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1、3 5 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 一、依概率收敛一、依概率收敛 二、大数定律二、大数定律 三、中心极限定理三、中心极限定理 一、依概率收敛一、依概率收敛 设设X X1 X2 Xn 是一列随机变量是一列随机变量 如果对任意如果对任意 0 恒有恒有定义定义3 12(依概率收敛依概率收敛) 二、大数定律二、大数定律 定理定理3 8(伯努利大数定律伯努利大数定律) 设设 n是是n重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件A发生的次数发生的次数 已知在每次已知在每次试验中试验中A发生的概率为发生的概率为p(0 p 1) 则对任意则对任意 0 有有 如果记如果记 则则(3 87)可改写为可改
2、写为 提示提示 定理定理3 9(切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律) 设设 1 2 n 是是一一列列两两两两不不相相关关的的随随机机变变量量 它它们们的的数数学学期期望望E i和和方方差差D i均均存存在在 且且方方差差有有界界 即即存存在在常常数数C 使得使得D i C(i 1 2 ) 则对任意则对任意 0有有推论推论 设设 1 2 n 是是一一列列独独立立同同分分布布的的随随机机变变量量 其其数数学学期望和方差均存在期望和方差均存在 记记E i 则对任意则对任意 0 有有定理定理3 10(辛钦大数定律辛钦大数定律) 设设 1 2 n 是是一一列列相相互互独独立立同同分分布布的的随随机机变变量
3、量 且且数学期望存在数学期望存在 记记E i 则有则有说明说明 要解决的问题要解决的问题: 1.为何正态分布在概率论中占有极其重要为何正态分布在概率论中占有极其重要的地位？的地位？2.大样本统计推断的理论基础是什么？大样本统计推断的理论基础是什么？三、中心极限定理三、中心极限定理 记记标准化标准化注：注：（1 1）中心极限定理表明大量独立同分布的随机）中心极限定理表明大量独立同分布的随机变量之和都近似服从正态分布。变量之和都近似服从正态分布。（2 2）作用）作用由此可近似求出由由此可近似求出由生成的任何事件的概率生成的任何事件的概率 例例3 30 一一盒盒同同型型号号螺螺丝丝钉钉共共有有100
4、个个 已已知知该该型型号号的的螺螺丝丝钉钉的的重重量量是是一一个个随随机机变变量量 期期望望值值是是100g 标标准准差差是是10g 求一盒螺丝钉的重量超过求一盒螺丝钉的重量超过10 2kg的概率的概率 设设 i为第为第i个螺丝钉的重量个螺丝钉的重量(i 1 2 100) 且它且它们之间独立同分布们之间独立同分布 于是一盒螺丝钉的重量为于是一盒螺丝钉的重量为 1 2 100 且且 解解 由中心极限定理有由中心极限定理有 1 0(2) 1 0 97725 0 02275 定理定理3 12(棣莫弗棣莫弗 拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理) 设设Xnb(n p) 0 p 1 则则 定理表明定
5、理表明 当当n充分大时充分大时 二项分布可用正态分布来近似二项分布可用正态分布来近似 例例3 31 设设某某电电站站供供电电网网有有10000盏盏电电灯灯 夜夜晚晚每每盏盏灯灯开开灯灯的的概概率率为为0 7 而而假假定定开开关关时时间间彼彼此此独独立立 估估计计夜夜晚晚同时开着的灯的盏数在同时开着的灯的盏数在6800与与7200之间的概率之间的概率 表表示示在在夜夜晚晚同同时时开开着着的的灯灯的的盏盏数数 则则 b(10000 0 7) 于于是是E 10000 0 7 7000 D 10000 0 7 0 3 2100 由中心极限定理由中心极限定理 有有 解解 2 0(4 36) 1 0 99
