《北京大学量子力学课件第31讲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京大学量子力学课件第31讲（40页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 第第 三三 十十 一一 讲讲 . . 辐射场下原子的跃迁率辐射场下原子的跃迁率 当微扰影响较小时，一级近似很好当微扰影响较小时，一级近似很好 现考虑原子被置于一个纯辐射场中现考虑原子被置于一个纯辐射场中 1 . . 散射问题的一般描述：散射问题的一般描述： 在散射问题中，能量是给定的。这时关心的在散射问题中，能量是给定的。这时关心的是远处的波函数，即解满足一定边条件下的定态是远处的波函数，即解满足一定边条件下的定态波函数。从而能够从这一定态波函数中，获得波函数。从而能够从这一定态波函数中，获得 有关靶或组成靶的元素的性质；有关靶或组成靶的元素的性质； 有关入射粒子与靶或组成靶的元素之间的有关
2、入射粒子与靶或组成靶的元素之间的相互作用的性质；相互作用的性质； 入射粒子的性质。入射粒子的性质。2 （1） 散射截面定义：散射截面定义： 一束不宽的（与散射区域比），具有一定能一束不宽的（与散射区域比），具有一定能量的粒子，轰击到一个靶上（当然与散射中心尺量的粒子，轰击到一个靶上（当然与散射中心尺度比较起来，是宽的）。为简单起见，达到散射度比较起来，是宽的）。为简单起见，达到散射中心时，可用一平面波描述中心时，可用一平面波描述。 34 A. 相对通量相对通量：单位时间通过与靶相对静止单位时间通过与靶相对静止的垂直于传播方向上的单位面积的入射粒子数的垂直于传播方向上的单位面积的入射粒子数（对于
3、单粒子，显然即为几率流密度），（对于单粒子，显然即为几率流密度），以以 表示表示5 这时，单位时间，经散射而到达这时，单位时间，经散射而到达 方方向向 中中的粒子数的粒子数为为 比例常数一般是比例常数一般是 的函数。它包含入射的函数。它包含入射粒子和靶的相关信息，其量纲为粒子和靶的相关信息，其量纲为 。6 B. 散射微分截面散射微分截面：在单位时间内，单个在单位时间内，单个散射中心将入射粒子散射到散射中心将入射粒子散射到 方向上的单位方向上的单位立体角中的粒子数与入射粒子的相对通量立体角中的粒子数与入射粒子的相对通量 （几（几率流密度）之比。率流密度）之比。而散射总截面而散射总截面7 对于固定
4、散射中心，实验室坐标系和质心坐对于固定散射中心，实验室坐标系和质心坐标系是一样的。但如果两个粒子散射，则不一样标系是一样的。但如果两个粒子散射，则不一样理论上处理问题一般在质心坐标系（较理论上处理问题一般在质心坐标系（较简单），简单），而实验上常常靶是静止的。所以在比较时，需要而实验上常常靶是静止的。所以在比较时，需要将这两个坐标系进行换算。将这两个坐标系进行换算。 （2） 散射振幅：散射振幅： 我们现在讨论一种稳定情况，即入射束的粒我们现在讨论一种稳定情况，即入射束的粒子不断入射，长时间后体系达到稳定状态的情况子不断入射，长时间后体系达到稳定状态的情况 8 薛定谔方程薛定谔方程 其定态解为其
5、定态解为 当粒子以一定动量当粒子以一定动量 入射，经位势散射后，入射，经位势散射后，在在 很大处，解的渐近形式（弹性散射）为很大处，解的渐近形式（弹性散射）为9这时，这时，被称为定态散射波函数被称为定态散射波函数。 可以证明可以证明 的本征方程，在的本征方程，在 很大时，即很大时，即保留到保留到 次幂时，则次幂时，则 10 我们称我们称 为散射振幅为散射振幅, 为散射波为散射波. 当入射粒子沿当入射粒子沿 方向入射，则散射与方向入射，则散射与 无无 关（束、靶都是非极化），即关（束、靶都是非极化），即 11 可以证明：可以证明：在远处在远处，对于渐近解的几率流密度矢，对于渐近解的几率流密度矢于
6、是于是 1213所以，所以，散射振幅的模的平方，即为散射微分截面散射振幅的模的平方，即为散射微分截面。 而而散射总截面散射总截面为为 现在问题是要从现在问题是要从 14 出发，求出发，求 具有很远处的渐近形式为具有很远处的渐近形式为的解，从而获得的解，从而获得 . . 玻恩近似玻恩近似15 现在讨论如何近似求现在讨论如何近似求 ，以至，以至 。 假设假设 产生一个散射（对自由粒子）。产生一个散射（对自由粒子）。根据根据Fermis Golden Rule，从开始为动量本征态，从开始为动量本征态 跃迁到末态动量本征态跃迁到末态动量本征态 跃迁率为跃迁率为 由此可以推出散射微分截面由此可以推出散射
