高考数学总复习课件集合的概念及其基本运算

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1、要点梳理要点梳理1.1.集合与元素集合与元素（1 1）集合元素的三个特征：）集合元素的三个特征：_、_、 _. _.（2 2）元素与集合的关系是）元素与集合的关系是_或或_关系，关系，用符号用符号_或或_表示表示. .第一编集合与常用逻辑用语1.1 1.1 集合的概念及其基本运算集合的概念及其基本运算确定性确定性互异性互异性无序性无序性属于属于不属于不属于基础知识基础知识自主学习自主学习1 (3) (3)集合的表示法：集合的表示法：_、_、_、 _. _. (4) (4)常用数集：自然数集常用数集：自然数集N N；正整数集；正整数集N N* *（或（或N N+ +）; ;整整数集数集

2、Z Z；有理数集；有理数集Q Q；实数集；实数集R R. . (5) (5)集合的分类集合的分类: :按集合中元素个数划分按集合中元素个数划分, ,集合可以集合可以分为分为_、_、_. _. 2.2.集合间的基本关系集合间的基本关系 (1) (1)子集、真子集及其性质子集、真子集及其性质对任意的对任意的x xA A，都有，都有x xB B，则，则（或（或）. . 若若A AB B，且在，且在B B中至少有一个元素中至少有一个元素x xB B，但，但x xA A，则则_（或（或_）. .列举法列举法描述法描述法图示法图示法有限集有限集无限集无限集空集空集区间法区间法2 _ _A A；A

3、 A_A A；A A B B，B B C C A A_C C. . 若若A A含有含有n n个元素个元素, ,则则A A的子集有的子集有_个个, ,A A的非空子集的非空子集有有_个个, ,A A的非空真子集有的非空真子集有_个个. . (2)(2)集合相等集合相等若若A AB B且且B BA A, ,则则_._.3.3.集合的运算及其性质集合的运算及其性质 (1) (1)集合的并、交、补运算集合的并、交、补运算并集：并集：A AB B=x x| |x xA A或或x xB B ；交集：交集：A AB B=_=_；补集：补集： U UA A=_.=_. U U为全集，为全集， U U

4、A A表示表示A A相对于全集相对于全集U U的补集的补集. . 2 2n n2 2n n-1-12 2n n-2-2A A= =B B x x| |x xA A且且x xB B 3(2)(2)集合的运算性质集合的运算性质并集的性质并集的性质: :A A= =A A；A AA A= =A A；A AB B= =B BA A；A AB B= =A AB BA A. .交集的性质：交集的性质：A A= =；A AA A= =A A；A AB B= =B BA A；A AB B= =A AA AB B. .补集的性质：补集的性质：4基础自测基础自测1.1.（20082008四川理）四川理）设集合设集

5、合U U=1=1，2 2，3 3，4 4，5,5, A A=1=1，2 2，33，B B=2=2，3 3，4,4,则则 U U( (A AB B) )等于等于（） A.2 A.2，3 B.13 B.1，4 4，55 C.4 C.4，5 D.15 D.1，55 解析解析 A A=1=1，2 2，33，B B=2=2，3 3，44， A AB B=2=2，3.3. 又又U U=1=1，2 2，3 3，4 4，55， U U( (A AB B)=1)=1，4 4，5. 5. B52.2.已知三个集合已知三个集合U U, ,A A，B B及元素间的关系如图所示，及元素间的关系如图所示，则则( (

6、 U UA A)B B等于等于（） A.5 A.5，6 B.36 B.3，5 5，66 C.3 D.0 C.3 D.0，4 4，5 5，6 6，7 7，88 解析解析由由VennVenn图知图知( ( U UA A)B B=5,6. =5,6. A63.3.（20092009广东理，广东理，1 1）已知全集已知全集U U= =R R，集合集合M M=x x|-2|-2x x-12-12和和 N N=x x| |x x=2=2k k-1,-1,k k=1,2,=1,2,的关系的韦恩的关系的韦恩(Venn)(Venn)图如图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（图所示，则阴影部分所示

8、x x1.1. 又又A A=x x| |x x0,0, A A（ U UB B）=x x|0|0x x1. 1. B85.5.设集合设集合A A=x x|1|1x x22，B B=x x| |x x a a. . 若若A A B B，则则a a的取值范围是的取值范围是 ( ) ( ) A. A.a a1 B.1 B.a a1 C.1 C.a a2 D.2 D.a a22 解析解析由图象得由图象得a a1,1,故选故选B. B. B9 题型一题型一集合的基本概念集合的基本概念【例例1 1】 (2009(2009山东山东,1),1)集合集合A A=0,2,=0,2,a a,B B=1,=1,

