概率论基础第二章条件概率与统计独立性PPT参考课件

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1、第二章 条件概率与统计独立性2021/3/101授课：XXXn萨特萨特，法国思想家、作家， 存在主义哲学的大师：“ Hell is other people ”他人即地狱他人即地狱n对“我”来说，其他的人就像一个贼，要将“我”的世界偷去，将我纳入他们的轨道中，成为一个“在己存有”（being-in-itself ），成为一个对象或东西。2021/3/102授课：XXXnWhat should I do? nShould I be who you want me to be? nJust do it! 2021/3/103授课：XXX 在解决许多概率问题时，往往需要在有某在解决许多概率问题时，往

2、往需要在有某些附加信息些附加信息(条件条件)下求事件的概率下求事件的概率.一、一、 条件概率的概念条件概率的概念如在事件如在事件B发生的条件下求事件发生的条件下求事件A发生的概率，发生的概率，将此概率记作将此概率记作P(A|B). 一般地一般地 P(A|B) P(A) 1.1.条件概率，条件概率，全概率公式，贝叶斯公式全概率公式，贝叶斯公式2021/3/104授课：XXXP(A )=1/6，例例如如，掷一颗均匀骰子，掷一颗均匀骰子，A=掷出掷出2点点， B=掷出偶数点掷出偶数点，P(A|B)=？掷骰子掷骰子 已知事件已知事件B发生，此时试验所有可能发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是结果构

3、成的集合就是B， P(A|B)= 1/3. B中共有中共有3个元素个元素,它们的出现是等它们的出现是等可能的可能的,其中只有其中只有1个在集个在集A中中.容易看到容易看到P(A|B)于是于是2021/3/105授课：XXXP(A )=3/10， 又如，又如，10件产品中有件产品中有7件正品，件正品，3件次品，件次品，7件正件正品中有品中有3件一等品，件一等品，4件二等品件二等品. 现从这现从这10件中任取件中任取一件，记一件，记 B=取到正品取到正品A=取到一等品取到一等品，P(A|B)则则2021/3/106授课：XXXP(A)=3/10， B=取到正品取到正品P(A|B)=3/7 本例中，

4、计算本例中，计算P(A)时，依据的时，依据的前提条件是前提条件是10件产品中一等品的比件产品中一等品的比例例. A=取到一等品取到一等品， 计算计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加时，这个前提条件未变，只是加上上“事件事件B已发生已发生”这个新的条件这个新的条件. 这好象给了我们一个这好象给了我们一个“情报情报”，使我们得以在，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题某个缩小了的范围内来考虑问题.2021/3/107授课：XXX条件概率的直观定义条件概率的直观定义 某个事件发生的可能性大小经常会受到另一相关事件发生与否的影响. 若在事件 已发生的条件下，事件 发生的概率为 则称 为在已

5、知 发生的条件下， 发生的条件概率，记为2021/3/108授课：XXXExamplen考虑美国东部某大城市警察局男性与女性警官的升职情况.警察局有1200名警官，男性960人，女性240人. 在过去两年中有324名警官得到提升，男性288人，女性36人. 在浏览了升职记录后，一个由女性警官组成的委员会指出在升职过程中存在性别歧视. 其依据是升职人数男性与女性比为288：36；而警察局官员否认歧视，认为男性升职多只是因为警官中男性本来就比女性多很多.n经过计算，男性警官升职概率为0.30，女性警官升职概率为0.15. 条件概率的使用本身不能表明歧视的存在，但条件概率的数值则成为女警官们指控的有

6、力证据！2021/3/109授课：XXX1. 在古典概型中，讨论时，样本空间已缩小为“包含 的所有事件”，故2. 同样，在几何概型中2021/3/1010授课：XXX 若事件若事件B已发生已发生, 则为使则为使 A也也发生发生 , 试验结果必须是既试验结果必须是既在在 B 中又在中又在A中的样本点中的样本点 , 即即此点必属于此点必属于AB. 由于我们已经由于我们已经知道知道B已发生已发生, 故故B变成了新的变成了新的样本空间样本空间 , 于是于是 有有(1). 设设A、B是两个事件，且是两个事件，且P(B)0,则称则称 (1)定义定义2.1.1（conditional probability

7、）为在为在事件事件B发生发生的条件下的条件下,事件事件A的条件概率的条件概率.2021/3/1011授课：XXX条件概率的性质条件概率的性质2021/3/1012授课：XXX譬如譬如q q q 2021/3/1013授课：XXX 2)从加入条件后改变了的情况去算从加入条件后改变了的情况去算 条件概率的计算条件概率的计算1) 用定义计算用定义计算:P(B)0 掷骰子掷骰子例：例：A=掷出掷出2 点点， B=掷出偶数点掷出偶数点P(A|B）=B发生后的缩减发生后的缩减样本空间所含样样本空间所含样本点总数本点总数在缩减样本空在缩减样本空间中间中A所含样所含样本点个数本点个数2021/3/1014授课

8、：XXXSample space Reduced sample space given event B条件概率条件概率 P(A|B)的样本空间的样本空间2021/3/1015授课：XXX2021/3/1016授课：XXX例例 甲、乙两厂共同生产甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中个零件，其中 300件件是乙厂生产的是乙厂生产的. 而在这而在这300个零件中，有个零件中，有189个是个是标准件，现从这标准件，现从这1000个零件中任取一个，问个零件中任取一个，问这个这个零件是乙厂生产的标准件零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？的概率是多少？所求为所求为P(AB).甲、乙共生产甲、乙共生产100

9、0 个个189个个是是标准件标准件300个个乙厂生产乙厂生产300个个乙厂生产乙厂生产设设B=零件是乙厂生产零件是乙厂生产, A=是标准件是标准件2021/3/1017授课：XXX所求为所求为P(AB) .设设B=零件是乙厂生产零件是乙厂生产A=是标准件是标准件若改为若改为“发现它是发现它是乙厂生产的乙厂生产的,问它问它是标准件的概率是标准件的概率是多少是多少?”求的是求的是 P(A|B) .B发生发生,在在P(AB)中作为结果中作为结果;在在P(A|B)中作为条件中作为条件.甲、乙共生产甲、乙共生产1000 个个189个个是是标准件标准件300个个乙厂生产乙厂生产2021/3/1018授课：

10、XXX例 人寿保险公司常常需要知道存活到某一个年龄段的人在下一年仍然存活的概率。根据统计资料可知，某城市的人由出生活到50岁的概率为0.90718，存活到51岁的概率为0.90135。问现在已经50岁的人，能够活到51岁的概率是多少？ 解 记 因此要求显然因为从而 2021/3/1019授课：XXX 可知该城市的人在50岁到51岁之间死亡的概率约为0.00643。在平均意义下，该年龄段中每千个人中间约有6.43人死亡。2021/3/1020授课：XXX由条件概率的定义：由条件概率的定义：即即 若若P(B)0,则则P(AB)=P(B)P(A|B) (2)而而 P(AB)=P(BA)乘法公式乘法公

11、式若已知若已知P(B), P(A|B)时时, 可以反求可以反求P(AB).将将A、B的位置对调，有的位置对调，有故故 P(A)0 , 则则 P(AB)=P(A)P(B|A) (3)若若 P(A)0,则则P(BA)=P(A)P(B|A) (2)和和(3)式都称为式都称为乘法公式乘法公式, 利用利用它们可计算两个事件同时发生的概率它们可计算两个事件同时发生的概率2021/3/1021授课：XXX2021/3/1022授课：XXX乘法公式应用举例乘法公式应用举例 一个罐子中包含一个罐子中包含 b 个白球和个白球和 r 个红球个红球. 随机地随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进抽取一个球，

12、观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行这种手续进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率到红球的概率. 波里亚（波里亚（PlyaPlya）罐子模型罐子模型b个白球个白球, r个红球个红球2021/3/1023授课：XXX于是于是W1W2R3R4表示事件表示事件“连续取四个球，第一、连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球第二个是白球，第三、四个是红球. ” b个白球个白球, r个红球个红球 随机取一个球，观看颜色后放随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且

