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1、第十一章第十一章 设计方案的比较与评价设计方案的比较与评价 11.111.1 引言引言 11.211.2 两个系统设计方案的比较两个系统设计方案的比较 11.311.3 k k个系统设计方案之间的比较个系统设计方案之间的比较 物流工程与管理系物流工程与管理系Logistics Engineering & Management11.1 引言引言如何运用仿真对系统进行评价如何运用仿真对系统进行评价n n系统参数的随机性对系统输出结果的影响n n系统特征参数的确定与选择(系数、运行规则等)n n系统特征参数的评价2024/8/52 物流工程与管理系物流工程与管理系Logistics Engineer
2、ing & Management11.2 两个系统设计方案的比较两个系统设计方案的比较生产系统的设计方案生产系统的设计方案n n系统的设备形式、数量、参数；系统的设备形式、数量、参数；n n系统作业的工艺流程；系统作业的工艺流程；n n系统的控制方法（手动、半自动、全自动）系统的控制方法（手动、半自动、全自动）n n系统的布置形式；（包括生产物料的流动方式）系统的布置形式；（包括生产物料的流动方式）n n系统的运行策略（库存保证、订单生产、供应链生产）；系统的运行策略（库存保证、订单生产、供应链生产）；n n生产调度策略；生产调度策略；n n生产系统的人力规划；生产系统的人力规划；2024/8
3、/53 物流工程与管理系物流工程与管理系Logistics Engineering & Management11.2 两个系统设计方案的比较两个系统设计方案的比较系统的比较系统的比较系统的比较是基于系统的同一参数（设计参数、运行规则等同系统的比较是基于系统的同一参数（设计参数、运行规则等同一定义下的系统特征）。这一（或这些）参数在系统的重复运一定义下的系统特征）。这一（或这些）参数在系统的重复运行中可以得到的输出数据（可观测的）。行中可以得到的输出数据（可观测的）。对于两个系统的设计方案进行比较，可用对于两个系统的设计方案进行比较，可用 i i( (i i =1 =1，2)2)来表示系来表示系
4、统统i i的性能（系统均值性能的性能（系统均值性能 ）。如果是稳态仿真，保证）。如果是稳态仿真，保证 i i的估计的估计是近似无偏的。是近似无偏的。 仿真实验的目标是要获得均值性能之间的差别，即仿真实验的目标是要获得均值性能之间的差别，即12的点估计及其区间估计。的点估计及其区间估计。 2024/8/54 物流工程与管理系物流工程与管理系Logistics Engineering & Management11.2 两个系统设计方案的比较两个系统设计方案的比较系统仿真的关键参数系统仿真的关键参数稳态仿真的关键参数有下列几个：稳态仿真的关键参数有下列几个：JJ 仿真模型的稳态运行时间仿真模型的稳态
5、运行时间T TE EJJ 模型的重复运行次数模型的重复运行次数R Ri i 系统 i 的第 r 次重复运行产生均值性能测度i的一个估计Yri。假设估计值Yri是(至少近似是)无偏的，那么 2024/8/55 物流工程与管理系物流工程与管理系Logistics Engineering & Management11.2 两个系统设计方案的比较两个系统设计方案的比较系统性能的比较系统性能的比较计计算算两两个个性性能能测测度度之之间间的的差差别别 1 1 2 2的的置置信信区区间间，可可用用来来回回答以下两个问题：答以下两个问题： 均值差别有多大，以及均值差别的估计有多准确均值差别有多大，以及均值差别
6、的估计有多准确? ? 两个系统之间有显著的差别吗两个系统之间有显著的差别吗? ?2024/8/56 物流工程与管理系物流工程与管理系Logistics Engineering & Management11.2 两个系统设计方案的比较两个系统设计方案的比较系统性能比较的三种可能系统性能比较的三种可能n n如如果果 1 1 2 2的的置置信信区区间间绝绝大大部部分分在在零零的的左左侧侧，那那么么 1 1 2 200或等价地或等价地 1 1 00或等价地或等价地 1 1 2 2的假设便有强的证据。的假设便有强的证据。n n如果如果 1 1 2 2的置信区间包含零点，那么，根据现有的数的置信区间包含零
