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1、计算机图形学习题解答计算机图形学习题解答解解解解: (1): (1): (1): (1)根据题意斜率根据题意斜率根据题意斜率根据题意斜率 , , , ,直线方程为直线方程为直线方程为直线方程为 . . . .因此因此因此因此x x x x是最大位移方是最大位移方是最大位移方是最大位移方 向，每次在向，每次在向，每次在向，每次在x x x x方向上加方向上加方向上加方向上加1 1 1 1，y y y y方向上减方向上减方向上减方向上减1 1 1 1或减或减或减或减0 0 0 0。假设当前点为。假设当前点为。假设当前点为。假设当前点为P(xi,yiP(xi,yiP(xi,yiP(xi,yi),),
2、),), 则下一个点在则下一个点在则下一个点在则下一个点在Pd(xi+1,yi-1)Pd(xi+1,yi-1)Pd(xi+1,yi-1)Pd(xi+1,yi-1)与与与与Pu(xi+1,yi)Pu(xi+1,yi)Pu(xi+1,yi)Pu(xi+1,yi)中选一中选一中选一中选一. . . .以以以以M M M M表示表示表示表示PuPuPuPu与与与与PdPdPdPd 的中点的中点的中点的中点, , , ,即即即即M(xi+1,yi-0.5).M(xi+1,yi-0.5).M(xi+1,yi-0.5).M(xi+1,yi-0.5).用中点用中点用中点用中点BresenhamBresenha
3、mBresenhamBresenham算法画直线段的原理推导起点为算法画直线段的原理推导起点为算法画直线段的原理推导起点为算法画直线段的原理推导起点为(0,0),(0,0),(0,0),(0,0),终点为终点为终点为终点为(8,-6)(8,-6)(8,-6)(8,-6)的直线绘制过程的直线绘制过程的直线绘制过程的直线绘制过程. . . .(2)(2)构造判别式：构造判别式：构造判别式：构造判别式：(3)(3)误差项递推：误差项递推：误差项递推：误差项递推：(4)d(4)d的初始值的初始值的初始值的初始值当当当当didi000时，则取时，则取时，则取时，则取PdPd。当。当。当。当didi=0=
4、0时，时，时，时，约定取约定取约定取约定取Pd,Pd,即即即即判别式及坐标值x012345678y0-1-2-2-3-4-5-5-6d0-1/40-1/41/45.75.75.75.7利用中点利用中点利用中点利用中点BreshhamBreshhamBreshhamBreshham画圆算法的原理推导第一象限画圆算法的原理推导第一象限画圆算法的原理推导第一象限画圆算法的原理推导第一象限x=yx=yx=yx=y到到到到y=0y=0y=0y=0圆弧段的扫描转换算法。圆弧段的扫描转换算法。圆弧段的扫描转换算法。圆弧段的扫描转换算法。解解: (: (1 1）最大位移方向为）最大位移方向为y y，其基本原理
5、是：每次，其基本原理是：每次y y方向上走一步，方向上走一步，x x方向上或加方向上或加1 1，或加，或加0 0。假定当前与圆弧最近者已确定，为。假定当前与圆弧最近者已确定，为P(xP(xi i,y,yi i) )，那么，下一候选像素点只能是右下方的那么，下一候选像素点只能是右下方的P Pu u(x(xi i+1,y+1,yi i-1)-1)和正下方和正下方P Pd d(x(xi i,y,yi i-1)-1)。 （2 2）构造判别式：）构造判别式： d=d=F(xF(xm m,y,ym m)=F(x)=F(xi i+0.5,y-1)=(x+0.5,y-1)=(xi i+0.5)+0.5)2 2
6、+(y+(yi i-1)-1)2 2-R-R2 2 当当d0d=0d=0时，取时，取P Pd d(x(xi i,y,yi i-1)-1)。（3 3）误差项递推公式）误差项递推公式: : 当当d=0d0d0时，取时，取P Pd d，则要判断再下一个像素，应计算，则要判断再下一个像素，应计算: : d=F(x d=F(xi i+0.5,y+0.5,yi i-2)=(x-2)=(xi i+0.5)+0.5)2 2+(y+(yi i-2)-2)2 2-R-R2 2 =d+3-2y =d+3-2yi i因此，因此，d d增量为增量为3-2y3-2yi i。（4 4）d d的初始值为的初始值为1.25-R
