《六章节二次型习题章节》由会员分享，可在线阅读，更多相关《六章节二次型习题章节（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、六章节二次型习题章节 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life, there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望一、元二次型一、元二次型1 1 1 1、定义、定义、定义、定义的二次齐次多项式的二次齐次多项式含有个变量含有个变量称为称为二次型二次型或记为或记为注注注注当常数项为实数时，称为实二次型；当常数项为实数时，称为实二次型；当常数项为复数时，称为复二次型当常数项为复数时，称为复二次型二、二次型的矩阵表示二、二次型的矩阵表示二、二次型的矩阵表示二、二次型的矩阵表示定义定义定义定义 只含有平方项的二次型只
2、含有平方项的二次型称为二次型的称为二次型的标准形标准形定义定义定义定义 特别地，称特别地，称为二次型的为二次型的规范形规范形 则则二次型二次型其中矩阵其中矩阵为为对称矩阵对称矩阵. .令令 则则二次型二次型其中矩阵其中矩阵为为对称矩阵对称矩阵. .令令任一任一二次型二次型三、二次型的矩阵及秩三、二次型的矩阵及秩三、二次型的矩阵及秩三、二次型的矩阵及秩对称对称矩阵矩阵任一任一对称矩阵对称矩阵二次型二次型一一对应一一对应称为称为对称对称矩阵矩阵的的二次型二次型；称为称为二次型二次型的的矩阵矩阵；对称矩阵对称矩阵的秩称为的秩称为二次型二次型的秩的秩设设对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的对于
3、二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形线性变换，将二次型化为标准形记记记作记作将其代入将其代入有有若若|C| 0|C| 0，则称为非退化线性变换，则称为非退化线性变换注注二次型经过非退化线性变换仍为二次型二次型经过非退化线性变换仍为二次型定义定义定义定义 设设, ,为阶方阵，若存在阶可逆阵为阶方阵，若存在阶可逆阵，使得，使得则称则称合同于合同于, ,记为记为反身性反身性对称性对称性传递性传递性性质性质性质性质合同矩阵具有相同的秩合同矩阵具有相同的秩. .与对称矩阵合同的矩阵也是对称矩阵与对称矩阵合同的矩阵也是对称矩阵. . 等价等价说明说明一、配方法（拉格朗日配方
4、法）一、配方法（拉格朗日配方法）化二次型为标准型的方法：化二次型为标准型的方法：二、正交变换法二、正交变换法用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤定义定义 在实二次型在实二次型 的标准形中：的标准形中： 注：由于注：由于实对称矩阵实对称矩阵与与实二次型实二次型之间的一一对应，可以类似地之间的一一对应，可以类似地 定义实对称矩阵的定义实对称矩阵的正惯性指数正惯性指数、负惯性指数负惯性指数与与符号差符号差。正平方项正平方项 的项数的项数 p 称为称为 的的正惯性指数正惯性指数；负平方项负平方项 的项数的项数 q 称为称为 的的负惯性指数负惯性指数。 ( q = r
5、 - p ，其中，其中 r 是二次型是二次型 的秩。的秩。) 它们的差：它们的差： p - q = p - ( r-p ) = 2 p - r 称为称为 的的 符号差。符号差。二、实二次型的规范形二、实二次型的规范形设设 是一个实系数二次型，经过适当是一个实系数二次型，经过适当的的非退化线性变换非退化线性变换（包括改变（包括改变 变量排列次序），变量排列次序），总可使总可使 变成如下的变成如下的 标准形标准形：式中式中 ( i = 1, 2 , r ) ； r 是是 的秩的秩 。 由前面的讨论可知，由前面的讨论可知， r 和和 p 是由二次型：是由二次型： 唯一确定的唯一确定的 。再经过非退化
6、线性变换：再经过非退化线性变换：就变成：就变成：式（式（6.3.7）称为）称为实二次型实二次型 的规范型。的规范型。正(负)定二次型的概念 实二次型实二次型 正定正定存在可逆矩阵存在可逆矩阵C，使实对称矩阵，使实对称矩阵A CTCA是正定矩阵是正定矩阵f 满足：满足：prn实对称矩阵实对称矩阵A的的n个顺序主子式个顺序主子式 全大于零。全大于零。实对称矩阵实对称矩阵A合同于合同于E实对称矩阵实对称矩阵A的的n个特征值个特征值 全大于零。全大于零。f 的的 规范形为规范形为f 的的 标准形标准形（1）A的主对角元的主对角元 （2）例：试证二次型例：试证二次型 为正定二次型。为正定二次型。 例例：
7、设设A是是实实对对称称矩矩阵阵，t是是一一个个实实数数，证证明明：当当t 充充分分大大之之后后，tE+A 是是正正定矩阵。定矩阵。例例：设设A是是实实对对称称矩矩阵阵，且且 ,证证明明必必存存在在n维维实实向向量量X，使使 XTAX0。 例：设是一个实二次型例：设是一个实二次型 且存在且存在n维实向量维实向量X1与与X2，使得，使得 X1TAX10，X2TAX20 证明证明:必存在必存在n维实向量维实向量X0，使，使X0TAX00。例例：设设A与与B是是两两个个n阶阶实实对对称称矩矩阵阵，并并且且A是是正正定定矩矩阵阵，证证明明：存存在在n阶阶实实可可逆逆矩矩阵阵C，使，使 CTAC 和和 CTBC 都是对角矩阵。都是对角矩阵。例：设矩阵例：设矩阵 (1)已知已知A的一个特征值为的一个特征值为3，求，求y (2)求矩阵求矩阵P，使，使 为对角矩阵为对角矩阵