13、再加进回罐中，并且再加进 c 个与所抽出个与所抽出的球具有相同颜色的球的球具有相同颜色的球. 解解 设设 Wi=第第i次取出是白球次取出是白球, i=1,2,3,4 Rj=第第j次取出是红球次取出是红球， j=1,2,3,42021/3/1024授课：XXX用乘法公式容易求出用乘法公式容易求出 当当 c 0 时，由于每次取出球后会增加下一次时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率也取到同色球的概率. 这是一个这是一个传染病模型传染病模型. 每次每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4

14、|W1W2R3)P(W1W2R3R4)2021/3/1025授课：XXX样本空间的分割样本空间的分割二、全概率公式二、全概率公式2021/3/1026授课：XXX2021/3/1027授课：XXX图示图示证明证明化整为零化整为零各个击破各个击破2021/3/1028授课：XXX2021/3/1029授课：XXX 某某一一事事件件 B 的的发发生生有有各各种种可可能能的的原原因因 ，如如果果 B是由原因是由原因 Ai (i=1,2,n) 所引起，则所引起，则 B 发生的概率是发生的概率是 每一原因都可能导致每一原因都可能导致 B 发生，故发生，故 B 发发生的概率是各原因引起生的概率是各原因引起

15、 B 发生概率的总和，发生概率的总和，即全概率公式即全概率公式.P (BAi) = P(Ai) P(B |Ai)全概率公式全概率公式.我们还可以从另一个角度去理解我们还可以从另一个角度去理解2021/3/1030授课：XXX 由由此此可可以以形形象象地地把把全全概概率率公公式式看看成成为为“由由原原因因推推结结果果”，每每个个原原因因对对结结果果的的发发生生有有一一定定的的“作作用用”，即即结结果果发发生生的的可可能能性性与与各各种种原原因因的的“作作用用”大大小小有有关关. . 全全概概率率公公式式表表达达了了它它们们之间的关系之间的关系. .诸诸 Ai 是原因是原因B 是结果是结果2021

16、/3/1031授课：XXX例例 有一批同一型号的产品有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产已知其中由一厂生产的占的占 30% , 二厂生产的占二厂生产的占 50% , 三厂生产的占三厂生产的占 20%, 又知这三个厂的产品次品率分别为又知这三个厂的产品次品率分别为2% , 1%, 1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?设事件设事件 A 为为“任取一件为次品任取一件为次品”,解解2021/3/1032授课：XXX由全概率公式得由全概率公式得30%20%50%2%1%1%2021/3/1033授课：XXX称此为贝叶斯公式贝叶斯公式. 三、贝叶斯公

17、式三、贝叶斯公式贝叶斯资料贝叶斯资料2021/3/1034授课：XXX证明证明证毕证毕2021/3/1035授课：XXX贝叶斯公式在实际中有很多应用贝叶斯公式在实际中有很多应用. 它可以帮助人们确定某结果（事件它可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生的最）发生的最可能原因可能原因.2021/3/1036授课：XXX全概率公式全概率公式贝叶斯贝叶斯公式公式若干原因若干原因结果结果 如果把随机事件如果把随机事件 B 看成是结果，随机事件组看成是结果，随机事件组 A1，An 看成可能导致结果看成可能导致结果 B 发生的若干原因，发生的若干原因， 贝叶斯贝叶斯公式在决策理论中有重要应用：公式在决策理论

18、中有重要应用：不断地根据新得到的信息来修正原来的观点不断地根据新得到的信息来修正原来的观点。2021/3/1037授课：XXX 例例 某一地区患有癌症的人占某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一，患者对一种试验反应是阳性的概率为种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试，正常人对这种试验反应是阳性的概率为验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?则则 表示表示“抽查的人不患癌症抽查的人不患癌症”. 已知已知 P(C)=0.005, P( )=0.995, P(A|C)=0.

19、95, P(A| )=0.04求解如下求解如下: 设设 C=抽查的人患有癌症抽查的人患有癌症， A=试验结果是阳性试验结果是阳性，求求 P(C|A).2021/3/1038授课：XXX现在来分析一下结果的意义现在来分析一下结果的意义. .由由贝叶斯公式贝叶斯公式，可得，可得 代入数据计算得代入数据计算得 P(CA)= 0.1066 2. 检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症? 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？2021/3/1039授课：XXX 如果不做试验如果不做试验,抽查一人抽查一人,他是患者的概率他是患者的概率患者阳

20、性反应的概率是患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应，若试验后得阳性反应则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为从从0.005增加到增加到0.1066,将近增加约将近增加约21倍倍.1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.P(CA)= 0.1066 P(C)=0.005 2021/3/1040授课：XXX试验结果为阳性试验结果为阳性 , 此人确患癌症的概率为此人确患癌症的概率为 P(CA)=0.1066 2. 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种

21、可能性只有症，这种可能性只有10.66% (平均来说，平均来说，1000个人个人中大约只有中大约只有107人确患癌症人确患癌症)，此时医生常要通过再，此时医生常要通过再试验来确认试验来确认. 2021/3/1041授课：XXXnPET/CT是当今最高端的医学影像诊断设备，能为确定和查找肿瘤及其他病灶的精确位置定量、定性诊断提供依据。PET/CT检查费用昂贵，动辄上万元一次 。（广州日报，2012-04-15）n一项研究指出，在用PET/CT对50岁59岁的健康日本人进行体检时发现，其阳性预测值仅有3.3%。也就是说，经PET/CT体检发现有肿瘤异常的患者中，近97%都不是真正的恶性肿瘤患者。（

22、亚太肿瘤预防杂志， 2007） Example in Practice2021/3/1042授课：XXX P(Ai) (i=1,2,n) 是在没有进一步信息（不知道事是在没有进一步信息（不知道事件件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识性大小的认识.当有了新的信息（知道当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发发生），人们对诸事件发生可能性大小生可能性大小P(Ai | B)有了新的估计有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化 在贝叶斯公式中，在贝叶斯公式中，P(Ai)和和P(Ai |B)分别称为分别

23、称为原因的原因的先验概率先验概率和和后验概率后验概率.2021/3/1043授课：XXXnExampleExample 甲、乙、丙三囚犯，国王宣布以抽签决定甲、乙、丙三囚犯，国王宣布以抽签决定释放一位，处决另两位。释放一位，处决另两位。 他告诉狱卒那一位将被释放，但要求狱卒他告诉狱卒那一位将被释放，但要求狱卒不可先透露。不可先透露。 甲请狱卒透露那一位被释放遭拒后，改问甲请狱卒透露那一位被释放遭拒后，改问狱卒：狱卒： 乙及丙中，那一位会被处决？乙及丙中，那一位会被处决？ 狱卒经一番思考，遂狱卒经一番思考，遂( (诚实地诚实地) )告诉甲：告诉甲： 乙会遭处决。乙会遭处决。2021/3/1044

24、授课：XXX 他认为这样做并未违反国王规定：他认为这样做并未违反国王规定： 乙、丙二人，至少有一会遭处决，这是乙、丙二人，至少有一会遭处决，这是大家都知道的，因此他并未提供甲任何大家都知道的，因此他并未提供甲任何有关甲会被释放的有用信息。有关甲会被释放的有用信息。 甲听到狱卒说甲听到狱卒说乙会被处决乙会被处决后很高兴。原先后很高兴。原先他有他有1/31/3的机率遭释放，现在因只剩他与的机率遭释放，现在因只剩他与丙了，所以机率提高至丙了，所以机率提高至1/21/2。u狱卒与甲的分析，何者正确？狱卒与甲的分析，何者正确？2021/3/1045授课：XXXn解解. . 令令A,B,C分别表甲、乙、丙

