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1、第第3 3章章 流体静力学流体静力学3.1 3.1 作用在流体上的力作用在流体上的力3.2 3.2 流体静力学的基本方程流体静力学的基本方程3.3 3.3 重力场中的静止液体重力场中的静止液体3.4 3.4 非惯性坐标系中的静止液体非惯性坐标系中的静止液体 流体静力学的学习是为流体动力学打基础 流体静力学分析方法本身具有广泛的工程应用本章任务：研究流体处于本章任务：研究流体处于静止静止或或相对静止相对静止(即流体对即流体对于选定的坐标系无相对运动于选定的坐标系无相对运动)状态下流体内部的压力状态下流体内部的压力分布规律及其应用。分布规律及其应用。本本章章内内容容3.1 作用在流体上的力作用在流
2、体上的力P PZyxAVF Fn n3.1.1质量力质量力质量力质量力（体积力、彻体力、（体积力、彻体力、（体积力、彻体力、（体积力、彻体力、非接触力非接触力）例如例如重力、惯性力、电场力、磁场力等。重力、惯性力、电场力、磁场力等。可用单位质量流体受到的质量力可用单位质量流体受到的质量力 来表来表征征( (大小大小, ,方向方向) )： 总质量力：总质量力：,是空间位置和时间的函数是空间位置和时间的函数微元的体积微元的体积,微元体平均密度微元体平均密度单位：单位：牛顿牛顿/千克千克, N/Kg注意：注意：对对体积体积积分！积分！作用在流体上的外力有作用在流体上的外力有表面力表面力和和质量力质量
3、力两种两种 3.1.2 3.1.2 表面力（表面力（表面力（表面力（接触力、近程力、面积力接触力、近程力、面积力接触力、近程力、面积力接触力、近程力、面积力）由相邻流体质点或其他物体直接作由相邻流体质点或其他物体直接作用于流体上微团表面上的力。用于流体上微团表面上的力。例如例如：压力（压强）、切应力压力（压强）、切应力单位面积受到的表面力：P PZyxAVF Fn n作用在流体表面A上的总表面力：(N/m2, Pa)注意：对面积积分！和体积力一样，单位面积上的表面力一般情况下也是空间位置和时间的函数。：也称为流体微元面上的应力：也称为流体微元面上的应力 的方向的方向一般情况下一般情况下与微元面
4、法向与微元面法向 不不重合，重合，可分解为与表面垂直（可分解为与表面垂直（正应力正应力）和平行（和平行（切应力切应力）的两个分量。）的两个分量。3.1.3静止流场中的表面力（流体静压强的特点）静止流场中的表面力（流体静压强的特点）静止流场中的表面力（流体静压强的特点）静止流场中的表面力（流体静压强的特点）静止流体中，由于流体质点之间没有相对运动，故不存在平静止流体中，由于流体质点之间没有相对运动，故不存在平静止流体中，由于流体质点之间没有相对运动，故不存在平静止流体中，由于流体质点之间没有相对运动，故不存在平行于表面的切应力，此时表面力就是正应力（或法向应力），行于表面的切应力，此时表面力就是
5、正应力（或法向应力），行于表面的切应力，此时表面力就是正应力（或法向应力），行于表面的切应力，此时表面力就是正应力（或法向应力），即：即：即：即：流体静压强特点一：流体静压强特点一：静压强引起的作用静压强引起的作用力总是垂直于作用面，且指向作用面的力总是垂直于作用面，且指向作用面的内法线方向。内法线方向。证明：反证法证明：反证法, ,剪切则变形（不静止）；剪切则变形（不静止）； 向外，则拉伸（流体不可拉伸）向外，则拉伸（流体不可拉伸）a ab bpdApdApdApdAX X轴方向：轴方向：轴方向：轴方向：又因为：又因为：又因为：又因为：所以有：所以有：所以有：所以有：同理有：同理有：同理有：
