《几何与代数:2-3 拉普拉斯展开定理》由会员分享,可在线阅读,更多相关《几何与代数:2-3 拉普拉斯展开定理(10页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3 拉普拉斯展开定理拉普拉斯展开定理2.3 拉普拉斯展开定理拉普拉斯展开定理k阶子式阶子式:矩阵矩阵A中任取中任取k行、行、k列,位于这列,位于这k行、行、k列交点上的列交点上的k2个元按原来的相对位置组成的个元按原来的相对位置组成的k阶行列式阶行列式S, 称为称为A的的一个一个k阶子式阶子式.S的余子式的余子式: 在在A中划去中划去S所在的所在的k行、行、k列,余下的元按原来的列,余下的元按原来的相对位置组成的相对位置组成的n-k阶行列式阶行列式M, 称为称为S的余子式的余子式.S的代数余子式的代数余子式: 设设S的的各行位于各行位于A中第中第i1,ik, S的的各列位于各列位于A中第中
2、第j1, jk列,称列,称 为为S的的代数余子式代数余子式. 例如,例如,5阶行列式阶行列式detA中,取子式中,取子式 则其代数余子式为则其代数余子式为 拉普拉斯定理拉普拉斯定理 在行列式在行列式D中任取中任取k(1kn-1)行行(列),由这(列),由这k行(列)元所组成的一切行(列)元所组成的一切k阶子式分别阶子式分别与它们的代数余子式的乘积之和,等于行列式与它们的代数余子式的乘积之和,等于行列式D. 例例1(1(基本结论基本结论) ) 例例2 2 计算计算 解解 所以,所以,D = 0. 按按1,2行展开,行展开,不为零不为零的二阶子式为的二阶子式为 例例3 设设A, B为为n阶阶可逆矩阵,证明如下矩阵可逆,并可逆矩阵,证明如下矩阵可逆,并 解解 为什么为什么?并求其逆并求其逆回忆回忆(要非常熟悉):(要非常熟悉):