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1、“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为
2、重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。一、对变式教学的理解一、对变式教学的理解 数学变式教学，是指通过不同角度、不同数学变式教学，是指通过不同角度、不同的侧面、不同的背景，从多个方面变更所提供的侧面、不同的背景，从多个方面变更所提供的数学对象或数学问题的呈现形式，使事物的的数学对象或数学问题的呈现形式，使事物的非本质特征发生变化而本质特征保持不变的教非本质特征发生变化而本质特征保持不变的教学形式学形式. 1.1 1.1 数学变式教学的本质含义数学变式教学的本质含义“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共
3、安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。一、对变式教学的理解一、对变式教学的理解1.2 1.2 初中数学变式教学的意义初中数学变式教学的意义 初中数学变式教学，对提高学生初中数学变式教学，对提高学生的思维能力、应变能力是大有益处的思维能力、应变能力是大有益处 变式教学在教学过程中不仅是对基础知识、基本变式教学在教学过程中不仅是对基础知识、基本技能和思维的训练，而且也是有效实现新课程三维教技能和思维的训练，而且也是有效实现新课程三维教学
4、目标的重要途径学目标的重要途径 “雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。一、对变式教学的理解一、对变式教学的理解【案例案例1】 在在“坐标系内的图形对称坐标系内的图形对称” 的中考专题复习课中，笔的中考专题复习课中，笔者设计了如下的者设计了如下的题目题目 题目题目 点点P（x，y）关于）关于x轴对称的点的坐标是轴对
5、称的点的坐标是 ；关于；关于y轴对轴对称的点的坐标是称的点的坐标是 ；关于原点对称的点的坐标是；关于原点对称的点的坐标是 .变式变式1 直线直线y=2x-1关于关于x轴对称的直线的解析式是轴对称的直线的解析式是 ；关于；关于y轴对称的直线的解析式是轴对称的直线的解析式是 ；关于原点对称的直线的解析；关于原点对称的直线的解析式是式是 .变式变式2 将直线将直线y=2x-1改为改为双曲线双曲线y=1/x，其它不变，其它不变 .变式变式3 将直线将直线y=2x-1改为改为抛物线抛物线y=3x2+2x-1，其它不变，其它不变 .变式变式4 上述函数图象上述函数图象 关于关于 x轴对称的有轴对称的有 ；
6、“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。一、对变式教学的理解一、对变式教学的理解【案例案例2】浙教版七（上）浙教版七（上）7.8 平行线平行线 ：课内练习第课内练习第3 3题题：如图，在：如图，在ABC中，中，P是是AC边上的边上的一点，过点一点，过点P分别画分别画AB，BC的平行线的平行线.QR“雪亮工程雪亮工程
7、是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。二、变式教学要遵循的原则二、变式教学要遵循的原则2.3 2.3 参与性原则参与性原则2.1 2.1 针对性原则针对性原则2.2 2.2 可行性原则可行性原则“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网
8、应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。二、变式教学要遵循的原则二、变式教学要遵循的原则2.1 针对性原则针对性原则 【案例案例3】原题原题 如图如图1 1，在锐角三角形纸片，在锐角三角形纸片ABC中，将纸中，将纸片折叠，使点片折叠，使点A落在对边落在对边BC上的点上的点D处，折痕交处，折痕交AB于点于点E，交交AC于点于点F，折痕，折痕EF/BC，连接，连接AD、DE、DF. .（1 1）求证：线段）求证：线段EFEF是是ABC的中位线的中位线.
9、.（2 2）线段）线段AD、BC有何关系？并证明你的结论有何关系？并证明你的结论. .（3 3）若）若AB=AC，试判断四边形，试判断四边形AEDFAEDF的形状，并加以证明的形状，并加以证明. .“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。二、变式教学要遵循的原则二、变式教学要遵循的原则 变式变式1 试一试，你能用一
10、张锐角三角形纸片折出他的四条重要线段：试一试，你能用一张锐角三角形纸片折出他的四条重要线段：角平分线、中线、高、中垂线吗？能利用折纸确定三角形的角平分线、中线、高、中垂线吗？能利用折纸确定三角形的“四心四心”吗吗？ 变式变式2 如图如图2，在钝角三角形纸片，在钝角三角形纸片ABC中，将纸片折叠，使点中，将纸片折叠，使点A落在边落在边BC的延长的延长线上的线上的D处，折痕交处，折痕交AB于点于点E,交交AC于点于点F,折痕折痕EF/BC,连接连接CE、DE、DF,且且BC=2CD. (1)图中有几个等腰三角形？试写出图中有几个等腰三角形？试写出.（不能添加字母和辅助线，不要求证明）（不能添加字母
11、和辅助线，不要求证明） (2) 若若AC=BC，试判断四边形，试判断四边形EFDC的的形状，并证明你的结论形状，并证明你的结论. 2.1 针对性原则针对性原则“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。二、变式教学要遵循的原则二、变式教学要遵循的原则 变式变式3 如图如图3 3，将边长为将边长为a的等边三角形折叠的等边
12、三角形折叠，使点使点A落在边落在边BC的点的点D上上，且且BD:DC=m:n. .设折痕为设折痕为MN, ,求求AM:AN的值的值. .2.1 针对性原则针对性原则“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。二、变式教学要遵循的原则二、变式教学要遵循的原则2.2 可行性原则可行性原则 【案例案例4】 原题原题 有一块三
13、角形余料有一块三角形余料ABC，它的边，它的边BC=120mm，高，高AD=80mm. 要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其上，其余两个顶点分别在余两个顶点分别在AB、AC上。问加工成的正方形零件的边长为多少上。问加工成的正方形零件的边长为多少mm？“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防
14、控工程群众性治安防控工程”。二、变式教学要遵循的原则二、变式教学要遵循的原则 变式式1 将原将原题中中“正方形正方形PQMN”改改为“矩形矩形PQMN”问矩形矩形的的长和和宽分分别为多少多少时，所截得的矩形面，所截得的矩形面积最大？最大面最大？最大面积是多是多少？余料的利用率是多少？少？余料的利用率是多少？2.2 可行性原则可行性原则“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监
15、控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。二、变式教学要遵循的原则二、变式教学要遵循的原则 变式式2 一一块直角三角形木板的一条直角直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面，面积为1.5m2，工人，工人师傅要把它加工成一个面傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，最大的正方形桌面，请甲乙甲乙两位同学两位同学设计加工方案，甲加工方案，甲设计方案如方案如图（1）所示，乙）所示，乙设计方案如方案如图（2）所示。你）所示。你认为哪位同学哪位同学设计的方案的方案较好？好？试说明理由（加明理由（加工工损耗忽略不耗忽略不计，计算算结果可保留分数）果可保留分数）2.2 可行性原则可行性
16、原则图（图（1）图（图（2）“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。二、变式教学要遵循的原则二、变式教学要遵循的原则2.2 可行性原则可行性原则 变式变式3 已知已知ABC是直角三角形，是直角三角形，ACB90，AC80，BC60，如图所示，把边长分别为，如图所示，把边长分别为x1, ,x2, ,x3, ,xn的的
17、n个正方形依次放个正方形依次放入入ABC中，则第中，则第1个正方形的边长个正方形的边长x1= ；第；第n个正方形的边长个正方形的边长xn= (用含用含n的式子表示，的式子表示，n1)“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。二、变式教学要遵循的原则二、变式教学要遵循的原则2.2 可行性原则可行性原则 变式变式4 在在
18、RtABC中，中，ACB90，AC4，BC3. （1）如图（）如图（1），四边形），四边形DEFG为为RtABC的内接正方形，的内接正方形， 求正方形的边长求正方形的边长 （2）如图（）如图（2），三角形内有并排的两个相等的正方形，它），三角形内有并排的两个相等的正方形，它 们组成的矩形内接于们组成的矩形内接于RtABC，求正方形的边长，求正方形的边长 （3）如图（）如图（3），三角形内有并排的），三角形内有并排的n个相等的正方形，它们个相等的正方形，它们 组成的矩形内接于组成的矩形内接于RtABC，求正方形的边长，求正方形的边长图（图（1）图（图（2）图（图（3）“雪亮工程雪亮工程是以区（县