6、同理有：则有：则有：则有：则有：概括：概括：概括：概括：静止流场中的法向应力值是各向同性的，是空间和时静止流场中的法向应力值是各向同性的，是空间和时间的函数间的函数, ,数值上即是该点的流体静压强。数值上即是该点的流体静压强。表面总静压力：表面总静压力：表面总静压力：表面总静压力：证明：如图，利用证明：如图，利用证明：如图，利用证明：如图，利用力平衡方程力平衡方程力平衡方程力平衡方程可得可得可得可得：pyp pz zzYx xP Px xP Pn n(2) 特点二：特点二：流体内部一点的流体内部一点的静压强静压强在各方向相等，即静压强的大小与作在各方向相等，即静压强的大小与作用面的方向无关，是
7、一个标量。用面的方向无关，是一个标量。( ( ( () ) ) )3.1.4 压力的表示方法及单位压力的表示方法及单位绝对压强、相对压强绝对压强、相对压强( (表压表压) )和和真空度真空度之间的关系之间的关系单位名称单位名称单位符号单位符号 单位换算关系单位换算关系应力单位法应力单位法 帕帕 Pa1Pa=1N/m2液柱高度法液柱高度法 米水柱米水柱 mH2O1mH2O=9.8103Pa液柱高度法液柱高度法毫米汞柱毫米汞柱 mmHg1mmHg=13.6mmH2O=133.3Pa工程大气压法工程大气压法1公斤力压公斤力压强强 Kg/cm21Kg/cm2=9.8 104N/m2压强度量：压强度量：
8、h hh h玻璃管插在水中玻璃管插在水中玻璃管插在水银中玻璃管插在水银中问题问题：在：在(a)(a)、(b)(b)两种情况下，两种情况下，问玻璃管内自由液面液体侧的相问玻璃管内自由液面液体侧的相对压强是大于零还是小于零？对压强是大于零还是小于零？3.2 流体静力学的基本方程流体静力学的基本方程3.2.1流体静力学的基本方程流体静力学的基本方程静止流体团（体积静止流体团（体积静止流体团（体积静止流体团（体积V V V V、表面积、表面积、表面积、表面积A A A A）所受）所受）所受）所受合外力合外力合外力合外力0 0 0 0：(合外力矩为零时，合外力是否为零？合外力为零时，合外力矩是否为零？合
9、外力矩为零时，合外力是否为零？合外力为零时，合外力矩是否为零？)GaussGauss定理：定理：定理：定理：惯性坐标系中，物体惯性坐标系中，物体惯性坐标系中，物体惯性坐标系中，物体静止静止静止静止的的的的必要条件必要条件必要条件必要条件：合外力：合外力：合外力：合外力和和和和合外力矩合外力矩合外力矩合外力矩均为均为均为均为0 0流体平衡微分方程流体平衡微分方程，是，是流体流体静力学的基本方程式，静力学的基本方程式，1755年欧拉（年欧拉（Euler）推出。）推出。注意注意注意注意“静止静止静止静止”与与与与“平衡平衡平衡平衡”的关系的关系的关系的关系流体平衡微分方程流体平衡微分方程也可由也可由
10、也可由也可由“静止微元体静止微元体静止微元体静止微元体”受力平衡受力平衡受力平衡受力平衡得出，得出，得出，得出，与前面的推导其实是一回事：与前面的推导其实是一回事：与前面的推导其实是一回事：与前面的推导其实是一回事：类似地：类似地：1). 流体平衡微分方程 表明，静止流体内的压强梯度仅与体积力 有关。该方程是使静止流体保持静止（平衡）时质量力和表 面力应满足的条件。2). 前面推导只用到了静止流体 的条件。习题3-1，若只 用到 条件，也能导出“流体平衡微分方程”。 3). 但“物体静止的必要条件”为何同时要 ？ 请思考，并欢迎讨论！3.2.2 静止流场的基本特性静止流场的基本特性1) 流体静
11、止时质量力必须满足的条件是：流体静止时质量力必须满足的条件是：2) 不可压缩静止流场中的质量力有势不可压缩静止流场中的质量力有势: :质量力质量力势函数势函数(标量梯度的旋度为标量梯度的旋度为0）可见此时质量力可见此时质量力 有势。可取有势。可取: :即质量力的势，即质量力的势，即质量力的势，即质量力的势，反映单位质量流体具有的势能反映单位质量流体具有的势能反映单位质量流体具有的势能反映单位质量流体具有的势能。3) 有势质量力场中静止流体的分界面是等压面。有势质量力场中静止流体的分界面是等压面。等压面：流体中压强相等的点组成的面。等压面的方程：等压面等压面油油水水密度分别为 和 的两种静止流体
