高等数学课件：1-1 函数

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1、返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/41第一章 函数与极限高高等等数数学学基基础础 函数函数 极限极限 连续连续 研究对象研究对象 研究方法研究方法 研究桥梁研究桥梁返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/42第一节 映射与函数 二、映二、映 射射一、集一、集 合合三、函三、函 数数返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/43一、集 合(Set)1. 集合概念集合概念具有某种特定性质的事物的总体称为一个具有某种特定性质的事物的总体称为一个集合集合.组成集合的事物称为组成集合的事物称为元素元素.注注1:集合通常用大写的英文字母集合通常用大写的英文字母表示表示 其元素则用小写

2、的英文字母其元素则用小写的英文字母 表示表示 注注2:元素元素 a 属于集合属于集合 A , 记作记作元素元素 a 不属于集合不属于集合 A , 记作记作注注3: 含有有限个元素的集合称为含有有限个元素的集合称为有限集有限集； 不是有限集的集合称为不是有限集的集合称为无限集无限集.返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/44注注4: 不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集， 记作记作注注5:对于数集，习惯上有如下记号对于数集，习惯上有如下记号全体自然数的集合记作全体自然数的集合记作 全体整数的集合记作全体整数的集合记作全体有理数的集合记作全体有理数的集合记作 全体实数的集合

3、记作全体实数的集合记作 注注6: M 为数集为数集 表示表示 M 中排除中排除 0 的集的集 ;表示表示 M 中排除中排除 0 与负数的集与负数的集 .返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/45集合之间的关系：集合之间的关系：的的子集子集 , 或称或称 B 包含包含 A ,则称则称 A是是 B 的的若若且且则称则称 A 与与 B 相等相等,若若设有集合设有集合记作记作记作记作必有必有若若且且则称则称 A 是是 B 的的真子集真子集. 记作记作显然有下列关系显然有下列关系 :返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/462. 集合的运算集合的运算并集并集交集交集且且差集差集且且定义下

4、列运算定义下列运算:有时我们所研究的集合有时我们所研究的集合A，B都是都是或或给定两个集合给定两个集合 A 和和 B ，集合的集合的I 子集，此时，称集合为子集，此时，称集合为全集全集或或基本集基本集， 称称I A 为的为的余集余集或或补集补集，记作记作 返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/47集合的运算法则：集合的运算法则： 设设A 、B 、C 为任意为任意3个集合，则集合的交、并、余个集合，则集合的交、并、余运算满足下列运算规律：运算满足下列运算规律：交换律交换律结合律结合律分配律分配律对偶律对偶律返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/483、区间和邻域 (Interva

5、l and Neighborhood)区间：区间：开区间开区间闭区间闭区间返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/49左闭右开区间左闭右开区间左开右闭区间左开右闭区间无穷区间无穷区间注注: :两端点间的距离称为两端点间的距离称为区间的长度. .返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/410邻域：邻域：显然，显然，返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/411返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/412二、 映射1. 映射概念映射概念 某校学生的集合某校学生的集合学号的集合学号的集合按一定规则查号某班学生的集合某班学生的集合某教室座位某教室座位的集合的集合按一定规则入座

6、引例引例. 返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/413定义定义设 X , Y 是两个非空集合,若存在一个对应规则 f ,使得有唯一确定的与之对应 , 则称 f 为从 X 到 Y 的映射映射, 记作元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像像 , 记作元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像原像 .集合 X 称为映射 f 的定义域定义域 ;Y 的子集称为 f 的 值域值域 .注意注意: 1) 映射的三要素 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 . 返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/414对映射若, 则称

7、f 为满射满射; 若有 则称 f 为单射单射;若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射双射 或一一映射一一映射. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/415X (数集 或点集 ) 说明说明:在不同数学分支中有不同的惯用 X ( ) Y (数集) f 称为X 上的泛函X ( ) X f 称为X 上的变换 R f 称为定义在 X 上的为函数映射又称为算子算子. 名称. 例如, 返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/4162. 逆映射与复合映射逆映射与复合映射(1) 逆映射的定义 定义定义: 若映射为单射, 则存在一新映射使习惯上 ,的逆映射

8、记成例如, 映射其逆映射为其中称此映射为 f 的逆映射 .返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/417定义. 则当由上述映射链可定义由 D 到 Y 的复设有映射链记作合映射 ,时,或注意: 构成复合映射的条件 不可少.以上定义也可推广到多个映射的情形.(2) 复合映射复合映射返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/418三、函数1. 函数函数概念概念返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/419单值函数与多值函数：单值函数与多值函数：注意：注意：返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/420函数的三要素：函数的三要素：函数的三要素函数的三要素（1）定义域）定义域D （

9、2）对应法则）对应法则 f（3）值域）值域R其中，定义域与对应法则决定了值域其中，定义域与对应法则决定了值域.为此，如果两个函数的定义域和对应法则都相同，为此，如果两个函数的定义域和对应法则都相同，则为则为同一函数同一函数， 否则，就是不同的函数否则，就是不同的函数. 例如，例如， 返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/421函数的定义域：函数的定义域：返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/422解析法、解析法、图象法、图象法、列表法列表法函数的表示方法：函数的表示方法： 常见的函数有我们中学数学里学过的常数函数、幂函常见的函数有我们中学数学里学过的常数函数、幂函数、指数函数、