19、）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。二、变式教学要遵循的原则二、变式教学要遵循的原则2.3 参与性原则参与性原则图 变式变式5 5 在已知在已知RtABC中，中，ACB90，AC6，BC8（1）如图）如图，若半径为，若半径为r1的的 O1是是RtABC的内切圆，求的内切圆，求r1“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治
20、中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。二、变式教学要遵循的原则二、变式教学要遵循的原则2.3 参与性原则参与性原则图（2）如）如图，若半径，若半径为r2的两个等的两个等圆 O1、 O2外切，且外切，且 O1与与AC、AB相切，相切， O2与与BC、AB相切，求相切，求r2.（3）如）如图，当，当n大于大于2的正整数的正整数时，若半径，若半径rn的的n个等个等圆 O1、 O
21、2、 On依次外切，且依次外切，且 O1与与AC、BC相切，相切， On与与BC、AB相相切，切， O1、 O2、 O3、 O n1均与均与AB边相切，边相切，求求r n.图“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。二、变式教学要遵循的原则二、变式教学要遵循的原则2.3 参与性原则参与性原则 变式变式6 6 有一有一
22、块直角三角形的白直角三角形的白铁皮，其一条直角皮，其一条直角边和斜和斜边长分分别为60cm和和100cm. 若从若从这块白白铁皮上剪出一皮上剪出一块尽可能大的尽可能大的圆铁皮，皮，这块圆铁皮的面皮的面积有多大？从余下的白有多大？从余下的白铁皮中再剪出一皮中再剪出一块尽可能大的尽可能大的圆铁皮，皮，这块圆铁皮的半径是多少？皮的半径是多少？ “雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视
23、频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。二、变式教学要遵循的原则二、变式教学要遵循的原则2.3 参与性原则参与性原则 变式变式7 7 在在变式式3的基的基础上再剪出一上再剪出一块圆铁皮皮 O3， O3与与 O2外切，外切，与与BAC的两的两边相切，求相切，求 O3的半径；若照此要求作下去，求的半径；若照此要求作下去，求 On的的半径半径rn的大小的大小.“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化
24、为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例3.1 3.1 概念变式概念变式【案例案例5】 “平方根平方根”概念的教学概念的教学【案例案例6】“矩形矩形”的概念教学的概念教学“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防
25、控工程”。三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例3.1 3.1 概念变式概念变式【案例案例5】“平方根平方根”概念的教学概念的教学正方形正方形面面积416494/250.81边长x2416494/250.81x“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例
26、3.1 3.1 概念变式概念变式【案例案例6】“矩形矩形”的概念教学的概念教学“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例3.2 3.2 过程变式过程变式【案例案例7】“等腰三角形的判定等腰三角形的判定”的教学的教学“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）
27、三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。（1）模式化的定理教学）模式化的定理教学复习性质定理、给出判定命题复习性质定理、给出判定命题师生进行思路分析师生进行思路分析通过论证得出定理通过论证得出定理应用定理做练习应用定理做练习等腰三角形的两等腰三角形的两个底角相等个底角相等有两个角相等的三有两个角相等的三角形是等腰三角形角形是等腰三角形写成已知求证的形式：写成已知求证
28、的形式：已知：在已知：在ABCABC中，中，B=C.B=C.求证：求证：AB=ACAB=ACACB“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。（2）用情境问题引发兴趣）用情境问题引发兴趣如何复原一个被墨迹浸渍的等腰三角形？如何复原一个被墨迹浸渍的等腰三角形？学生的三种学生的三种“补出补出”方法：方法：只剩一个底角和一条
29、底边只剩一个底角和一条底边量出量出C C度数，画出度数，画出B BC C， B B与与C C的边相交得到顶点的边相交得到顶点A A作作BCBC边上的中垂边上的中垂线，与线，与C C的一边的一边相交得到顶点相交得到顶点A A“对折对折”“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。（3）多种证法激活创造力）多种证法激活创造
30、力三种常规的办法：三种常规的办法：两种创造性的证法：两种创造性的证法：作作A A的平分线，的平分线，利用利用“角角边角角边”过过A A作作BCBC边的垂线，边的垂线，利用利用“角角边角角边”作作BCBC边上的中线，边上的中线，“边边角边边角”不能证明不能证明假定假定ABAC,ABAC,由由“大边对大角大边对大角”得出得出矛盾矛盾ABCACBABCACB，应用应用“角边角角边角”ACB“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治
31、信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。（4）用变式练习分步解决问题）用变式练习分步解决问题不断变换题目的条件：不断变换题目的条件：ABCABC中，中，ABCABCACBACB，BOBO平分平分B B，COCO平分平分C C。能。能得出什么结论？得出什么结论？过过O O作直线作直线EFBCEFBC。图中有几个等腰三角图中有几个等腰三角形？为什么？形？为什么？线段线段EFEF与线段与线段BEBE、FCFC之间之间有何关系？有何关系？( (学生编题学生编题) )若若B B与与C C不相等不相等。 图中有没有等腰三角图中有没有等腰
32、三角形？为什么？形？为什么？线段线段EFEF与线段与线段BEBE、FCFC之间还有之间还有没有关系？没有关系？( (学生讨论学生讨论) )“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例3.3 3.3 图形变式图形变式【案例案例8】三角形高的概念图形与非概念图形等三角形高
33、的概念图形与非概念图形等【案例案例9】二次函数图像的变化规律认识二次函数图像的变化规律认识【案例案例10】从勾股定理到图形面积关系的拓展从勾股定理到图形面积关系的拓展“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例3.3 3.3 图形变式图形变式【案例案例8】三角形高的概
34、念图形与非概念图形等三角形高的概念图形与非概念图形等“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例3.3 3.3 图形变式图形变式【案例案例9】二次函数图像的变化规律认识二次函数图像的变化规律认识“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台
35、、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例3.3 3.3 图形变式图形变式【案例案例10】从勾股定理到图形面积关系的拓展从勾股定理到图形面积关系的拓展勾股定理也可以表述为：勾股定理也可以表述为：如果以直角三角形的三条边如果以直角三角形的三条边a,b,c为边，为边，向形外分别作正方形，那么以两直角边向形外分别作正方形，那么以两直角边a,b为
36、边长的两个正方形的面为边长的两个正方形的面积之和，等于以斜边积之和，等于以斜边c为边长的正方形的面积即为边长的正方形的面积即S1+S2=S3探索探索1：如果以直角三角形的三条边如果以直角三角形的三条边a,b,c为边，向形外分别作正三为边，向形外分别作正三角形，那么是否存在角形，那么是否存在S1+S2=S3呢？呢？探索探索2：如果以直角三角形的三条边如果以直角三角形的三条边a,b,c为直径，向形外分别作三为直径，向形外分别作三个半圆，那么是否存在个半圆，那么是否存在S1+S2=S3呢？呢？几何原本几何原本中的结论：中的结论：在一个直角三角形中，在斜边上所画的任在一个直角三角形中，在斜边上所画的任
37、何图形的面积，等于在两条直角上所画的与其相似的图形的面积之和何图形的面积，等于在两条直角上所画的与其相似的图形的面积之和“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例3.3 3.3 图形变式图形变式【案例案例10】从勾股定理到图形面积关系的拓展中考举例从勾股定理到图形面