7、.1.25-R.1 13 31/21/23 33 3-1-16 66 6-1-13 36 61/41/46 65 51 11 12 23 34 45 56 67 75 50 05.11 解：解：ET表如下：表如下：y=4y=43.53.56 61/41/46 66 6-1-16 65 51 17 75 50 0A A6 6A A5 5A A4 4A A5 5A A4 4A A3 3A A2 2A A3 3当扫描线当扫描线Y=4Y=4时的有效边表如下：时的有效边表如下：6.76.7如图所示四边形如图所示四边形如图所示四边形如图所示四边形 ABCDABCD，求绕，求绕，求绕，求绕P P（5 5，4
8、)4)点分别旋转点分别旋转点分别旋转点分别旋转4545和和和和9090的变换矩阵，并求出各端点坐标，画出变换后的图形。的变换矩阵，并求出各端点坐标，画出变换后的图形。的变换矩阵，并求出各端点坐标，画出变换后的图形。的变换矩阵，并求出各端点坐标，画出变换后的图形。解：6.13 解解:根据已知条件根据已知条件,可得可得wxl=0,wxr=2,wyb=0,wyt=2; 直线段的斜率直线段的斜率k=5/4. 由编码规则，可得由编码规则，可得A的编码为的编码为1010，B的编码为的编码为0101。 A|B=11110, A&B=0 对于直线段对于直线段AB既不能简取也不能简弃，需进行求交处理。既不能简取
9、也不能简弃，需进行求交处理。 由由A的编码可知的编码可知A在窗口右外侧，与右边界、上边界有交点，分别设为在窗口右外侧，与右边界、上边界有交点，分别设为 P1(x1,y1)和和P2(x2,y2)。其坐标计算如下：。其坐标计算如下： 则则,可得可得P1的编码为的编码为0000,P2的编码为的编码为0010,故故P1为实交点为实交点,丢掉丢掉P1A.又又 P1|B=01010, A&B=0 对于直线段对于直线段P1B既不能简取也不能简弃，需进行求交处理。既不能简取也不能简弃，需进行求交处理。 由由B的编码可知的编码可知B在窗口左外侧，与左边界、下边界有交点，分别设为在窗口左外侧，与左边界、下边界有交
10、点，分别设为 P3(x3,y4)和和P4(x4,y4)。其坐标计算如下：。其坐标计算如下：则则,可得可得P3的编码为的编码为0100,P4的编码为的编码为0000,故故P4为实交点为实交点,丢掉丢掉P4B. 所以所以,裁剪后窗口内的直线段为裁剪后窗口内的直线段为P1P4,坐标分别为坐标分别为(2,7/4)和和(3/5,0).6.17 解解: 根据已知条件根据已知条件,令令x1=3,y1=3,x2=-1,y2=-2; 可得可得,wxl=0,wxr=2,wyt=2,wyb=0, x=-4, y=-5; 则，则，p1= - x=4,p2= x=-4,p3=- y=5,p4= y=-5; q1=x1-
11、wxl=3,q2=wxy-x1=-1,q3=y1-wxb=3,q4=wyt-y1=-1; pk0(k=1,2,3,4)，则直线段与窗口边界的交点为：，则直线段与窗口边界的交点为：求得直线与窗口的两实点坐标为求得直线与窗口的两实点坐标为(2,7/4),(3/5,0).7.5 7.5 求将图求将图求将图求将图7-417-41中的空间四面体进行如下的变换矩阵，写出中的空间四面体进行如下的变换矩阵，写出中的空间四面体进行如下的变换矩阵，写出中的空间四面体进行如下的变换矩阵，写出复合变换后图形各顶点的规范化齐次坐标，并画出复合变复合变换后图形各顶点的规范化齐次坐标，并画出复合变复合变换后图形各顶点的规范
12、化齐次坐标，并画出复合变复合变换后图形各顶点的规范化齐次坐标，并画出复合变换后的图形。换后的图形。换后的图形。换后的图形。A(-2,2,2) B(-2,6,2) C(2,6,2 ) D(-2,6,2)7.6 假定一空间直线假定一空间直线AB的两端点坐标为的两端点坐标为A(0,0,0),B(2,2,2)，试写出绕，试写出绕AB旋转旋转300的三维复合变换矩阵。的三维复合变换矩阵。7.77.7试作出图试作出图试作出图试作出图7-417-41中四面体的三视图，要求写清变换式。中四面体的三视图，要求写清变换式。中四面体的三视图，要求写清变换式。中四面体的三视图，要求写清变换式。主视图：主视图：A(2,
13、0,0) B(2,0,0) C(0,0,0) D(1,0,1)A(2,0,0) B(2,0,0) C(0,0,0) D(1,0,1)n n俯视图俯视图俯视图俯视图A(2,0,-1) B(2,0,-2) C(0,0,-2) A(2,0,-1) B(2,0,-2) C(0,0,-2) D(1,0,-2)D(1,0,-2)n n侧视图侧视图侧视图侧视图A(-1,0,0) B(-2,0,-0) C(-2,0,0) D(-A(-1,0,0) B(-2,0,-0) C(-2,0,0) D(-2,0,1)2,0,1)5.2 5.2 5.2 5.2 利用利用利用利用DDADDADDADDA算法扫描转换直线段算
