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1、创新型、开放型问题创新型、开放型问题第二讲第二讲 曾庆坤曾庆坤 第一类：找规律问题第一类：找规律问题 这类问题要求大家通过观察这类问题要求大家通过观察,分析分析,比较比较,概括概括,总结出题设反映的总结出题设反映的某种规律某种规律,进而利用这个规律解决相进而利用这个规律解决相关问题关问题例例1 1：观察下列算式：观察下列算式： 2 21 1=2 2=2 22 2=4 2=4 23 3=8 =8 2 24 4=16 2=16 25 5=32 2=32 26 6=64 =64 2 27 7=128 2=128 28 8=256=256通过观察，用你所发现的规律写出通过观察，用你所发现的规律写出8
2、89 9的末位数的末位数字是字是。第一列第一列第二列第二列第三列第三列第四列第四列第一行第一行2 21 1=2=22 22 2=4=42 23 3=8=82 24 4=16=16第二行第二行2 25 5=32=322 26 6=64=642 27 7=128=1282 28 8=256=256第三行第三行8例例1 1：观察下列算式：观察下列算式： 2 21 1=2 2=2 22 2=4 2=4 23 3=8 =8 2 24 4=16 2=16 25 5=32 2=32 26 6=64 =64 2 27 7=128 2=128 28 8=256=256通过观察，用你所发现的规律写出通过观察，用你
3、所发现的规律写出8 89 9的末的末位数位数字是字是。 第二类第二类: :探求条件问题探求条件问题 这种问题是指所给问题结论明确这种问题是指所给问题结论明确, ,而而寻求使结论成立的条件寻求使结论成立的条件. .大致有三种类型大致有三种类型 (1)(1)条件未知需探求条件未知需探求 (2)(2)条件不足条件不足需补充条件需补充条件 (3)(3)条件多余或有错条件多余或有错, ,需排需排除条件或修正错误条件除条件或修正错误条件例例2:2:已知已知: :如图如图,AB,AB、 AC AC 分别是分别是O O 的直径和弦，的直径和弦，D D为劣弧为劣弧 ACAC上一点，上一点，DEABDEAB于点于
4、点H H，交交O O于点于点E E，交，交ACAC于点于点F F，P P为为EDED的的延长线上一点，延长线上一点，（1 1）当）当PCFPCF满足什满足什么条件时，么条件时，PCPC与与O O相切，为什么？相切，为什么？2 2）当点）当点D D在劣弧在劣弧ACAC的的什么位置时，才能使什么位置时，才能使ADAD2 2=DE DF.=DE DF.为什么为什么? ? 分析：要知分析：要知PCPC与与0 0相切，需知相切，需知PCOCPCOC，即即PCO=90PCO=90，CAB+AFHCAB+AFH=90=90，而而CAB=OCACAB=OCA，AFH=PFCAFH=PFC，PFC+OCAPFC
5、+OCA=90=90，当当PFC=PCFPFC=PCF时，时，PCO=90.PCO=90.解解 :(1):(1)当当PC=PF(PC=PF(或或PCF=PFC,PCF=PFC,或或PCFPCF为等边三角形为等边三角形) )时时,PC,PC与与 O O相切相切. . 连结连结OC,OC,则则OCA=FAH.OCA=FAH.PC=PF PCF=PFC=AFHPC=PF PCF=PFC=AFHDE AB DE AB OCA+PCF=FAH+AFH=90OCA+PCF=FAH+AFH=900 0即即OC PC, PCOC PC, PC与与O O相切相切. .（2 2）当点）当点D D在劣弧在劣弧ACA
6、C的什么位的什么位置时，才能使置时，才能使ADAD2 2=DE DF.=DE DF.为什么为什么? ?分析分析: :要使要使ADAD2 2=DE =DE DFDF需知需知ADFEDAADFEDA证以上两三角形相证以上两三角形相似似, ,除公共角外除公共角外, ,还还需证需证DAC=DEADAC=DEA故应知故应知AD=CDAD=CD 解：（解：（2 2）当点）当点D D是是ACAC的中点时，的中点时， ADAD2 2=DE DF.=DE DF. 连结连结AE.AE. AD=CD DAF=DEA AD=CD DAF=DEA 又又ADF=EDA DAFDEAADF=EDA DAFDEA即即ADAD
