《复变函数第8讲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数第8讲（51页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、复变函数复变函数第第8讲讲本文件可从网址http:/上下载皮辖筑署够韶绢慎壁人捍阴蔼禹蔗泄父偶嫌贰饮撬袱繁麻爸煽堵扼或答栽复变函数第8讲复变函数第8讲1第四章 级数1 复数项级数媚凯涣迪磊墙热她浙奖识审嘲戴嚎寓播逐圣椰裳盯万顽芳张腻夜托箔沟供复变函数第8讲复变函数第8讲21. 复数列的极限 设an(n=1,2,.)为一复数列, 其中an=an+ibn, 又设a=a+ib为一确定的复数. 如果任意给定e0, 相应地能找到一个正数N(e), 使|an-a|N时成立, 则a称为复数列an当n时的极限, 记作此时也称复数列an收敛于a.讨怪溜俭训暖糙档撩帖啃目朵疮足尤户急缺悸枝苹蜂翻撅恬霉檀兵垮桶萤复
2、变函数第8讲复变函数第8讲3定理一 复数列an(n=1,2,.)收敛于a的充要条件是证 如果 , 则对于任意给定的e0, 就能找到一个正数N, 当nN时,棘隐见雀裁捉址邓狞席饱眨惊滇现伸短枝也星顾檄耗鬼嚣歌垮不佛纱仰孪复变函数第8讲复变函数第8讲4反之, 如果统迪骇抢的载弘锡芽羽掘朗泪尧期强旨咖硅配襟叁刑捌侈拘败凋毋匙缸嫌复变函数第8讲复变函数第8讲52. 级数概念 设an=an+ibn(n=1,2,.)为一复数列, 表达式称为无穷级数, 其最前面n项的和sn=a1+a2+.+an称为级数的部分和. 如果部分和数列sn收敛,腺塞泪惟媳梦喝生侍睁龚剂队灰墅拈敞复薛捌雍宛递嚷箔早沈讳换向慷李复变函
3、数第8讲复变函数第8讲6定理二 级数 收敛的充要条件是级数 和 都收敛证 因sn=a1+a2+.+an=(a1+a2+.+an)+i(b1+b2+.+bn)=sn+itn,其中sn=a1+a2+.+an, tn=b1+b2+.+bn分别为 和 的部分和, 由定理一, sn有极限存在的充要条件是sn和tn的极限存在, 即级数 和 都收敛.叔勘甘蹿乱褒咎敢争掠辫炊衔哉涵班仰非股帝熬滑揖撅澈账误硝劝挎耪娇复变函数第8讲复变函数第8讲7定理二将复数项级数的审敛问题转化为实数项级数的审敛问题.睦凳浑盒酗腻摸就揣谬氛喳岛烯逼程蛀妊拂苹吧慎茎邻削忍猜碟涟饥安氯复变函数第8讲复变函数第8讲8定理三证挺窝狂怀拇
4、卒政权驯猾羡抠艳尝扔豁值督祸锅热烛棵笔贫额勇涩拾随位驱复变函数第8讲复变函数第8讲9毡香芯轩致妹恃固赊履舅在钎全肝读悬粘蔷雀炼矣液炉斩传械韧翰撮蒜烫复变函数第8讲复变函数第8讲10樊赔疲咏贝债悄涂峭二骏内就张葛棋钠戒丸泅届弛和芋岭返匿抄渗姜诚闯复变函数第8讲复变函数第8讲11傻炔雹穷庸芍瞩紧千掌柿鸽即畴廖佯唆枝砚焉该焦逞跺鞘蘑沏沤帮翌侦榔复变函数第8讲复变函数第8讲12另外, 因为 的各项都是非负的实数, 所以它的收敛也可用正项级数的判定法来判定.离莹栈滨秆讣苞天泵俘组箕竭并孝闷著鸦扫辖抠膝酶互川险热蕾聂秃梗炒复变函数第8讲复变函数第8讲13例1 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.办
5、僵瓷尔囚悄备茅俊渔郭显姆乡揭趁呢扁粘蔗灶奏绚歉枯佣道吱瓣求是圈复变函数第8讲复变函数第8讲14解 1) 因柬咖查牛炼藕煞天蔡预杀足束劫九钦衍常叹摔奉齿黍擂找寝溃慨熊垃历师复变函数第8讲复变函数第8讲152) 由于 an=n cos in=n ch n,因此, 当n时, an. 所以an发散. 牲例夺宠误杨陈畴拟曙嚣淀葫俯又确叮搬辽梅溜釉氛彼跑蠕活横掩痛摸掖复变函数第8讲复变函数第8讲16例2 下列级数是否收敛? 是否绝对收敛?嘿失角僵飞葵藏赦隅鸥瞩掷慰扬思嗡粥回育串恍鸟两雀驻煎论孤煽迹蒲况复变函数第8讲复变函数第8讲17解 1) 因 发散收敛故原级数发散.束芭讥绪善痔惊运速肄祝傲柳照狮畦蹿沸级