12、混放，如果具有明确的分界面，则分界面既是等压面又是等势面。证明如下：等压面的方程也可写成： 可见静止流体中质量力 与等压面处处垂直。设等压面上任意两点之间矢量为 ，则两点间质量力势差为：可见静止流体中等压面也是等势面。4) 正压流场中等压面与等密度面重合正压流场中等压面与等密度面重合如果流体的密度仅是压力的函数，这种流场称为正压流场。分界面上任意一点都处于平衡状态A B可见分界面也是等压面。类似可说明分界面也是等势面。- 例如理想气体的等温流动：因为此时压力与密度一一对应，所以此时等压面和等密度面重合。还可证明，静止的正压流体中质量力是有势的。【例题31】即：即：由于：由于：得得: :要使上式
13、对流场中任意点（要使上式对流场中任意点（x,y,zx,y,z）恒成立，须各项系数为零，）恒成立，须各项系数为零，即：即：解方程组，得解方程组，得 的取值是：的取值是：3.3 重力场中的静止液体重力场中的静止液体3.3.1 重力场静止流体的压力分布重力场静止流体的压力分布1) 重力场中静止流体的压力微分方程重力场中静止流体的压力微分方程通常取z轴为垂直向上为正，与重力加速度的方向相反，则：因此重力场中静止流体的压力微分方程为：- 适用于重力场中静止的任何流体（气体、液体）2) 重力场中静止液体的压力分布特点重力场中静止液体的压力分布特点p ppaZyh h=常数， （大气压），积分得：I. 等压
14、面为水平面。II. 连通管路/容器中同一种静止液体，同一水平 位置的压力相同。(U形管测压原理，马上讲)III. 不同流体分界面既是等压面又是等势面(上节)3.3.2 U形管测压原理形管测压原理 （液柱式测压计工作原理）（液柱式测压计工作原理）原理：连通管路/容器中，在同一种静止液体内，同一水平位置的压力相同。大气压力计原理大气压力计原理水银水银大气压大气压p pa ah h单管压力计单管压力计h h1 1M Mh h2 21 1p pa a2 2A A1 12 2U U型管型管倾斜管微压计倾斜管微压计平面叶栅试验台平面叶栅试验台1 1、U U型液压计型液压计 p pM M= =2 2ghgh
15、2 2- - 1 1ghgh1 1 测点压强大于大气压测点压强大于大气压若若1 12 2，即被测介质为气即被测介质为气体，体，U U型管内工作介质为液体型管内工作介质为液体时，可以不及气体介质自重引时，可以不及气体介质自重引起的压强。那么：起的压强。那么： p pM M= =2 2ghgh2 2h1 1Mh21 1pa a2 2A1 12 2U U型管型管pM 测点压强小于大气压测点压强小于大气压 p pMgMg=-=-2 2ghgh2 2- - 1 1ghgh1 1 若若1 12 2：p pMgMg=-=-2 2ghgh2 2h1 1Mh21 1pa a2 2A1 12 2U U型管型管pM
16、关键：关键：找到正确的等压面；找到正确的等压面；自一侧开始，每次在同种自一侧开始，每次在同种流体里利用流体静力学基本关系式，然后根据等压面流体里利用流体静力学基本关系式，然后根据等压面向另一侧推进。向另一侧推进。 U U型管串联型管串联【例题32】复式测压计（P46）解：解： 找等压面，自一侧开始，每次在同种流体里利用流体静力学基本关系式，然后根据等压面向另一侧推进。这里从左侧开始.大气压，所以容器中液面压力（表压）为：大气压，所以容器中液面压力（表压）为：0p1h1h2p2aLAss02 2、倾斜式、倾斜式微压微压计计 可见：可见：减小，减小，K K增加，增加，L L加长，读数误差下降。加长
