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1、ESC 4.4 换元积分法换元积分法 4.4 换元积分法换元积分法 不不定定积积分分的的第第一一换换元元积积分分法法（凑微分法）（凑微分法） 不不定定积积分分的的第第二二换换元元积积分分法法及及定积分的换元积分法定积分的换元积分法经济数学44换元积分法ESC这是因为这是因为例如例如, 所以所以,的原函数的原函数.不是不是 换元换元 积分法积分法 要解决上述问题要解决上述问题,可进行适当的变量替换可进行适当的变量替换 在利用基本积分公式对被积函数在利用基本积分公式对被积函数 求不定积分求不定积分 时时,要求积分变量要求积分变量 与被积函数与被积函数 中的元中的元(即即 )必须严格对必须严格对应应
2、.只有这样才能直接积分只有这样才能直接积分.否则否则,就不能利用直接积分法就不能利用直接积分法. 一、一、 第一换元积分法第一换元积分法 经济数学44换元积分法ESC这是因为这是因为例如例如, 的原函数的原函数.不是不是 换元换元 积分法积分法 所以所以,令令则则被积函数被积函数被积表达式被积表达式所以所以,将将 代回代回 换元换元 积分法积分法 一、第一换元积分法一、第一换元积分法 经济数学44换元积分法ESC 换元换元 积分法积分法 令令则则由于由于即即 是是 的原函数的原函数.所求不定积分是正确的所求不定积分是正确的.上述方法具有普遍性上述方法具有普遍性是否是否正正 确确呢呢? 一、第一
3、换元积分法一、第一换元积分法 经济数学44换元积分法ESC 分析分析 案例案例1 求不定积分求不定积分 微分法微分法 积分法积分法 逆运算逆运算从求导从求导数入手数入手 对于复合函数对于复合函数令令则则对对 的导数为的导数为将上式右端求不定积分将上式右端求不定积分: =变量替换变量替换令令=变量还原变量还原=用积分公式用积分公式 复合函复合函 数导数数导数 以上积以上积 分过程分过程 逆运算逆运算一、第一换元积分法一、第一换元积分法 经济数学44换元积分法ESC=变量替换变量替换=用积分公式用积分公式=变量还原变量还原 第一换元第一换元 积分法积分法 设设 若若 是可微函数是可微函数, 则有则
4、有一、第一换元积分法一、第一换元积分法 经济数学44换元积分法ESC对对照照案案例例一一换元积分法公式换元积分法公式 这是这是 的函数的函数 案例的计算过程案例的计算过程 这是这是 的函数的函数 这是这是 的导数的导数 这是这是 的导数的导数 一、第一换元积分法一、第一换元积分法 经济数学44换元积分法例例1 1求求解解ESC被积函数是两个因子被积函数是两个因子: 和和 的乘积的乘积 注意到注意到视视则则因子因子是是的函数的函数,恰是恰是的导数的导数.而因子而因子由此由此 正是正是 形式形式. 设设则则于是于是可用换元可用换元 积分法积分法 一、第一换元积分法一、第一换元积分法 经济数学44换
5、元积分法例例2 2求求解解ESC被积函数是两个因子被积函数是两个因子: 和和 的乘积的乘积 视视于是被积函数具有形式于是被积函数具有形式 则则于是于是可用换元可用换元 积分法积分法 因因设设一、第一换元积分法一、第一换元积分法 经济数学44换元积分法例例2 2求求解解ESC被积函数是两个因子被积函数是两个因子: 和和 的乘积的乘积 视视于是被积函数具有形式于是被积函数具有形式 可用换元可用换元 积分法积分法 因因本例可不设出中间变量本例可不设出中间变量 ,按如下格式书写按如下格式书写:一、第一换元积分法一、第一换元积分法 经济数学44换元积分法例例3 3求求解解ESC因因且且若视若视则则可用换
