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1、第四章第四章有限长单位脉冲呼应有限长单位脉冲呼应FIR滤波器的设计方法滤波器的设计方法序文序文4.1线性相位性相位FIR数字数字滤波器的特性波器的特性4.2窗口窗口设计法法时间窗口法窗口法4.3频率取率取样法法4.5IIR与与FIR数字数字滤器的比器的比较序文序文FIR数字数字滤波器的差分方程描画波器的差分方程描画对应的系统函数对应的系统函数由于它是一种由于它是一种线性性时不不变系系统，可用卷，可用卷积和方式表示和方式表示比比较、得：得：FIR数字滤波器的特点数字滤波器的特点(与与IIR数字滤波器比较数字滤波器比较)：优点优点：1很容易获得严厉的线性相位，防止被处置很容易获得严厉的线性相位，防
2、止被处置的信号的信号产生相位失真，这一特点在产生相位失真，这一特点在宽频带信宽频带信号处置、阵号处置、阵列信号处置、数据传输等系统中列信号处置、数据传输等系统中非常重要；非常重要；2可得到多带幅频特性；可得到多带幅频特性；3极点全部在原点永远稳定，无稳定极点全部在原点永远稳定，无稳定性问题；性问题；4任何一个非因果的有限长序列，总可以经过一任何一个非因果的有限长序列，总可以经过一定的延时，转变为因果序列，定的延时，转变为因果序列，所以因果性总是所以因果性总是满足；满足；5无反响运算，运算误差小。无反响运算，运算误差小。缺陷：缺陷：1由于无极点，要获得好的过渡带特性，需以较由于无极点，要获得好的
3、过渡带特性，需以较高的阶数为代价；高的阶数为代价；2无法利用模拟滤波器的设计结果，普通无解无法利用模拟滤波器的设计结果，普通无解析设计公式，要借助计算机辅助设计程序完成。析设计公式，要借助计算机辅助设计程序完成。4.1线性相位性相位FIR数字数字滤波器的特性波器的特性4.1.1线性相位的条件线性相位的条件线性相位意味着一个系统的相频特性是频率的线性相位意味着一个系统的相频特性是频率的线性函数，即线性函数，即式中为常数，此时经过这一系统的各频率分量的时延为一一样的常数，系统的群时延为FIR滤波器的DTFT为式中H()是正或负的实函数。等式中间和等式右边的实部与虚部该当各自相等，同样实部与虚部的比
4、值该当相等:将上式两边交叉相乘，再将等式右边各项移到左边，运用三角函数的恒等关系满足上式的条件是另外一种情况是，除了上述的线性相位外，还有一附加的相位，即利用类似的关系，可以得出新的解答为偶对称奇对称图1线性相位特性分四种情况4.1.2线性相位线性相位FIR滤波器的幅度特性滤波器的幅度特性分四种情况1偶对称，N为奇数h(n)=h(N-1-n)4.1.2线性相位线性相位FIR滤波器的幅度特性滤波器的幅度特性令，那么令那么由于偶对称，因此对这些频率也呈偶对称。且H(0)、H(/2),H(),H(2)都可不为零。(只需h(N-1)/2)不为零。所以w从02范围内，无任何约束，可以设计成任何一种滤波器
5、。低通、高通、带通、带阻2h(n)偶对称，N为偶数h(n)=h(N-1-n)令，那么或写为：由于奇对称，所以对也为奇对称，且由于时，处必有一零点，因此这种情况不能用于设计时的滤波器，如高通、带阻滤波器。3.h(n)奇对称，奇对称，N为奇数，为奇数，h(n)=-h(N-1-n)令，得：所以由于点呈奇对称，所以对这些点也奇对称。由于时，相当于Hz在处有两个零点，不能用于的滤波器设计，故不能用作低通、高通和带阻滤波器的设计、只能实现带通滤波器。4.h(n)奇对称，N为偶数令由于在=0,处为零，所以H()在=0,2处为零，即H(z)在z=1上有零点，并对=0,2呈奇对称不能实现低通、带阻滤波器。四种线
6、性相位FIR滤波器四种线性相位FIRDF特性，参考P91表4.1第一种情况，偶、奇，四种滤波器都可设计。第二种情况，偶、偶，可设计低、带通滤波器，不能设计高通和带阻。第三种情况，奇、奇，只能设计带通滤波器，其它滤波器都不能设计。第四种情况，奇、偶，可设计高通、带通滤波器，不能设计低通和带阻。例例1N=5,h(0)=h(1)=h(3)=h(4)=-1/2,h(2)=2，求幅度函数求幅度函数H()。解解为奇数并且奇数并且h(n)满足足偶偶对称关系称关系a(0)=h(2)=2a(1)=2h(3)=-1a(2)=2h(4)=-1H()=2-cos-cos2=2-(cos+cos2)小结：四种FIR数字