38、积关系的拓展中考举例例例1（2009宜宾）已知：如图，以宜宾）已知：如图，以RtABC的三边为斜边分别向外作等腰的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形若斜边直角三角形若斜边AB3,则图中阴影部分的面积为则图中阴影部分的面积为例例2 （2009湖州）如图，已知在湖州）如图，已知在RtABC中，中，ACB=Rt ，AB=4，分，分别以别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则，则S1+S2的值等于的值等于CABS1S2“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重
39、点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例3.4 3.4 结构变式结构变式【案例案例11】圆中的有关结论圆中的有关结论【案例案例12】二次三项式二次三项式x2+(a+b)x+ab的因式分解的因式分解 “雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综
40、治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例3.4 3.4 结构变式结构变式【案例案例12】圆中的有关结论圆中的有关结论“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。三、变式教学中七种变式举例三、变式教
41、学中七种变式举例3.4 3.4 结构变式结构变式【案例案例12】二次三项式二次三项式x2+(a+b)x+ab的因式分解的因式分解 原题：原题：x2+4x+ 中添上什么数就可以使这个式子用公式法分解中添上什么数就可以使这个式子用公式法分解 变式变式1：如果添上的数不是：如果添上的数不是4而是而是3，即，即x2+4x+3，还能不能分解？，还能不能分解？ 变式变式2：把：把x2+4x+3改为改为x2-5x-6，又如何分解呢？，又如何分解呢？变式变式3：分解因式：分解因式：x2+(a+b)x+ab “雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化
42、管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例3.5 3.5 题目变式题目变式 题目变式包括条件的探究（增加、减少或变题目变式包括条件的探究（增加、减少或变更条件）、结论的探究（结论是否唯一）、数与更条件）、结论的探究（结论是否唯一）、数与形的探究、引申探究（命题是否可以推广）等形的探究、引申探究（命题是否可以推广）等 “雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）
43、三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。一般地说，几何问题的演变策略演变策略通常有以下六种：u 条件的弱化或强化；u 结论的延伸与拓展；u图形的变式与延伸；u条件与结论的互换；u 基本图形的构造应用；u 多种演变方法的综合三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例3.5 3.5 题目变式题目变式“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中
44、心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。怎么样来应用习题演变策略怎么样来应用习题演变策略 图图1 1 【案例案例13】已知：如图已知：如图1 1，在，在RtRtCABCAB和和RtECDRtECD中，中，AC=CE,AC=CE,点点D D在边在边BCBC的延长线上，且的延长线上，且ACE=B=D=90ACE=B=D=900 0. . 求证：求证：CABECD.CABECD.“
45、雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。链接中考链接中考1. 如图，四边形如图，四边形ABCD、EFGH、NHMC都是正方形，边长分别是都是正方形，边长分别是a、b、cA、B、N、E、F五点在同一条直线上，则五点在同一条直线上，则c= . (用含有用含有a、b的代数式表示的代数式表示)aDCBAMcNEFbGH2如图
46、，已知如图，已知ABC中，中，ABC=90, AB=BC，三角形的顶点在，三角形的顶点在相互平行的三条直线相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且上，且l1，l2之间的距离为之间的距离为2 , l2，l3之之间的距离为间的距离为3 ,则则AC的长是的长是 ( ) A B C D7l1l2l3ACB“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程
47、群众性治安防控工程”。怎么样来应用习题演变策略怎么样来应用习题演变策略（一）条件的弱化或强化（一）条件的弱化或强化 当一个命题成立的条件较为丰富时，可考虑减少当一个命题成立的条件较为丰富时，可考虑减少其中一两个条件，或将其中的一两个条件其中一两个条件，或将其中的一两个条件“一般化一般化”，并确定相应的命题结论，从而加工概括成新命题以，并确定相应的命题结论，从而加工概括成新命题以求拓展应用求拓展应用 1.条件的弱化条件的弱化“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、
48、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。1.1 弱化条件弱化条件“AC=CEAC=CE（线段相等）（线段相等）”，则结论由三角，则结论由三角形全等弱化为三角形相似形全等弱化为三角形相似 变式变式1 如图如图2 2，在，在RtCABRtCAB和和RtECDRtECD中，点中，点D D在边在边BCBC的延的延长线上，且长线上，且ACE=B=D=90ACE=B=D=900 0. .求证：求证：CABCABECD.ECD.图图2 2“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中
49、心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。 试题试题1 如图如图3，正方形正方形ABCD的边长为的边长为4cm，点点P是是BC边上不与点边上不与点B，C重合的任意一点，连接重合的任意一点，连接AP，过点，过点P作作PQAP交交DC于点于点Q，设设BP的长的长为为xcm, CQ的长的长为为y cm（1）求点求点P在在BC上运动的过程中上运动的过程中y的最大值；的最大值；（2）当当
50、y =1/4 cm时时，求求x的值的值 图图3链接中考链接中考“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。 试题试题2 如图如图4, ,边长为边长为1的正方形的正方形O OABC的顶点的顶点O为坐标原点为坐标原点, ,点点A在在x轴的正半轴上，点轴的正半轴上，点C在在y轴的正半轴上动点轴的正半轴上动点D在线段在线段BC
51、上移动（不与点上移动（不与点B，C重合），连接重合），连接OD，过点，过点D作作DEOD,交边交边AB于点于点E，连接，连接OE. .记记CD的长为的长为t. .图4（1 1）当）当t=1/3时时, ,求直线求直线DEDE的函数表达式的函数表达式（3 3）当）当OD2 2+ +DE2 2的算术平方根取最小值时，的算术平方根取最小值时，求点求点E E的坐标的坐标（2 2）如果记梯形）如果记梯形COEB的面积为的面积为S，那么，那么S是否存在最大值？若存在是否存在最大值？若存在, ,试求出这个试求出这个最大值及此时最大值及此时t的值的值; ;若不存在若不存在, ,试说明理由试说明理由x链接中考链接
52、中考“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。试题试题3 已知已知A、D是一段圆弧上的两点，且在直线的同侧，分是一段圆弧上的两点，且在直线的同侧，分别过这两点作的垂线，垂足为别过这两点作的垂线，垂足为B、C，E是是BC上一动点，连结上一动点，连结AD、AE、DE，且，且AED=90（1 1）如图）如图，如果，如果AB
53、=6, BC=16, ,且且BE:CE=1:3，求求AD的长的长（2 2）如图）如图，若点，若点E E恰为这段圆弧的圆心，则线段恰为这段圆弧的圆心，则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明. .再探究：当再探究：当A、D分别在直线两侧且分别在直线两侧且ABCD，而其余条件不变时，线段，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明.链接中考链接中考lABCDE（1）ClABDE（2）“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）
54、三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。变式变式2 如图如图5 5，在，在ABC和和CDE中，点中，点D在边在边BC的的延长线上，延长线上，AC=CE，且，且ACE=B=D, ,则则ABCCDE. .1.2 弱化条件弱化条件“直角直角”，则，则“全等全等”结论仍然结论仍然成立成立 图图5 5 “雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台