10、对数函数、三角函数、反三角函数等数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等.下面再举几个函数的例子：下面再举几个函数的例子：例例1 取整函数取整函数返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/423例例2 符号函数符号函数应当指出的是，应当指出的是，：分段函数是一个函数分段函数是一个函数 ， 而不是几个函数。而不是几个函数。返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/424例例3 某市出租车的乘车费按如下规定收取：某市出租车的乘车费按如下规定收取：（1）若乘车路程在）若乘车路程在3公里内，则车费为公里内，则车费为7元；元； （2）若乘车路程超过）若乘车路程超过3公里，那么超过部分的车费

11、按公里，那么超过部分的车费按每公里每公里1.5元计算元计算. 请写出出租车的乘车费请写出出租车的乘车费y（元）与路程（元）与路程x（公里）之（公里）之间的函数关系，间的函数关系， 并分别求出乘车路程为并分别求出乘车路程为2.5公里和公里和13公里公里所需要的车费。所需要的车费。 解：解： 出租车的乘车费出租车的乘车费y与路程与路程x之间的函数关系为之间的函数关系为当当 时，时，当当 时，时，故乘车路程为故乘车路程为2.5公里和公里和13公里所需要的车费分别为公里所需要的车费分别为7元元和和22元元.返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/425(1) 函数的有界性函数的有界性2、函数的几

12、种特性返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/426返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/427(2) 函数的单调性函数的单调性xyO设函数设函数且有区间且有区间时时,称称 为为 I 上的上的单调增函数单调增函数 ;称称 为为 I 上的上的 单调减函数单调减函数 .xyO返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/428(3) 函数的奇偶性函数的奇偶性设函数设函数且有且有若若则称则称 f (x) 为为偶函数偶函数;若若则称则称 f (x) 为为奇函数奇函数. 说明说明: 若若在在 x = 0 有定义有定义 ,为奇函数时为奇函数时,则当则当必有必有例如例如, 偶函数偶函数双曲余弦

13、双曲余弦 记记返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/429奇函数奇函数双曲正弦双曲正弦 记记再如再如,奇函数奇函数双曲正切双曲正切 记又如又如,返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/430(4) 函数的函数的周期周期性性周期为 周期为返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/431例例4 狄利克雷（狄利克雷（Dirichlet）函数）函数x 为有理数x 为无理数有理数点有理数点无理数点无理数点1xyO返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/4323、反函数与复合函数1. 反函数反函数(Inverse Functions)其反函数其反函数(减减)(减减) .1) yf

14、(x) 单调递增单调递增且也单调递增且也单调递增 性质性质: 返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/4332) 函数函数与其反函数与其反函数的图形关于直线的图形关于直线对称对称 .例如例如 ,对数函数对数函数互为反函数互为反函数 ,它们都单调递增它们都单调递增, 其图形关于直线其图形关于直线对称对称 .指数函数指数函数返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/4342. 复合函数复合函数 (Composite Functions)注注1: 因为构成复合函数的条件因为构成复合函数的条件 是不可少的，是不可少的， 返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/435例如例如, 函数链函

15、数链函数函数可定义复合可定义复合但函数链但函数链不能构成复合函数不能构成复合函数 .注注2: 两个以上函数也可构成复合函数两个以上函数也可构成复合函数. 例如例如, 可定义复合函数:返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/4364、函数的运算和、差和、差、积积、商商任何一个定义域为任何一个定义域为(-l, l)的函数都可以表示为的函数都可以表示为一个奇函数和一个偶函数之和一个奇函数和一个偶函数之和.返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/4375、初等函数1. 基本初等函数基本初等函数（1）幂函数）幂函数(Power Function)（2）指数函数）指数函数(Exponentia

16、l Function)（3）对数函数）对数函数(Logarithmic Function)（4）三角函数）三角函数(Trigonometric Function)（5）反三角函数）反三角函数(Anti-Trigonometric Function)以上列举的以上列举的这五类函数统称为这五类函数统称为基本初等函数基本初等函数返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/4382. 反三角函数反三角函数返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/4393. 初等函数初等函数由基本初等函数由基本初等函数否则，否则， 并可用并可用一个式子一个式子表示的函数表示的函数 ,经过经过有限次有限次四则运算和

17、复合步骤所四则运算和复合步骤所构成构成 ,称为称为初等函数初等函数 .称为称为非初等函数非初等函数 . 例如例如 ,双曲函数与反双曲函数都是初等函数双曲函数与反双曲函数都是初等函数 .但是但是 , 前面所学的前面所学的符号函数符号函数、取整函数取整函数以及以及狄利克雷狄利克雷函数函数都不是初等函数。都不是初等函数。是不是初等函数是不是初等函数 ？因因可表为可表为故是初等函数故是初等函数.返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/440内容小结1、集合的概念及其运算、集合的概念及其运算2、区间与邻域的概念、区间与邻域的概念3. 函数的定义及函数的三要素函数的定义及函数的三要素（1）定义域）定

18、义域D （2）对应法则）对应法则 f（3）值域）值域R4. 函数的特性函数的特性单调性单调性, 奇偶性奇偶性, 有界性有界性, 周期性周期性5. 反函数与复合函数的概念反函数与复合函数的概念6. 初等函数的结构初等函数的结构返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/441思考与练习返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/4422. 下列函数是由哪些函数复合而成的？下列函数是由哪些函数复合而成的？解解: :（1）（2）（3）（4）返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/443且且证明证明证证: 令令则则由由消去消去得得时时其中其中a, b, c 为常数为常数, 且且为奇函数为奇函数 .为奇函数为奇函数 .3. 设设返回返回上页上页下页下页目录目录2024/8/444的图形与的图形与均对称均对称, 求证求证是周期函数是周期函数.证证: 由由的对称性知的对称性知于是于是故故是周期函数是周期函数 , 周期为周期为 4 . 设函数设函数