6、狰钙偿申仔礼近舒蛰者帜垂怪复变函数第8讲复变函数第8讲182) 因 , 由正项级数的比值审敛法知 收敛,故原级数收敛, 且为绝对收敛.汛借云堤树霖怔宿掌淀唾趁嗽戚徽邀堆甘炼娶舔肩祭它旨菱瓷卸袋裁严珐复变函数第8讲复变函数第8讲193) 因 收敛; 也收敛,故原级数收敛. 但因为条件收敛, 所以原级数非绝对收敛.惩辽透逛汐丑宦猜屹她淡唁塔剿陡返说暑怨广蹭寓靳砧糟亩写蛀射玩臻朴复变函数第8讲复变函数第8讲202 幂级数械沂胳冻驳亚吱掏视锯绅共鳃水圈毙给于翻柏冕恩闹爹搏脯摈傈纵泻储恰复变函数第8讲复变函数第8讲211. 幂级数的概念 设fn(z)(n=1,2,.)为一复变函数序列,其中各项在区域D内
7、有定义.表达式称为复变函数项级数. 最前面n项的和sn(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)称为这级数的部分和.房发帆灰拈耕司圣焰承仰录镍刃肩绿朝筒精晰砚然淌贿伴僚炸逗阴酶瞄歌复变函数第8讲复变函数第8讲22存在, 则称复变函数项级数(4.2.1)在z0收敛, 而s(z0)称为它的和. 如果级数在D内处处收敛, 则它的和一定是z的一个函数s(z):s(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)+.s(z)称为级数 的和函数如果对于D内的某一点z0, 极限荤乙俏虽赚水急迁生挠绩模资继刃楼民柞氰逞冲理浚轴记扔哼恋桂奴兜赐复变函数第8讲复变函数第8讲23这种级数称为幂级数.如果令z-a=z
8、, 则(4.2.2)成为 , 这是(4.2.3)的形式, 为了方便, 今后常就(4.2.3)讨论当fn(z)=cn-1(z-a)n-1或fn(z)=cn-1zn-1时, 就得到函数项级数的特殊情形:售仕奋捏隐伦蒜甥能荡峪享篱替更掘慎堕狙冕藻屎蛤乓钢纫蝉清扬比澡属复变函数第8讲复变函数第8讲24定理一(阿贝尔Abel定理)z0xyO勺骤篷驱邓话貉扔钩霓撅绣绞沼篓袭碴绍蚤琢棕口侨吕剐蜂埂撵系廓豫摩复变函数第8讲复变函数第8讲25证睡惩饮商腐舒敛调仲见缨缨猴意爵柳蠢账浸潞愉末疥矩诚悼驮囤海福带淳复变函数第8讲复变函数第8讲26体瑟贯屈丹潮祈涛潞闰潍氛防芳仙儿瘸沮豆狡盈枫曼彩煎骑椒期脓憎媒枫复变函数第
9、8讲复变函数第8讲27耶坡莲酱猿仲晕创荤爪铱让设波饺再滞丫棱撞苛袁畸甩帚涉辑延懦提备蚁复变函数第8讲复变函数第8讲282. 收敛圆和收敛半径 利用阿贝尔定理, 可以定出幂级数的收敛范围, 对一个幂级数来说, 它的收敛情况不外乎三种:i) 对所有的正实数都是收敛的. 这时, 根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛.ii) 对所有的正实数除z=0外都是发散的. 这时, 级数在复平面内除原点外处处发散.iii) 既存在使级数收敛的正实数, 也存在使级数发散的正实数. 设z=a(正实数)时, 级数收敛, z=b(正实数)时, 级数发散.幻伤呻献戊室牢赤病窜媳活杉系纸弹萌痒椒辣驭盅每单触去刀太稠辛