55、、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。试题试题3 3 如图如图6 6，ABC为等边三角形，点为等边三角形，点D，E，F分别分别在边在边BC，CA，AB上，且上，且DEF也为等边三角形也为等边三角形（1 1）除已知等边三角形的边相等以外，请你猜想还有）除已知等边三角形的边相等以外，请你猜想还有哪些线段相等，并证明你的结论；哪些线段相等，并证明你的结论； 图图6 6 （2 2）你所证明相等
56、的线段，可以通过怎样的变换相互得）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变换相互得到？写出变换过程到？写出变换过程链接中考链接中考“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。2.3 同时弱化条件同时弱化条件“线段相等线段相等”和和“直角直角”, ,则结论由则结论由全等弱化为相似全等弱化为相似变式变式3 3 如图如图7 7，
57、在，在ABC和和 CDE中，点中，点D在边在边BC的延的延长线上，长线上，ACE= = B= = D，则，则ABC CDE 图图7 7 “雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。试题试题4 如图如图8 8，在等边，在等边ABC 中，中，P为为BC边上一点，边上一点，D为为AC边上一点，且边上一点，且APD= =60，
58、BP= =1，CD= =2/3, ,则则ABC的的边长为（边长为（ ） A3 B4 C5 D6 图图8 8链接中考链接中考“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。试题试题5 5 如图如图9 9，在，在RtCAB中，中，CAB=90，AB=AC=2, ,点点D在在BC上运动（不能到达点上运动（不能到达点B,C）, ,
59、过点过点D作作ADE=45,DE交交AC于点于点E (1)(1)求证：求证：ABDDCE; ; (2) (2)设设BD=x, ,AE=y, ,求求y关于关于x的函数关系式的函数关系式 图图9 9链接中考链接中考“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。 试题试题6 在等腰在等腰ABCABC 中，中，AB=ACAB=A
60、C=8, BAC=120,8, BAC=120,P为为BCBC的中点小惠拿着含的中点小惠拿着含30角的透明三角板，使角的透明三角板，使30角角的顶点落在点的顶点落在点P P （1 1）如图）如图10（1 1），当三角板的两边分别交），当三角板的两边分别交AB,ACAB,AC于点于点E,FE,F时，时，求证：求证：PBE FCPPBE FCP ；（2 2）操作：将三角板绕点）操作：将三角板绕点P旋转到图旋转到图10（2 2）情形时，三角板的）情形时，三角板的两边分别交两边分别交BABA的延长线、边的延长线、边ACAC于点于点E,FE,F 探究探究1 1：PBEPBE与与CFPCFP还相似吗？还相
61、似吗？ 探究探究2 2：连接：连接EF, PBE, PBE与与EFPEFP是否能相似？试说明理由？是否能相似？试说明理由？ 设设EF=EF=m, EPF, EPF的面积为的面积为S,S,试用含试用含m 的代数式表示的代数式表示S S 图图1010“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。试题试题7 如图如图11，已知
62、在等腰梯形，已知在等腰梯形ABCD中，中，ABCD，ABCD, AB=10，BC=3（1）如图）如图11( (1) )，如果，如果M为为AB上一点，且满足上一点，且满足DMC= A, , 求求AM的长的长；（2）如图）如图11( (2) )，如果点，如果点M在在AB边上移动（点边上移动（点M与与A，B不不重合），且满足重合），且满足DMN=A，MN交交BC的延长线于点的延长线于点N，设设AM=x，CN=y，求，求y关于关于x的函数解析式的函数解析式 图图1111链接中考链接中考“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以
63、公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。怎么样来应用习题演变策略怎么样来应用习题演变策略2.条件的强化条件的强化针对基本问题及变式问题中的线段、角等几何元针对基本问题及变式问题中的线段、角等几何元素，通过给定其已知数据（长度、角度等），或设计素，通过给定其已知数据（长度、角度等），或设计成实际应用问题等手段，强化问题的条件，考查学生成实际应用问题等手段，强化问题的条件，考查学生综合应用知识解决问题的能力综合应用知识解决问题的能力（
64、一）条件的弱化或强化（一）条件的弱化或强化“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。变式变式4 如图如图12，在笔直的公路的同侧有，在笔直的公路的同侧有A，B两个村两个村庄，已知庄，已知A，B两村分别到公路的距离两村分别到公路的距离AC=3km，BD=4km（1 1）现要在公路上建一个汽车站）现要在公路上建一个汽车站
65、P，使该车站到，使该车站到A，B两两村的距离相等，试用直尺和圆规在图中作出点村的距离相等，试用直尺和圆规在图中作出点P（不写作法，（不写作法，保留作图痕迹）；保留作图痕迹）；（2 2）若连接）若连接AP，BP，测得，测得APB=900 0, ,求求A村到车站村到车站P的距的距离离图图1212“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性
66、治安防控工程”。 试题试题8 如图如图13，在矩形，在矩形ABCD中，中，AB=4，AD=10. .直直角尺的直角顶点角尺的直角顶点P在在AD上滑动时（点上滑动时（点P与点与点A不重合），一不重合），一直角边经过点直角边经过点C，另一直角边与，另一直角边与AB交于点交于点E. .我们知道，结论我们知道，结论“RtEPARtPCD”成立成立（1 1）当）当CPD=300时，求时，求AE的长；的长；（2 2）是否存在这样的点）是否存在这样的点P，使，使DPC的周长等于的周长等于AEP周长的周长的2 2倍？若存在，求出倍？若存在，求出DP的长；若不存在，试说明理由的长；若不存在，试说明理由链接中考链
67、接中考“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。怎么样来应用习题演变策略怎么样来应用习题演变策略（二）结论的延伸与拓展（二）结论的延伸与拓展 考虑到习题中的结论是两个三角形全等，根据全考虑到习题中的结论是两个三角形全等，根据全等性质，可对问题的结论做进一步的延伸与拓展等性质，可对问题的结论做进一步的延伸与拓展 “雪亮
68、工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。 变式变式5 在在ABC中，中，ACB=900，AC=BC，直线，直线MN经经过点过点C，ADMN ，垂足为，垂足为D，BEMN ，垂足为，垂足为E（1 1）当直线）当直线MN绕点绕点C旋转到图旋转到图14( (1) )的位置时，求证：的位置时，求证： ACDCBE; ; DE=A
69、D+BE. .（2 2）当直线）当直线MN绕点绕点C旋转到图旋转到图14( (2) )的位置时，试问：的位置时，试问：DE，AD，BE具有怎样的等量关系？试写出这个等量关系，具有怎样的等量关系？试写出这个等量关系，并加以证明并加以证明 图图14 14 “雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。怎么样来应用习题演变策略
70、怎么样来应用习题演变策略（三）图形的变式延伸（三）图形的变式延伸 结合基本图形所具有的特殊性，可作一系列的变结合基本图形所具有的特殊性，可作一系列的变化，如将习题中的化，如将习题中的ABCABC和和CDECDE相向移动交叉重叠，相向移动交叉重叠，如图如图1515所示所示图图15“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”
71、。图图15试题试题9 9 问题背景问题背景 某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：命题： 如图如图16(1)16(1)，在正，在正ABCABC中，中，M M，N N分别是分别是ACAC，ABAB上的点，上的点，BMBM与与CNCN相交相交于点于点O O，若，若BON=60BON=600 0 ，则，则BM=CNBM=CN；如图如图16(2)16(2)，在正方形，在正方形ABCDABCD中，中，M M，N N分分别是别是CDCD，ADAD上的点，上的点，BMBM与与CNCN相交于点相交于点O O，若，若BON=90BON=900 0 ，则
72、，则BM=CNBM=CN；然后运用；然后运用类比的思想提出了如下命题：类比的思想提出了如下命题：如图如图16(3)16(3)，在正五边形，在正五边形ABCDEABCDE中，中，M M，N N分分别是别是CDCD，DEDE上的点，上的点，BMBM与与CNCN相交于点相交于点O O，若，若BON=108BON=1080 0，则，则BM=CNBM=CN 任务要求任务要求 （1 1）请你从）请你从、三个命题中选择一个进行证明；三个命题中选择一个进行证明； （2 2）请你继续完成下面的探索：）请你继续完成下面的探索：试在图试在图16(3)16(3)中画出一条与中画出一条与CNCN相等相等的线段的线段DH