7、滤波器的相位特性只取决于h(n)的对称性，而与h(n)的值无关。幅度特性取决于h(n)。设计FIR数字滤波器时，在保证h(n)对称的条件下，只需完成幅度特性的逼近即可。4.1.3线性相位线性相位FIR滤波器的零点特性滤波器的零点特性由由该式式可可看看出出，假假设z=zi是是Hz的的零零点点，那那么么z=z-1i也也一一定定是是Hz的的零零点点。由由于于h(n)是是实数数，Hz的的零零点点还必必需需共共轭或或对，所所以以z=z*i及及z=1/z*也必是零点。也必是零点。所以所以线性相位性相位滤波器的零点必需是互波器的零点必需是互为倒数的共倒数的共轭对，即成四出，即成四出现，这种共种共轭对共有四种
8、共有四种能能够的情况：的情况：既不在既不在单位园上，也不在位园上，也不在实轴上，有四个互上，有四个互为倒数的两倒数的两组共共轭对zi，z*i，1/zi，1/z*i图4.2(a)在在单位位圆上上，但但不不在在实轴上上，因因倒倒数数就就是是本本人人的的共共轭，所所以以有有一一对共共轭零点，零点，zi，z*i图4.2b不不在在单位位圆上上，但但在在实轴上上，是是实数数,共共轭就就是是本本人人，所所以以有有一一对互互为倒数的零点倒数的零点,zi，1/zi图4.2c又又在在单位位圆上上，又又在在实轴上上，共共轭和和倒倒数数都都合合为一一点点，所所以以成成单出出现，只需两种能，只需两种能够，zi=1或或z
9、i=-1图4.2(d),p92我我们从从幅幅度度呼呼应的的讨论中中曾曾经知知道道，对于于第第二二种种FIR滤波波器器h(n)偶偶对称，称，N为偶数，偶数，即即是是的的零零点点，既既在在单位位圆，又又在在实轴，所所以以，必必有有单根根对于第三种FIR滤波器，h(n)奇对称，N为奇数，因所以z=1，z=-1都是Hz的单根；对于第四种滤波器，h(n)奇对称，N为偶数，H(0)=0，所以z=1是Hz的单根。线性相位滤波器是FIR滤波器中最重要的一种，运用最广。实践运用时应根据需用选择其适宜类型，并在设计时遵照其约束条件。4.2窗口窗口设计法法时域域假设希望得到的滤波器的理想频率呼应为，那么FIR滤波器
10、的设计就在于寻觅一个传送函数去逼近，逼近方法有三种：窗口设计法时域逼近频率采样法频域逼近最优化设计等波纹逼近时间窗口设计法是从单位脉冲呼应序列着手，使h(n)逼近理想的单位脉冲呼应序列hd(n)。我们知道hd(n)可以从理想频响经过付氏反变换获得但普通来说，理想频响是分段恒定，在边境频率处有突变点，所以，这样得到的理想单位脉冲呼应hd(n)往往都是无限长序列，而且是非因果的。但FIR的h(n)是有限长的，问题是怎样用一个有限长的序列去近似无限长的hd(n)。最简单的方法是直接截取一段hd(n)替代h(n)。这种截取可以笼统地想象为h(n)是经过一个“窗口所看到的一段hd(n)，因此，h(n)也
11、可表达为h(n)和一个“窗函数的乘积，即h(n)=w(n)hd(n)在这里窗口函数就可以是矩形脉冲函数RNn，当然以后我们还可看到，为了改善设计滤波器的特性，窗函数还可以有其它的方式，相当于在矩形窗内对hd(n)作一定的加权处置。窗函数法设计流程：一.矩形窗口法那么以一个截止频率为c的线性相位理想低通滤波器为例,讨论FIR的设计问题。a.对于给定的理想低通滤波器，计算：低通滤波器的延时理想特性的hd(n)和Hd()这是一个以为中心的偶对称的无限长非因果序列，假设截取一段n=0N-1的hd(n)作为h(n)，那么为保证所得到的是线性相位FIR滤波器，延时应为h(n)长度N的一半,即其中b.计算c
12、.计算。设为窗口函数的频谱:用幅度函数和相位函数来表示，那么有其线性相位部分 那么是表示延时一半长度 ，矩形窗函数及其幅度函数见P94图4.4对频响起作用的是它的幅度函数理想频响也可以写成幅度函数和相位函数的表示方式Hd(ej)=Hd()e-j其中幅度函数为两个信号时域的乘积对应于频域卷积，所以有假设也以幅度函数和相位函数来表示Hej,那么实践FIR滤波器的幅度函数H为正好是理想滤波器幅度函数与窗函数幅度函数的卷积。矩形窗的卷积过程P95的图4.5来阐明4个特殊频率点看卷积结果：1=0时,H(0)等于在-c,c内的积分面积因普通故H(0)近似为在-,内的积分面积2=c时，一半重叠，H(c)=0
13、.5H(0);3=c2/N时，第一旁瓣负数在通带外，出现正肩峰；4=c+2/N时，第一旁瓣负数在通带内，出现负肩峰。窗口函数对理想特性的影响：改动了理想频响的边沿特性，构成过渡带，宽为，等于WR()的主瓣宽度。决议于窗长过渡带两旁产生肩峰和余振带内、带外起伏，取决于WR()的旁瓣，旁瓣多，余振多；旁瓣相对值大，肩峰强，与N无关。决议于窗口外形N添加,过渡带宽减小,肩峰值不变。因主瓣附近其中x=N/2,所以N的改动不能改动主瓣与旁瓣的比例关系，只能改动WR的绝对值大小和起伏的密度，当N添加时，幅值变大，频率轴变密，而最大肩峰永远为8.95%，这种景象称为吉布斯Gibbs效应。00.250.50.