14、法扫描转换直线段算法扫描转换直线段算法扫描转换直线段p p p p1 1 1 1p p p p2 2 2 2，其中，其中，其中，其中p p p p1 1 1 1为为为为(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)，p p p p2 2 2 2为为为为(20,15) (20,15) (20,15) (20,15) 。答：（答：（答：（答：（1 1 1 1）基本原理：根据题意斜率）基本原理：根据题意斜率）基本原理：根据题意斜率）基本原理：根据题意斜率 , , , ,因此因此因此因此x x x x是最大位是最大位是最大位是最大位移方向，每次在移方向，每次在移方向，每次在移方向，每次在x x x x方向上
15、加方向上加方向上加方向上加1 1 1 1，y y y y方向上加方向上加方向上加方向上加k k k k。即有：。即有：。即有：。即有：(2)(2)由于在光栅化的过程中不可能绘制半个像素，因此对求出由于在光栅化的过程中不可能绘制半个像素，因此对求出的的yi+1yi+1的值需进行四舍五入，即的值需进行四舍五入，即round(yround(yi+1i+1)=(int)(y)=(int)(yi+1i+1+0.5)+0.5)。解得像素序列如下：。解得像素序列如下：x x0 01 12 23 34 45 56 67 78 89 91 10 011111 12 21 13 31 14 41 15 51 16
16、 61 17 71 18 81 19 92 20 0y y0 01 12 22 23 34 45 55 56 67 78 88 89 91 10 011111 11 11 12 21 13 31 14 41 14 41 15 51 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20123456789101112131415xyox xy yd d0 00 0-1/4-1/41 11 10 02 21 1-3/4-3/43 32 2-1/2-1/24 43 3-1/4-1/45 54 40 06 64 4-3/4-3/47 75 5-1/2-1/28
17、 86 6-1/4-1/49 97 70 010107 7-3/4-3/411118 8-1/2-1/212129 9-1/4-1/4131310100 014141010-3/4-3/415151111-1/2-1/216161212-1/4-1/4171713130 018181313-3/4-3/419191414-1/2-1/21 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20123456789101112131415xyox xy yd d0 00 00.750.751 11 10.50.52 21 11.251.253 32 21
18、14 43 30.750.755 54 40.50.56 64 41.251.257 75 51 18 86 60.750.759 97 70.50.510107 71.251.2511118 81 112129 90.750.75131310100.50.5141410101.251.25151511111 1161612120.750.75171713130.50.5181813131.251.25191914141 1202015150.750.75解解解解: : : : 根据题意斜率根据题意斜率根据题意斜率根据题意斜率 , , , ,因此因此因此因此x x x x是最大位移方向，每次在
19、是最大位移方向，每次在是最大位移方向，每次在是最大位移方向，每次在x x x x方方方方向上加向上加向上加向上加1 1 1 1，y y y y方向上加方向上加方向上加方向上加1 1 1 1或加或加或加或加0 0 0 0。改进的改进的改进的改进的BresenhamBresenhamBresenhamBresenham算法算法算法算法误差项的计算误差项的计算d初初=0，每走一步：每走一步：d=d+3/4 一旦一旦y方向上走了一步，方向上走了一步，d=d-1x xy ye e0 00 0-20-201 11 1-30-302 21 10 03 32 2-10-104 43 3-20-205 54 4