9、a a2 2, 若若A AB B=0=0，1 1，2 2，4 4，1616，则，则a a的值为的值为（） A.0 B.1 C.2 D.4 A.0 B.1 C.2 D.4 思维启迪思维启迪根据集合元素特性，列出关于根据集合元素特性，列出关于a a的方程的方程组，求出组，求出a a并检验并检验. .题型分类题型分类深度剖析深度剖析10解析解析 A A=0,2,=0,2,a a,B B=1,=1,a a2 2, , A AB B=0,1,2,4,16,=0,1,2,4,16, a a=4.=4.答案答案 D D 掌握集合元素的特征是解决本题的关键掌握集合元素的特征是解决本题的关键. . 解

10、题中体现了方程的思想和分类讨论的思想解题中体现了方程的思想和分类讨论的思想. . 探究提高探究提高11知能迁移知能迁移1 1 设设a a, ,b bR R，集合，集合1,1,a a+ +b b, ,a a= = 则则 b b- -a a等于等于 ( ) ( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 A.1 B.-1 C.2 D.-2 解析解析 a a0,0,a a+ +b b=0 =0 又又1,1,a a+ +b b, ,a a= b b=1,=1,a a=-1.=-1.b b- -a a=2. =2. C12题型二题型二集合与集合的基本关系集合与集合的基本关系【例例2 2】(12(12分分

11、) )已知集合已知集合A A=x x|0|0axax+15,+15,集合集合B B= = （1 1）若）若A AB B，求实数，求实数a a的取值范围；的取值范围；（2 2）若）若B BA A，求实数，求实数a a的取值范围；的取值范围；（3 3）A A、B B能否相等？若能，求出能否相等？若能，求出a a的值；若不能，的值；若不能，试说明理由试说明理由. . 在确定集合在确定集合A A时，需对时，需对x x的系数的系数a a进行讨进行讨论论. .利用数轴分析，使问题得到解决利用数轴分析，使问题得到解决. . 思维启迪思维启迪13解解 A A中不等式的解集应分三种情况讨论：中不等式的解集应

12、分三种情况讨论：若若a a=0=0，则，则A A= =R R；若若a a00,0,则则 2 2分分(1)(1)当当a a=0=0时，若时，若A AB B，此种情况不存在，此种情况不存在. .当当a a000时，若时，若A AB B，如图，如图, , 综上知，当综上知，当A B A B 时，时，a a-8-8或或a a2. 62. 6分分（2 2）当）当a a=0=0时，显然时，显然B BA A；当当a a000时，若时，若B BA A，如图，如图, , 综上知，当综上知，当B BA A时，时， 10 10分分（3 3）当且仅当）当且仅当A A、B B两个集合互相包含时，两个集合互相包含时，A

13、 A= =B B. .由（由（1 1）、（）、（2 2）知，）知，a a=2. 12=2. 12分分16探究提高探究提高在解决两个数集关系问题时在解决两个数集关系问题时, ,避免出错的避免出错的一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求解一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求解, ,另另外，在解含有参数的不等式（或方程）时外，在解含有参数的不等式（或方程）时, ,要对参数要对参数进行讨论进行讨论. .分类时要遵循分类时要遵循“不重不漏不重不漏”的分类原则，的分类原则，然后对每一类情况都要给出问题的解答然后对每一类情况都要给出问题的解答. .分类讨论的一般步骤：分类讨论的一般步骤：确定标准；

14、确定标准；恰当分类；恰当分类；逐类讨论；逐类讨论；归纳结论归纳结论. . 17知能迁移知能迁移2 2 已知已知A A=x x| |x x2 2-8-8x x+15=0,+15=0,B B=x x| |axax-1=0, -1=0, 若若B BA A，求实数，求实数a a. . 解解 A A=3=3，55，当，当a a=0=0时，时，当当a a00时，时，B B= = 要使要使B BA A，18题型三题型三集合的基本运算集合的基本运算【例例3 3】已知全集已知全集U U=1=1，2 2，3,4,5,3,4,5,集合集合A A=x x| |x x2 2-3-3x x+2 +2 =0 =0，B