14、751-40-30-21-100N=15N=31用矩形窗设计的c=p/2FIR滤波器的幅度呼应改动窗函数的外形，可改善滤波器的特性，窗函数有许多种，但要满足以下两点要求：窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带；相对于主瓣幅度，旁瓣要尽能够小，使能量尽量集中在主瓣中，这样就可以减小肩峰和余振，以提高阻带衰减和通带平稳性。但实践上这两点不能兼得，普通总是经过添加主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制。肩峰值的大小决议了滤波器通带内的平稳程度和阻带内的衰减，所以对滤波器的性能有很大的影响。几种常用的窗函数：1.矩形窗，上面已讲过，不再细述2.汉宁窗升余弦窗利用付氏变换的移位特性，汉宁窗频谱的幅度函数W可用矩形窗的
15、幅度函数表示为：三部分矩形窗频谱相加，使旁瓣相互抵消，能量集中在主瓣，旁瓣大大减小，主瓣宽度添加1倍，为。3.汉明窗改良的升余弦窗它是对汉宁窗的改良，在主瓣宽度对应第一零点的宽度一样的情况下，旁瓣进一步减小，可使99.96%的能量集中在窗谱的主瓣内。4.布莱克曼窗三阶升余弦窗添加一个二次谐波余弦分量，可进一步降低旁瓣，但主瓣宽度进一步添加，为。添加N可减少过渡带。频谱的幅度函数为：窗口函数的频谱N=51，A=20lg|W()/W(0)|四种窗函数的比较例题：用矩形窗设计一个线性相位低通滤波器1写出的表达式，确定与N的关系。2问有几种类型，分别是属于哪一种线性相位滤波器？3改用汉宁窗设计，写出的
16、表达式。解：1因此2由于偶对称，所以假设N为奇数，那么属于第一种线性相位滤波器，假设N为偶数，那么属于第二种线性相位滤波器。3假设为汉宁窗，那么4.3频率采率采样法法工程上，常给定频域上的技术目的，所以采用频域设计更直接。一、根本思想使所设计的FIR数字滤波器的频率特性在某些离散频率点上的值准确地等于所需滤波器在这些频率点处的值，在其它频率处的特性那么有较好的逼近。内插公式二.设计方法1确定2计算3计算三、约束条件为了设计线性相位的FIR滤波器，采样值Hk要满足一定的约束条件。前已指出,具有线性相位的FIR滤波器，其单位脉冲呼应h(n)是实序列，且满足，由此得到的幅频和相频特性，就是对H(k)
17、的约束。表4.1。例如，要设计第一类线性相位FIR滤波器，即N为奇数，h(n)偶对称，那么幅度函数H应具有偶对称性：令那么必需满足偶对称性：而必需取为：同样，假设要设计第二种线性相位FIR滤波器，N为偶数，h(n)偶对称，由于幅度特性是奇对称的，因此，Hk也必需满足奇对称性：相位关系同上，其它两种线性相位FIR数字滤波器的设计，同样也要满足幅度与相位的约束条件。四、逼近误差由或Hz。由上述设计过程得到的与的逼近程度，以及与Hk的关系？由令，那么单位圆上的频响为：这是一个内插公式。式中为内插函数令那么内插公式阐明：在每个采样点上，逼近误差为零，频响严厉地与理想频响的采样值H(k)相等；l在采样点
18、之间，频响由各采样点的内插函数延伸迭加而构成，因此有一定的逼近误差，误差大小与理想频率呼应的曲线外形有关，理想特性平滑，那么误差小；反之，误差大。在理想频率呼应的不延续点附近，会产生肩峰和波纹。lN增大，那么采样点变密，逼近误差减小。图频率采样的呼应例：设计一个FIR数字LP滤波器，其理想特性为采样点数N=33，要求线性相位。解：根据P.142的表4.1，能设计低通线性相位数字滤波器的只需1、2两种，因N为奇数，所以只能选择第一种。即h(n)=h(N-1-n)，幅频特性关于偶对称，也即HK偶对称。利用HK的对称性,求2区间的频响采样值。根据目的要求，在02内有33个取样点，所以第k点对应频率为