25、三人会被释放分别表甲、乙、丙三人会被释放的事件。的事件。 K表狱卒说表狱卒说乙会被处决乙会被处决的事件。的事件。 样本空间样本空间 =ABC。 由假设由假设 P(A)=P(B)=P(C)=1/3。 想求想求P(A|K)。2021/3/1046授课：XXX2021/3/1047授课：XXXu若丙偷听到狱卒与甲的对话，则知他会若丙偷听到狱卒与甲的对话，则知他会被释放的机率提高至被释放的机率提高至2/32/3。u若乙偷听到狱卒与甲的对话，则知他没若乙偷听到狱卒与甲的对话，则知他没有活命机会。有活命机会。u乙乙、丙二人中，有一人被释放之机率为丙二人中，有一人被释放之机率为2/32/3，若给定乙被处决，

26、则丙便独自拥有若给定乙被处决，则丙便独自拥有全部被释放之机率全部被释放之机率2/32/3。狱卒所提供的信息是否无用？狱卒所提供的信息是否无用？2021/3/1048授课：XXXu至于甲，被释放之机率不会改变，还是至于甲，被释放之机率不会改变，还是1/31/3。u而三人被释放之条件机率和：而三人被释放之条件机率和：P(A|K)+P(B|K)+P(C|K) = 1/3+0+2/3 = 1。2021/3/1049授课：XXXu此例有时候以不同的型此例有时候以不同的型式出现，如式出现，如汽车与山羊汽车与山羊问题问题(Car-Goat (Car-Goat Problem)Problem)。u在电影在电影

27、斗智斗智2121点点(21)(21)中中曾出现。曾出现。2021/3/1050授课：XXX三羊问题三羊问题n斗智21点的一个场景：n参加一个游戏,有三扇门。n一门后有一辆车,另两门后有羊,主持人让你随意挑。n当你选择了一扇门后,主持人随后打开了其余两扇门中一扇有羊的门。n此时问你是否换到剩下的一扇门？n是否换？为什么？概率多少？2021/3/1051授课：XXX主人公选择：换！主人公选择：换！n选择正确！换的话得到车的概率是2/3.2021/3/1052授课：XXXExample小汽车油耗小，但不如大汽车安全. 小汽车事故中死亡率为0.128，大汽车事故中死亡率为0.05. 某城市小汽车的市场

28、占有率为18%. 1.请问该市事故中的死亡率是多少？（假定事故发生与车型无关）2.若某次事故中有死亡发生，请问该事故由小汽车引起的概率是多少？2021/3/1060授课：XXXThomas BayesBorn: 1702 in London, EnglandDied: 17 April 1761 in Tunbridge Wells, Kent, England概率论理论创立人，如果你使用过Google，你就已经从贝叶斯的理论中收益了。2021/3/1061授课：XXX 搜索巨人搜索巨人 Google Google 和和 Autonomy (Autonomy (一家出售信息恢复一家出售信息恢复

29、工具的公司工具的公司) )，都使用了，都使用了Bayesian principles Bayesian principles 为数据搜为数据搜索提供近似的索提供近似的. .研究人员还使用贝叶斯模型来判断症状和研究人员还使用贝叶斯模型来判断症状和疾病之间的相互关系疾病之间的相互关系, , 开发能够根据数据和经验来决定行开发能够根据数据和经验来决定行动的人工智能设备动的人工智能设备, , 创建个人机器人创建个人机器人. . 值得一提的是，后值得一提的是，后来的学者还依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断来的学者还依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法，叫作方法，叫作“贝叶斯统计贝叶斯统计”

30、. . 可见贝叶斯公式的影响可见贝叶斯公式的影响. .Thomas BayesThomas Bayes，一位伟大的数学大师一位伟大的数学大师, 1702, 1702年出生于伦敦年出生于伦敦, , 后来成为了一名后来成为了一名Presbyterian minister. Presbyterian minister. 和他的同事们和他的同事们不同：他认为上帝的存在可以通过方程式证明不同：他认为上帝的存在可以通过方程式证明, ,虽然他看虽然他看到了自己的两篇论文被发表了到了自己的两篇论文被发表了, , 但是但是Essay Toward Essay Toward Solving a Problem i

31、n the Doctrine of ChancesSolving a Problem in the Doctrine of Chances却一却一直到他死后的第三年直到他死后的第三年(1764(1764年年) )才被发表才被发表. . 他的理论很有效他的理论很有效, , 照亮了今天的计算领域照亮了今天的计算领域, , 研究者正在把对这种思想的应用研究者正在把对这种思想的应用从基因研究推广到从基因研究推广到fillering emailfillering email的研究的研究. . 2021/3/1062授课：XXX显然显然 P(A|B)=P(A)这就是说这就是说,已知事件已知事件B发生发生,

32、并不影响事件并不影响事件A发生的概发生的概率率,这时称事件这时称事件A、B独立独立.2.2.事件独立性事件独立性A=第二次掷出第二次掷出6点点， B=第一次掷出第一次掷出6点点，先看一个例子：先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，将一颗均匀骰子连掷两次，设设 一、两个事件的独立性一、两个事件的独立性2021/3/1063授课：XXX 由乘法公式知，由乘法公式知，当事件当事件A、B独立时，有独立时，有 P(AB)=P(A) P(B) 用用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性刻划独立性,比用比用 P(A|B) = P(A) 或或 P(B|A) = P(B) 更好更好,它不受它不受 P(B)0

33、或或 P(A)0 的制约的制约.2021/3/1064授课：XXX若两事件若两事件A、B满足满足 P(AB)= P(A) P(B) (1)则称则称A、B是是统计独立统计独立的，简称的，简称A、B独立独立.两事件独立（两事件独立（independent）的定义）的定义2021/3/1065授课：XXX例例1 从一副不含大小王的扑克牌中任取一从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记张，记 A=抽到抽到K, B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的可见可见, P(AB)=P(A)P(B) 由于由于 P(A)=4/52=1/13, 故故 事件事件A、B独立独立.问事件问事件A、B是否独立？是否独立？解解P(

34、AB)=2/52=1/26.P(B)=26/52=1/2,2021/3/1066授课：XXX 前面我们是根据两事件独立的定义作出前面我们是根据两事件独立的定义作出结论的，也可以通过计算条件概率去做结论的，也可以通过计算条件概率去做: 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记记 A=抽到抽到K, B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的, 在实际应用中在实际应用中, 往往往往根据问题的实际意义去判根据问题的实际意义去判断两事件是否独立断两事件是否独立. 可见可见 P(A)= P(A|B), 即事件即事件A、B独立独立.则则P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=

35、1/132021/3/1067授课：XXX 在实际应用中在实际应用中,往往根据问题的实际意义往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立去判断两事件是否独立. 由于由于“甲命中甲命中”并不影响并不影响“乙命中乙命中”的概率，的概率，故认为故认为A、B独立独立 .甲、乙两人向同一目标射击甲、乙两人向同一目标射击,记记 A=甲命中甲命中, B=乙乙命中命中，A与与B是否独立？是否独立？例如例如（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率） 2021/3/1068授课：XXX一批产品共一批产品共n件，从中抽取件，从中抽取2件，设件，设 Ai=第第i件是合格

36、品件是合格品 i=1,2若抽取是有放回的若抽取是有放回的, 则则A1与与A2独立独立.因为第二次抽取的结果受到第一次因为第二次抽取的结果受到第一次 抽取的影响抽取的影响.又如：又如：因为第二次抽取的结果因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响不受第一次抽取的影响.若抽取是无放回的，则若抽取是无放回的，则A1与与A2不独立不独立.2021/3/1069授课：XXX若事件若事件A与与B相互独立相互独立, 则以下三对事件则以下三对事件也相互独立也相互独立.证证 注注 称此为二事件的独立性称此为二事件的独立性 关于逆运算封闭关于逆运算封闭.性性质质2021/3/1070授课：XXX且且A与与B相互独立

