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1、第二章第二章 分离变量法分离变量法本章重点：本章重点：（2）用分离变量法求解各种有界问题；）用分离变量法求解各种有界问题；（3）用分离变量法求解各种有界问题的思路、步骤）用分离变量法求解各种有界问题的思路、步骤及其核心问题及其核心问题特征值（本征值或固有值）问题；特征值（本征值或固有值）问题；（1）用分离变量法又称特征函数展开法，是求解偏）用分离变量法又称特征函数展开法，是求解偏微分方程最常用的重要方法；微分方程最常用的重要方法；（5）分析解的物理意义；）分析解的物理意义；（4）理解叠加原理的应用）理解叠加原理的应用 其基本思想是把偏微分方程分解为几个常微分方程，其基本思想是把偏微分方程分解为
2、几个常微分方程，其基本思想是把偏微分方程分解为几个常微分方程，其基本思想是把偏微分方程分解为几个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件从而构成本征值问题其中有的常微分方程带有附加条件从而构成本征值问题其中有的常微分方程带有附加条件从而构成本征值问题其中有的常微分方程带有附加条件从而构成本征值问题 分离变量二阶常系数微分方程二阶常系数微分方程：特征方程：特征方程：根的三种情况：根的三种情况：得常系数微得常系数微分方程的通分方程的通解：解：分离变量直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法 2.1 2.1 分离变量法介绍分离变量法介绍例例1 1：具体考虑长为：具体考虑长为l两端固定的均匀
3、弦的自由振动两端固定的均匀弦的自由振动 泛定方程泛定方程 （2.2.）（2.2.）初始条件初始条件 （2.2.） 边界条件边界条件边界条件边界条件 分离变量 【解】解】 第一步：分离变量第一步：分离变量用分离变量法求解定解问题，具体分如下四个步骤：用分离变量法求解定解问题，具体分如下四个步骤：变量分离形式的试探解变量分离形式的试探解 代入代入（2.2.）和和（2.2.）分离变量定解问题的定解问题的泛定方程泛定方程变为变为分离变量偏微分方程分离成两个常微分方程偏微分方程分离成两个常微分方程: :(2.4)(2.4)(2.5)(2.5)也不依赖于也不依赖于x的常数，不妨设常数为的常数，不妨设常数为
4、 要使要使要使要使等式恒成立等式恒成立等式恒成立等式恒成立，只能是它们等于，只能是它们等于，只能是它们等于，只能是它们等于一个既不依赖于一个既不依赖于t, t, 分离变量(2.6)(2.6) 否则得零解，对于齐次微分方程是无意义否则得零解，对于齐次微分方程是无意义我们所谓的求解是指的求出我们所谓的求解是指的求出非零解非零解 由由由由齐次边界条件齐次边界条件齐次边界条件齐次边界条件有有有有（2.72.7） 故得故得故得故得分离变量边界条件是齐次的，才得出（边界条件是齐次的，才得出（边界条件是齐次的，才得出（边界条件是齐次的，才得出（2.2.2.2.）这样简）这样简）这样简）这样简单的结论，单的结
5、论，而非齐次边界条件需要转化为齐次边界条件而非齐次边界条件需要转化为齐次边界条件 第二步：求解本征值（或称为固有值）问题第二步：求解本征值（或称为固有值）问题上面推导的方程上面推导的方程 （2.52.5） （2.72.7）注意注意：分离变量n n本征值本征值本征值本征值 不能任意取，只能根据边界条件（不能任意取，只能根据边界条件（不能任意取，只能根据边界条件（不能任意取，只能根据边界条件（2.72.72.72.7）取某）取某）取某）取某些特定值。些特定值。些特定值。些特定值。n n本征函数本征函数本征函数本征函数 不同不同不同不同 （2.52.52.52.5）所对应的解）所对应的解）所对应的解
6、）所对应的解n n本征值问题本征值问题本征值问题本征值问题 求齐次方程带有齐次边界条件的本征值和本征函求齐次方程带有齐次边界条件的本征值和本征函求齐次方程带有齐次边界条件的本征值和本征函求齐次方程带有齐次边界条件的本征值和本征函数问题。数问题。数问题。数问题。定义：定义：分离变量（2.52.52.52.5）的）的）的）的解为解为解为解为 （）（）和和由由（2.2.）确定）确定，即有，即有三种可能逐一加以分析三种可能逐一加以分析求解求解求解求解（2.52.5），将），将分离变量由此解出由此解出被排除被排除 （）（）、方程（方程（2.52.5）的解是）的解是分离变量解出解出解出解出和和由（由（2.