20、-30-306 64 40 07 75 5-10-108 86 6-20-209 97 7-30-3010107 70 011118 8-10-1012129 9-20-2013131010-30-30141410100 015151111-10-1016161212-20-2017171313-30-30181813130 019191414-10-1020201515-20-20解解解解: : : : 根据题意斜率根据题意斜率根据题意斜率根据题意斜率 , , , ,因此因此因此因此x x x x是最大位移方向，每次在是最大位移方向，每次在是最大位移方向，每次在是最大位移方向，每次在x x
21、x x方方方方向上加向上加向上加向上加1 1 1 1，y y y y方向上加方向上加方向上加方向上加1 1 1 1或加或加或加或加0 0 0 0。改进的改进的改进的改进的BresenhamBresenhamBresenhamBresenham算法算法算法算法误差项的计算误差项的计算e初初=- x=-20，每走一步：每走一步：e=e+ 2 y=e+30一旦一旦y方向上走了一步，方向上走了一步，e=e- 2 x=e-40e+ 2 y10100 03030202010100 03030202010100 03030202010100 03030202010100 0303020201010已知椭圆的
22、长半轴已知椭圆的长半轴a=12,b=8.用中点用中点Bresenham画椭圆算法画椭圆算法确定第二象限椭圆弧上的像素点的位置确定第二象限椭圆弧上的像素点的位置,初始点为初始点为(-12,0).解解: 根据题意根据题意,先绘制椭圆弧的下半部分先绘制椭圆弧的下半部分. y是最大位移方向是最大位移方向,每次走一步每次走一步,在在y方向上加方向上加1,x方向上加方向上加1或加或加0.构造判别式构造判别式:误差项递推误差项递推:下面绘制椭圆弧的上半部分下面绘制椭圆弧的上半部分. x是最大位移方向是最大位移方向,每次走一步每次走一步,在在x方向上加方向上加1,y方向上加方向上加1或加或加0.构造判别式构造
23、判别式:误差项递推误差项递推:初始值初始值 d2用下半部分计算的最后像素点的坐标值来计算。用下半部分计算的最后像素点的坐标值来计算。x xy yd d-12-120 0-608-608-12-121 1-176-176-12-122 2544544-11-113 3144144-10-104 4-1116-1116-9-95 5-764-764-8-86 64 4-7-76 6-828-828-6-67 7484484-5-57 7-92-92-4-48 817641764-3-38 814441444-2-28 812521252-1-18 8118811880 08 81 13 31/21
24、/23 33 3-1-16 66 6-1-13 36 61/41/46 65 51 11 12 23 34 45 56 67 75 50 05.11 解：解：ET表如下：表如下：y=4y=43.53.56 61/41/46 66 6-1-16 65 51 17 75 50 0A A6 6A A5 5A A4 4A A5 5A A4 4A A3 3A A2 2A A3 3当扫描线当扫描线Y=4Y=4时的有效边表如下：时的有效边表如下：6.36.3试推导将二维平面上任意直线段试推导将二维平面上任意直线段试推导将二维平面上任意直线段试推导将二维平面上任意直线段p1(x1,y1)p2(x2,y2)p1
25、(x1,y1)p2(x2,y2)转换成转换成转换成转换成与与与与x x轴重合的变换矩阵。轴重合的变换矩阵。轴重合的变换矩阵。轴重合的变换矩阵。解：（1）先将p1(x1,y1)平移到原点；（2）顺时针旋转；其中：其中：6.76.7如图所示四边形如图所示四边形 ABCDABCD，求绕，求绕P P（5 5，4)4)点分别旋转点分别旋转4545和和9090的变换矩阵，并求出各端点坐标，画出变换后的图形。的变换矩阵，并求出各端点坐标，画出变换后的图形。解：(1)(2)6.13 解解:根据已知条件根据已知条件,可得可得wxl=0,wxr=2,wyb=0,wyt=2; 直线段的斜率直线段的斜率k=5/4.