37、相互独立2021/3/1071授课：XXX2021/3/1072授课：XXX二、多个事件的独立性二、多个事件的独立性2021/3/1073授课：XXX 对于三个事件对于三个事件A、B、C，若，若 P(AB)= P(A)P(B) P(AC)= P(A)P(C) P(BC)= P(B)P(C) P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 四个等式同时成立四个等式同时成立,则称则称事件事件A、B、C相互独立相互独立.两两独立两两独立相互独立相互独立?2021/3/1074授课：XXX例如，考虑一个古典概型，样本空间例如，考虑一个古典概型，样本空间2021/3/1075授课：XXX2021/3/1076

38、授课：XXX性质性质3. 称无穷多个事件相互独立，如果其中任意有限多个事件都相互独立。2021/3/1077授课：XXX三、事件独立性与概率的计算 设 相互独立，则（1）将其中任意个事件改为相应的对立事件，形成新的 个事件仍然相互独立.（2）在可靠性理论中的应用在可靠性理论中的应用 对于一个元件，它能正常工作的概率对于一个元件，它能正常工作的概率r，称为它的可靠性。元件组成系统，系统正常称为它的可靠性。元件组成系统，系统正常工作的概率称为该系统的可靠性。工作的概率称为该系统的可靠性。2021/3/1078授课：XXX并联系统n并联系统在所有 n 个元件同时失灵时，系统才失灵.n系统可靠性为nn

39、 越大，系统越可靠，成本越高.2021/3/1079授课：XXX例例 一个大学毕业生给四家单位各发出一份一个大学毕业生给四家单位各发出一份求职信，假定这些单位彼此独立，通知他去求职信，假定这些单位彼此独立，通知他去面试的概率分别是面试的概率分别是 1/21/2，1/31/3，1/41/4，1/51/5。这。这个学生至少有一次面试机会的概率是多大？个学生至少有一次面试机会的概率是多大？【解解】 考虑对立事件，一次面试机会都没有考虑对立事件，一次面试机会都没有的概率是的概率是1/22/33/44/5 = 1/5，所以至少有一次面试的概率是所以至少有一次面试的概率是 4/5。2021/3/1080授

40、课：XXX有志者，事竟成一般认为发生概率一般认为发生概率 0.05 的一个的一个随机事件就可以称为是小概率事件。随机事件就可以称为是小概率事件。假如只做一次试验，那么一个小概率事件假如只做一次试验，那么一个小概率事件在这次试验里是不应该发生的。在这次试验里是不应该发生的。如果不停重复试验，只要它不是不可能如果不停重复试验，只要它不是不可能事件，最终这个事件都会必然发生。事件，最终这个事件都会必然发生。有关小概率事件的认识有关小概率事件的认识2021/3/1081授课：XXX串联系统n链条定律：一根链条的强度，取决于它最薄弱的一环的强度. 链条越长，就越薄弱.n串联系统在所有 n 个元件同时有效

41、时，系统才有效.n系统可靠性为nn 越大，系统越不可靠；成本低.2021/3/1082授课：XXX例例 (概率与伴侣概率与伴侣) 下面是某位男士所列的22 27 岁 1/4受过良好教育 1/5漂亮 1/5聪明 1/4性格温柔、体贴 1/6中等身高体重 1/2身体健康 1/2有共同爱好 1/8未婚 1/2喜欢他 1/5假定这些条件都彼此相互独立，所有概率的乘积1/41/5= 1/768,000如果要全部满足条件，假定每天认识两位女性，他平均需要等待 1000 年时间。 他的女友应该满足的条件2021/3/1083授课：XXX 例例 下面是一个串并联电路示意图下面是一个串并联电路示意图. A、B、

42、C、D、E、F、G、H 都是电路中的元件都是电路中的元件. 它们下方的它们下方的数是它们各自正常工作的概率数是它们各自正常工作的概率. 求电路正常工作的求电路正常工作的概率概率.2021/3/1084授课：XXX 解解 将电路正常工作记为将电路正常工作记为W，由于各元件独立工作，由于各元件独立工作，有，有其中其中P(W) 0.782代入得代入得2021/3/1085授课：XXX例例 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？人能将密码译出的概率是多

43、少？ 解解 将三人编号为将三人编号为1，2，3，所求为所求为 记记 Ai=第第i个人破译出密码个人破译出密码 i=1 , 2 , 3已知已知, P(A1)=1/5 , P(A2)=1/3 , P(A3)=1/42021/3/1086授课：XXX12 =1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3) 32021/3/1087授课：XXX四、试验的独立性试验序列 多个或无穷个试验构成的序列.独立试验序列 每个试验结果相互独立的试验序列. 所谓试验相互独立，就是其中一试验所所谓试验相互独立，就是其中一试验所得到的结果，对其它各试验取得其可能结果得到的结果，对其它各试验取得其可能结果的概率都没有影响。

44、的概率都没有影响。 2021/3/1088授课：XXX 先考虑两个随机试验先考虑两个随机试验,假定对于假定对于 ， 表示第表示第 个试验的概率空间个试验的概率空间.按照我们对独立性的理解，按照我们对独立性的理解，两个试验的独立性应当叙述为：两个试验的独立性应当叙述为：但是这一命题至少有但是这一命题至少有两点不妥两点不妥。首先，。首先，“ 与与 同时同时发生发生”应当是两个事件的交，但它们分别是两个样本空应当是两个事件的交，但它们分别是两个样本空间的子集合，无法进行运算。间的子集合，无法进行运算。 其次，两个概率空间有其次，两个概率空间有各自的概率各自的概率 与与 ，但此时涉及两个试验，故命题中

45、，但此时涉及两个试验，故命题中“同时发生的概率同时发生的概率”即不能用即不能用 也不能用也不能用 来度量。来度量。 （*）对任何对任何 ， ， 与与 同时发生的同时发生的概率等于它们各自概率之乘积。概率等于它们各自概率之乘积。2021/3/1089授课：XXX取样本空间取样本空间可见，可见，要严格刻画两试验的独立性，必须适当地构要严格刻画两试验的独立性，必须适当地构造一个同时描述这两个试验的新的概率空间造一个同时描述这两个试验的新的概率空间对任何对任何 ， ，定义它们的，定义它们的DescartesDescartes乘积乘积若若的子集合的子集合称为称为可测矩形可测矩形。中形如中形如可测矩形的全

46、体记为可测矩形的全体记为2021/3/1090授课：XXX 然后取然后取 生成的生成的 代数为代数为 与与 的的Descartes乘积乘积。即即事件域取为事件域取为最后，对于每个可测矩形最后，对于每个可测矩形取取（1）可以证明，可以证明， 上的这个集函数上的这个集函数 可唯一地扩张为可唯一地扩张为 上的概率测度，称为上的概率测度，称为 与与 的的乘积测度乘积测度，记为记为2021/3/1091授课：XXX至此，我们已经建立了乘积测度空间至此，我们已经建立了乘积测度空间其中，形如其中，形如 的可测矩形由这样的样本点的可测矩形由这样的样本点 组成：组成： 限定在限定在 中，而中，而 在在 中任取。

47、于是它代表中任取。于是它代表“第一个试验出现结果第一个试验出现结果 ”这种这种只涉及第一个试验只涉及第一个试验的事的事件。件。 同理，形如同理，形如 的可测矩形代表的可测矩形代表“第二个试验出第二个试验出现结果现结果 ”这种这种只涉及第二个试验只涉及第二个试验的事件的事件。由由(1)式可知：式可知：（2）2021/3/1092授课：XXX也就是说上述只涉及一个试验的事件仍保持其在原概也就是说上述只涉及一个试验的事件仍保持其在原概率空间中的概率值。而用乘积测度来度量两者同时发率空间中的概率值。而用乘积测度来度量两者同时发生的概率时，根据生的概率时，根据（1）和和（2）式可得：式可得：（3） 这正