7、72.7）确定，即）确定，即 也被排除也被排除 分离变量（2.52.5）的）的解解如如 ，则仍然，则仍然解出解出 （）（）（）（）和和由（由（由（由（2.72.72.72.7）确定，即）确定，即）确定，即）确定，即分离变量只剩下一种可能性：只剩下一种可能性：只剩下一种可能性：只剩下一种可能性： （2.82.8）与与与与对应的函数为对应的函数为 （2.92.92.92.9）（2.92.9）正是）正是傅里叶正弦级数的基本函数族傅里叶正弦级数的基本函数族分离变量常数常数的这种特定数值叫作的这种特定数值叫作本征值本征值，相应的解叫作相应的解叫作本征函数本征函数方程（方程（2.52.5）和条件（）和条件
8、（2.72.7）则构成）则构成本征值问题或固有值问题本征值问题或固有值问题 分离变量第三步：第三步：先求特解，再叠加求出通解先求特解，再叠加求出通解 （2.102.10）方程方程的解：的解：（2.112.11）其中其中和和是是待定常数待定常数，由，由方程（方程（2.42.4）求出相应的）求出相应的 对于每一个本征值对于每一个本征值对于每一个本征值对于每一个本征值分离变量（2.122.12）（2.92.92.92.9）和（）和（）和（）和（2.112.112.112.11）代入到解）代入到解）代入到解）代入到解n n得到得到变量分离形式的特解变量分离形式的特解分离变量这就是满足这就是满足这就是满
9、足这就是满足(2.1)(2.1)(2.1)(2.1)和条件（和条件（和条件（和条件（2.22.22.22.2）的）的）的）的通解通解通解通解（2.13）线性叠加后的解线性叠加后的解线性叠加后的解线性叠加后的解分离变量初始条件初始条件(2.3)(2.3)确定叠加系数确定叠加系数 （2.142.14）第四步第四步第四步第四步: : : : 利用本征函数的正交归一性确定待定系数利用本征函数的正交归一性确定待定系数利用本征函数的正交归一性确定待定系数利用本征函数的正交归一性确定待定系数分离变量至此，定解问题（至此，定解问题（至此，定解问题（至此，定解问题（2.12.12.12.1）-(2.3)-(2.
10、3)-(2.3)-(2.3)的解已经求出的解已经求出的解已经求出的解已经求出 (2.15)可确定待定系数可确定待定系数可确定待定系数可确定待定系数: : : :分离变量(2)(2)第二个限制：二阶线性偏微分方程的解，第二个限制：二阶线性偏微分方程的解，不一定是分离变量的乘积形式不一定是分离变量的乘积形式分离变量法是有条件的，会受到一定的限制分离变量法是有条件的，会受到一定的限制注意：注意：(1)(1)(1)(1)第一个限制：第一个限制：第一个限制：第一个限制：变系数的二阶线性偏微分变系数的二阶线性偏微分变系数的二阶线性偏微分变系数的二阶线性偏微分方程并非总能实施变量分离方程并非总能实施变量分离
11、方程并非总能实施变量分离方程并非总能实施变量分离分离变量2.2. 2.2. 解的物理意义解的物理意义特解 (2.12) 改写为 (2.16)(2.16)分析的方法是：先固定时间t，看看在任一指定时刻波是什么形状；再固定弦上一点，看看该点的振动规律。 驻波叠加驻波叠加分离变量振幅振幅: : 频率频率: : 初位相初位相: : 波节波节: : 波腹波腹: :分离变量点数为点数为点数为点数为2 2 2 2，3 3 3 3，4 4 4 4的驻波形状的驻波形状的驻波形状的驻波形状 图图2.1分离变量（成倍增长）、位相不同、振幅不同的（成倍增长）、位相不同、振幅不同的（成倍增长）、位相不同、振幅不同的（成