7、2 2=DE DF=DE DF 第三类第三类: :探求结论问题探求结论问题 这类问题是指题目中的结这类问题是指题目中的结论不确定论不确定, ,不惟一不惟一, ,或结论需要或结论需要通过类比通过类比, ,引申引申, ,推广或由已知推广或由已知特殊结论特殊结论, ,归纳出一般结论归纳出一般结论例3：已知，O1经过O2的圆心O2，且与O2相交于A、B两点，点C为AO2B上的一动点（不运动至A、B）连结AC，并延长交O2于点P，连结BP、BC .(1)先按题意将图1补完整,然后操作,观察.图1供操作观察用,操作时可使用量角器与刻度尺.当点C在AO2B 上运动时,图中有哪些角的大小没有变化;(2)请猜想
8、BCP的形状,并证明你的猜想(图2供证明用)(3)如图3,当PA经过点O2时,AB=4,BP交O1于D,且PB、DB的长是方程x2+kx+10=0的两个根，求O1的半径的半径. 例3：已知，O1经过O2的圆心O2，且与O2相交于A、B两点，点C为AO2B上的一动点（不运动至A、B）连结AC，并延长交O2于点P，连结BP、BC .(1)先按题意将图1补完整,然后操作,观察.图1供操作观察用,操作时可使用量角器与刻度尺.当点C在AO2B 上运动时,图中有哪些角的大小没有变化;(2)请猜想BCP的形状,并证明你的猜想(图2供证明用)（2 2）证明：连结）证明：连结O O2 2A A、O O2 2B
9、B，则则BOBO2 2A=ACB A=ACB BO BO2 2A=2PA=2PACB=2PACB=2PACB=P+PBCACB=P+PBCP=PBCP=PBCBCPBCP为等腰三角形为等腰三角形.(3)如图3,当PA经过点O2时,AB=4,BP交O1于D,且PB、DB的长是方程x2+kx+10=0的两个根，求O1的的半径半径. 连结连结O O2 2O O1 1并延长交并延长交ABAB于于E E，交交O O1 1于于F F设设O O1 1、O O2 2的半径的半径分别为分别为r r、R R，O O2 2FABFAB，EB=1/2AB=2EB=1/2AB=2，PDBPDB、POPO2 2A A是是
10、O O1 1的割线，的割线，PDPB=POPDPB=PO2 2PA=2RPA=2R2 2，PBPB、BDBD是方程是方程x x2 2+kx+10=0+kx+10=0的两根，的两根，PBBD=10PBBD=10，EFEOEFEO2 2=AEBE=AEBE，EF=4/3EF=4/3，r=1/2r=1/2（3+4/33+4/3）=13/6=13/6OO1 1的半径为的半径为13/613/6PDPB=PDPB=（PBPBBDBD）PB=PBPB=PB2 2PBBD=PBPBBD=PB2 210PB10PB2 210=2R10=2R2 2，APAP是是O O2 2的直径，的直径，PBA=90PBA=90
11、，PBPB2 2=PA=PA2 2ABAB2 2，PBPB2 2=4R=4R2 21616得得R=R=在在RtORtO2 2EBEB中，中，O O2 2E= E= 由相交弦定理得，由相交弦定理得，第四类： 存在性问题存在性问题是指在一定件下某数学对象是否存在的问题例例4 4：抛物线：抛物线y=axy=ax2 2+ +bxbx+c+c（a a0 0）过过P P（1 1，- -2 2），），Q Q（- -1,21,2），），且与且与X X轴交于轴交于A,BA,B两点两点( (A A在在B B的左的左侧侧),),与与Y Y轴交于轴交于C C点，连结点，连结ACAC，BCBC1.1. 求求a a与与c
12、 c的关系式的关系式2.2. 若若( (O O为坐标原点为坐标原点),),求抛物线的解析式求抛物线的解析式3.3.是否存在满足条件是否存在满足条件tantanCABCAB穧穧 cotcotCBA=1CBA=1的的抛物抛物线线? ?若存在若存在, , 请求出抛物线的解析式。若不存请求出抛物线的解析式。若不存在，请说明理由在，请说明理由。OCOBOA411= =+ +解解（1 1）将）将P P（1 1，-2-2），），Q Q（-1-1，2 2）代入解析式得代入解析式得 解方程组得解方程组得a+c=0a+c=0，b=b=2 2 aa，c c的的关系式是关系式是a+c=0a+c=0或或a=a=c c