48、是前面的命题（这正是前面的命题（*）的严格数学表达。）的严格数学表达。可见将可见将它们放进它们放进乘积概率空间乘积概率空间之后，前面对命题（之后，前面对命题（*）提出）提出的两点不妥均不复存在。的两点不妥均不复存在。 也就是说也就是说试验是否具有独立性取决于乘积空间上概试验是否具有独立性取决于乘积空间上概率测度的选择。率测度的选择。至此我们可以说，两个试验至此我们可以说，两个试验 是否相互是否相互独立，就是要看乘积样本空间独立，就是要看乘积样本空间 上的概率是否取上的概率是否取作由作由（1 1）式确定的乘积测度式确定的乘积测度. .2021/3/1093授课：XXX例例从从r个红球和个红球和b

49、个白球中个白球中有放回的有放回的任取两球。任取两球。用一个概率空间来描述这个试验。用一个概率空间来描述这个试验。表第表第1 1次取球的结果，有次取球的结果，有 种可能；种可能；表第表第2 2次取球的结果，有次取球的结果，有 种可能。种可能。从而，从而，从而从而另一方面，另一方面， ，于是我们得，于是我们得到到因而事件因而事件 与与 独立。独立。（4）而对而对 i =1,2，用，用 Ai 表示表示“第第 i 个球是红球个球是红球”这一事件这一事件. . 则则2021/3/1094授课：XXX现将两次取球分开看作两个试验现将两次取球分开看作两个试验，其中含有其中含有 个等可能的样本点个等可能的样本

50、点这样就构造出两个试验各自的概率空间为这样就构造出两个试验各自的概率空间为 而而（4）式表明，式表明，前面那个描述两次取球的概率空间前面那个描述两次取球的概率空间正是这两个概率空间的正是这两个概率空间的Descartes乘积乘积。 也就是说，也就是说，对有放回取球情形，两次取球（试验）对有放回取球情形，两次取球（试验）是相互独立的是相互独立的。对对 取取故故2021/3/1095授课：XXXQuestion乘积空间上的测度是否就只能是乘积测度，乘积空间上的测度是否就只能是乘积测度，就像算术中矩形面积等于长乘宽一样自然？就像算术中矩形面积等于长乘宽一样自然？例如例如，在上面的，在上面的例例3中，

51、如果改为中，如果改为“无放回取球无放回取球”。 我们仍然可以用乘积样本空间我们仍然可以用乘积样本空间 表示两表示两次取球的结果，但是其中的次取球的结果，但是其中的 样本点样本点不再是等可能不再是等可能的的了。例如，使了。例如，使 的样本点是不可能出现的。的样本点是不可能出现的。因为因为 所以，所以，在描述两次不放回取球的概率空间中，概率在描述两次不放回取球的概率空间中，概率 已不再是乘积测度，故两次取球试验不独立已不再是乘积测度，故两次取球试验不独立。不然。不然。正如对于欧氏空间中的图形，除了面积与长度正如对于欧氏空间中的图形，除了面积与长度（Legesgue测度）之外，尚有许多其它的度量测度

52、）之外，尚有许多其它的度量。2021/3/1096授课：XXX最后我们给出最后我们给出 个试验相互独立的一般定义。个试验相互独立的一般定义。定义定义设有设有 个随机试验个随机试验, 第第 个随机试验的概率空间为个随机试验的概率空间为代表这代表这 个试验的乘积样本空间个试验的乘积样本空间其中其中 为形如为形如的可测矩形全体。的可测矩形全体。 如果如果 上的概率测度上的概率测度 是是 的乘积测度的乘积测度,即对任何即对任何 满足：满足：则称这则称这 个试验个试验相互独立相互独立。如果再设如果再设 即即n个试个试验有相同的概率空间，则称它们为验有相同的概率空间，则称它们为n重重独立重复试验独立重复试

53、验。2021/3/1097授课：XXX看一个试验看一个试验 将将一枚均匀骰子抛掷一枚均匀骰子抛掷3次次. .X的分布律是：的分布律是：令令X 表示表示3次中出现次中出现“4”点的次数点的次数3. 3. 伯努利试验与直线上的随机游动伯努利试验与直线上的随机游动2021/3/1098授课：XXX 掷骰子：掷骰子：“掷出掷出4 4点点”，“未掷出未掷出4 4点点” 抽验产品：抽验产品：“是正品是正品”，“是次品是次品” 一般地，一般地，设在一次试验设在一次试验 E 中我们只考虑两个互逆的中我们只考虑两个互逆的结果：结果：A 或或 .这样的试验这样的试验 E 称为称为伯努利（伯努利（Bernoulli

54、Bernoulli）试验试验 .2021/3/1099授课：XXX“重复重复”是指这是指这 n 次试验中次试验中P(A)= p 保持不变保持不变. 将伯努利试验将伯努利试验E E独立地重复地进行独立地重复地进行n次次, ,则则称这一串称这一串重复的独立重复的独立试验为试验为n重伯努利试验重伯努利试验 .“独立独立”是指各次试验的结果互不影响是指各次试验的结果互不影响 .2021/3/10100授课：XXX一、伯努利概型一、伯努利概型 只有两个可能结果的试验称为只有两个可能结果的试验称为伯努利试验伯努利试验。重复进行。重复进行n次独立的伯努利试验，称为次独立的伯努利试验，称为n重伯努利试验。记为

55、重伯努利试验。记为n重伯努利试验有下面的四个约定重伯努利试验有下面的四个约定：（ii）A在每次试验中出现的概率在每次试验中出现的概率P 保持不变；保持不变；（iii）各次试验相互独立；）各次试验相互独立；（iv）共进行了）共进行了n次试验。次试验。（i）每次试验至多出现两个可能结果之一：）每次试验至多出现两个可能结果之一： 或或 ；的样本空间为的样本空间为：其中其中 是是 或或 ，分别表示第，分别表示第 次试验中出现次试验中出现 或或 。伯努利伯努利资料资料样本空间的所有子集为样本空间的所有子集为事件域事件域 。2021/3/10101授课：XXX可列重伯努利试验可列重伯努利试验（E ） ：

56、样本点样本点w = (w1,w2, ,wn, )样本点的个数不再可列样本点的个数不再可列可列重伯努利试验可列重伯努利试验2021/3/10102授课：XXX首先给出下面的概率：首先给出下面的概率： ，其中，其中且且根据根据试验的独立性试验的独立性，就能给出所有，就能给出所有样本点及样本点及所有事件的概率所有事件的概率。 伯努利试验是一种非常重要的概率模型，伯努利试验是一种非常重要的概率模型，它是它是“在同在同样条件下进行重复试验样条件下进行重复试验”的一种数学模型的一种数学模型，特别在讨论，特别在讨论某事件出现的频率时常用这种模型。某事件出现的频率时常用这种模型。 在历史上，在历史上，伯努利概

57、型是概率论中最早研究的模型之伯努利概型是概率论中最早研究的模型之一，也是得到最多研究的模型之一，在理论上具有重要一，也是得到最多研究的模型之一，在理论上具有重要的意义。的意义。 另一方面，另一方面，它有着广泛的应用它有着广泛的应用，在我们这门课程中，在我们这门课程中，一些较为深入的结果也是结合伯努利概型进行讨论的一些较为深入的结果也是结合伯努利概型进行讨论的。2021/3/10103授课：XXX二、伯努利概型中的一些分布二、伯努利概型中的一些分布 下面我们计算伯努利概型中所出现的一些事件的概下面我们计算伯努利概型中所出现的一些事件的概率，这些概率非常重要。率，这些概率非常重要。1、伯努利分布、

58、伯努利分布 只进行一次伯努利试验，则或是事件只进行一次伯努利试验，则或是事件 出现，或出现，或是事件是事件 出现，其概率由下式给出：出现，其概率由下式给出：称为伯努利分布。称为伯努利分布。2021/3/10104授课：XXX2、二项分布、二项分布n重伯努利试验中重伯努利试验中事件事件 出现出现 k 次次的概率。的概率。2021/3/10105授课：XXX二项分布的图形二项分布的图形2021/3/10106授课：XXXn根据谷歌公布的全球TOP1000网站榜单，2010年9月，腾讯QQ.com网站排名第九，日独立用户数1.3亿，用户到达率为8.4%，http:/ Example in Pract