26、由编码规则，可得由编码规则，可得A的编码为的编码为1010，B的编码为的编码为0101。 A|B=11110, A&B=0 对于直线段对于直线段AB既不能简取也不能简弃，需进行求交处理。既不能简取也不能简弃，需进行求交处理。 由由A的编码可知的编码可知A在窗口右外侧，与右边界、上边界有交点，分别设为在窗口右外侧，与右边界、上边界有交点，分别设为 P1(x1,y1)和和P2(x2,y2)。其坐标计算如下：。其坐标计算如下： 则则,可得可得P1的编码为的编码为0000,P2的编码为的编码为0010,故故P1为实交点为实交点,丢掉丢掉P1A.又又 P1|B=01010, A&B=0 对于直线段对于直
27、线段P1B既不能简取也不能简弃，需进行求交处理。既不能简取也不能简弃，需进行求交处理。 由由B的编码可知的编码可知B在窗口左外侧，与左边界、下边界有交点，分别设为在窗口左外侧，与左边界、下边界有交点，分别设为 P3(x3,y4)和和P4(x4,y4)。其坐标计算如下：。其坐标计算如下：则则,可得可得P3的编码为的编码为0100,P4的编码为的编码为0000,故故P4为实交点为实交点,丢掉丢掉P4B. 所以所以,裁剪后窗口内的直线段为裁剪后窗口内的直线段为P1P4,坐标分别为坐标分别为(2,7/4)和和(3/5,0).6.17 解解: 根据已知条件根据已知条件,令令x1=3,y1=3,x2=-1
28、,y2=-2; 可得可得,wxl=0,wxr=2,wyt=2,wyb=0, x=-4, y=-5; 则，则，p1= - x=4,p2= x=-4,p3=- y=5,p4= y=-5; q1=x1-wxl=3,q2=wxy-x1=-1,q3=y1-wxb=3,q4=wyt-y1=-1; pk0(k=1,2,3,4)，则直线段与窗口边界的交点为：，则直线段与窗口边界的交点为：求得直线与窗口的两实点坐标为求得直线与窗口的两实点坐标为(2,7/4),(3/5,0).7.4 7.4 求将图求将图求将图求将图7-407-40中的物体中的物体中的物体中的物体ABCDEFGHABCDEFGH进行如下变换的变换
29、矩阵，写出复进行如下变换的变换矩阵，写出复进行如下变换的变换矩阵，写出复进行如下变换的变换矩阵，写出复合变换后图形各顶点的规范化齐次坐标，并画出复合变换后的图形。合变换后图形各顶点的规范化齐次坐标，并画出复合变换后的图形。合变换后图形各顶点的规范化齐次坐标，并画出复合变换后的图形。合变换后图形各顶点的规范化齐次坐标，并画出复合变换后的图形。 (1) (1)平移使点平移使点平移使点平移使点C C与点与点与点与点P P（1 1，-1-1，0 0）重合。）重合。）重合。）重合。 (2) (2)绕绕绕绕z z轴旋转轴旋转轴旋转轴旋转6060 。解解解解: :7.8 7.8 试推导正轴测图的投影变换矩阵
30、，并写出图试推导正轴测图的投影变换矩阵，并写出图试推导正轴测图的投影变换矩阵，并写出图试推导正轴测图的投影变换矩阵，并写出图7-417-41中四中四中四中四面体经过正等测变换或正二测后各顶点的齐次坐标。面体经过正等测变换或正二测后各顶点的齐次坐标。面体经过正等测变换或正二测后各顶点的齐次坐标。面体经过正等测变换或正二测后各顶点的齐次坐标。解解: :推导略推导略. .正等测变换正等测变换正二测变换正二测变换7.9 7.9 求图求图求图求图7-417-41中四面体经过斜等测变换或斜二测后各顶点中四面体经过斜等测变换或斜二测后各顶点中四面体经过斜等测变换或斜二测后各顶点中四面体经过斜等测变换或斜二测
31、后各顶点的齐次坐标。的齐次坐标。的齐次坐标。的齐次坐标。解解: :斜等测变换斜等测变换斜二测变换斜二测变换已知已知:控制点有控制点有:p0(-16,0),p1(-10,10),p2(10,10),p3(16,0),p4(10,-10),p5(-10,-10),p6(-16,0),P7(-10,10).推导推导:二次均匀周期性二次均匀周期性B样条曲线样条曲线,其中其中参数参数t的区间为的区间为0,1)，并求出，并求出t=0.05,0.1,0.15,1这这20点的坐标并画出此点的坐标并画出此曲线。曲线。解：根据题意，可得解：根据题意，可得m=3,n=7,m+n=10,则节点矢量为：则节点矢量为：T