13、例例4 4：抛物线：抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a a0 0）过）过P P（1 1，- -2 2），），Q Q（-1,2-1,2），且与），且与X X轴交于轴交于A,BA,B两点两点(A(A在在B B的左侧的左侧),),与与Y Y轴交于轴交于C C点，连结点，连结ACAC，BCBC1.1.求求a a与与c c的关系式的关系式2.2.若若 3.3. (O(O为坐标原点为坐标原点),),求抛物线的解析式求抛物线的解析式4.4.3.3.是否存在满足条件是否存在满足条件tanCABcotCBA=1tanCABcotCBA=1的的抛物线抛物线? ?若存在若存在, , 请求出抛物线的
14、解析式。若不存在，请请求出抛物线的解析式。若不存在，请说明理由说明理由。 （2 2）由（由（1 1）知）知b=b=2 2，所以所以y=axy=ax2 22x+c2x+c设设A A（x x1 1，0 0）B B（x x2 2，0 0）则）则x x1 1xx2 2=c/a=c/a，但，但a=a=c c，所以所以x x1 1xx2 20 0这说明这说明A A，B B在在原点两侧（原点两侧（A A在在B B的左侧）所以的左侧）所以OA=OA=x x1 1，OB=xOB=x2 2，OC=|c|=|a|OC=|c|=|a|，已已知知 故有故有即即 平方后得平方后得 而（而（x x2 2-x-x1 1）2
15、2= =（x x1 1+x+x2 2）2 24x4x1 1x x2 2把把x x1 1+x+x2 2=2/a=2/a，x x1 1xx2 2= =1 1代入上式代入上式中，得到关于中，得到关于a a的方程，的方程，解方程求得解方程求得a a，c c从而求出解析式从而求出解析式（2 2）设）设A A，B B的坐标分别为（的坐标分别为（x x1 1，0 0）, ,（x x2 2，0 0）, ,则则x x1 1，x x2 2是方程是方程 axax2 22x+c=02x+c=0的两个根的两个根 x x1 1+x+x2 2=2/a=2/a，x x1 1x x2 2= =1 1因此因此A A，B B两点分
16、别在原点两侧，因为两点分别在原点两侧，因为A A在在B B的左侧，所以的左侧，所以x x1 10 0，x x2 20 0，故，故OA=OA=x x1 1，OB=xOB=x2 2，OC=|c|=|a|OC=|c|=|a|，由由 得得 即即 平方后得平方后得 又又 于是得于是得4/a4/a2 2+4=16/a+4=16/a2 2, ,解之得解之得a= a= ，c= c= 所以解析式为所以解析式为（x x2 2-x-x1 1）2 2= =（x x1 1+x+x2 2）2 2 4x4x1 1x x2 2例例4 4：抛物线：抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a a0 0）过）过P P（1
17、 1，- -2 2），），Q Q（-1,2-1,2），），且与且与X X轴交于轴交于A,BA,B两点两点, ,与与Y Y轴交于轴交于C C点，连结点，连结ACAC，BCBC1.1.求求a a与与c c的关系式的关系式2.2.若若 3.3. (O(O为坐标原点为坐标原点),),求抛物线的解析式求抛物线的解析式4.4.3.3.是否存在满足条件是否存在满足条件tanCABcotCBA=1tanCABcotCBA=1的的抛物线抛物线? ?若存在若存在, , 请求出抛物线的解析式。若不存在，请请求出抛物线的解析式。若不存在，请说明理由说明理由。 （3 3） 假设满足条件的解析式存在假设满足条件的解析式存在 由由tanCABcotCBA=1tanCABcotCBA=1得得(OC/OA)(OB/OC)=1(OC/OA)(OB/OC)=1，从而有从而有OA=OBOA=OB这说明这说明A A，B B一定在原点两侧，所以一定在原点两侧，所以x x1 1=x=x2 2即即x x1 1+x+x2 2=0=0，所以所以b/a=0b/a=0，因而因而b=0b=0这与这与b=b=2 2相矛盾，故假设错误，所以不相矛盾，故假设错误，所以不存在这样的抛物线。存在这样的抛物线。