6、999 例例3 32 某某仪仪器器由由n个个电电子子元元件件组组成成 每每个个电电子子元元件件的的寿寿命命服服从从0 1000上上的的均均匀匀分分布布(单单位位 h) 当当有有20%的的元元件件烧烧坏坏时时 仪仪器器便便报报废废 求求为为使使该该仪仪器器的的寿寿命命超超过过100h的的概概率率不低于不低于0 95 n至少为多大至少为多大? 设设X表示仪器的寿命表示仪器的寿命 Xi表示第表示第i个电子元件的寿命个电子元件的寿命 记记Ai Xi 100 表示表示n个事件个事件Ai(i 1 2 n)中发生的中发生的个数个数 解解 例例3 32 某某仪仪器器由由n个个电电子子元元件件组组成成 每每个个
7、电电子子元元件件的的寿寿命命服服从从0 1000上上的的均均匀匀分分布布(单单位位 h) 当当有有20%的的元元件件烧烧坏坏时时 仪仪器器便便报报废废 求求为为使使该该仪仪器器的的寿寿命命超超过过100h的的概概率率不低于不低于0 95 n至少为多大至少为多大? 设设X表示仪器的寿命表示仪器的寿命 Xi表示第表示第i个电子元件的寿命个电子元件的寿命 记记Ai Xi 100 表示表示n个事件个事件Ai(i 1 2 n)中发生的中发生的个数个数 解解 记记X为为200台机器中工作着的机器台数台机器中工作着的机器台数 则则X是随机变是随机变量量 服从参数为服从参数为200 0 6的二项分布的二项分布
8、 并且并且np 120 npq 48 解解 补补充充例例2 某某车车间间有有200台台机机床床独独立立地地工工作作着着 设设每每台台机机床床开开工工率率为为0 6 开开工工时时耗耗电电1千千瓦瓦 问问供供电电所所至至少少要要供供多多少少电电才才能能以以不不小小于于99 9%的的概概率率保保证证车车间间不不会会因因供供电电不不足足而而影响生产影响生产 按题意按题意 求最小的求最小的r 使使P(0 X r) 0 999 因为因为 解解 补补充充例例2 某某车车间间有有200台台机机床床独独立立地地工工作作着着 设设每每台台机机床床开开工工率率为为0 6 开开工工时时耗耗电电1千千瓦瓦 问问供供电电
9、所所至至少少要要供供多多少少电电才才能能以以不不小小于于99 9%的的概概率率保保证证车车间间不不会会因因供供电电不不足足而而影响生产影响生产 记记X为为200台机器中工作着的机器台数台机器中工作着的机器台数 则则X是随机变是随机变量量 服从参数为服从参数为200 0 6的二项分布的二项分布 并且并且np 120 npq 48 按题意按题意 求最小的求最小的r 使使P(0 X r) 0 999 因为因为 解得解得r 141 因此供电所至少供电因此供电所至少供电141千瓦千瓦 才能以不小于才能以不小于99 9%的的概率保证车间不会因供电不足而影响生产概率保证车间不会因供电不足而影响生产 解解 补
10、补充充例例3 设设某某单单位位为为了了解解人人们们对对某某一一决决议议的的态态度度进进行行抽抽样样调调查查 设设该该单单位位每每个个人人赞赞成成该该决决议议的的概概率率为为p 且且人人与与人人之之间间赞赞成成与与否否相相互互独独立立 p未未知知(0 p 1) 试试问问要要调调查查多多少少人人 才才能能使使赞赞成成该该决议的人数的频率与决议的人数的频率与p相差不超过相差不超过0 01概率达概率达0 95以上以上 设设Yn为所调查的为所调查的n个人中赞成该决议的人数个人中赞成该决议的人数 则则YnB(n p) 问题是求最小的问题是求最小的n 使使 根据极限定理根据极限定理 在在n充分大时有充分大时
11、有 解解 设设Yn为所调查的为所调查的n个人个人中赞成该决议的人数中赞成该决议的人数 则则YnB(n p) 问题是求最小的问题是求最小的n 使使 于是于是n应满足不等式应满足不等式n (196)2pq 注意到当注意到当0 p 1时时 必有必有 故故n只需满足如下不等式只需满足如下不等式 因此所需要的抽样调查人数为因此所需要的抽样调查人数为9604人人 小结小结两个中心极限定理两个中心极限定理林德贝格林德贝格-列维中心极限定理列维中心极限定理隶莫佛拉普拉斯定理隶莫佛拉普拉斯定理 中心极限定理表明中心极限定理表明, 在相当一般的条件下在相当一般的条件下, 当独立随机变量的个数增加时当独立随机变量的个数增加时, 其和的分布趋于其和的分布趋于正态分布正态分布.