32、=(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)。根据以下基函数的式子：根据以下基函数的式子：求得：求得：以上以上B样条曲线的定义范围为样条曲线的定义范围为2,8)，若将参数，若将参数t的定义范围为的定义范围为0,1)，则基函数描述如下：则基函数描述如下：故故p(0)=(-13,5) p(0.05)=(-10.57,7.55) p(0.1)=(-6.88,9.2) p(0.15)=(-1.93,9.95) p(0.2)=(3.72,9.8) p(0.25)=(8.25,8.75) p(0.3)=(11.52,6.8) p(0.35)=(13.54,4) p(0.4)=(14.04,1) p(0.4
33、5)=(14.26,-2) p(0.5)=(13,-5) p(0.55)=(10.57,7.55) p(0.6)=(6.88,-9.2) p(0.65)=(1.93,-9.95) p(0.7)=(-3.72,-9.8) p(0.75)=(-8.25,-8.75) p(0.8)=(-11.52,-6.8) p(0.85)=(-13.54,-4) p(0.9)=(-14.04,-1) p(0.95)=(-14.26,2)5.3 5.3 试用中点试用中点BresenhamBresenham算法画直线段的原理推导斜率为负算法画直线段的原理推导斜率为负且大于且大于1 1的直线段绘制过程。的直线段绘制过程
34、。解：（解：（1)1)基本原理：根据题意斜率基本原理：根据题意斜率k-1,k-1,因此因此y y是最大位移方向，每是最大位移方向，每次在次在y y方向上减方向上减1 1，x x方向上或加方向上或加1 1，或加，或加0 0。假设当前点是。假设当前点是P(xP(xi i,y,yi i),),则下一点在则下一点在P Pr r(x(xi i+1,y+1,yi i-1)-1)与与P Pl l（x xi i,y,yi i-1)-1)中选一。设中选一。设M M是是P Pr r和和P Pl l的中的中点，即点，即M=(xM=(xi i+0.5,y+0.5,yi i-1)-1)，Q Q是理想直线与垂直线是理想直
35、线与垂直线y=yy=yi i-1-1的交点；若的交点；若M M在在Q Q的左方，则的左方，则P Pr r(x(xi i+1,y+1,yi i-1)-1)离直线近，应取为下一个像素；否则离直线近，应取为下一个像素；否则应取应取P Pl l(x(xi i,y,yi i-1)-1)。（2 2）构造判式如下：）构造判式如下： d=d=F(xF(xM M,y,yM M)=F(x)=F(xi i+0.5,y+0.5,yi i-1)=y-1)=yi i-1-k(x-1-k(xi i+0.5)-b+0.5)-b 当当d=0d0d0时，取时，取P Pl l。（3 3）误差项递推公式）误差项递推公式: : 当当d
36、=0d0d0时，取时，取PlPl，则要判断再下一个像素，应计算，则要判断再下一个像素，应计算: : d=F(x d=F(xi i+0.5,y+0.5,yi i-2)=y-2)=yi i-2-k(x-2-k(xi i+0.5)-b+0.5)-b =y =yi i-1-k(x-1-k(xi i+0.5)-1-k=d-1+0.5)-1-k=d-1因此，因此，d d增量为增量为-1-1。5.75.75.75.7利用中点利用中点利用中点利用中点BreshhamBreshhamBreshhamBreshham画圆算法的原理推导第一象限画圆算法的原理推导第一象限画圆算法的原理推导第一象限画圆算法的原理推导第
37、一象限x=yx=yx=yx=y到到到到y=0y=0y=0y=0圆弧段的扫描转换算法。圆弧段的扫描转换算法。圆弧段的扫描转换算法。圆弧段的扫描转换算法。解解: (: (1 1）最大位移方向为）最大位移方向为y y，其基本原理是：每次，其基本原理是：每次y y方向上走一步，方向上走一步，x x方向上或加方向上或加1 1，或加，或加0 0。假定当前与圆弧最近者已确定，为。假定当前与圆弧最近者已确定，为P(xP(xi i,y,yi i) )，那么，下一候选像素点只能是右下方的那么，下一候选像素点只能是右下方的P Pu u(x(xi i+1,y+1,yi i-1)-1)和正下方和正下方P Pd d(x(