17、，读数误差下降。测压杯与倾斜管横截面积分别为A和a。测量时，p1接到待测压力上，液面下降h1，右侧上升h2, 则有：讨论：判断判断1-11-1，2-22-2，3-33-3，4-44-4四个水平面，哪个是四个水平面，哪个是等压面等压面( (重力场下）？重力场下）？重重力力场场中中同同种种液液体体连连通通的的静静止止液液体体中中美国海狼级：最大潜深1200米 俄罗斯鲨鱼级：最大600米 俄罗斯奥斯卡级：潜深500米 国内潜艇的下潜深度国内潜艇的下潜深度国外潜艇的下潜深度国外潜艇的下潜深度3.3.3 静止液体中固体壁面的压力静止液体中固体壁面的压力明级：300米 基洛级:最大300米，工作深度240
18、米 “R”级常规动力潜艇（033型）:300米 “蛟龙号蛟龙号”的下潜深度的下潜深度7062米，但关键的承压设备都是进口潜水深度越大，水压越大，潜艇壳体的抗压要求越高！潜水深度越大，水压越大，潜艇壳体的抗压要求越高！潜艇壳体抗压校核潜艇壳体抗压校核修正修正利用静力学计算潜艇壳体受到的合力记平板型心的竖直坐标为记平板型心的竖直坐标为 ( (y=0y=0为水面为水面) )，1 1） 竖直平壁的受力竖直平壁的受力静止流场中表面静压力：静止流场中表面静压力：静止流场中表面静压力：静止流场中表面静压力：( ( ( () ) ) )型心型心则平板的面上的平均压强（表压）为：则平板的面上的平均压强（表压）为
19、：总的表压压力总的表压压力如果已知平板型心至顶部的垂直距离 (即 )，则竖直平板所受作用力为水平方向，大小为：型心上的压强静止流体中平面受到的流体作用力静止流体中平面受到的流体作用力等于平面质心上的压强与平板等于平面质心上的压强与平板面积的乘积面积的乘积。 这一结论这一结论对于非竖直平板也适用对于非竖直平板也适用。 力的力的作用方向：作用方向： 与平板和静止流体的相对位置有关，流体的作用力总与平板和静止流体的相对位置有关，流体的作用力总是挤压被作用面。是挤压被作用面。2 2） 水平壁面的受力水平壁面的受力yF=ApdA=p0A+ghA=p0A+gV作用方向作用方向: 总是总是挤压被作用面挤压被
20、作用面!3 3） 弯曲或倾斜壁面的受力弯曲或倾斜壁面的受力大小：计算简单，因情况而异、不必死记、不可照搬。大小：计算简单，因情况而异、不必死记、不可照搬。方向：总是挤压被作用面方向：总是挤压被作用面!推演说明来历！推演说明来历！哪是上游、哪是下游？哪是上游、哪是下游？关于压力水头，后面介绍伯努利方程时还会详谈4 4） 合力的作用点（压力中心）合力的作用点（压力中心）依据：依据：物体受到的外合力对某点的力矩等于作用在该物体上物体受到的外合力对某点的力矩等于作用在该物体上的分力对同一点的力矩之和的分力对同一点的力矩之和 力矩合成定理力矩合成定理求：对Z方向单位宽度大坝的作用力？解：=12.25 (
21、MN/m)=-5.94 (MN/m)(1) 流体静压对大坝的作用力流体静压对大坝的作用力 更简便的计算方法更简便的计算方法: :(2) 流体静力对大坝的力矩流体静力对大坝的力矩 ( (为计算合力作用点服务，力矩中心选择？为计算合力作用点服务，力矩中心选择？) )对坐标原点处z轴取力矩，注意正负号：(3) 合力大小及作用位置合力大小及作用位置 合力与合力与x x轴正向夹角轴正向夹角古人的认识古人的认识古人的认识古人的认识：春秋：春秋管子管子指出堤指出堤坎的断面应修成坎的断面应修成“大其下，小其上大其下，小其上”的形状。的形状。注意到上例中，水平方向力注意到上例中，水平方向力Fx的作用点的作用点y