7、点，那么，根据现有的数据还没有强的统计证据表明一个系统设计方案优于另据还没有强的统计证据表明一个系统设计方案优于另一个。一个。 2024/8/57 物流工程与管理系物流工程与管理系Logistics Engineering & Management11.2 两个系统设计方案的比较两个系统设计方案的比较系统性能参数比较的置信区间形式系统性能参数比较的置信区间形式 n对12的置信区间有下列形式 ， 是系统i在所有重复运行上的样本均值性能测度 f 是相应于方差估计的自由度， 是在自由度为 f 的 t 分布中 点处的值s.e.()表示指定的点估计的标准偏差。 2024/8/58 物流工程与管理系物流工
8、程与管理系Logistics Engineering & Management例题：例题：正态分布的标准偏差和自由度计算正态分布的标准偏差和自由度计算n n具有相等方差的独立采样具有相等方差的独立采样具有相等方差的独立采样具有相等方差的独立采样 n n具有不相等方差的独立采样具有不相等方差的独立采样具有不相等方差的独立采样具有不相等方差的独立采样 n n相关采样相关采样相关采样相关采样 2024/8/59 物流工程与管理系物流工程与管理系Logistics Engineering & Management具有相等方差的独立采样独立采样是指用不同的且独立的随机数流来仿真两个系统。这意味着Yr1，
9、r=1，2，R1与Yr2，r=1，2，R2是统计独立的。于是样本均值 的方差由下式给出： i=1，2利用独立采样的性质， 与 是统计独立的，于是 2024/8/510 物流工程与管理系物流工程与管理系Logistics Engineering & Management具有相等方差的独立采样如果两次独立采样的方差相等， 均值性能差别的点估计是样本方差的无偏估计 依据方差相等条件 ，则 的联合估计由下式给出：它具有f =R1+R22个自由度。那么12的置信区间表达式的标准偏差为i=1，22024/8/511 物流工程与管理系物流工程与管理系Logistics Engineering & Manag
10、ement具有不相等方差的独立采样 独立采样是指用不同的且独立的随机数流来仿真两个系独立采样是指用不同的且独立的随机数流来仿真两个系统。这意味着统。这意味着 Y Yr r1 1，r r=1=1，2 2，R R1 1 与与 Y Yr r2 2，r r=1=1，2 2，R R2 2 是统计独立的。于是样本均值是统计独立的。于是样本均值 的方差由下式给的方差由下式给出：出： i=1，2利用独立采样的性质， 与 是统计独立的，于是 2024/8/512 物流工程与管理系物流工程与管理系Logistics Engineering & Management具有不相等方差的独立采样如果如果 ，那么，那么 1
11、 1 2 2的的 近似置信区间近似置信区间w w为：为： 均值性能差别的点估计是均值性能差别的点估计是样本方差的无偏估计样本方差的无偏估计点估计的标准偏差点估计的标准偏差自由度自由度 f f 的近似计算式的近似计算式 2024/8/513 物流工程与管理系物流工程与管理系Logistics Engineering & Management相 关 采 样 相关采样相关采样指的是对每一次重复运行，利用相同的随机数来指的是对每一次重复运行，利用相同的随机数来仿真两个系统。因此系统的仿真次数仿真两个系统。因此系统的仿真次数R R1 1和和R R2 2相等，为了表相等，为了表达的方便，假设达的方便，假设