59、ice2021/3/10107授课：XXXn假定弹窗为带来了25%的流量。n随机抽取20个的独立用户，求：1.恰好有12个用户是从qq弹窗链接进来的概率；2.不超过5个用户是从qq弹窗链接进来的概率.2021/3/10108授课：XXX3、几何分布、几何分布可列次伯努利试验中可列次伯努利试验中首次成功出现在第首次成功出现在第k次试验次试验的概率的概率为几何级数的一般项，称为几何分布。为几何级数的一般项，称为几何分布。 几何分布给出了等待事件几何分布给出了等待事件A出现共等了出现共等了k次的概率，次的概率，这类概率在许多问题中出现。这类概率在许多问题中出现。4、巴斯卡分布、巴斯卡分布可列次伯努利

60、试验中可列次伯努利试验中第第r次成功出现在第次成功出现在第k次试验次试验的概率的概率2021/3/10109授课：XXX巴斯卡分布与著名的巴斯卡分布与著名的分赌注问题分赌注问题有关。有关。 大意如下：大意如下：甲、乙两个赌徒按某种方式下注赌博，说定先胜甲、乙两个赌徒按某种方式下注赌博，说定先胜 t 局者局者将赢得赌注，但进行到甲胜将赢得赌注，但进行到甲胜 r 局，乙胜局，乙胜 s 局（局（r t,s t）时因故不得不中止，试问如何分配这些赌注才会合理？时因故不得不中止，试问如何分配这些赌注才会合理？ 若用已胜局数作比例分配赌注，即用若用已胜局数作比例分配赌注，即用r:s来分配，不太来分配，不太

61、合理，因为这种分法合理，因为这种分法没有考虑到最终取胜的概率没有考虑到最终取胜的概率。在伯努利试验中，求在出现在伯努利试验中，求在出现 次次 之之前出现前出现 次次 的概率。的概率。 若以若以 及及 分别记甲、乙为达到最后胜分别记甲、乙为达到最后胜利所须再胜的局数，又设甲在每局中取胜的概率为利所须再胜的局数，又设甲在每局中取胜的概率为 ，我们便可以把分赌注问题归结为如下概率问题：，我们便可以把分赌注问题归结为如下概率问题：2021/3/10110授课：XXX 若以若以P甲甲记上述概率，则它为甲最终取胜记上述概率，则它为甲最终取胜的概率，那么赌注以的概率，那么赌注以 P甲甲：1 P甲甲分配才是分

62、配才是公平合理的公平合理的。巴斯卡和费马在某种程度上都。巴斯卡和费马在某种程度上都达到这个结果。达到这个结果。【解法解法】 第第n个个A出现在第出现在第n+k次试验次试验, 0k m-1P甲甲2021/3/10111授课：XXXP甲甲 可以证明上述三个可以证明上述三个答案是一致的。答案是一致的。 另外，容易证明，再赌另外，容易证明，再赌 局一定可以分出胜负。局一定可以分出胜负。因此甲为取得最终胜利只须而且必须在后继的因此甲为取得最终胜利只须而且必须在后继的 局中至少胜局中至少胜 局。这样利用局。这样利用二项分布二项分布可知：可知：【解法解法2】 第第m个个A出现在第出现在第m+k次试验次试验,

63、 knP甲甲【解法解法3】2021/3/10112授课：XXX例例4 巴拿赫火柴盒问题巴拿赫火柴盒问题数学家的左、右衣袋中各自放有一盒装有数学家的左、右衣袋中各自放有一盒装有N根火柴的根火柴的火柴盒，每次抽烟时火柴盒，每次抽烟时任取一盒任取一盒用一根，求发现一盒用用一根，求发现一盒用光时，另一盒还有光时，另一盒还有 r 根的概率。根的概率。解解看作看作 的伯努利试验。的伯努利试验。要左边空而右边剩要左边空而右边剩r根，根，应该是左边摸过应该是左边摸过 次，而右边次，而右边 ，它的概率为：，它的概率为：对于右边先空的情况可同样考虑，因此所求的概率为对于右边先空的情况可同样考虑，因此所求的概率为2

64、021/3/10113授课：XXX媽咪，你點解“磨爛席”咁蠢架，梗系輸到渣都無啦！麥兜，尋晚我真喺黑過墨斗，響賭場賭咗成晚，輸咗成萬文，渣都無埋！2021/3/10114授课：XXX你應該學我咁，將啲錢分三份，只賭三次，無論輸贏都即刻走人。我試過帶兩萬文去，贏咗十幾萬翻嚟！哇，咁巴閉吖！我啲老人家邊敢咁狼，抵你發達咯！2021/3/10115授课：XXXn以上情节并非虚构，如有雷同，不属巧合。n麦太人物原型，一老阿姨n麦兜人物原型，司机n江湖，卧虎藏龙！一个不起眼的司机，竟然也知道“赌徒输光理论赌徒输光理论”！n顺便小小BS下关老师这个偷听狂！2021/3/10116授课：XXXq三、三、 直

65、线上的随机游动直线上的随机游动吸收或反射吸收或反射吸收或反射吸收或反射 一个随机质点在初始时刻一个随机质点在初始时刻 t = 0 从初始从初始位置位置 x = a 出发，每单位时间随机向右出发，每单位时间随机向右(概率概率为为p)或向左移动或向左移动(概率为概率为q)一个单位一个单位(p+q=1).p2021/3/10117授课：XXX 当当 时，随机游动称为时，随机游动称为对称的对称的，这时质点，这时质点向左或向右移动的可能性相等。向左或向右移动的可能性相等。 自然科学中的大量问题归结为随机游动问题，例如自然科学中的大量问题归结为随机游动问题，例如随机游动模型可以作为随机游动模型可以作为布朗

66、运动的初步近似布朗运动的初步近似等，事实等，事实上，随机游动可以看作是伯努利试验的一种描述法。上，随机游动可以看作是伯努利试验的一种描述法。无限制随机游动无限制随机游动有吸收壁随机游动有吸收壁随机游动分类分类2021/3/10118授课：XXX 假定质点在时刻假定质点在时刻0从原点出发，以从原点出发，以 记它在时刻记它在时刻 的位置。的位置。1. 无限制的随机游动无限制的随机游动有无穷赌本的赌徒在有无穷赌本的赌徒在n局后的输赢局后的输赢(Sn = k) ， -n k n，表示表示“在在n次游动中向右次数比向左多了次游动中向右次数比向左多了k次次”向右次数向右次数+ 向左次数向左次数 = n向右

67、次数向右次数 - 向左次数向左次数 = k2021/3/10119授课：XXX即即因为因为 x 是整数，所以是整数，所以 k 必须与必须与 n 具有相同具有相同的奇偶性。的奇偶性。 若以若以 x 记它在记它在n 次游动中向右移动的次次游动中向右移动的次数，数，y 记向左移动的次数，则记向左移动的次数，则2021/3/10120授课：XXX 事件事件 发生相当于要求在前发生相当于要求在前n 次游动中有次游动中有 次向右，次向右， 次向左，次向左，利用二项分布可得利用二项分布可得当当k与与n奇偶性相异时，概率为奇偶性相异时，概率为0。2021/3/10121授课：XXX质点在时刻质点在时刻 t =

68、 0 时，位于时，位于 x = a，而在，而在 x= 0 与 x=a+b 处各有一个吸收壁处各有一个吸收壁.2. 2. 两端带有吸收壁的随机游动两端带有吸收壁的随机游动有穷赌本的赌徒的输赢有穷赌本的赌徒的输赢记记 qn = P质点从质点从 x = n 出发被出发被 a+b 点吸收点吸收同时，由全概率公式，我们有递归方程同时，由全概率公式，我们有递归方程显然，显然，2021/3/10122授课：XXXSolutionn若 pq，则特别地，n若 pq，则特别地，2021/3/10123授课：XXX记记 pn = P质点从质点从 x = n 出发被出发被 0 点吸收点吸收类似地，可求得类似地，可求得