19、而截止频率0.5位于之间，所以，k=08时，取样值为1；根据对称性，故k=2532时，取样值也为1，因k=33为下一周期，所以0区间有9个值为1的采样点，2区间有8个值为1的采样点，因此：将代入内插公式，求H(ej)：思索到8k25时Hk=0，而其它k时，Hk=1,令k=33-n，那么从图上可以看出，其过渡带宽为一个频率采样间隔2/33，而最小阻带衰减略小于20dB。对大多数运用场所，阻带衰减如此小的滤波器是不能令人称心的。增大阻带衰减三种方法：1加宽过渡带宽，以牺牲过渡带换取阻带衰减的添加。例如在本例中可在k=9和k=24处各添加一个过渡带采样点H9=H24=0.5，使过渡带宽添加到二个频率
20、采样间隔4/33，重新计算的H(ej)见图4.12(c)，其阻带衰减添加到约-40dB。2过渡带的优化设计根据H(ej)的表达式，H(ej)是Hk的线性函数，因此还可以利用线性最优化的方法确定过渡带采样点的值，得到要求的滤波器的最正确逼近而不是盲目地设定一个过渡带值。例如，本例中可以用简单的梯度搜索法来选择H9、H24,使通带或阻带内的最大绝对误差最小化。要求使阻带内最大绝对误差到达最小也即最小衰减到达最大，可计算得H9=0.3904。对应的H(ej)的幅频特性，比H9=0.5时的阻带衰减大大改善,衰减约-50dB。假设还要进一步改善阻带衰减，可以进一步加宽过渡区，添上第二个甚至第三个不等于0
21、的频率取样值，当然也可用线性最优化求取这些取样值。3增大N假设要进一步添加阻带衰减，但又不添加过渡带宽，可添加采样点数N。例如，同样边境频率c=0.5,以N=65采样，并在k=17和k=48插入由阻带衰减最优化计算得到的采样值H17=H48=0.5886,在k=18、47处插入经阻带衰减最优化计算获得的采样值H17=H48=0.1065,这时得到的H(ej)，过渡带为6/65，而阻带衰减添加了20多分贝，达-60dB以上，当然，代价是滤波器阶数添加，运算量添加。N=65;k=0:(N-1)/2;Wm=2*pi*k./N;Ad(1:(N+1)/2)=1;Ad(18)=0.5886;Ad(19)=
22、0.1065;Ad(20:33)=0;Hd=Ad.*exp(-j*0.5*(N-1)*Wm);Hd=Hdconj(fliplr(Hd(2:(N+1)/2);h=real(ifft(Hd);w=linspace(0,pi-0.1,1000);H=freqz(h,1,w);plot(w/pi,20*log10(abs(H);grid;小结：频率采样设计法优点：直接从频域进展设计，物理概念清楚，直观方便；适宜于窄带滤波器设计，这时频率呼应只需少数几个非零值。缺陷：截止频率难以控制。因频率取样点都局限在2/N的整数倍点上，所以在指定通带和阻带截止频率时，这种方法遭到限制，比较死板。充分加大N，可以接近
23、任何给定的频率，但计算量和复杂性添加。4.5IIR与与FIR数字数字滤器的比器的比较FIRIIR设计方法普通无解析的设计公式，要借助计算机程序完成利用AF的成果，可简单、有效地完成设计设计结果可得到幅频特性可以多带和线性相位最大优点只能得到幅频特性，相频特性未知一大缺陷，如需求线性相位，须用全通网络校准，但添加滤波器阶数和复杂性稳定性极点全部在原点永远稳定无稳定性问题有稳定性问题阶数高构造非递归递归系统运算误差普通无反响，运算误差小有反响，由于运算中的四舍五入会产生极限环快速算法可用FFT实现，减少运算量无快速运算方法低补充例题：4.8用频率采样法设计一个线性相位低通滤用频率采样法设计一个线性相位低通滤波器，波器，边沿上设一点过渡带，边沿上设一点过渡带。试求各点采样值。试求各点采样值。解：由于N为偶数，故为第二种类型滤波器。注：第四种类型滤波器不能实现低通！有：频率间隔为：又由于，那么故低统统带内包含的点数为，所以取为过渡点。由于必需满足