12、R R1 1= = R R2 2= =R R。对每个第对每个第r r次重复运行，两个估次重复运行，两个估计计Y Yr r1 1和和Y Yr r2 2不再是独立的，而是相关的。由于对任意两次不不再是独立的，而是相关的。由于对任意两次不同的重复运行利用的是独立的随机数流，那么同的重复运行利用的是独立的随机数流，那么Y Yr r1 1和和Y Yr r2 2之间之间仍然是独立的仍然是独立的r r s s。利用相关采样的目的是让利用相关采样的目的是让Y Yr r1 1与与Y Yr r2 2产生产生正相关，并从而达到使均值差正相关，并从而达到使均值差 的点估计的方差减的点估计的方差减小的目的。小的目的。
13、2024/8/514 物流工程与管理系物流工程与管理系Logistics Engineering & Management相 关 采 样n n方差的一般表达形式方差的一般表达形式 1212为为Y Yr r1 1与与Y Yr r2 2之间的相关系数，与之间的相关系数，与r r无关。无关。 n n令相关采样的方差为令相关采样的方差为VVcorcor n n令独立采样的方差令独立采样的方差( (设设R R1 1= =R R2 2= =R R) )称之为称之为VVindind VcorVind=-如果相关采样是正相关，那么12将是正的，于是 较小的方差意味着基于相关采样的估计更为准确。 2024/8/
14、515 物流工程与管理系物流工程与管理系Logistics Engineering & Management相关采样数据的置信区间计算 令令D Dr r= =Y Yr r1 1Y Yr r2 2 ，于是，于是D Dr r( (r r =1=1，2 2，R R) )是独立的、具有是独立的、具有相同分布的随机样本，其样本均值相同分布的随机样本，其样本均值 样本方差样本方差 它具有自由度它具有自由度 f f = =R R1 1。对对 1 1 2 2的置信区间估计中的标的置信区间估计中的标准偏差为准偏差为 式中 当工作正常时(即120)，在给定样本量下，相关采样产生的置信区间要比独立采样所产生的来得短
15、。 2024/8/516 物流工程与管理系物流工程与管理系Logistics Engineering & Management11.3 k个系统设计方案之间的比较个系统设计方案之间的比较多系统设计方案的比较方法多系统设计方案的比较方法多系统设计方案的比较方法较多，主要可以分为两种多系统设计方案的比较方法较多，主要可以分为两种vv固定样本量法固定样本量法 vv时序采祥时序采祥( (或多阶段采样或多阶段采样) )法法 1.预先确定出仿真的样本量(包括运行长度TE以及重复运行次数R)2.通过假设检验和/或置信区间作出论断固定样本量法的优点是在进行仿真实验前，花费计算机机时是已知的，适用于机时有限或作
16、些初步研究。固定样本量法的主要缺点是不可能有强有力的结论，例如，置信区间对实际应用来说可能太宽或假设检验可能导致不拒绝零假设。 需要收集越来越多的数据一直到估计值达到预先给定的准确度，或者一直到从几个可供选用的假设中选出一个为止。 2024/8/517 物流工程与管理系物流工程与管理系Logistics Engineering & Management11.3 k个系统设计方案之间的比较个系统设计方案之间的比较多系统设计方案的比较方法多系统设计方案的比较方法假假设设要要计计算算总总共共C C个个置置信信区区间间，其其中中第第i i个个置置信信区区间间具具有有的的置置信信系系数数1 1- - i
17、 i。令令第第i i个个置置信信区区间间是是一一个个命命题题，称称之之为为S Si i，对对给给定定的的一一组组数数据据它它可可以以为为真真或假，为真的概率为或假，为真的概率为1 1- - i i。那么。那么BonferroniBonferroni不等式是不等式是称为总误差概率。 等价于 P(一个或多个命题Si为假，i=1，2，C) 于是 给出了结论为假的概率的上界。 2024/8/518 物流工程与管理系物流工程与管理系Logistics Engineering & Management例题：总误差概率的分解例题：总误差概率的分解当进行一个作当进行一个作C C次比较的实验时，首先选择总误差概