6、元可用换元 积分法积分法 一、第一换元积分法一、第一换元积分法 经济数学44换元积分法例例4 4求求解解ESC若视若视则则可用换元可用换元 积分法积分法 注意到注意到 是线性函数是线性函数, 是线性函数是线性函数 的函数的函数 且且的导数是常数的导数是常数, 即即 一、第一换元积分法一、第一换元积分法 经济数学44换元积分法例例5 5解解ESC于是于是用降幂公式用降幂公式 求求并注意到并注意到由不定积分由不定积分的运算性质的运算性质 由换元由换元积分法积分法 一、第一换元积分法一、第一换元积分法 经济数学44换元积分法例例6 6解解ESC求求一、第一换元积分法一、第一换元积分法 经济数学44换
7、元积分法ESC解解求求例例7 7一、第一换元积分法一、第一换元积分法 经济数学44换元积分法ESC用类似的方法还可以求得用类似的方法还可以求得一、第一换元积分法一、第一换元积分法 经济数学44换元积分法ESC例例8 8求求解解由于，所以由于，所以一、第一换元积分法一、第一换元积分法 经济数学44换元积分法ESC例例9 9求求解解一、第一换元积分法一、第一换元积分法 经济数学44换元积分法ESC例例1010求求解解因为因为，而，而所以所以一、第一换元积分法一、第一换元积分法 经济数学44换元积分法ESC类似地，可以得到类似地，可以得到一、第一换元积分法一、第一换元积分法 经济数学44换元积分法E
8、SC 例例1111求求 解解一、第一换元积分法一、第一换元积分法 经济数学44换元积分法ESC解解例例12 12 求求一、第一换元积分法一、第一换元积分法 经济数学44换元积分法ESC例例1313解法一解法一解法二解法二一、第一换元积分法一、第一换元积分法 经济数学44换元积分法ESC例例1414求求解解因为，所以因为，所以一、第一换元积分法一、第一换元积分法 经济数学44换元积分法ESC类似可得类似可得一、第一换元积分法一、第一换元积分法 经济数学44换元积分法ESC例例1515求求解解( (利用例利用例1414的结果的结果) )一、第一换元积分法一、第一换元积分法 经济数学44换元积分法E
9、SC类似地，有类似地，有一、第一换元积分法一、第一换元积分法 经济数学44换元积分法ESC一、第一换元积分法一、第一换元积分法 案例案例2 计算定积分计算定积分注意到注意到本本案案例例是是求求定定积积分分.在在用用牛牛顿顿莱莱布布尼尼茨茨公公式式之之前前,需需先先求求出出被被积积函函数数的一个原函数的一个原函数.有有 于是于是由由牛顿牛顿莱莱布尼茨公式布尼茨公式 经济数学44换元积分法ESC一、第一换元积分法一、第一换元积分法 案例案例2 计算定积分计算定积分本案例一般按下本案例一般按下 面的方式书写面的方式书写由由牛顿牛顿莱莱布尼茨公式布尼茨公式 经济数学44换元积分法ESC一、第一换元积分
10、法一、第一换元积分法 例例1616计算定积分计算定积分由于由于解解故故由由牛顿牛顿莱莱布尼茨公式布尼茨公式 经济数学44换元积分法ESC练习：求下列不定积分练习：求下列不定积分 1. 2. 3. 4. 5. 6.一、第一换元积分法一、第一换元积分法 经济数学44换元积分法ESC二、第二换元积分法二、第二换元积分法 第二换元第二换元 积分法积分法 如果不定积分不易直接应用基本如果不定积分不易直接应用基本积分表计算，也可以引入新变量，并选择代积分表计算，也可以引入新变量，并选择代换，其中可导，且连续，将换，其中可导，且连续，将不定积分化为不定积分化为经济数学44换元积分法ESC二、第二换元积分法二
11、、第二换元积分法 如果容易求得，如果容易求得，而的反函数存在且可导，而的反函数存在且可导，则则，再将代入上面的，回到原积再将代入上面的，回到原积分变量，有分变量，有，(4.3.2)(4.3.2)经济数学44换元积分法ESC二、第二换元积分法二、第二换元积分法 这类求不定积分的方法，称为这类求不定积分的方法，称为第二类换第二类换元法元法例例1717求求解解设，则，设，则，经济数学44换元积分法ESC二、第二换元积分法二、第二换元积分法 应注意，在最后的结果中必须代入应注意，在最后的结果中必须代入，返回到原积分变量，返回到原积分变量经济数学44换元积分法ESC 二、第二换元积分法二、第二换元积分法