73、DH，使点，使点H H在正五边形的边上，且与在正五边形的边上，且与CNCN相交所成的一个角是相交所成的一个角是1081080 0，这，这样的线段有几条？样的线段有几条？如图如图16(4)16(4)，在正五边形，在正五边形ABCDEABCDE中，中，M M，N N分别是分别是DEDE，DADA上的点，上的点，BMBM与与CNCN相交于点相交于点O O，若，若BON=108BON=1080 0 ，请问结论，请问结论BM=CNBM=CN是否还成立？是否还成立？若成立，试给予证明；若不成立，试说明理由若成立，试给予证明；若不成立，试说明理由“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中
74、心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。怎么样来应用习题演变策略怎么样来应用习题演变策略（四）条件与结论的互换（四）条件与结论的互换建立并研究讨论几何命题的逆命题，这是几何命题建立并研究讨论几何命题的逆命题，这是几何命题教学中最为常见的一种演变方法教学中最为常见的一种演变方法如对勾股定理及其逆定理的研究，平行线的性质定理如对勾股定理及其逆定理的研究，平行线的性质定理与判定定理
75、的研究，平行四边形的性质定理与判定定理的与判定定理的研究，平行四边形的性质定理与判定定理的研究，特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形）性质定研究，特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形）性质定理与判定定理的研究等，都是这种演变策略的经典应用理与判定定理的研究等，都是这种演变策略的经典应用“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防
76、控工程”。 试题试题1010 如图如图17(1)17(1)、图、图17(2)17(2)、图、图17(3)17(3)中，点中，点E E，D D 分别是正分别是正ABC ABC 、正四边形、正四边形ABCMABCM、正五边形、正五边形ABCMNABCMN中中以以C C点为顶点的相邻两边上的点，且点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CDBE=CD，DBDB交交AEAE于点于点P P ( (1 1) )求图求图17(1)17(1)中中, APD, APD的度数；的度数； （2 2) )图图17(2)17(2)中，中，APDAPD的度数为的度数为 ，图，图17(3)17(3)中，中，APDAPD的度数为的
77、度数为 ； ( (3 3) )根据前面的探索，你能否将本题推广到一般的正根据前面的探索，你能否将本题推广到一般的正n n边形的边形的情况若能，写出推广问题和结论；若不能，试说明理由情况若能，写出推广问题和结论；若不能，试说明理由图图1717“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。怎么样来应用习题演变策略怎么样来应用
78、习题演变策略（五）基本图形的构造应用（五）基本图形的构造应用几何综合性问题通常是由若干个基本问题组合而几何综合性问题通常是由若干个基本问题组合而成，其图形也是由若干个基本图形组合而成，因而，成，其图形也是由若干个基本图形组合而成，因而，学生不仅要具备必需的图形分解能力，同时，还应具学生不仅要具备必需的图形分解能力，同时，还应具备必需的添加辅助线构造基本图形的技能备必需的添加辅助线构造基本图形的技能.“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为
79、指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。 试题试题11 如图如图1818，在梯形，在梯形ABCDABCD中，中，ADBCADBC， ABC=90ABC=900 0，AD=9AD=9，BC=12BC=12，AB=AB=a，在线段，在线段BCBC上任取一点上任取一点P P，连接，连接DPDP，作射线作射线PEDPPEDP，PEPE与直线与直线ABAB交于点交于点E.E.（1 1）若设）若设CP=CP=x ，BE=BE=y ，试写出，试写出y关于自变量关于自变量x的函数关系的函数关系式式. .（2 2）若在线段）若
80、在线段BCBC上能找到不同的两点上能找到不同的两点P P1 1，P P2 2，使按上述作，使按上述作法得到的点法得到的点E E都与点都与点A A重合，试求出此时重合，试求出此时a的聚会范围的聚会范围. .图图1818链接中考链接中考“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。试题试题12 如图如图2121，MON=90
81、MON=900 0，在，在MONMON的内部有一正方形的内部有一正方形AOCDAOCD，点，点A A，C C分别在射线分别在射线OMOM，ONON上，点上，点B B1 1是是ONON上的任意一点，上的任意一点，在在MONMON的内部作正方形的内部作正方形ABAB1 1C C1 1D D1 1（1 1）连接）连接D D1 1D D，求证：，求证：ADDADD1 1=90=900 0 ; ;（2 2）连接）连接CCCC1 1，猜一猜，猜一猜，C C1 1CNCN的度数是多少？并证明你的的度数是多少？并证明你的结论结论（3 3）在）在ONON上再任取一点上再任取一点B B2 2，以，以ABAB2 2
82、为边，在为边，在MONMON的内部作出的内部作出正方形正方形ABAB2 2C C2 2D D2 2，观察图形，并结合，观察图形，并结合(1)(1)、(2)(2)的结论，请你再的结论，请你再作出一个合理的判断作出一个合理的判断图图2121“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。怎么样来应用习题演变策略怎么样来应用习题
83、演变策略（六）多种演变方法的综合（六）多种演变方法的综合 习题的演变要适时、适度，要遵循科学性原则和习题的演变要适时、适度，要遵循科学性原则和学生的认知规律，不可脱离学生知识和能力水平的实学生的认知规律，不可脱离学生知识和能力水平的实际，因此，在对例习题教学功能的挖掘方面教师们常际，因此，在对例习题教学功能的挖掘方面教师们常常需要综合使用多种变式方法，实施习题演变策略常需要综合使用多种变式方法，实施习题演变策略. .“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社
84、区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。图图1三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例【案例案例14】如图如图1 1，A, ,C , ,B三点在一条直线上，三点在一条直线上，DAC和和EBC均为等边三角形，均为等边三角形，AE，BD分别与分别与CD，CE交交于点于点M，N，有如下结论有如下结论ACEDCB；CM=CN；AC=DN. .其中，正确结论的个数是（其中，正确结论的个数是（ ）（A A）3 3 （B B）2 2 （C C）1 1 （D D）0 0“雪亮工程雪亮工程是以区（
85、县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。图图2三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例例例2 2结论的探究结论的探究（1）图）图1 1中全等的三角形有几对？中全等的三角形有几对？（2）如图）如图2 2，连接，连接MN，猜想，猜想CMN的形状的形状.（3）猜想）猜想MN和直线和直线AB的位置关系的位置关系.（4）猜想）猜想EFB的
86、度数的度数.（5）图）图2中相似的三角形有哪些？中相似的三角形有哪些？（6）若已知）若已知DAC和和EBC的边长的边长分别为分别为a和和b，试求，试求MN的长的长.“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例例例2条件的探究条件的探究图3 探究探究1：如如图3 3，当
87、，当A，C，B三点不共三点不共线时，以上探，以上探讨的一系列的一系列结论哪些仍然成立？哪些不成立？哪些仍然成立？哪些不成立？“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。 探究探究2 2：在上题中，若将图中的在上题中，若将图中的“等边三角形等边三角形”改成改成“正方形正方形”、“正五边形正五边形”（如图（如图4 4、图、
88、图5 5所示），以上探讨的所示），以上探讨的结论还成立吗？结论还成立吗？图图4图图5三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。例例2 2的几个变式的几个变式 变式变式1 1：如图如图6 6或图或图7 7，已知：，已知：ABDABD，ACEACE都是等边都是等边三角形
89、，求证：三角形，求证：CD=BE CD=BE . . 图图6图图7三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。 变式变式2 2：如图如图8 8，点，点A A为线段为线段CBCB延长线上一点，分别延长线上一点，分别以以BCBC，ACAC为边在直线为边在直线BCBC异侧作
90、等边异侧作等边BCDBCD和等边和等边ACEACE，求证：求证：ADAD= =BE BE . . 图图8三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。 变式变式3 3：如图如图9 9，点，点A A为线段为线段BCBC上一点，上一点，ABDABD和和ACEACE都是等腰三