18、率，比如次比较的实验时，首先选择总误差概率，比如说说 E E=0.05=0.05或或0. 0.1111。单个的。单个的 j j可以选为相等可以选为相等( )( )或不相等。或不相等。由于由于 j j的值比较小，则第的值比较小，则第j j个置信区间将比较宽。例如总置信水个置信区间将比较宽。例如总置信水平要求平要求1 1- - E E=95%=95%，当要作，当要作1111个比较时，那么对所关心的差数个比较时，那么对所关心的差数( (或差别或差别) )去构造去构造1111个个1 1- - J J = 99.5%= 99.5%的置信区间。的置信区间。当进行大量比较时，当进行大量比较时，Bonferr
19、oniBonferroni法的主要缺点是每一单个区间宽法的主要缺点是每一单个区间宽度增加。度增加。 课本上的例题表明：课本上的例题表明：BonferroniBonferroni法适用于少量设计方案进行比较，法适用于少量设计方案进行比较，其上限不要超过其上限不要超过1111个方案为宜。个方案为宜。 2024/8/519 物流工程与管理系物流工程与管理系Logistics Engineering & Management例题：总误差概率的分解例题：总误差概率的分解对一组给定的数据和一个大的样本量，设样本量对一组给定的数据和一个大的样本量，设样本量C C=11=11，如果每个样如果每个样本的误差区间
20、本的误差区间 j j相同，若相同，若1 1- - j j = 99.5% = 99.5%， j j /2=0.0025 /2=0.0025，这样的样本，这样的样本置信区间宽度将是总置信区间宽度（置信区间宽度将是总置信区间宽度（1 1- - E E = 95% = 95%）的的）的的1.431.43倍，即：倍，即：对小样本量来说，比如当样本量对小样本量来说，比如当样本量C C为为5 5时，时，99.5%99.5%的置信区宽度将是的置信区宽度将是95%95%的置信区间宽度的的置信区间宽度的1.991.99倍倍 2024/8/520 物流工程与管理系物流工程与管理系Logistics Enginee
21、ring & Management11.3 k个系统设计方案之间的比较个系统设计方案之间的比较Bonferroni不等式可达到的三个目标不等式可达到的三个目标 n n单个置信区间单个置信区间单个置信区间单个置信区间 BonferroniBonferroni法给出的置信区间是最低可能的总置法给出的置信区间是最低可能的总置信水平。信水平。n n与现有系统进行比较与现有系统进行比较与现有系统进行比较与现有系统进行比较 BonferroniBonferroni法将所有其它系统方案的置法将所有其它系统方案的置信区间与现有系统的置信区间进行比较信区间与现有系统的置信区间进行比较n n所有可能的比较所有可能
22、的比较所有可能的比较所有可能的比较 对所有的设计方案进行相互比较，即对任对所有的设计方案进行相互比较，即对任意两个系统的设计方案意两个系统的设计方案i i j j，构造构造 i i j j的置信区间。对于的置信区间。对于k k个个设计方案，则要计算的置信区间数是设计方案，则要计算的置信区间数是C C = = k k(k(k1)/21)/2。总置信总置信系数的下限是系数的下限是 2024/8/521 物流工程与管理系物流工程与管理系Logistics Engineering & Management11.3 k个系统设计方案之间的比较个系统设计方案之间的比较试验统计设计的目的试验统计设计的目的
23、n n试验的统计设计是设计并评价试验的一组原则。在统计学试验的统计设计是设计并评价试验的一组原则。在统计学中，系统的输入变量，如决策变量、结构假设以及随机变中，系统的输入变量，如决策变量、结构假设以及随机变量的参数，都称为量的参数，都称为因子因子。因子的每一可能的值叫。因子的每一可能的值叫因子的水因子的水平平。全部因子在给定水平上的一个组合叫一个。全部因子在给定水平上的一个组合叫一个“ “处理处理” ”。若仿真在相同的处理下运行，但利用的是独立随机数流时，若仿真在相同的处理下运行，但利用的是独立随机数流时，就认为是作了一次独立重复运行试验。就认为是作了一次独立重复运行试验。统计设计的目的统计设