12、倍增长）、位相不同、振幅不同的驻波叠加而成驻波叠加而成驻波叠加而成驻波叠加而成的的的的 所以分离变量法又称所以分离变量法又称所以分离变量法又称所以分离变量法又称驻波法驻波法驻波法驻波法各驻波振幅的大小和位相各驻波振幅的大小和位相各驻波振幅的大小和位相各驻波振幅的大小和位相于是我们也可以说解于是我们也可以说解是由一系列频率不同是由一系列频率不同的差异，由初始条件决定，而圆频率的差异，由初始条件决定，而圆频率 与初始条件无关，所以也称为与初始条件无关，所以也称为弦的本征频率弦的本征频率 分离变量中最小的一个中最小的一个中最小的一个中最小的一个 称为称为称为称为基频基频基频基频，相应的相应的相应的相
13、应的称为称为基波基波 称为称为谐频谐频， 相应的相应的称为称为谐波谐波 基波的作用往往最显著基波的作用往往最显著 分离变量解解: 设位移函数为u(x,t)，它是定解问题分离变量直接应用已经得到的结果公式：得到分离变量因此，所求的解为例例2 解定解问题分离变量相应特征值问题为求（2.5） 的非零解。（2.6） 分离变量代入条件（2.6）得由于B0，故cosl0，即从而求得了一系列特征值与特征函数。分离变量与这些特征值相对应的方程（2.4）的通解为于是，所求定解问题的解可表示为分离变量利用初始条件确定其中的任意常数Cn，Dn，得故所求解为分离变量2.2 有限长杆上的热传导分离变量首先求出满足边界条
14、件而且是变量被分离形式的特解，设代入方程（2.13）得（2.16） 得到两个线性常微分方程 （2.16） （2.16） 解方程（2.16）得分离变量由边界条件（2.14）可知（2.17） （2.17） 为了求出，方程（2.17）可改写成其中 分离变量于是得到特征值问题（2.16），（2.17）的无穷多个特征值分离变量及相应的特征函数（2.19） 再由（2.16）解得（2.20） 由（2.19），（2.20）两式，我们得到方程（2.13）满足边界条件（2.14）的一组特解（2.21） 其中 由于方程（2.13）与边界条件（2.14）都是齐次的，所以（2.22） 分离变量仍满足方程与边界条件。最后
15、考虑u(x,t)能否满足初始条件（2.15），从（2.22）式得分离变量分离变量当然，这样求出的函数u(x,t)仍是形式解，要想它确实是（2.232.15）的解，还必须对(x)加上一定的光滑性和相容性条件。 通过上面两节的讨论，我们对分离变量法已经有了一个初步的了解，它的主要步骤大体为：一、首先将偏微分方程的定解问题通过分离变量转化为常微分方程的定解问题，这对线性齐次偏微分方程来说是可以做到的。二、确定特征值与特征函数。由于特征函数是要经过叠加的，所以确定特征函数的方程与条件，当函数经过叠加之后仍旧要满足。当边界条件是齐次时，求特征函数就是求一个常微分方程满足零边界条件的非零解。三、定出特征值、特征函数后，再解其他的常微分方程，把得到的解与特征函数相乘成为un(x,t)，这时un(x,t)中还包含着任意常数。 四、最后为了使解满足其余的定解条件，需要把所有的un(x,t)叠加起来成为级数形式，这时级数中的一系列任意常数就由其余的条件确定。在这最后一步的工作中，需要把已知函数展开为特征函数项的级数，这种展开的合理性，将在2.6中讨论。分离变量由本节的例子还可以看出，用分离变量法求解第三类边界条件的定解问题时，只要边界条件都是齐次的，其过程与解第一类边界条件的定解问题是相同的，但在确定特征值时，一般来说是比较复杂的。分离变量