7、微分截面16称为称为散射振幅的一级玻恩近似散射振幅的一级玻恩近似17 当位势为有心势当位势为有心势则则或或18这即为有心势下的这即为有心势下的一级玻恩近似的散射振幅一级玻恩近似的散射振幅。 为为 方向方向 由于一级玻恩近似是处理位势作为自由粒子由于一级玻恩近似是处理位势作为自由粒子的一个微扰。所以一级玻恩近似适用于的一个微扰。所以一级玻恩近似适用于高能高能的情的情况。况。19（3）有心势中的分波法和相移）有心势中的分波法和相移 当位势是有心势时，粒子在中心力场作用下，当位势是有心势时，粒子在中心力场作用下，角动量是运动常数（散射前后）。因此，入射角动量是运动常数（散射前后）。因此，入射波和被散
8、射的波可由角动量本征态叠加而成，波和被散射的波可由角动量本征态叠加而成，而每一个波（本征态）分别被位势散射，彼此而每一个波（本征态）分别被位势散射，彼此互不相干。互不相干。 A相移和散射截面相移和散射截面20 当入射粒子方向当入射粒子方向 取为取为 轴，则入射（无轴，则入射（无自旋）是对自旋）是对 对称，即与对称，即与 无关无关. 而相互作用而相互作用势势 是各向同性。因此，经是各向同性。因此，经 作用后也与作用后也与 无关无关 （ 在在 方向）方向）代入方程得代入方程得 21 其渐近解，在其渐近解，在 时满足时满足 22 所以，在有心势存在时，具有确定所以，在有心势存在时，具有确定 （在（在
9、 方向）的解为方向）的解为 23 当位势不存在时，解为当位势不存在时，解为而而24 与与 比较比较入射波应相同，入射波应相同， 即球面入射波系数应相等即球面入射波系数应相等25 显然，对每一个分波显然，对每一个分波 ，它们都是一个入射，它们都是一个入射球面波和一个出射球面波（同强度）的叠加。但球面波和一个出射球面波（同强度）的叠加。但定态散射解中的出射波和平面波的出射波差相定态散射解中的出射波和平面波的出射波差相因子因子 。 这表明：这表明：散射位势的效应是使每一个出射分散射位势的效应是使每一个出射分波有一相移波有一相移 ，相应的相因子为，相应的相因子为 。26 当粒子以一定动量当粒子以一定动
10、量 入射，经有心势散射入射，经有心势散射后，在后，在 很大处，解的渐近形式（弹性散射）很大处，解的渐近形式（弹性散射）为（为（ 在在 方向）方向）所以，所以，散射振幅散射振幅27 散射微分截面散射微分截面28 散射总截面散射总截面其中每一项其中每一项29 代表相应的角动量为代表相应的角动量为 的分波对散射截面的贡献。的分波对散射截面的贡献。 当当 （ ），达），达极大。极大。 因因30所以所以 于是有于是有这称为光学定理。这称为光学定理。 31 B一些讨论一些讨论 1分波法的适用性分波法的适用性 a. 中心力场中心力场 b. 不为不为 的数要少的数要少，即，即 或或 对对 的收敛很快才行的收敛
11、很快才行 若相互作用力程为若相互作用力程为 ，处于分波，处于分波 的粒子，的粒子，其运动区域其运动区域 32 即即满足满足 如果如果 ，则表明，这一分波不，则表明，这一分波不能进入相互作用的力程能进入相互作用的力程 内，也即在力程内，也即在力程 之之外。所以，外。所以， 很小时，仅分波很小时，仅分波 受影响，受影响， 即仅即仅 ，或，或 很小，即很小，即低能散射低能散射 33 2相移符号相移符号：自由粒子为：自由粒子为 有位势时为有位势时为前者波节在前者波节在后者后者 34 排斥势排斥势是将粒子向外推，所以是将粒子向外推，所以 应大，即应大，即 而对吸引势而对吸引势 。 例例：方位阱散射（一维
12、）：方位阱散射（一维） 3536 在a点波函数及其导数连续 37 所以在所以在 给定下，给定下， 依赖于能量依赖于能量 （或（或 ）3839（4）全同粒子的散射）全同粒子的散射 A对称微分截面和反对称微分截面对称微分截面和反对称微分截面 在讨论自旋一章时，我们讨论了全同粒子的在讨论自旋一章时，我们讨论了全同粒子的对称性。我们知道，对于两个全同费米子（自对称性。我们知道，对于两个全同费米子（自旋为旋为 半整数）的波函数，必须反对称（自旋，半整数）的波函数，必须反对称（自旋，坐标同时交换）。而对于二个全同玻色子体系波坐标同时交换）。而对于二个全同玻色子体系波函数必须对称。函数必须对称。 当二个具有自旋为当二个具有自旋为s的粒子，如在总自旋表的粒子，如在总自旋表 象象 中，总自旋波函数中，总自旋波函数 的对称性为的对称性为40