38、xi i,y,yi i-1)-1)。 （2 2）构造判别式：）构造判别式： d=d=F(xF(xm m,y,ym m)=F(x)=F(xi i+0.5,y-1)=(x+0.5,y-1)=(xi i+0.5)+0.5)2 2+(y+(yi i-1)-1)2 2-R-R2 2 当当d0d=0d=0时，取时，取P Pd d(x(xi i,y,yi i-1)-1)。（3 3）误差项递推公式）误差项递推公式: : 当当d=0d0d0时，取时，取P Pd d，则要判断再下一个像素，应计算，则要判断再下一个像素，应计算: : d=F(x d=F(xi i+0.5,y+0.5,yi i-2)=(x-2)=(x
39、i i+0.5)+0.5)2 2+(y+(yi i-2)-2)2 2-R-R2 2 =d+3-2y =d+3-2yi i因此，因此，d d增量为增量为3-2y3-2yi i。n n5.4 将中点将中点Bresenham画直线段算法推画直线段算法推广以便能画出任意斜率的直线（要求广以便能画出任意斜率的直线（要求写清原理、误差函数、递推公式及最写清原理、误差函数、递推公式及最终画图过程）。终画图过程）。n n答：基本原理：假设0=k=1的直线段上点P1的坐标为n n(y,x);n nk=1的直线段上点P1的坐标为(y,x);n n0k=-1的直线段上点P1的坐标为(-x,y);n nk-1的直线段
40、上点P1的坐标为(-y,x);n n因此，在绘图过程，首先要判别k的值，对直线两端点做相应的处理。6.36.3试推导将二维平面上任意直线段试推导将二维平面上任意直线段试推导将二维平面上任意直线段试推导将二维平面上任意直线段p1(x1,y1)p2(x2,y2)p1(x1,y1)p2(x2,y2)转换成转换成转换成转换成与与与与x x轴重合的变换矩阵。轴重合的变换矩阵。轴重合的变换矩阵。轴重合的变换矩阵。解：（1）先将p1(x1,y1)平移到原点；（2）顺时针旋转；其中：其中：6.46.4已知点已知点P(xP(xp p,y ,yp p) )及直线及直线L L的方程的方程Ax+By+CAx+By+C
41、=0=0，试推导一个，试推导一个相对相对L L作对称变换的变换矩阵作对称变换的变换矩阵T T，使点，使点P P的对称点为的对称点为P=PP=PT T。解：假设A和B都不等于0，则其中：6.76.7如图所示四边形如图所示四边形 ABCDABCD，求绕，求绕P P（5 5，4)4)点分别旋转点分别旋转4545和和9090的变换矩阵，并求出各端点坐标，画出变换后的图形。的变换矩阵，并求出各端点坐标，画出变换后的图形。解：(1)6.13 解解:根据已知条件根据已知条件,可得可得wxl=0,wxr=2,wyb=0,wyt=2; 直线段的斜率直线段的斜率k=5/4. 由编码规则，可得由编码规则，可得A的编
42、码为的编码为1010，B的编码为的编码为0101。 A|B=11110, A&B=0 对于直线段对于直线段AB既不能简取也不能简弃，需进行求交处理。既不能简取也不能简弃，需进行求交处理。 由由A的编码可知的编码可知A在窗口右外侧，与右边界、上边界有交点，分别设为在窗口右外侧，与右边界、上边界有交点，分别设为 P1(x1,y1)和和P2(x2,y2)。其坐标计算如下：。其坐标计算如下： 则则,可得可得P1的编码为的编码为0000,P2的编码为的编码为0010,故故P1为实交点为实交点,丢掉丢掉P1A.(2)7.4 7.4 求将图求将图求将图求将图7-407-40中的物体中的物体中的物体中的物体A
43、BCDEFGHABCDEFGH进行如下变换的变换矩阵，写出进行如下变换的变换矩阵，写出进行如下变换的变换矩阵，写出进行如下变换的变换矩阵，写出复合变换后图形各顶点的规范化齐次坐标，并画出复合变换后的图复合变换后图形各顶点的规范化齐次坐标，并画出复合变换后的图复合变换后图形各顶点的规范化齐次坐标，并画出复合变换后的图复合变换后图形各顶点的规范化齐次坐标，并画出复合变换后的图形。形。形。形。(1)(1)平移使点平移使点平移使点平移使点C C与点与点与点与点P P（1 1，-1-1，0 0）重合。）重合。）重合。）重合。(2)(2)绕绕绕绕z z轴旋转轴旋转轴旋转轴旋转6060 。解解解解: :n