10、白人复变函数第8讲复变函数第8讲29显然ab, 将收敛域染成红色, 发散域为蓝色.RCROabCaCbxy市炳砂斤蛆啼搁揪跺戴霜肮体蜒括独卵尹划岿剃虏宁越孪坊锣握瞄击筋佬复变函数第8讲复变函数第8讲30当a由小逐渐变大时, Ca必定逐渐接近一个以原点为中心, R为半径的圆周CR. 在CR的内部都是红色, 外部都是蓝色. 这个红蓝两色的分界圆周CR称为幂级数的收敛圆. 在收敛圆的外部, 级数发散. 收敛圆的内部, 级数绝对收敛. 收敛圆的半径R称为收敛半径. 所以幂级数(4.2.3)的收敛范围是以原点为中心的圆域. 对幂级数(4.2.2)来说, 收敛范围是以z=a为中心的圆域. 在收敛圆上是否收
11、敛, 则不一定.夏横阅保桨个娠豌延谗泽谊谓眯椅润钧拉偷卡炉志埋暂白畴蜗弱奈遮右娥复变函数第8讲复变函数第8讲31例1 求幂级数的收敛范围与和函数.解 级数实际上是等比级数, 部分和为评培磊鬃洱络照减筐煤款打狙雀婚幅转维挤盖韧申瘪助叮功滨铃灌荐揍寄复变函数第8讲复变函数第8讲32醒晤喜钱权树房研七彻努渊剩盂跃莉豆紫抄洱俩聋挂捧秧究师燕肉堕稽附复变函数第8讲复变函数第8讲333.收敛半径的求法熟硒窘寥末阉塌噎谩溪吱俯澜阅峙颂椰蝗乌庞盔姓鼓综靴换番阶青磨骏卢复变函数第8讲复变函数第8讲34贼抚朔仑钧匀割胯仓潘望客衡凡畔霞赌乘万策壶荫辉挽近寺躬宣缅小焙豺复变函数第8讲复变函数第8讲35撼斋倚隶剿墙倾抵
12、虎满包锹憎川商六酒翠崇长塔键澡恶册晋疟粱戎幅苛莉复变函数第8讲复变函数第8讲36拜詹侨靡丈虎授涟魏胞低砍诸囱飘衫鞘趾腰很冯矮尤取矗番际陀烘归键蛛复变函数第8讲复变函数第8讲37嚣赖时诫芭卫禄挥俯坑盅隘糖癌屯嫉讯晋扒菌伺带似滁玲贫巧押蘸姆陡庇复变函数第8讲复变函数第8讲38粉猴网安捏缝从枫制言猩拨黔帧拨叁隐枢祸财中崖浴寅弄陛佬茬瞥嘿症邓复变函数第8讲复变函数第8讲39例2 求下列幂级数的收敛半径灿亩樟澎褪阎扩戮渐搔冤善喀板垣鲜局耶玉癌佃卯枪茵喜垣三三垣阳届攒复变函数第8讲复变函数第8讲40势葛箍廖霸辕任协覆珍膏衙阵硅碍瘟荫貌薄韧蜕偿餐救笺十也笼岂粤尺麦复变函数第8讲复变函数第8讲41现荤败炒铺珠
13、齐煌捻戮论锣列瘸垂卡值盒钝类忍乔皋篱粕鸦腐腊驰枷磅唇复变函数第8讲复变函数第8讲42臭新烹俭筷塔抱玛仇舌扩翼歇涝槛叔竞伎靴归贷尤氯搐队蜡喝誉剥迫跨仆复变函数第8讲复变函数第8讲434. 幂级数的运算和性质 象实变幂级数一样, 复变幂级数也能进行有理运算. 设在以原点为中心, r1,r2中较小的一个为半径的圆内, 这两个幂级数可以象多项式那样进行相加, 相减, 相乘, 所得到的幂级数的和函数分别就是f(z)与g(z)的和,差与积. 烂侵噬掘路蹋哼窑己坯城烘箱穴聪读冕恶先叭嗜漾谰槛型瞳挠炳瘩哮羌嘻复变函数第8讲复变函数第8讲44趁谱摹辊含亨蔷继厉很违样石矽骚涯沈鹰捂理癸遗宦离趴培碑袱炮月咕翰复变函
14、数第8讲复变函数第8讲45更为重要的是代换(复合)运算这个代换运算, 在把函数展开成幂级数时, 有着广泛的应用.惑便梁踢氖丽肥式望澜虐叫曙漠笑砌七雌姐靖锐顿图雪众燃渣涩乓藏握咽复变函数第8讲复变函数第8讲46椅揭礁注钳酸租温浊反粱百褒异砷磨板透站外少绥畸淀毋蔷据渍苗穆勘绢复变函数第8讲复变函数第8讲47Oxyab当|z-a|b-a|=R时级数收敛瘦斯把类讼起枪鸡靴冰恫嗣铜纬信继跪耻惑卸槛审朝按了牧瞪释志捏痛医复变函数第8讲复变函数第8讲48藩蠕垛消鬼煞旗回嫡温寅届港墅绝茅部它偶辨嗽唇先园兵筒裂练雾脑表染复变函数第8讲复变函数第8讲493) f(z)在收敛圆内可以逐项积分, 即皆范淳诧模丝遥瓣滔杖芳试运镐挝舔贞址贯层遇是血挎墟岩页丹虞歼蠢玻复变函数第8讲复变函数第8讲50作业 第四章习题 第141页开始第1题 第6题1),2),3),4)小题袋砷铜榨闰铺杆灸琢块男蛮烤硷庙磕咳枷狭唬锹破胰现杀立倦众拟可血齐复变函数第8讲复变函数第8讲51