24、计的目的就就是确定各种因子对响应变量的影响。是确定各种因子对响应变量的影响。 2024/8/522 物流工程与管理系物流工程与管理系Logistics Engineering & Management11.3 k个系统设计方案之间的比较个系统设计方案之间的比较因子的分类因子的分类n n定性因子定性因子定性因子定性因子是用一系列定性的策略描述的规则、逻辑等。例是用一系列定性的策略描述的规则、逻辑等。例如：排队规则，如采用如：排队规则，如采用FIFOFIFO还是采用优先权；还是采用优先权；n n定量因子定量因子定量因子定量因子可以用数值来表示，如并行服务台数，到达速率可以用数值来表示，如并行服务台
25、数，到达速率及定货策略等。及定货策略等。 其它的因子分类：受控因子和非受控因子某些因子在管理控制之下并能随意变化，这些因子统称为决策变量或策略变量，如并行服务台数和定货策略。其它的因子，如随机到达速率或随机需求速率，都不能由管理人员来控制。然而，在仿真模型中，像需求速率这样的非策略变量也可以由分析员来控制。 2024/8/523 物流工程与管理系物流工程与管理系Logistics Engineering & Management11.3 k个系统设计方案之间的比较个系统设计方案之间的比较试验统计设计的目的试验统计设计的目的就系统本身来讲，即使某些输入变量没有在策略制定者控制就系统本身来讲，即使
26、某些输入变量没有在策略制定者控制之下，但这些随机变量的特定值却可由分析员在一定程度上之下，但这些随机变量的特定值却可由分析员在一定程度上由指定所用的随机数种子和随机数流来控制。随机波动源被由指定所用的随机数种子和随机数流来控制。随机波动源被慎重地引进到模型中是为了准确地表示系统行为。另一方面慎重地引进到模型中是为了准确地表示系统行为。另一方面, ,仿真实验没有受到具体试验的外部波动的影响，如量测误差仿真实验没有受到具体试验的外部波动的影响，如量测误差的影响。的影响。 2024/8/524 物流工程与管理系物流工程与管理系Logistics Engineering & Management11.
27、3 k个系统设计方案之间的比较个系统设计方案之间的比较单因子完全随机化试验设计单因子完全随机化试验设计 n n首先考察只有一个因子可以影响响应变量首先考察只有一个因子可以影响响应变量Y Y的情况。这的情况。这是完全随机化试验设计中最为简单的问题。是完全随机化试验设计中最为简单的问题。n n对一个排队系统来讲，单个因子可以是排队规则，它对一个排队系统来讲，单个因子可以是排队规则，它可能有三个水平，如先到先服务，或有优先级的服务，可能有三个水平，如先到先服务，或有优先级的服务，或轮流服务。排队规则是一个定性的策略因子的例子，或轮流服务。排队规则是一个定性的策略因子的例子，当仅有一个因子，该因子具有
28、当仅有一个因子，该因子具有k k个水平时，该试验称为个水平时，该试验称为单因子试验。单因子试验。 2024/8/525 物流工程与管理系物流工程与管理系Logistics Engineering & Management11.3 k个系统设计方案之间的比较个系统设计方案之间的比较单因子完全随机化试验设计的统计模型单因子完全随机化试验设计的统计模型具具有有k k个个处处理理水水平平的的单单因因子子完完全全随随机机试试验验设设计计的的分分析析所所采采用用的统计模型是的统计模型是 Y Yrj rj = = + + j j + + rj rj r r=1=1，2 2，. .，R Rj j；j j=1=
29、1，2 2，. .，k k式中，式中，Y Yrj rj是因子在第是因子在第j j个水平时，响应变量的第个水平时，响应变量的第r r个观察值，个观察值， 称之为总的平均影响，称之为总的平均影响， j j是由于因子的第是由于因子的第j j个水平所引起的影个水平所引起的影响，响， rj rj是在水平是在水平j j之下第之下第r r个观察值的个观察值的“ “随机误差随机误差” ”，而，而R Rj j是在是在水平水平j j时的观察次数。时的观察次数。 2024/8/526 物流工程与管理系物流工程与管理系Logistics Engineering & Management11.3 k个系统设计方案之间的
