角平分线的性质

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1、尺规作角的平分线观观察察察察领领悟作法，探索思考悟作法，探索思考悟作法，探索思考悟作法，探索思考证证明方法：明方法：明方法：明方法：A A画法：画法：以为圆心，适当以为圆心，适当长为半径作弧，交于，长为半径作弧，交于，交于交于N分别以，为分别以，为圆心大于圆心大于 1/2 的长的长为半径作弧两弧在为半径作弧两弧在的内部交于的内部交于作射线作射线射线即为所求射线即为所求老师提示老师提示: :作角平分线是最基本的尺规作图作角平分线是最基本的尺规作图,这种方这种方法要确实掌握法要确实掌握.A A为什么为什么OCOC是角平分线呢？是角平分线呢？ O O想一想：想一想：已知：已知：OM=ONOM=ON，

2、MC=NCMC=NC。求证：求证：OCOC平分平分AOBAOB。证明证明：在：在OMCOMC和和ONCONC中，中， OM=ONOM=ON， MC=NCMC=NC， OC=OC=OCOC， OMC ONCOMC ONC（SSSSSS） MOC=NOCMOC=NOC 即：即：OCOC平分平分AOBAOB探索探索n n将角将角将角将角AOBAOBAOBAOB对折对折对折对折, , , ,再折出一个直角三角形再折出一个直角三角形再折出一个直角三角形再折出一个直角三角形( ( ( (使第一条使第一条使第一条使第一条折痕为斜边折痕为斜边折痕为斜边折痕为斜边),),),),然后展开然后展开然后展开然后展开

3、, , , ,观察两次折叠形成的三观察两次折叠形成的三观察两次折叠形成的三观察两次折叠形成的三条折痕条折痕条折痕条折痕, , , ,你能得到什么结论你能得到什么结论你能得到什么结论你能得到什么结论? ? ? ?OABAOBED 操作操作测量题测量题:OC是是AOB的平分线，点的平分线，点P是射线是射线OC上的任意一点，上的任意一点， 1. 操操作作测测量量：取取点点P的的三三个个不不同同的的位位置置，分分别别过过点点P作作PDOA，PE OB,点点D、E为为垂垂足足，测测量量PD、PE的的长长.将三次数据填入下表：将三次数据填入下表：2. 观察测量结果，猜想线段观察测量结果，猜想线段PD与与P

4、E的大小关系，的大小关系， 写出结论：写出结论：_ PD PE 第一次第一次第二次第二次 第三次第三次 COBAPD=PEpDE结论：在角平分线上的点到角的两边的距离相等结论：在角平分线上的点到角的两边的距离相等题题设：一个点在一个角的平分线上设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等结论：它到角的两边的距离相等已知：已知：OC是是AOB的平分线，点的平分线，点P在在OC上，上，PD OA ，PE OB，垂足分别是垂足分别是D、E.求证：求证：PD=PE.AOBPEDC已知：已知：OC平分平分AOB，点，点P在在OC上，上，PDOA于于D， PEOB于于E求证求证: PD=PEA

5、OBEDP PC例例1 1： PDOAPDOA PEOB,PEOB,证明：证明： PDO= PEO= 90在在PODPOD和和RtRtPEOPEO中中 PDOPEO（AAS） PDOPEO AOCBOCOP=OP PDPE角平分线的性质：角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两角的平分线上的点到角的两边的距离相等边的距离相等 到角的两边的距离相等的点在角平分线上。结论：结论：到角的两边的距离相等的点到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。在角的平分线上。 QDOA，QEOB，QDQE点Q在AOB的平分线上角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等. QDOA,Q

6、EOB,点Q在AOB的平分线上 QDQE用数学语言表示为：思考：思考：要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处路距离相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何处？（比例尺米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）公路铁路例例 2 2 已知：如图，已知：如图，ABCABC的角平分线的角平分线BMBM、CNCN相交相交于点于点P.P.求证：点求证：点P P到三边到三边ABAB、BCBC、CACA的距离相等的距离相等. .证明：过点证明：过点P作作PD 、PE、PF分别分别垂直于垂直于AB、BC、CA，垂足为垂足为D、E、F BM是是AB

7、C的角平分线，点的角平分线，点P在在BM上上 PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）在角平分线上的点到角的两边的距离相等） 同理同理 PE=PF. PD=PE=PF. 即点即点P到边到边AB、BC、 CA的距离相等的距离相等DEFABCPMN练习：练习：如图，如图，的的的外角的平的外角的平分线与分线与的外角的平分线相交于的外角的平分线相交于点求证：点到三边，点求证：点到三边，所在直线的距离相等所在直线的距离相等F FGH1 1：画一个已知角的角平分线；：画一个已知角的角平分线；及画一条已知直线的垂线；及画一条已知直线的垂线；2 2：角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上的点到

8、角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等3 3：角平分线的判定结论：角平分线的判定结论：到角的两边的距离相等的点在角平分线上。到角的两边的距离相等的点在角平分线上。 做一做做一做w已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中,AD,AD是它的角平分线是它的角平分线, ,且且BD=CD,DEAB,DFAC,BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是垂足分别是E,F.E,F.w求证求证:EB=FC. :EB=FC. 老师期望老师期望: :做完题目后做完题目后, ,一定要一定要“悟悟”到点东到点东西西, ,纳入到自己的认知结构中去纳入到自己的认知结构中去. . BAEDCF 独立作业独立作业1 1w1.1.利用尺规作出三角形三个内角的平分线利用尺规作出三角形三个内角的平分线. . w老师期望老师期望: :w先分别作出不同形状的三角形先分别作出不同形状的三角形, ,再按要求去作图再按要求去作图. .w你发现了什么？你发现了什么？