22、c=16.67m,即位于即位于水面已下水面已下h1+h2-16.67=33.33米，低于米，低于x方向投影的几何中方向投影的几何中心位置心位置hc=(h1+h2)/2.流体静力学的计算，在中学物理、大学物理、高数微积分和流体静力学的计算，在中学物理、大学物理、高数微积分和理论力学等课程中学习过。没有什么高深的理论，也没有什理论力学等课程中学习过。没有什么高深的理论，也没有什么技巧。关键：么技巧。关键：1) 压强大小：帕斯卡压强大小：帕斯卡(Pascal)定理定理2) 力的方向：力的方向：总是挤压被作用面总是挤压被作用面!3) 力的计算：力的计算：矢量函数曲面积分矢量函数曲面积分可用大学物理学过
23、的转动惯量可用大学物理学过的转动惯量“平行平行轴定理轴定理”解释。解释。3.3.4 静止液体中物体的浮力与浮力矩静止液体中物体的浮力与浮力矩物体所受的浮力物体所受的浮力阿基米德定律阿基米德定律完全浸没或部分浸没在液体中的物体，要受到液体对它表面完全浸没或部分浸没在液体中的物体，要受到液体对它表面的作用力，其合力称为的作用力，其合力称为浮力浮力。完全浸没物体的浮力完全浸没物体的浮力物体所受浮力：物体所受浮力：由由Gauss公式得：公式得：ZyF FP0h hd dAA,Vn nP PA: 物体与液体接触表面积；物体与液体接触表面积；P0: 大气压强；大气压强；：液体密度；：液体密度； : A的单
24、位外法矢量；的单位外法矢量；z: 竖直向上坐标轴，始于液面。竖直向上坐标轴，始于液面。计算浮力、浮力矩是水闸和潜艇设计中的重要工作。部分浸没物体的浮力部分浸没物体的浮力F FP0Zyh hd dAA1,V1n nP PA2,V2在分界面处，因为在分界面处，因为在分界面处，因为在分界面处，因为Z=0沿分界面为沿分界面为A0（Z=0）分成上下）分成上下两部分，则物体所受浮力：两部分，则物体所受浮力：物体所受浮力它所排开液体的重量物体所受浮力它所排开液体的重量浸没物体的浮力矩浸没物体的浮力矩以坐标原点为参考点，矢径以坐标原点为参考点，矢径 处微元面处微元面 所受表面力所受表面力的力矩为的力矩为 ，因
25、此静止液体中浸没，因此静止液体中浸没物体物体所受表面力的合力矩是：所受表面力的合力矩是：根据根据Gauss公式公式(附录附录A18式式)可知：可知：所以完全浸没物体的浮力矩为：所以完全浸没物体的浮力矩为：1.这一公式也适用于部份浸没，此时V和A是浸没部份的体积/面积2.浮力向上（z轴正向），浮力矩在x-y平面内，两矢量互相垂直。当当A为封闭表面时（为封闭表面时（完全浸没完全浸没）：）：浮力中心浮力中心浮力矩在浮力矩在x-y平面（水平面）内。设浮力中心位于平面（水平面）内。设浮力中心位于 ,F FP0Zyh hd dAA1,V1n nP PA2,V2由于：由于：解得：解得：可见浮力中心与重力中心
26、在一条垂直线上可见浮力中心与重力中心在一条垂直线上. .课本课本P52P52进一步得出：进一步得出：声称浮力中心与重心重合。声称浮力中心与重心重合。这一进一步的结论是错误的，这一进一步的结论是错误的，毫无根据！毫无根据！3.4 非惯性坐标系中的静止液体非惯性坐标系中的静止液体zax液体的相对平衡液体的相对平衡因为处于相对平衡的流体中切应力因为处于相对平衡的流体中切应力 0 0，因此因此仍然有：仍然有：dp=dp= ( (f fx xdx+dx+f fy ydy+dy+f fz zdzdz) )同样地：任意两点间的压力差为：同样地：任意两点间的压力差为：与绝对静止不同之处：与绝对静止不同之处：1
27、). 坐标系是运动的；坐标系是运动的；2). 质量力中须包含惯性力质量力中须包含惯性力,即：即：3.4.1 非惯性坐标系中的质量力非惯性坐标系中的质量力，或展开：，或展开：如仍取重力为如仍取重力为z轴的负方向，则轴的负方向，则a ax xz zA Ag ga ap0流体受到的质量力为：流体受到的质量力为： f fx x=-a f=-a fy y=0 f=0 fz z=-g=-g在等压面上：在等压面上： dp=fdp=fx xdx+fdx+fz zdz=-adx-gdz=0dz=-adx-gdz=0所以有所以有: : ax+gz=const.ax+gz=const. 可见等压面为一簇斜率为可见等