30、比较个系统设计方案之间的比较单因子完全随机化试验设计统计模型的分析单因子完全随机化试验设计统计模型的分析假设随机偏差项假设随机偏差项 rj rj具有零均值、协方差为具有零均值、协方差为 2 2的正态独立分布。的正态独立分布。参数参数 及及 j j被假设是固定的且满足被假设是固定的且满足 。当因子的水平可由。当因子的水平可由分析人员选定时，这种模型称为分析人员选定时，这种模型称为固定影响模型固定影响模型。如果因子的。如果因子的水平不能被选定，而是从某一总体中随机选择出来的，水平不能被选定，而是从某一总体中随机选择出来的， j j假假设是正态分布，那么得到的是设是正态分布，那么得到的是随机影响模型
31、随机影响模型。这里仅讨论固。这里仅讨论固定影响模型。定影响模型。 2024/8/527 物流工程与管理系物流工程与管理系Logistics Engineering & Management单因子固定影响完全随机试验的初步分析由统计假设检验组成：单因子固定影响完全随机试验的初步分析由统计假设检验组成： HH0 0： j j=0=0， j j=1=1，2 2，k k即因子的水平对响应没有影响。即因子的水平对响应没有影响。单向方差分析可用于上述统计检验。该检验本身是由计算单向方差分析可用于上述统计检验。该检验本身是由计算F F统计量统计量并把它的值与一适当的临界值进行比较组成。如果假设并把它的值与一
32、适当的临界值进行比较组成。如果假设HH0 0没有被没有被拒绝，那么分析人员可得出结论：拒绝，那么分析人员可得出结论：对因子的所有水平的平均响应是对因子的所有水平的平均响应是对因子的所有水平的平均响应是对因子的所有水平的平均响应是，即因子对响应变量没有明显即因子对响应变量没有明显即因子对响应变量没有明显即因子对响应变量没有明显的影响。如果假设的影响。如果假设的影响。如果假设的影响。如果假设HH0 0被拒绝，那么分析人员有理由相信因子的水被拒绝，那么分析人员有理由相信因子的水被拒绝，那么分析人员有理由相信因子的水被拒绝，那么分析人员有理由相信因子的水平对平均响应有某些影响。平对平均响应有某些影响。
33、平对平均响应有某些影响。平对平均响应有某些影响。 11.3 k个系统设计方案之间的比较个系统设计方案之间的比较单因子完全随机化试验设计统计模型的分析单因子完全随机化试验设计统计模型的分析2024/8/528 物流工程与管理系物流工程与管理系Logistics Engineering & Management11.3 k个系统设计方案之间的比较个系统设计方案之间的比较F F统计量的单向方差分析检验方法统计量的单向方差分析检验方法 该检验基本上是把观察到的该检验基本上是把观察到的Y Yrj rj的变动分成两个成分，其中一个的变动分成两个成分，其中一个成分是由因子的水平所引起的，而另一成分是由于被仿
34、真的过成分是由因子的水平所引起的，而另一成分是由于被仿真的过程所固有的变动所引起的。首先，把观察到的响应程所固有的变动所引起的。首先，把观察到的响应Y Yry ry作成数据作成数据观测表，并计算总数观测表，并计算总数T Tj j和和T T ，以及第，以及第j j个水平的样本均值个水平的样本均值 和整和整个样本均值或总均值个样本均值或总均值 。2024/8/529 物流工程与管理系物流工程与管理系Logistics Engineering & Management11.3 k个系统设计方案之间的比较个系统设计方案之间的比较数据观测表数据观测表第第r r次次重复运行重复运行单单 因因 子子 的的