44、n7.8 7.8 试推导正轴测图的投影变换矩阵，并写出图试推导正轴测图的投影变换矩阵，并写出图试推导正轴测图的投影变换矩阵，并写出图试推导正轴测图的投影变换矩阵，并写出图7-417-41中中中中四面体经过正等测变换或正二测后各顶点的齐次坐标。四面体经过正等测变换或正二测后各顶点的齐次坐标。四面体经过正等测变换或正二测后各顶点的齐次坐标。四面体经过正等测变换或正二测后各顶点的齐次坐标。解解: :推导略推导略. .正等测变换正等测变换正二测变换正二测变换n n7.9 7.9 求图求图求图求图7-417-41中四面体经过斜等测变换或斜二测后各顶中四面体经过斜等测变换或斜二测后各顶中四面体经过斜等测变
45、换或斜二测后各顶中四面体经过斜等测变换或斜二测后各顶点的齐次坐标。点的齐次坐标。点的齐次坐标。点的齐次坐标。解解: :斜等测变换斜等测变换斜二测变换斜二测变换7.5 7.5 求将图求将图求将图求将图7-417-41中的空间四面体进行如下的变换矩阵，写出中的空间四面体进行如下的变换矩阵，写出中的空间四面体进行如下的变换矩阵，写出中的空间四面体进行如下的变换矩阵，写出复合变换后图形各顶点的规范化齐次坐标，并画出复合变复合变换后图形各顶点的规范化齐次坐标，并画出复合变复合变换后图形各顶点的规范化齐次坐标，并画出复合变复合变换后图形各顶点的规范化齐次坐标，并画出复合变换后的图形。换后的图形。换后的图形
46、。换后的图形。A(-2,2,2) B(-2,4,2) C(2,4,2 ) D(0,4,0)7.6 假定一空间直线假定一空间直线AB的两端点坐标为的两端点坐标为A(0,0,0),B(2,2,2)，试，试写出绕写出绕AB旋转旋转300的三维复合变换矩阵。的三维复合变换矩阵。n n7.7试作出图试作出图7-41中四面体的三视图，中四面体的三视图，要求写清变换式。要求写清变换式。主视图：主视图：A(2,0,0) B(2,0,0) C(0,0,0) D(1,0,1)A(2,0,0) B(2,0,0) C(0,0,0) D(1,0,1)n n俯视俯视图图A(2,0,-1) B(2,0,-2) C(0,0,
47、-2) D(1,0,-2)A(2,0,-1) B(2,0,-2) C(0,0,-2) D(1,0,-2)n n侧视侧视图图A(-1,0,0) B(-2,0,-0) C(-2,0,0) D(-2,0,1)A(-1,0,0) B(-2,0,-0) C(-2,0,0) D(-2,0,1)n n7.8 7.8 试推导正轴测图的投影变换矩阵，并写出图试推导正轴测图的投影变换矩阵，并写出图试推导正轴测图的投影变换矩阵，并写出图试推导正轴测图的投影变换矩阵，并写出图7-417-41中中中中四面体经过正等测变换或正二测后各顶点的齐次坐标。四面体经过正等测变换或正二测后各顶点的齐次坐标。四面体经过正等测变换或正
48、二测后各顶点的齐次坐标。四面体经过正等测变换或正二测后各顶点的齐次坐标。解解: :推导略推导略. .正等测变换正等测变换正二测变换正二测变换n n7.9 7.9 求图求图求图求图7-417-41中四面体经过斜等测变换或斜二测后各顶中四面体经过斜等测变换或斜二测后各顶中四面体经过斜等测变换或斜二测后各顶中四面体经过斜等测变换或斜二测后各顶点的齐次坐标。点的齐次坐标。点的齐次坐标。点的齐次坐标。解解: :斜等测变换斜等测变换斜二测变换斜二测变换已知三次Bezier曲线上的四个点分别为Q0(120,0)，Q1(145,0)，Q2(0,45)，Q3(0,120)，它们对应的参数分别为0，1/3，2/3，1，反求Bezier曲线的控制顶点。p(0)=Q0=P0p(1)=Q3=P3p(1/3)=Q1=P0*BEN0,3(1/3)+P1*BEN1,3(1/3)+P2*BEN2,3(1/3)+P3*BEN3,3(1/3)p(2/3)=Q2=P0*BEN0,3(2/3)+P1*BEN1,3(2/3)+P2*BEN2,3(2/3)+P3*BEN3,3(2/3)