28、压面为一簇斜率为-a/g-a/g的平面的平面。3.4.2 等加速度水平直线运动等加速度水平直线运动 自由液面方程：自由液面方程：axax +gz+gzs s=0=0 压强分布：压强分布：式中式中h:h:液面下的淹没深度，可见液面下的淹没深度，可见p p也正比于淹深也正比于淹深h h。A Aa ax xz zh hz zs sp0dp=dp= (-(-adx-gadx-gdzdz),),积分得：积分得：（2 2）压强分布）压强分布（1 1）等压面）等压面绝对静止：绝对静止：相对静止：相对静止：绝对静止：绝对静止：相对静止：相对静止：水平面水平面斜面斜面 与绝对静止情况的比较与绝对静止情况的比较a
29、 ax xz zh hz zs sz zh hggaf z za a问题问题问题问题：充满了液体的密闭容器中液体压强分布与等压面？：充满了液体的密闭容器中液体压强分布与等压面？问题问题问题问题：容器做：容器做等加速度铅垂运动时液体压强分布与等压面？等加速度铅垂运动时液体压强分布与等压面？a a 充满了液体的密封容器充满了液体的密封容器通气孔通气孔例例 一开口容器固定在以等加速度一开口容器固定在以等加速度a a向右运动的汽车上，向右运动的汽车上，已知容器的高已知容器的高H H1 1=1.2m,=1.2m,长长L=3m, L=3m, 容器内水深容器内水深H=1m.H=1m.求求: (1): (1)
30、容器内水不溢出的最大加速度容器内水不溢出的最大加速度a a？（？（2 2）容器左壁面的压力）容器左壁面的压力分布？分布？ axzA ALH1H 质量力质量力 等压面方程等压面方程等压面为一簇抛物面等压面为一簇抛物面3.4.3 等角速度旋转下流体的相对平衡等角速度旋转下流体的相对平衡令令dp=dp= ( (f fx xdx+dx+f fy ydy+dy+f fz zdzdz) )0 0，积得，积得: : 自由液面方程自由液面方程 压强分布压强分布与与z z同同r r处的液面坐标处的液面坐标液面下的液面下的淹没深度淹没深度x xz zH H0 02R2Rh hH H 测转速测转速关键：旋转前后液体
31、体积保持不变关键：旋转前后液体体积保持不变例例3 35 5： 一绕自己中心轴线以一绕自己中心轴线以等角速度旋转的容器内充满等角速度旋转的容器内充满了水。（了水。（1 1）容器顶盖的中心测压管液面比顶盖液面高）容器顶盖的中心测压管液面比顶盖液面高h,h,求容求容器内液体压力分布表达式（器内液体压力分布表达式（2 2）容器顶盖所受总的轴向力。）容器顶盖所受总的轴向力。z zR Rh p p0 0 o oH解：解：(1)(1)本例中，本例中，r=0时有时有z=H+h,p=p0,所以所以(2)因顶盖外侧是大气压因顶盖外侧是大气压 ，故只，故只用表压计算轴向力。用表压计算轴向力。在顶盖处，在顶盖处，z=
32、H,故总轴向力为：故总轴向力为： 3.4.4 高速回转圆筒内流体的压力分布高速回转圆筒内流体的压力分布当当角速度角速度很大时（如离心机、压气机、涡轮等），惯性力很大时（如离心机、压气机、涡轮等），惯性力远大于重力，这时：远大于重力，这时：令令dp=0dp=0并积分可得等压面方程：并积分可得等压面方程：在自由表面在自由表面r0r0处，处，p=p0,p=p0,因此：因此：（圆柱面）（圆柱面）同样可写成与惯性同样可写成与惯性系类似的形式：系类似的形式：-平均半径处的平均半径处的 向心加速度向心加速度【例例3-63-6】角速度角速度很大很大, ,自由液面正好为挡板半径自由液面正好为挡板半径 r0r0处，处，求轴向总力和筒壁内轴向应力。求轴向总力和筒壁内轴向应力。作作 业业P57P57习题习题: : 3-1 3-1 3-2 3-2 3-3 3-3 3-4 3-4