35、水水 平平 j j 1 12 2j jK K1 1Y Y1111Y Y1212Y Y1 1j jY Y1 1k k2 2Y Y2121Y Y2222Y Y2 2 j jY Y2 2k k R Rj j总数总数T T 1 1T T 2 2T T j jT T k k均值均值第第r r次次重复运行重复运行单单 因因 子子 的的 水水 平平 j j 1 12 2j jK K1 1Y Y1111Y Y1212Y Y1 1j jY Y1 1k k2 2Y Y2121Y Y2222Y Y2 2 j jY Y2 2k k R Rj j总数总数T T 1 1T T 2 2T T j jT T k k均值均值第
36、第r r次次重复运行重复运行单单 因因 子子 的的 水水 平平 j j 1 12 2j jK K1 1Y Y1111Y Y1212Y Y1 1j jY Y1 1k k2 2Y Y2121Y Y2222Y Y2 2 j jY Y2 2k k R Rj j总数总数T T 1 1T T 2 2T T j jT T k k均值均值第第r r次次重复运行重复运行单单 因因 子子 的的 水水 平平 j j 1 12 2j jK K1 1Y Y1111Y Y1212Y Y1 1j jY Y1 1k k2 2Y Y2121Y Y2222Y Y2 2 j jY Y2 2k k R Rj j总数总数T T 1 1
37、T T 2 2T T j jT T k k均值均值仿真实验的观测值记录第j个仿真实验处理时所有响应之和： T 仿真实验所有响应之总和 重复运行的总次数Y 整个样本的均值2024/8/530 物流工程与管理系物流工程与管理系Logistics Engineering & Management11.3 k个系统设计方案之间的比较个系统设计方案之间的比较方差估计的计算方法方差估计的计算方法为了估计计算方差，我们先观察下列算式为了估计计算方差，我们先观察下列算式该式反映了仿真响应变量围绕整个样本均值的变化该式反映了仿真响应变量围绕整个样本均值的变化 这种变化由两部分组成 由于某个仿真处理的均值对总体均
38、值之差 由于每个响应对该水平的采样均值响应之差 对上式两端平方，再对所有r及j求和，可以得到： 2024/8/531 物流工程与管理系物流工程与管理系Logistics Engineering & Management方方差差估估计计的的计计算算方方法法系统总的平方和可以简单表示为 SSTOTAL = SSTREAT + SSE SSTREAT是由处理引起的平方和 SSE 是误差平方和。注意，这里误差是指在水平j时单个响应Yrj与在水平j时采样平均响应 的偏差。 2024/8/532 物流工程与管理系物流工程与管理系Logistics Engineering & Management11.3
39、k个系统设计方案之间的比较个系统设计方案之间的比较方差的无偏估计方差的无偏估计n n如果如果 rj rj是系统仿真的协方差，那么其均方差是系统仿真的协方差，那么其均方差MSMSE E= =SSSSE E/(/(R Rk k) )是响应变量是响应变量Y Y的方差的方差 2 2的无偏估计，即的无偏估计，即 E E MSMSE E= = 2 2。n n如果统计假设检验组成：如果统计假设检验组成： HH0 0： j j=0=0，j j=1=1，2 2，k k成立，则成立，则MSMSTREATTREAT= =SSSSTREATTREAT/(/(k k1)1)是响应变量是响应变量Y Y的方差的方差 2 2
40、的无偏估计。的无偏估计。 n n在任何情况下，在任何情况下，MSMSTREATTREAT与与MSMSE E是统计独立的。是统计独立的。n nSSSSTREATTREAT/ / 2 2 是自由度为是自由度为( (k k1)1)的的 2 2分布。分布。n nSSSSE E/ / 2 2是自由度为是自由度为 ( (R Rk k ) )的的 2 2分布。分布。n n用以检验统计量的检验式为：用以检验统计量的检验式为：这个检验统计量是具有自由度为(k1)与(Rk)的F分布。 2024/8/533 物流工程与管理系物流工程与管理系Logistics Engineering & Management11.3