15、 B=x x| |x x=2=2a a，a aA A,求集合求集合 U U( (A AB B) )中元素中元素的个数的个数. . （1 1）先求出集合）先求出集合A A和集合和集合B B中的元素中的元素. . （2 2）利用集合的并集求出）利用集合的并集求出A AB B. . 解解 A A=x x| |x x2 2-3-3x x+2=0=1+2=0=1，22， B B=x x| |x x=2=2a a，a aA A=2=2，44， A AB B=1=1，2 2，4, 4, U U( (A AB B)=3)=3，55，共有两个元素，共有两个元素. . 集合的基本运算包括交集、并集和补集集合的基

16、本运算包括交集、并集和补集. . 在解题时要注意运用在解题时要注意运用VennVenn图以及补集的思想方法图以及补集的思想方法. .思维启迪思维启迪探究提高探究提高19知能迁移知能迁移3 3 (2009 (2009全国全国，理，理1 1文文2)2)设集合设集合A A=4=4， 5 5，7 7，99，B B=3,4=3,4，7 7，8 8，99，全集，全集U U= =A AB B, ,则集则集合合 U U( (A AB B) )中的元素共有中的元素共有（） A.3 A.3个个 B.4 B.4个个 C.5 C.5个个 D.6 D.6个个解析解析 A A=4,5,7,9,=4,5,7,9,B

17、 B=3,4,7,8,9,=3,4,7,8,9, A AB B=3,4,5,7,8,9,=3,4,5,7,8,9,A AB B=4,7,9,=4,7,9, U U( (A AB B)=3,5,8,)=3,5,8, U U( (A AB B) )共有共有3 3个元素个元素. . A20题型四题型四集合中的信息迁移题集合中的信息迁移题【例例4 4】若集合若集合A A1 1，A A2 2满足满足A A1 1A A2 2= =A A，则称，则称( (A A1 1, ,A A2 2) )为为集合集合A A的一种分拆的一种分拆, ,并规定：当且仅当并规定：当且仅当A A1 1= =A A2 2时时,

18、(,(A A1 1, , A A2 2）与（）与（A A2 2, ,A A1 1）为集合）为集合A A的同一种分拆，则集合的同一种分拆，则集合A A= = 1 1，2 2，33的不同分拆种数是的不同分拆种数是（） A.27 B.26 C.9 D.8 A.27 B.26 C.9 D.8 所谓所谓“分拆分拆”不过是并集的另一种说法不过是并集的另一种说法, , 关键是要分类准确关键是要分类准确. . 思维启迪思维启迪21解析解析 A A1 1= =时，时，A A2 2=1=1，2 2，33，只有一种分拆；，只有一种分拆；A A1 1是单元素集时（有是单元素集时（有3 3种可能）种可能）, ,则则

19、A A2 2必须至少包含必须至少包含除该元素之外的两个元素，也可能包含除该元素之外的两个元素，也可能包含3 3个元素，有个元素，有两类情况两类情况( (如如A A1 1=1=1时时, ,A A2 2=2=2，33或或A A2 2=1=1，2 2，3),3),这样这样A A1 1是单元素集时的分拆有是单元素集时的分拆有6 6种；种；A A1 1是两个元素的集合时（有是两个元素的集合时（有3 3种可能），则种可能），则A A2 2必须必须至少包含除这两个元素之外的另一个元素，还可能包至少包含除这两个元素之外的另一个元素，还可能包含含A A1 1中的中的1 1个或个或2 2个元素（如个元素（如A A

20、1 1=1=1，22时，时，A A2 2=3=3或或A A2 2=1=1，33 或或A A2 2=2=2，33或或A A2 2=1=1，2 2，33）, ,这样这样A A1 1是是两个元素的集合时的分拆有两个元素的集合时的分拆有1212种；种； 22A A1 1是三个元素的集合时是三个元素的集合时( (只有只有1 1种种),),则则A A2 2可能包含可能包含 0 0，1 1，2 2或或3 3个元素（即个元素（即A A1 1=1=1，2 2，33时，时，A A2 2可以是集可以是集合合11，2 2，33的任意一个子集），这样的任意一个子集），这样A A1 1=1=1，2 2，33时的分拆有时的

21、分拆有2 23 3=8=8种种. .所以集合所以集合A A=1=1，2 2，33的不同分拆的种数是的不同分拆的种数是1+6+12+8=27.1+6+12+8=27.答案答案 A 解此类问题的关键是理解并掌握题目给出解此类问题的关键是理解并掌握题目给出的新定义（或新运算）的新定义（或新运算）. .思路是找到与此新知识有关思路是找到与此新知识有关的所学知识的所学知识, ,帮助理解帮助理解. .同时同时, ,找出新知识与所学相关找出新知识与所学相关知识的不同之处，通过对比加深对新知识的认识知识的不同之处，通过对比加深对新知识的认识. . 探究提高探究提高23知能迁移知能迁移4 4 对任意两个正整数对

