分块数乘 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.4 2.4 分分分分块块矩矩矩矩阵阵 3. 分块乘法分块乘法 设设设设A A为为为为mm l l矩阵矩阵矩阵矩阵, , B B为为为为l l n n矩阵矩阵矩阵矩阵, , 将它们
86、分块如下将它们分块如下将它们分块如下将它们分块如下 A A = =A A1111 A A1212 A A1 1t tA A2121 A A2222 A A2 2t t A As s1 1 A As s2 2 A Ast st, ,B B = =B B1111 B B1212 B B1 1r rB B2121 B B2222 B B2 2r r B Bt t1 1 B Bt t2 2 B Btr tr, ,其中其中其中其中A Ai i1 1, , A Ai i2 2, , , , A Ait it的列数分别与的列数分别与的列数分别与的列数分别与B B1 1j j, , B B2 2j j, ,
87、, , B Btj tj的的的的 行数相等行数相等行数相等行数相等. . ( (i i = 1, 2, , = 1, 2, , s s; ; j j = 1, 2, , = 1, 2, , r r.) .)C C1111 C C1212 C C1 1r r C C2121 C C2222 C C2 2r r C Cs s1 1 C Cs s2 2 C Csrsr, , 其中其中其中其中C Cij ij = = A Ai ik kB Bk kj j , ,则则则则ABAB = = k k=1=1t t第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.4 2.4 分分分分块块矩矩矩矩阵阵 注意与矩阵
88、乘法相类比注意与矩阵乘法相类比在将小块矩阵当作“数”来做分块乘法时，必须注意相乘因子的先后顺序 1 0 1 0 1 1 0 0 1 2 0 11 2 0 1 1 0 1 0 4 1 4 1 1 1 1 2 1 2 0 0B B = = , ,求求求求ABAB. . 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 21 2 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1例例例例1414. . 设设设设 A A = = , ,解解解解: :A A = = , ,E E O OA A1 1 E EB B = = , ,B B1111 E EB B2121 B B2222其中其中其
89、中其中E E = = , ,1 01 00 10 1 1 21 2 1 1 1 1A A1 1= = , , 1 0 1 0 1 21 2B B1111= = , , 1 0 1 0 1 1 1 1B B2121= =, ,4 14 12 2 0 0B B2222= =. .于是于是于是于是ABAB = = E E O OA A1 1 E EB B1111 E EB B2121 B B2222, , B B1111 E EA A1 1B B1111+ +B B2121 A A1 1+ +B B2222 = =第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.4 2.4 分分分分块块矩矩矩矩阵阵
90、而而而而A A1 1B B1111 = = 1 21 2 1 1 1 1 1 0 1 0 1 21 2 3 43 4 0 2 0 2= =, ,A A1 1B B1111 + +B B2121 = = 3 43 4 0 2 0 2 1 0 1 0 1 1 1 1+ +A A1 1+ +B B2222 = = 1 21 2 1 1 1 14 14 12 2 0 0+ + 2 42 4 1 11 1= =, ,3 33 33 3 1 1= =. . B B1111 E EA A1 1B B1111+ +B B2121 A A1 1+ +B B2222 从而从而从而从而ABAB = = = =. .
91、 1 0 1 0 1 1 0 0 1 2 0 11 2 0 1 2 2 4 4 3 3 3 3 1 1 1 3 1 3 1 1第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.4 2.4 分分分分块块矩矩矩矩阵阵 下面我们分别来计算每个子块第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.4 2.4 分分分分块块矩矩矩矩阵阵 如果应用第一种分块方法（按行、列分块），将矩阵Ams、Bsn分别分块为则请自己结合课本例请自己结合课本例16领悟矩阵乘法的意义！领悟矩阵乘法的意义！这里请注意：ai，bj均为s阶向量。用分块矩阵乘法理解矩阵乘法的意义第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.4 2.4
92、分分分分块块矩矩矩矩阵阵 分块矩阵乘法的应用分块矩阵乘法的应用对角阵与矩阵相乘对角阵与矩阵相乘对角阵左乘矩阵A的结果是矩阵A的每一行乘以对角阵中与该行对应的对角元。对角阵右乘矩阵A的结果是矩阵A的每一列乘以对角阵中与该列对应的对角元。这里ai表示列向量设矩阵设矩阵A = A11 A12 A1r A21 A22 A2r As1 As2 Asr,A11T A21T As1T A12T A22T As2T A1rT A2rT AsrT.则则AT = 4. 分块转置分块转置 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.4 2.4 分分分分块块矩矩矩矩阵阵 特点：特点：“大大转”+ +“小小转” 5
93、. 分块对角阵的行列式分块对角阵的行列式 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.4 2.4 分分分分块块矩矩矩矩阵阵 设矩阵 A A = = A A1 1 O O O OO O A A2 2 O O O O O O A As s, ,则则|A|= |A1| |A2| |As|。即。即Ai都是方阵。称这样的矩阵为分块对角矩阵。因此，若|A|0（根据上面的性质必然有|Ai|0），则有即即A可逆可逆可逆，且可逆，且6. 6.用分块矩阵表示线性方程组用分块矩阵表示线性方程组用分块矩阵表示线性方程组用分块矩阵表示线性方程组第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.4 2.4 分分分分块块
94、矩矩矩矩阵阵 对于线性方程组用矩阵乘法可表示为，其中借用矩阵分块的记法，我们称为线性方程组的增广矩阵。第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.4 2.4 分分分分块块矩矩矩矩阵阵 若记,则线性方程组可表示为或，则线性方程组可表示为若记或线性方程组的两种分块记法第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.4 2.4 分分分分块块矩矩矩矩阵阵 例：已知，求A-1解：思路：利用分块对角矩阵的性质5求逆，该方法对高阶矩阵更适用将矩阵A分块为对角矩阵易判断|A1|0，|A2|0，故A可逆。根据分块对角阵性质5可得可以体会一下如果A是一个阶数很高的矩阵，如果用逆阵定义直接计算每个伴随阵难度很大
95、，若能化为分块对角矩阵，则计算量大大减小。这种求逆方法的局限性很大，因此我们需要更简单的求逆矩阵的方法。第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.4 2.4 分分分分块块矩矩矩矩阵阵 设，则有运用分块矩阵乘法解子矩阵方程组（注意矩阵运算与代数运算的不同），得思路：先假设逆阵的形式，利用矩阵和逆阵的关系得出逆阵各子块的表达式后求解。解思考：为什么能由AX=O得到X=O第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.4 2.4 分分分分块块矩矩矩矩阵阵 实质上，如果将矩阵的每一个元素都看作是一行一列的小矩阵，则矩阵的运算法则与分块矩阵的运算法则完全相同。这也就告诉我们，完全可以类比着学习分块矩阵的运算法则。与矩阵运算法则不同的是：分块矩阵运算要求所有对应的子块的元素的行数、列数分别相同，这也是两者的唯一区别。分块矩阵小结：分块矩阵小结：本章作业：本章作业： 习题习题11（3）（）（4），），12（2）（）（3），），13（1），），15，16，20，24，26，29（1），），30（2）