12、 计算计算定积分定积分案例案例3 本本案案例例是是求求定定积积分分.在在用用牛牛顿顿莱莱布布尼尼茨茨公公式式之之前前,需需先先求求出出被被积积函函数数的的一一个个原原函函数数. 令令 得得则则 为去掉被积函为去掉被积函数中的根式数中的根式 为为 化化当当 时时, 当当 时时, 于是于是 =变量换元变量换元=恒等变形恒等变形= 用公式用公式经济数学44换元积分法例例1818解解ESC 二、第二换元积分法二、第二换元积分法 计算定积分计算定积分令令得得则则当当 时时, 当当 时时, 于是于是 出新元出新元,换新限换新限; 新元不出现新元不出现, 上下限不变上下限不变.经济数学44换元积分法例例19
13、19解解ESC二、第二换元积分法二、第二换元积分法 计算计算定积分定积分当当 时时, 在在4.1例例2中中,我们已由定我们已由定积分的几何意义得到该定积积分的几何意义得到该定积分的结果分的结果 令令得得 当当 时时, 由偶函数在对称区由偶函数在对称区 间上定积分的结论间上定积分的结论 这里用换元积分法计算该定积分这里用换元积分法计算该定积分.经济数学44换元积分法解解ESC 二、第二换元积分法二、第二换元积分法 令令当当 时时, 因因例例2020 计算计算定积分定积分得得 当当 时时, 经济数学44换元积分法 例例19、例、例20的被积函数中均含有根式的被积函数中均含有根式,都是通过变量换元使
14、都是通过变量换元使被积函数有理化被积函数有理化,从而求得积分结果从而求得积分结果.按被积函数所含根式的形按被积函数所含根式的形式可归纳为如下一般情况式可归纳为如下一般情况,ESC 二、第二换元积分法二、第二换元积分法 被积函数含有根式被积函数含有根式( ): (1)则则设设(2)则则设设经济数学44换元积分法ESC 二、第二换元积分法二、第二换元积分法 被积函数含有根式被积函数含有根式( ): (3)则则设设“出新元出新元 , 换新限换新限 !” “新元不出现新元不出现 , 上下限不变上下限不变.”在使用换元在使用换元积分法时积分法时,一一定要注意定要注意:经济数学44换元积分法ESC 内容小
15、结内容小结 一、一、应用第一类换元法的常见的积分类型如下：应用第一类换元法的常见的积分类型如下：1.1.；2.2.；经济数学44换元积分法ESC 内容小结内容小结 3.3.；4.4.；5.5.；经济数学44换元积分法ESC 内容小结内容小结 6.6. 7. 7. 8. 8.，经济数学44换元积分法ESC 内容小结内容小结 二、二、本节一些例题的结果，可以当做公式使本节一些例题的结果，可以当做公式使用将这些常用的积分公式列举如下：用将这些常用的积分公式列举如下：(1) .(1) .(2) .(2) .(3)(3)经济数学44换元积分法ESC 内容小结内容小结 (4)(4) (5) (5)(6)(
16、6)经济数学44换元积分法ESC 内容小结内容小结 (7)(7)(8)(8)经济数学44换元积分法ESC 内容小结内容小结 三、第二换元积分法三、第二换元积分法第一类换元法解决的问题第一类换元法解决的问题易求易求难求难求若所求积分若所求积分易求易求,则得第二类换元积分法则得第二类换元积分法 .难求难求经济数学44换元积分法ESC内容小结内容小结第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法经济数学44换元积分法ESC 课堂练习课堂练习 一、求下列不定积分一、求下列不定积分经济数学44换元积分法ESC课堂练习课堂练习二、求下列定积分二、求下列定积分经济数学44换元积分法ESC课堂练习课堂练习第二题答案第二题答案经济数学44换元积分法ESC 布置作业布置作业 P73 习题习题4.1 2（2）（）（4）（）（6）（）（8)P84 习题习题4.3 3（4）（）（5）（）（6） 4（4）经济数学44换元积分法