22、任意两个正整数m m、n n, ,定义某种运算定义某种运算则集合则集合P P= = ( (a a, ,b b)|)|a ba b=8=8，a a , ,b bN N* * 中元素的个数为中元素的个数为 ( ) ( ) A.5 B.7 C.9 D.11 A.5 B.7 C.9 D.11 解析解析当当a a, ,b b奇偶性相同时，奇偶性相同时，a ba b= =a a+ +b b=1+7=2+6=3+5=1+7=2+6=3+5 =4+4. =4+4. 当当a a、b b奇偶性不同时，奇偶性不同时，a ba b= =abab=18,=18,由于由于( (a a, ,b b) )有有序，故共有

23、元素序，故共有元素42+1=942+1=9个个. . C241.1.集合中的元素的三个性质，特别是无序性和互异性集合中的元素的三个性质，特别是无序性和互异性在解题时经常用到在解题时经常用到. .解题后要进行检验，要重视符号解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化语言与文字语言之间的相互转化. .2.2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意等号单独考察取值范围时，要注意等号单独考察. .3.3.对离散的数集间的运算，

24、或抽象集合间的运算，可对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助借助VennVenn图图. .这是数形结合思想的又一体现这是数形结合思想的又一体现. . 方法与技巧方法与技巧思想方法思想方法感悟提高感悟提高251.1.空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集, , 是任何非空集合的真子集是任何非空集合的真子集, ,时刻关注对空集的讨论，时刻关注对空集的讨论，防止漏掉防止漏掉. .2.2.解题时注意区分两大关系解题时注意区分两大关系: :一是元素与集合的从属一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系关系；二是集合与集合的包含关系.

25、 .3.3.解答集合题目解答集合题目, ,认清集合元素的属性（是点集、数认清集合元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确求解的两个先决集或其他情形）和化简集合是正确求解的两个先决条件条件. .失误与防范失误与防范264.4.韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法算的常用方法, ,其中运用数轴图示法要特别注意端点其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心是实心还是空心. .5.5.要注意要注意A AB B、A AB B= =A A、A AB B= =B B、这五个关系式的等价性这五个关系式的等价性. . 27

26、一、选择题一、选择题1.1.（20092009海南，宁夏理海南，宁夏理,1,1）已知集合已知集合A A=1,3,5,7, =1,3,5,7, 9 9，B B=0,3,6,9,12=0,3,6,9,12，则，则A A N NB B等于等于（） A.1,5,7 B.3,5,7 A.1,5,7 B.3,5,7 C.1,3,9 D.1,2,3 C.1,3,9 D.1,2,3 解析解析 A A=1,3,5,7,9,=1,3,5,7,9,B B=0,3,6,9,12,=0,3,6,9,12, N NB B=1,2,4,5,7,8,.=1,2,4,5,7,8,. A A N NB B=1,5,7. =1

28、x x|-1|-1x x1,1,B B=x x| |x x2 2- -x x0,0,则则A AB B等等于于（） A.(0 A.(0，1) B.1) B.（0 0，1 1 C. C.0 0，1 1） D. D.0 0，1 1 解析解析 B B=x x|0|0x x1,1,A AB B=x x|0|0x x1. 1. C304.4.（20092009辽宁理，辽宁理，1 1）已知集合已知集合M M=x x|-3|-3x x5, 5, N N=x x|-5|-5x x5,5,则则M MN N等于等于（） A. A.x x|-5|-5x x55 B. B.x x|-3|-3x x55 C.

29、C.x x|-5|-5x x55 D. D.x x|-3|-3x x55 解析解析 M M=x x|-3|-3x x5,5,N N=x x|-5|-5x x5,5, M MN N=x x|-3|-3x x5. 5. B315.5.（20092009四川文，四川文，1 1）设集合设集合S S=x x|x x|5|5， T T=x x|(|(x x+7)(+7)(x x-3)0,-3)0,则则S ST T= = （） A. A.x x|-7|-7x x-5 B.-5 B.x x|3|3x x55 C. C.x x|-5|-5x x3 D.3 D.x x|-7|-7x x55 解析解析 S S=x