69、不论何种情况，总有不论何种情况，总有2021/3/10124授课：XXXn赌博游戏中，只要无人赌博游戏中，只要无人“割禾青割禾青”，总，总有一方会输光；有一方会输光；n如果赌博公平，赌本越大越有利；如果赌博公平，赌本越大越有利；n如果赌博不公平，如果赌博不公平，谁的概率大，谁就会谁的概率大，谁就会笑到最后。笑到最后。2021/3/10125授课：XXX四、四、 推广的伯努利试验与多项分布推广的伯努利试验与多项分布 二项分布二项分布可以容易地推广到可以容易地推广到 n 次重复独立试验且每次重复独立试验且每次试验可能有次试验可能有若干个结果若干个结果的情形。的情形。 把每次试验的可能结果记为把每次

70、试验的可能结果记为 ，而而且且当当 时，我们得到时，我们得到伯努利试验伯努利试验。 不难导出：在不难导出：在 n 次试验中次试验中 出现出现 次，次， 出现出现 次，次， 出现出现 次的概率为次的概率为这里这里 ，且，且 。 （5）2021/3/10126授课：XXX 公式（公式（5）称为）称为多项分布多项分布，它是二项分布的推广，二项，它是二项分布的推广，二项分布中的很多结果都能平行地推广到多项分布的场合。分布中的很多结果都能平行地推广到多项分布的场合。例例6 平面上的随机游动平面上的随机游动一质点从平面上某点出发，等可能的向上、下、左及一质点从平面上某点出发，等可能的向上、下、左及右方向移

71、动，每次移动的距离为右方向移动，每次移动的距离为1，求经过，求经过2n次移动后次移动后回到出发点的概率。回到出发点的概率。【解解】这可以归结为上述推广的伯努利试验的问题。这可以归结为上述推广的伯努利试验的问题。分别以事件分别以事件 表示质点向上，下，左表示质点向上，下，左, 右移动一格，则右移动一格，则若要在若要在2n次移动后回到原来的出发点，则向左移动次移动后回到原来的出发点，则向左移动的次数与向右移动的次数应该相等，向上移动的次的次数与向右移动的次数应该相等，向上移动的次数与向下移动的次数也应该相等。数与向下移动的次数也应该相等。2021/3/10127授课：XXX而总移动次数为而总移动次

72、数为2n，故所求的概率为，故所求的概率为2021/3/10128授课：XXXJacob BernoulliBorn: 27 Dec 1654 in Basel, SwitzerlandDied: 16 Aug 1705 in Basel, Switzerland伯努利资料2021/3/10132授课：XXXJacob Bernoullis grave. 2021/3/10133授课：XXXn伯努利家族出现了3位出类拔萃的数学家。最不可思议的是这3位数学家，都违背了父亲的意愿，忘情地沉溺于数学之中，有人调侃他们就像酒鬼碰到了烈酒。n1654年12月27日，雅各布伯努利生于巴塞尔，分别于17，22

73、岁时获艺术硕士学位及神学硕士学位。然而，他还是选择了忠于自己，自学了数学和天文学，他的终身职业是巴塞尔大学的数学教授。 n他是最早使用“积分”这个术语的人，也是较早使用极坐标系的数学家之一。他研究了悬链线，还确定了等时曲线的方程。数论中有以他命名的伯努利数。n概率论是伯努利对数学作出的最大贡献。他提出了伯努利试验与大数定理，他的猜度术是概率论的第一部奠基性著作。 2021/3/10134授课：XXX4. 4. 二项分布与二项分布与PoissonPoisson分布分布一、二项分布的性质及计算一、二项分布的性质及计算1. 二项分布的背景二项分布的背景它对应于随机抽样模型中的有放回抽样，它对应于随机

74、抽样模型中的有放回抽样，二项分布也与独立试验序列概型有关，即二项分布也与独立试验序列概型有关，即在在 n 重重 Bernoulli 试验中，随机事件试验中，随机事件 A 发生发生的次数服从参数为的次数服从参数为 n、p 的二项分布；的二项分布；二项分布广泛应用于抽样调查的问题中，二项分布广泛应用于抽样调查的问题中，以及在金融，保险，医学，生物遗传学等以及在金融，保险，医学，生物遗传学等都有重要的应用。都有重要的应用。2021/3/10135授课：XXXRecalln重伯努利试验中重伯努利试验中事件事件 出现出现 k 次次的概率：的概率： 对于固定对于固定n 及及 p，当，当k 增加时增加时,

75、概概率率 先是随之增加直至达到先是随之增加直至达到最大值最大值 , 随后单调减少随后单调减少.n=10, p = 0.7kPk2021/3/10136授课：XXXn=13, p = 0.5Pkk0最可能成功次数最可能成功次数当当(n+1) p =m为整数时，为整数时， 在在 k = m 和和 k = m-1处达到最大值处达到最大值.当当(n+1) p 不为整数时，不为整数时， 在在 k =(n+1) p达到最大值；达到最大值；2021/3/10137授课：XXXn nRecall以反证法证明先假设再论证（ 表示不可能事件）从而拒绝n假设检验原理设 样本值为假设 成立. 若为小概率事件，则拒绝或

76、更精确地，取定 作为显著性水平，若则拒绝2021/3/10138授课：XXXn很少经由统计去证明那件事必是对的。很少经由统计去证明那件事必是对的。n探索真相？探索真相？n真相留给上帝！真相留给上帝！n在随机世界，真相常难以大白。在随机世界，真相常难以大白。n一切都是假设，只看你接受那一个。一切都是假设，只看你接受那一个。n接受或拒绝，采类似刑事诉讼法第接受或拒绝，采类似刑事诉讼法第1212条条 无罪推定的精神。2021/3/10139授课：XXXExample 2设在家畜中感染某种疾病设在家畜中感染某种疾病的概率为的概率为30%，新发现一种血清可能对预，新发现一种血清可能对预防这病有效，为此对

77、防这病有效，为此对20只健康家畜注射这只健康家畜注射这种血清，若注射后只有一只家畜受感染，种血清，若注射后只有一只家畜受感染，我们应该如何评价这种血清作用。我们应该如何评价这种血清作用。2021/3/10140授课：XXX于是，于是， 2020只家畜仅有只家畜仅有1 1只家畜感染或没有只家畜感染或没有感染的概率为感染的概率为假定这种血清没有任何疗效，于是，家畜假定这种血清没有任何疗效，于是，家畜感染着种病的概率仍然为感染着种病的概率仍然为30%30%。由。由n重贝努重贝努利概型利概型2020只家畜种只家畜种k只家畜感染的概率为只家畜感染的概率为Solution2021/3/10141授课：XX

78、Xn这个概率是如此之小，如果假设是对这个概率是如此之小，如果假设是对的，我们认为的，我们认为2020只家畜仅有只家畜仅有1 1只家畜感只家畜感染或没有感染这样的事件是不应该发染或没有感染这样的事件是不应该发生的生的. .n现在发生了，说明什么？现在发生了，说明什么？n说明假设不对说明假设不对. .2021/3/10142授课：XXXn取取一一组组随随机机样样本本，并并利利用用此此组组样样本本，当当做做是是否接受某一假设之证据。否接受某一假设之证据。n如如果果证证据据与与假假设设所所陈陈述述的的不不合合，或或者者说说吻吻合合的的机机率率很很低低，便便拒拒绝绝该该假假设设，否否则则便便接接受受该该