41、 k个系统设计方案之间的比较个系统设计方案之间的比较单向方差分析检验的判别单向方差分析检验的判别设检验的显著性指标设检验的显著性指标110(l110(l )% )% ，这里这里l l 是具有自由是具有自由度为度为k k1 1以及以及R Rk k的的F F分布在临界值为分布在临界值为F F1-1- 处的概率。处的概率。 注意：注意：k k 单因子的水平总数；单因子的水平总数；RR各因子水平的运行总次数。各因子水平的运行总次数。如果如果F F F F1-1- ，则拒绝零假设则拒绝零假设HH0 02024/8/534 物流工程与管理系物流工程与管理系Logistics Engineering & M
42、anagement11.3 k个系统设计方案之间的比较个系统设计方案之间的比较两因子的析因设计两因子的析因设计模型模型 二因子模型，其统计模型为二因子模型，其统计模型为Y Yijrijr = = + + QQi i + + NNj j + + QNQNij ij + + ijrijr i i=1=1，2 2，q q；j j=1=1，2 2，n n；r r=1=1，2 2，R R式中式中Y Yijrijr是响应变量是响应变量Y Y在第一因子为水平在第一因子为水平i i，第二因子为水平第二因子为水平j j时时的第的第r r个响应的观察值。个响应的观察值。 Y Yijrijr是一个全随机设计，即在一
43、个处是一个全随机设计，即在一个处理里的所有重复运行以及所有处理上的所有重复运行都是统理里的所有重复运行以及所有处理上的所有重复运行都是统计独立地做出的。计独立地做出的。随机偏差项随机偏差项 ijrijr，假设是服从零均值、协方差为假设是服从零均值、协方差为 2 2的独立、正态的独立、正态分布。分布。 是系统总的平均影响 Qi是因子Q在水平i下的影响 Nj是因子N在水平j下的影响 QNij是因子Q在水平i、因子N在水平j的相互起作用的影响 ijr是实际响应的随机波动 2024/8/535 物流工程与管理系物流工程与管理系Logistics Engineering & Management两因子的
44、析因设计两因子的析因设计模型的方差分析模型的方差分析 假设因子假设因子Q Q有有q q个水平而因子个水平而因子NN有有n n个水平，且每个处理水平有个水平，且每个处理水平有m m次重复运行，次重复运行，总共有总共有R R= =qmnqmn次重复运行。次重复运行。 由因子Q引起的响应的变化 由因子N引起的响应的变化 由因子Q、N共同引起的响应的变化 总体的响应变化 同样可以证明： SSTOTAL = SSQ + SSN + SSQN + SSE 2024/8/536 物流工程与管理系物流工程与管理系Logistics Engineering & Management两因子的析因设计两因子的析因设
45、计模型的方差分析模型的方差分析SSSSTOTAL TOTAL = = SSSSQ Q + + SSSSN N + + SSSSQN QN + + SSSSE E上式右侧的各个平方和项是独立的分布，因此当每个平方和项上式右侧的各个平方和项是独立的分布，因此当每个平方和项用用 2 2去除，得：去除，得：SSSSQ Q / / 2 2符合自由度为符合自由度为( (q q- -1)1)的的 2 2分布；分布；SSSSN N / / 2 2符合自由度为符合自由度为( (n n- -1)1)的的 2 2分布；分布；SSSSQN QN / / 2 2符合自由度为符合自由度为( (q q- -1)1)( (n
46、 n- -1)1)的的 2 2分布；分布； SSSSE E / / 2 2符合自由度为符合自由度为qnqn( (m m- -1)1)的的 2 2分布。分布。2024/8/537 物流工程与管理系物流工程与管理系Logistics Engineering & Management两因子的析因设计两因子的析因设计模型的方差分析模型的方差分析变化的来源自由度SSMS F因子Qq1SSQ因子NN1SSNQN相互作用(q1)(n1)SSQN误差qn(m1)SSE总数qmn1 SSTOTAL3个假设可被检验：H01：Qi=0，对所有iH02：Nj=0，对所有jH03：(QN)ij=0，对所有i，j2024/8/538