91、角形，且都是等腰三角形，且ABAB，ADAD与与ACAC，AEAE分别是等腰分别是等腰三角形的腰，且三角形的腰，且ABDABDACEACE，求证：，求证：CD=BECD=BE . . 图图9三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。3.6 方法变式方法变式 所谓所谓
92、“方法变式方法变式”就是把同一个问题的不就是把同一个问题的不同解决过程作为变式，将各种不同的解决方法同解决过程作为变式，将各种不同的解决方法联结起来（联结起来（“一题多解一题多解”）.三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中
93、七种变式举例 【案例案例15】如图如图1010，已知在，已知在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，延长，延长ABAB到点到点D D，使，使BD=ABBD=AB，E E是是ABAB的中点，求证：的中点，求证：CD=CD=2 2CE .CE .图图10“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。三、变式教学中七种变式
94、举例三、变式教学中七种变式举例【案例案例15】 如图如图1010，已知在，已知在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，延长，延长ABAB到点到点D D，使，使BD=ABBD=AB，E E是是ABAB的中点，求证：的中点，求证：CD=CD=2 2CE .CE .图图11 思路思路1 1：（延长法）：（延长法）如图如图1111，延长延长CECE至点至点D D,使使EDED=CECE，连，连接接ADAD，BDBD，则，则CDCD=2=2CECE，然，然后利用后利用CBDCBDCBDCBD，得出，得出CDCD=CD CD 即可即可. . “雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治
95、中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例 【案例案例15】 如图如图1010，已知在，已知在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，延长，延长ABAB到点到点D D，使，使BD=ABBD=AB，E E是是ABAB的中点，求证：的中点，求证：CD=CD=2 2CE .CE . 思路思路2 2：（截取法）：（截取法）如如图1
96、212，取，取CDCD的中点的中点E E，连接接BEBE，利用，利用CBECBECBECBE，得出，得出CECE=CECE，而而，得，得证. .图图12“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例 【案例案例15】 如图如图1010，已知在，已知在ABCABC中，中，
97、AB=ACAB=AC，延长，延长ABAB到点到点D D，使，使BD=ABBD=AB，E E是是ABAB的中点，求证：的中点，求证：CD=CD=2 2CE .CE .图图13 思路思路3 3：( (利用三角形中利用三角形中位位线的性的性质) )如如图1313，构造，构造DFG，使，使E，C分分别是是DF，DG的中点，的中点，连接接CF，则FG=2CE，CG=CD，只要，只要证FG=CG即可即可.“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平
98、台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例 【案例案例15】 如图如图1010，已知在，已知在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，延长，延长ABAB到点到点D D，使，使BD=ABBD=AB，E E是是ABAB的中点，求证：的中点，求证：CD=CD=2 2CE .CE .图图10 思路思路4：（相似法）：（相似法）如如图10，利用利用AECACD，相似比，相似比为 12，得，得，得，得证. “雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥
99、平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例3.73.7 思维变式思维变式 思维变式往往指的是以上几种变式的综合，尤思维变式往往指的是以上几种变式的综合，尤其是题目变式（其是题目变式（“多题一解多题一解”）与方法变式（）与方法变式（“一一题多解题多解”）. 在数学教学过程中，利用此类变式问题在数学教学过程中，利用此类变式问题可培养学生思
100、维的灵活性、深刻性和发散性，使学可培养学生思维的灵活性、深刻性和发散性，使学生举一反三、融会贯通，从而更好地挖掘学生的潜生举一反三、融会贯通，从而更好地挖掘学生的潜能，提高学生的综合素质能，提高学生的综合素质.“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。【案例案例16】 如图如图1414，在，在ABCABC中，中，AB
101、=ACAB=AC，P P为为BCBC上的一动上的一动点，过点点，过点P P作作PDABPDAB，PEACPEAC垂足分别为垂足分别为D D，E.CFE.CF为为ABAB边上边上的高线的高线. .求证：求证：PD+PE=CF.PD+PE=CF. 图图14三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例 证法证法1 1（截长法）（截长法）过点过点P P作作 PHFCPHFC于点于点H H 容易证明四边形容易证明四边形DPHFDPHF是矩形是矩形. PD=FH. PD=FH.也容易证得也容易证得PECRtCHPPECRtCHP， PE=CH.PE=CH. PD+PE=FH+CH=CF. PD+P
102、E=FH+CH=CF.“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。 证法证法2 2（截长法）（截长法）过点过点D D作作DKBCDKBC交交CFCF于点于点K,K,则易证四边形则易证四边形DPCKDPCK是平行是平行四边形四边形. PD=CK. PD=CK，DK=PC.DK=PC. DKBC DKBC， FDK=B=P
103、CE.FDK=B=PCE.又又 DFK=CEP=90,DFK=CEP=90, RtDFK RtCEP. RtDFK RtCEP.FK=PE PD+PE=CK+FK=CF.FK=PE PD+PE=CK+FK=CF. 例例4 4 如图如图1414，在，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，P P为为BCBC上的一动点，上的一动点，过点过点P P作作PDABPDAB，PEACPEAC垂足分别为垂足分别为D D，E.CFE.CF为为ABAB边上的高边上的高线线. .求证：求证：PD+PE=CF.PD+PE=CF.三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例 图图14“雪亮工程雪亮工程是以
104、区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。 图图14三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例 证法证法3 3（补短法）（补短法）过点过点C C作作CGCG DPDP，交交DPDP的延长线于点的延长线于点G.G.容易证得四边形容易证得四边形DGCFDGCF是矩形是矩形. . FC=DG=PD+PG. CGAB. FC=DG=PD
105、+PG. CGAB. PCG=B=ACP. PCG=B=ACP. RtPGC RtPEC. RtPGC RtPEC. PG=PE. FC=PD+PE. PG=PE. FC=PD+PE. 例例4 4 如图如图1414，在，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，P P为为BCBC上的一动点，上的一动点，过点过点P P作作PDABPDAB，PEACPEAC垂足分别为垂足分别为D D，E.CFE.CF为为ABAB边上的高边上的高线线. .求证：求证：PD+PE=CF.PD+PE=CF.“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基
106、础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。证法证法4 4（面积割补法）（面积割补法）证法证法5 5（三角函数法）（三角函数法） 证法证法6 6（比例化归法）（比例化归法） 解法比较：证法解法比较：证法1-31-3都是求证都是求证“一条线段等于另外两条一条线段等于另外两条线段和线段和”问题的通法，蕴涵了解决这类问题的基本策略；问题的通法，蕴涵了解决这类问题的基本策略；证法证法4-64-6充分利用了题设条件的特殊性，如证法充分利用