79、假设。假设。n数数据据会会说说话话，但但不不论论方方法法多多好好，对对一一统统计计假假设所做的推论，是可能有错的。设所做的推论，是可能有错的。n数数学学证证明明不不能能有有错错，统统计计推推论论允允许许犯犯错错！换换一组样本，结论可能便相反。一组样本，结论可能便相反。n在在无无法法避避免免犯犯错错下下，只只能能以以较较好好的的方方法法减减小小犯错的机率。犯错的机率。2021/3/10143授课：XXX假设检验里，多大的错误机率可忍受？假设检验里，多大的错误机率可忍受？n有两种错误的机率： 原假设为真却拒绝(第一类错误)， 原假设不真却接受(第二类错误)。H0为真H0不真接受H0正确第二类错误拒

80、绝H0第一类错误正确2021/3/10144授课：XXX三、泊松分布Poisson Distribution2021/3/10145授课：XXX泊松分布的图形泊松分布的图形2021/3/10146授课：XXXThm 2.4.1 Thm 2.4.1 泊松定理泊松定理2021/3/10147授课：XXX证明证明2021/3/10148授课：XXX2021/3/10149授课：XXX二项分布二项分布 泊松分布泊松分布n很大很大, p 很小很小2021/3/10150授课：XXX泊松分布的背景及应用泊松分布的背景及应用二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放

81、射性物质放出的与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时粒子个数的情况时, ,他们做了他们做了2608 2608 次观察次观察( (每次时间为每次时间为7.5 7.5 秒秒) )发现发现放射性物质在规定的一段时间内放射性物质在规定的一段时间内, , 其放射的粒子其放射的粒子数数 X 服从泊松分布服从泊松分布. .2021/3/10151授课：XXX地震地震 在生物学在生物学、医学医学、工业统计、保险科学及工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数

82、等话呼唤次数等, 都服从泊松分布都服从泊松分布.火山爆发火山爆发特大洪水特大洪水2021/3/10152授课：XXX电话呼唤次数电话呼唤次数交通事故次数交通事故次数商场接待的顾客数商场接待的顾客数 在生物学在生物学、医学医学、工业统计、保险科学及工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等话呼唤次数等, 都服从泊松分布都服从泊松分布.2021/3/10153授课：XXX2021/3/10154授课：XXXPoisson分布的应用nPoisson

83、分布应用极为广泛. 如银行收到的存款次数；保险公司收到的索赔单数;放射粒子的数目（著名的Rutherford等人利用云雾实验室观察镭说发射出的 粒子数目试验）；一定时间内发生的灾害数目；n以上事体均可利用排队论进行研究.2021/3/10155授课：XXX产生泊松分布的机制分析产生泊松分布的机制分析我们先证明一个以后要屡次用到的数学分析结论。我们先证明一个以后要屡次用到的数学分析结论。引理引理 则则若若 是连续函数（或单调函数），且对一切是连续函数（或单调函数），且对一切（或一切（或一切 ）成立）成立其中，其中， ，是某一常数。，是某一常数。2021/3/10156授课：XXXProof由条件

84、可知：由条件可知：因此因此 非负反复使用条件，对任意的正整数非负反复使用条件，对任意的正整数 n 及实数及实数 x 有有在上式中取在上式中取 ，得，得记记 ，则则2021/3/10157授课：XXX因此对于正整数因此对于正整数 m 及及 n，成立，成立 这样我们已经证得结论对一切有理数成立，这样我们已经证得结论对一切有理数成立，再利用连续性或单调性再利用连续性或单调性可以证明结论对无理数可以证明结论对无理数也成立，从而证明了引理。也成立，从而证明了引理。（在中取（在中取 ）2021/3/10158授课：XXX泊松过程泊松过程 考虑来到某交换装置的电话呼叫数，假定考虑来到某交换装置的电话呼叫数，

85、假定它具有下面三个性质：它具有下面三个性质：（i）平稳性平稳性在在 中来到的呼叫数只与时间间隔长度中来到的呼叫数只与时间间隔长度 t 有关而有关而与时间的起点与时间的起点 无关。无关。（ii）独立增量性（无后效性）独立增量性（无后效性）在在 中来到中来到k次呼叫这一事件与时刻次呼叫这一事件与时刻 以前发生以前发生的事件独立。的事件独立。（iii）普通性普通性即在充分小的时间间隔内，最多来到一个呼叫。即在充分小的时间间隔内，最多来到一个呼叫。2021/3/10159授课：XXX具体地讲：具体地讲： 若以若以 记在长度为记在长度为 的时间区间中来到的时间区间中来到 个呼个呼叫的概率，则显然有叫的概

86、率，则显然有若记若记应有应有即即2021/3/10160授课：XXXn平稳性表示了它的概率规律不随时间的推移而改变。n独立增量性表明互不相交的时间区间内过程进行的相互独立性。n普通性表明，在同一时间瞬间来到两个或两个以上呼叫实际上是不可能的。2021/3/10161授课：XXX下面我们来求下面我们来求对对 ，考虑，考虑 中来到中来到 个呼叫的概率个呼叫的概率 ，由独立增量性及，由独立增量性及全概率公式全概率公式（ ，对，对 ，假定，假定 ）特别地特别地 表示在长度为表示在长度为 的时间间隔中没有来呼叫的概率，的时间间隔中没有来呼叫的概率，因此它关于因此它关于 单调下降单调下降，由前面的引理知：

87、，由前面的引理知：（6）2021/3/10162授课：XXX其中其中 ，若，若 ，则，则 ，这说明在不管怎么，这说明在不管怎么短的时间内都要来呼叫，因此在有限时间间隔中要来短的时间内都要来呼叫，因此在有限时间间隔中要来无穷多个呼叫，这种情形不在我们的考虑之列。此外无穷多个呼叫，这种情形不在我们的考虑之列。此外因因 为概率，故应有为概率，故应有 ，而当，而当 时时 ，这表明永不来呼叫，也不是我们感兴趣的情形，所以应这表明永不来呼叫，也不是我们感兴趣的情形，所以应有有从而存在从而存在 ，使使（令（令）2021/3/10163授课：XXX因此，当因此，当 时，我们有时，我们有故由故由（6）式得：式得

88、：2021/3/10164授课：XXX因此因此令令 ，得，得由于已知由于已知 ，故有，故有 可解可解得得 这样下去这样下去, 可解得一切可解得一切 这正是参数为这正是参数为 的泊松分布的泊松分布. .证毕证毕2021/3/10165授课：XXXExample in Practice花旗银行(Citibank)信用卡中心(CBC)的自动提款机(ATM)的宗旨是让办理银行业务成为一种艺术的享受. Citibank希望通过分析CBC客户等待时间，决定是否需要增加新的ATM机. 假定在某CBC，一分钟内平均有2人到达，那么以下便是在一分钟内到达到顾客数的概率分布：2021/3/10166授课：XXXE

89、xample in Practice(Time ,2001,9)去年，含早餐服务的旅馆接待了超过5000万客人. 北美洲含早餐服务的旅馆的网址是www.bestI，平均每分钟大约有7人登录.1.求1分钟时段内无人登录该网站的概率；2.求1分钟时段内至少有2人登录该网站的概率；3.求30秒时段内至少有一人登录该网站的概率.2021/3/10167授课：XXX泊松资料Born: 21 June 1781 in Pithiviers, FranceDied: 25 April 1840 in Sceaux (near Paris), FranceSimon Poisson2021/3/10168授课

90、：XXXn西莫恩西莫恩德尼德尼泊松泊松，法国数学家、几何学家，法国数学家、几何学家和物理学家。和物理学家。n泊松最初奉父命学医，但他对医学并无兴趣，泊松最初奉父命学医，但他对医学并无兴趣，不久便转向数学不久便转向数学. . n他一生发表研究论文他一生发表研究论文300300多篇，出版了多部重多篇，出版了多部重要、影响力较大的专著，如要、影响力较大的专著，如力学教程力学教程、热学的数学理论热学的数学理论、分析教程分析教程、关于关于刑事案件和民事案件审判概率的研究刑事案件和民事案件审判概率的研究和和毛毛细管作用新论细管作用新论等等。等等。 2021/3/10169授课：XXX 素材和资料部分来自素材和资料部分来自网络，如有帮助请下载网络，如有帮助请下载!2021/3/10170