30、 x|-5|-5x x5,5,T T=x x|-7|-7x x3,3, S ST T=x x|-5|-5x x3. 3. C326.6.若集合若集合A A=x x| |x x2 2-9-9x x0,0,x xN N* *,B B=y y| | N N* *, ,y yN N* *, , 则则A AB B中元素的个数为中元素的个数为 ( ) ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 A.0 B.1 C.2 D.3 解析解析 A A=x x|0|0x x9,9,x xN N* *=1,2,8,=1,2,8, B B=1,2,4,=1,2,4,A AB B= =B B. . D33二、填空题二、填空题

31、 7.7.已知集合已知集合A A=(0,1),(1,1),(-1,2),=(0,1),(1,1),(-1,2),B B=(=(x x, ,y y)|)|x x+ +y y -1=0,-1=0,x x, ,y yZ,Z,则则A AB B=_.=_. 解析解析 A A、B B都表示点集都表示点集, ,A AB B即是由即是由A A中在直线中在直线x x+ +y y -1=0-1=0上的所有点组成的集合，代入验证即可上的所有点组成的集合，代入验证即可. .但本题但本题要注意列举法的规范书写要注意列举法的规范书写. . (0,1),(-1,2)(0,1),(-1,2)348.8.（20092009天

32、津文，天津文，1313）设全集设全集U U= =A AB B=x xN N* *| | lg lg x x1,1,若若A A( ( U UB B)=)=m m| |m m=2=2n n+1,+1,n n=0,1,2,3,4=0,1,2,3,4，则集合则集合B B=_.=_. 解析解析 A AB B=x xN N* *|lg |lg x x1=1,2,3,4,5,6,7,8,1=1,2,3,4,5,6,7,8, 9, 9,A A( ( U UB B)=)=m m| |m m=2=2n n+1,+1,n n=0,1,2,3,4=0,1,2,3,4 =1,3,5,7,9, =1,3,5,7,9,

33、B B=2,4,6,8. =2,4,6,8. 2,4,6,82,4,6,8359.9.（20092009北京文，北京文，1414）设设A A是整数集的一个非空子是整数集的一个非空子集，对于集，对于k kA A, ,如果如果k k-1-1 A A, ,且且k k+1+1 A A, ,那么称那么称k k是是 A A的一个的一个“孤立元孤立元”.”.给定给定S S=1,2,3,4,5,6,7,8,=1,2,3,4,5,6,7,8,由由 S S的的3 3个元素构成的所有集合中，不含个元素构成的所有集合中，不含“孤立元孤立元”的的集合共有集合共有_个个. . 解析解析由题意知，不含由题意知，不含“

34、孤立元孤立元”的集合有：的集合有： 1,2 1,2，3,2,33,2,3，4,3,44,3,4，5,4,55,4,5，6,5,66,5,6，7,7, 6,7 6,7，88，共有，共有6 6个集合个集合. . 6 636三、解答题三、解答题10.10.已知全集为已知全集为R R，集合，集合M M=x x|x x|2,|2,x xR R,P P=x x| |x x a a,并且并且M M R RP P, ,求求a a的取值范围的取值范围. . 解解 M M=x x|x x|2=|2=x x|-2|-2x x2,2, R RP P=x x| |x x a a. M M R RP P，由数轴知由数轴知

35、a a2. 2. 3711.11.已知集合已知集合A A=x x| |x x2 2-2-2x x-30,-30,B B=x x| |x x2 2-2-2mxmx+ +m m2 2-4 -4 0, 0,x xR R, ,m mR R. (1) (1)若若A AB B= =0,30,3，求实数，求实数m m的值；的值； (2) (2)若若A A R RB B，求实数，求实数m m的取值范围的取值范围. . 解解由已知得由已知得A A=x x|-1|-1x x3,3, B B=x x| |m m-2-2x xm m+2.+2. (1) (1)A AB B= =0 0，3 3， (2) (2) R

36、RB B=x x| |x x m m+2,+2, A A R RB B,m m-23-23或或m m+2-1,+255或或m m-3. -3. 3812.12.已知二次函数已知二次函数f f( (x x)=)=axax2 2+ +x x 有最小值有最小值, ,不等式不等式f f( (x x)0 )0 的解集为的解集为A A. . (1) (1)求集合求集合A A； (2) (2)设集合设集合B B=x x|x x+4|+4|0.0.解不等式解不等式f f( (x x)=)=axax2 2+ +x x00，得集合，得集合A A= = (2)(2)由由B B=x x|x x+4|+4|a a ，解得，解得B B= =（- -a a-4-4，a a-4-4），），集合集合B B是集合是集合A A的子集，的子集，返回返回 40

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