107、了题设条件的特殊性，如证法44面积割面积割补法，这是由高线想到的；证法补法，这是由高线想到的；证法55三角函数法，这是由等三角函数法，这是由等腰三角形两底角相等想到的；证法腰三角形两底角相等想到的；证法66比例化归法，这是由比例化归法，这是由三个三角形都是相似三角形想到的。其中由高想到面积既三个三角形都是相似三角形想到的。其中由高想到面积既是本例的特殊解法，更是所有这些解法中的本质解法是本例的特殊解法，更是所有这些解法中的本质解法. .三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理
108、为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。 变式变式1 1 如图如图1515，在，在ABCABC中中,AB=AC,AB=AC,点点P P在在BCBC的延长线上的延长线上, ,过点过点P P作作PEAC,PEAC,交交ACAC延长线于延长线于E E点点, ,过点过点P P作作PDABPDAB于点于点D,CFD,CF是是ABAB边上的高线边上的高线. .那么那么PD,PEPD,PE和和CFCF存在什么关系？写出你的猜存在什么关
109、系？写出你的猜想并加以证明想并加以证明. . 图图15三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。 图图16三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例 变式变式2 2 如图如图16,16,在等腰梯形在等腰梯形ABCDABCD中中,ADBC,AB=CD,ADB
110、C,AB=CD,点点P P为为BCBC边上的一边上的一点点,PEAB,PFCD,BGCD,PEAB,PFCD,BGCD，垂足分，垂足分别为别为E,F,G.E,F,G.（1 1）求证：）求证：PE+PF=BGPE+PF=BG；（2 2）若）若P P是是CBCB延长线上的一点延长线上的一点, ,其它其它条件不变条件不变, ,那么那么PE,PF,BGPE,PF,BG之间有何关之间有何关系系? ?证明你的结论证明你的结论. .“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（
111、社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。图图16 变式变式3 3 如图如图16,16,在在ABCABC中中, ,AB=AC=3,AB=AC=3,点点P P是是BCBC边上的一个动边上的一个动点点( (不与点不与点B B、C C重合）重合）,PEAB,PEAB,PFAC,PFAC,分别交分别交ACAC、ABAB于点于点E E、F,F,求求PE+PFPE+PF的长的长, ,通过计算通过计算, ,能得出能得出关于关于PE+PFPE+PF的长的结论吗？的长的结论吗？三、变式教学中七种变式举例三、变
112、式教学中七种变式举例“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。 变式变式4 4 如图如图1717，点，点P P为正三为正三角形角形ABCABC内任一点，内任一点，PDPD、PEPE、PFPF分别垂直分别垂直BCBC、ACAC、ABAB于点于点D D、E E、F F，h h为为ABCABC的高的高. . 求证：求证：P
113、D+PE+PF=hPD+PE+PF=h. 图图17三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。23456 变式式5 5 如如图18,18,已知正六已知正六边形形ABCDEFABCDEF的的边长为a, ,点点P P为正六正六边形内形内的任意一点的任意一点, ,过P P点
114、分点分别作作ABAB、BCBC、CDCD、DEDE、EFEF、FAFA边的垂的垂线, ,垂足分垂足分别为P P1 1、P P2 2、P P3 3、P P4 4、P P5 5、P P6 6，求，求证：P PP P1 1+P P+P P2 2+P P+P P3 3+P P+P P4 4+P P+P P5 5+P P+P P6 6= =图图18三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、
115、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。 变式变式6 6 如图如图1919，点，点P P是正是正n 边形形A A1 1A A2 2A A3 3AAn内任意一点，内任意一点，过点点P P分分别作作A A1 1A A2 2、A A2 2A A3 3、A AnA A1 1边的垂的垂线PPPP1 1、PPPP2 2、PPPPn，垂足分垂足分别为P P1 1、P P2 2、 、P Pn，求求证：PPPP1 1+PP+PP2 2+PP+PPn为定定值. . 图图1932n123n三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例
116、“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。24531 变式式7 7 如如图20,20,已知正六已知正六边形形ABCDEFABCDEF的的边长为a, ,点点P P为正六正六边形形ABAB边上的任意一点上的任意一点, ,过P P点分点分别作作BCBC、CDCD、DEDE、EFEF、FAFA边的垂的垂线, ,垂足分垂足分别
117、为P P1 1、P P2 2、P P3 3、P P4 4、P P5 5, ,求求证：P PP P1 1+P P+P P2 2+ +P PP P3 3+P P+P P4 4+P P+P P5 5= =a。 图图20三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。 变式变式8
118、 8 如图如图2121，正，正n边形边形A A1 1A A2 2A A3 3AAn，点，点P P是正是正n边形形A A1 1A A2 2边上的任意一点，上的任意一点，过点点P P分分别作作A A2 2A A3 3、A A3 3A A4 4、A AnA A1 1边的垂的垂线PPPP1 1、PPPP2 2、PPPPn-1-1，垂足分，垂足分别为P P1 1、P P2 2、 、P Pn-1-1，求求证：PPPP1 1+PP+PP2 2+PP+PPn-1-1为定定值. . 图图 2121三、变式教学中七种变式举例三、变式教学中七种变式举例1234n12n-11“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、
119、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。四、变式教学要把握好三个四、变式教学要把握好三个“度度 ”4.1 变式的变式的数量数量要要“适度适度”4.2 问题设计要有问题设计要有“梯度梯度” 4.3 要要提高提高学生的学生的“参与度参与度”“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共
120、安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。四、变式教学要把握好三个四、变式教学要把握好三个“度度 ” 【案例案例17】原题（沪科版原题（沪科版数学数学九（上）九（上）P76例例2）如图，一块铁皮呈锐角三角形，它的边如图，一块铁皮呈锐角三角形，它的边BC=80cm，高，高AD=60cm，要把它加工成矩形零件，使矩形的长、宽之，要把它加工成矩形零件，使矩形的长、宽之比为比为2：1，并且矩形长的一边位于，并且矩形长的一边位于BC上，另两个顶点
121、分上，另两个顶点分别在边别在边AB、AC上上.求这个矩形零件的长与宽求这个矩形零件的长与宽.4.1 变式的变式的数量数量要要“适度适度”“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。四、变式教学要把握好三个四、变式教学要把握好三个“度度 ” 变式变式1 如图，一块铁皮呈锐角三角形，它的边如图，一块铁皮呈锐角三角形，它的边
122、BC=80cm，高，高AD=60cm，要把它加工成矩形零件，使矩形，要把它加工成矩形零件，使矩形的长、宽之比为的长、宽之比为2：1，并且矩形长的一边位于，并且矩形长的一边位于BC上，另两上，另两个顶点分别在边个顶点分别在边AB、AC上上（1）求这个矩形的周长；）求这个矩形的周长；（2）求这个矩形的面积；（）求这个矩形的面积；（3）求）求APQ的面积的面积变式方法变式方法1 1：在原题的条件下，挖掘所求的结论：在原题的条件下，挖掘所求的结论“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（
123、县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。四、变式教学要把握好三个四、变式教学要把握好三个“度度 ” 变式变式2 如图，一块铁皮呈三角形，如图，一块铁皮呈三角形，BAC=900，要，要把它加工成矩形零件，使矩形一边位于把它加工成矩形零件，使矩形一边位于BC上，另两个顶点上，另两个顶点分别在边分别在边AB、AC上。试问：上。试问：PS、BS、CR之间有何关系之间有何关系？为什么？为什么？变式方法变式方法2 2：在改变原题条件之下，充分挖掘所求结论：在改变原题条件之下，充分挖
124、掘所求结论“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。四、变式教学要把握好三个四、变式教学要把握好三个“度度 ” 变式变式3 如图，一块铁皮呈锐角三角形，它的边如图，一块铁皮呈锐角三角形，它的边BC=80cm，高，高AD=60cm，要把它加工成矩形零件，矩形的一边位于，要把它加工成矩形零件，矩形的一边位于BC上，另两个
125、上，另两个顶点分别在边顶点分别在边AB、AC上求这个矩形面积的最大值上求这个矩形面积的最大值 变式变式4 如图，如图，ABC中，点中，点P、Q分别在分别在AB、AC上，上，S、R在在BC上，四边形上，四边形PQRS是矩形，若矩形是矩形，若矩形PQRS的面积与的面积与APQ的面积相的面积相等，求等，求PQ：BC的值的值 变式变式5 如图，如图，ABC中，点中，点P、Q分别在分别在AB、AC上，上，S、R在在BC上，上，PQRS是矩形，若是矩形，若PQ:BC=2:3，求矩形，求矩形PQRS面积与面积与APQ的面积比值的面积比值“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平
126、台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。四、变式教学要把握好三个四、变式教学要把握好三个“度度 ” 变式变式6 如图，一块铁皮呈现锐角三角形，它的边如图，一块铁皮呈现锐角三角形，它的边BC=12cm，高，高AD=8cm，要求加工的矩形一边在，要求加工的矩形一边在BC上，另外两个顶点在上，另外两个顶点在AB、AC上上.（1）试问：这个三角形能否加工成一个周长为试问：这个三角形能否加工成一
127、个周长为20cm的矩形零件？的矩形零件？理由是什么？理由是什么？变式方法变式方法3 3：在原题的基础上，适当改变条件和结论，将：在原题的基础上，适当改变条件和结论，将题型设置为探究性问题题型设置为探究性问题 （2）在在（1）的结论下，能否用余的结论下，能否用余下的材料再拼成一个与原矩形大小一下的材料再拼成一个与原矩形大小一样的矩形？若能，试给出一种拼法；样的矩形？若能，试给出一种拼法；若不能，说明理由若不能，说明理由.“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（
128、社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。四、变式教学要把握好三个四、变式教学要把握好三个“度度 ” 变式变式7 如图，一块铁皮呈现锐角三角形，它的边如图，一块铁皮呈现锐角三角形，它的边BC=12cm，高，高AD=8cm，要求加工成的矩形一边在，要求加工成的矩形一边在BC上，另外两个顶点在上，另外两个顶点在AB、AC上上.（1）试问：这个三角形能否加工成一个面积为试问：这个三角形能否加工成一个面积为24cm2的矩形零件？能否的矩形零件？能否加工成一个面积为加工成一个面积为32cm2的矩形？理
129、由是什么？的矩形？理由是什么？ （2）从从（1）的结论中，试猜想这个三角形内接的矩形面积与原三角形的结论中，试猜想这个三角形内接的矩形面积与原三角形面积有何关系？不需要说明理由面积有何关系？不需要说明理由“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。四、变式教学要把握好三个四、变式教学要把握好三个“度度 ”【案例案例18
130、】原原题（华师大版大版课标教材八年教材八年级（上）（上）习题14.2第第2题）如）如图，由，由4个等腰直角三角形个等腰直角三角形组成，其中第成，其中第1个个直角三角形的腰直角三角形的腰长为1cm，求第，求第4个直角三角形的斜个直角三角形的斜边长度度.4.2 问题设计要有问题设计要有“梯度梯度” “雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群
131、众性治安防控工程”。四、变式教学要把握好三个四、变式教学要把握好三个“度度 ” 变式式1 如如图，已知条件不，已知条件不变，求第，求第5个等腰直角三角形的斜个等腰直角三角形的斜边长，并探究第并探究第n个等腰直角三角形的斜边长为多少？个等腰直角三角形的斜边长为多少？ 变式式2 已知条件不已知条件不变，求第，求第6个等腰直角三角个等腰直角三角形直角形直角边的的长，并探究第，并探究第n个等腰直角三角形的直个等腰直角三角形的直角边长为多少？角边长为多少？ 变式式3 已知条件不已知条件不变，求第，求第6个等腰直角三角形的个等腰直角三角形的面面积，并探究第，并探究第n个等腰直角三角形的面积为多少？个等腰直
132、角三角形的面积为多少？变式变式4 如图所示，以如图所示，以OA为斜边作等腰为斜边作等腰RtABO,再再以以OB为斜边在等腰为斜边在等腰RtABO外侧作等腰外侧作等腰RtBCO,如如此继续下去，得到此继续下去，得到8个等腰直角三角形则等腰个等腰直角三角形则等腰RtABO与等腰与等腰RtHIO的面积之比是（的面积之比是（ ）A.32 B. 64 C. 128 D. 256“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以
133、网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。四、变式教学要把握好三个四、变式教学要把握好三个“度度 ”O变式变式5 如图，细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题如图，细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题.问题：问题：（1）试用含）试用含n（n为正整数）的等式表示上述变化规律；（为正整数）的等式表示上述变化规律；（2）试）试推算推算OAn的长；（的长；（3）求出）求出“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村
134、（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。四、变式教学要把握好三个四、变式教学要把握好三个“度度 ” 变式变式6 如图，点如图，点O（0，0），），A（0，1）是正方形是正方形OABC的两个顶点，的两个顶点，以对角线以对角线OB为边作正方形为边作正方形OBB1C，再以对角线再以对角线OB1为一边作正方形为一边作正方形OB1B2C2，则点，则点B5的坐标是的坐标是 “雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视
135、频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。四、变式教学要把握好三个四、变式教学要把握好三个“度度 ”【案例案例4】变式式8 如如图，在直，在直线 与与x轴、y轴所所围成成的的AOB中，依次放入腰中，依次放入腰长分分别为x1,x2,x3,xn的的n个等腰直角三角形，个等腰直角三角形，则x1= ，xn = .（或：求（或：求A1,A2,A3,A n的横坐的横坐标.）4.3 要要提高提高学生的学生的“参与度参与度”“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡
136、（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。四、变式教学要把握好三个四、变式教学要把握好三个“度度 ”4.3 要提高学生的要提高学生的“参与度参与度” 变式式9 如如图，在直，在直线 与与x轴、y轴所所围成的成的AOB中，依次放入中，依次放入边长分分别为x1,x2,x3,xn的的n个等个等边三角形，三角形，试猜想第猜想第n个等个等边三角形的三角形的边长
137、。“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。四、变式教学要把握好三个四、变式教学要把握好三个“度度 ”4.3 要提高学生的要提高学生的“参与度参与度”A1P1OxyP2P3P4A3A2 A4变式式10：如如图，P1(x1，y1)，P2(x2，2)，,Pn(xn，yn)在函数在函数的的图象上，象上，, ，,都是等都是等
138、边三角形，三角形，边OA1、A1A2、A2A3，,都在都在 轴上轴上求（求（1）点）点P1的坐的坐标；（；（2）y1+y2+y3+y n的和的和“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。四、变式教学要把握好三个四、变式教学要把握好三个“度度 ”4.3 要提高学生的要提高学生的“参与度参与度” 变式变式11 二次函数二
139、次函数 的图象如图所示，点的图象如图所示，点A0位于坐位于坐标原点，点标原点，点A1,A2,，A2008在在y轴上，点轴上，点B1,B2,B3,，B2008在所给在所给二次函数位于第一象限的图象上，若二次函数位于第一象限的图象上，若A0B1A1,A1B2A2,A2B3A3,，A2007B2008A2008都为等边三角形，都为等边三角形，则则A2007B2008A2008的边长的边长= .“雪亮工程雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以
140、综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程群众性治安防控工程”。结结 语语 变式教学是中国基础教育中的精华，值得我们去传承变式教学是中国基础教育中的精华，值得我们去传承 变式教学是经实践证明的有效教学模式，值得我们去实践变式教学是经实践证明的有效教学模式，值得我们去实践 变式教学是一种十分重要的教学思想，值得我们去钻研变式教学是一种十分重要的教学思想，值得我们去钻研 在教学中，我们既要有强烈的变式意识，娴熟的变式方在教学中，我们既要有强烈的变式意识，娴熟的变式方法，更要遵循变式教学的规律，合理安排变式教学的内容，法，更要遵循变式教学的规律，合理安排变式教学的内容，相信大家一定可以取得理想的教学效果相信大家一定可以取得理想的教学效果. .
