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1、建立了信号与系统的数学描述方法。建立了信号与系统的数学描述方法。讨论了信号自变量变换对信号的影响。讨论了信号自变量变换对信号的影响。介绍了作为信号分析基础的基本信号：复指数介绍了作为信号分析基础的基本信号：复指数信号、正弦信号、单位冲激与单位阶跃信号。信号、正弦信号、单位冲激与单位阶跃信号。讨论了离散时间正弦信号的周期性问题。讨论了离散时间正弦信号的周期性问题。定义并讨论了系统的六大基本特性及系统的互连。定义并讨论了系统的六大基本特性及系统的互连。讨论了增量线性系统及其等效方法。讨论了增量线性系统及其等效方法。第一章第一章信号与系统信号与系统小结小结 第二章第二章 线性时不变系统线性时不变系统
2、 小结小结本章主要讨论了以下内容本章主要讨论了以下内容： LTI系统的描述方法：系统的描述方法：用用 描述系统（也可用描述系统（也可用 描述）描述）；用用LCCDE连同零初始条件描述连同零初始条件描述LTI系统；系统； 信号的时域分解信号的时域分解: : LTI系统的时域分析系统的时域分析卷积和与卷积积分卷积和与卷积积分 奇异函数奇异函数 用方框图描述系统（等价于用方框图描述系统（等价于LCCDE描述）。描述）。系统级联、并联时，系统级联、并联时， 与各子系统的与各子系统的关系。关系。 记忆性、因果性、稳定性、可逆性与记忆性、因果性、稳定性、可逆性与 的关系；的关系；LTI系统的特性与系统的特
3、性与 的关系：的关系： 若若 ，则，则卷积和满足差分、求和及时移特性：卷积和满足差分、求和及时移特性：恰当地利用卷积的性质可以简化卷积的计算：恰当地利用卷积的性质可以简化卷积的计算： 若若 ，则，则卷积运算性质：卷积运算性质：若若 ，则，则卷积积分满足微分、积分及时移特性：卷积积分满足微分、积分及时移特性：若若 ，则，则粗略绘出下列各函数式的波形图粗略绘出下列各函数式的波形图描绘信号波形是本课程的一项基本训练，在绘描绘信号波形是本课程的一项基本训练，在绘图时应注意信号的基本特征，对所绘出的波形，应标图时应注意信号的基本特征，对所绘出的波形，应标出信号的初值、终值及一些关键的值，如极大值和极出信
4、号的初值、终值及一些关键的值，如极大值和极小值等，同时应注意阶跃、冲激信号的特点。小值等，同时应注意阶跃、冲激信号的特点。例1从而求得从而求得波形图为波形图为此题应注意冲激信号的性质此题应注意冲激信号的性质波形如下图波形如下图例例2已知序列已知序列如图（如图（a）所示，所示，试求序列试求序列，并作图，并作图。本例是关于离散信号运算的例题，离散信号的移位、本例是关于离散信号运算的例题，离散信号的移位、反褶、标度运算与连续信号的运算相同。但需注意，反褶、标度运算与连续信号的运算相同。但需注意，序列的尺度倍乘将波形压缩或扩展，这时要按规律去序列的尺度倍乘将波形压缩或扩展，这时要按规律去除某些点或补足
5、相应的零值。除某些点或补足相应的零值。如图（如图（b）所示。所示。把把改写为改写为第一步设第一步设则则如图（如图（c）所示所示第二步设第二步设则则如图（如图（d）所示。所示。第三步将第三步将右移右移2位即得位即得求下列函数值求下列函数值本例目的在于熟悉并正确应用冲激函数的性质。本例目的在于熟悉并正确应用冲激函数的性质。例3方法一：方法一：方法二：方法二：方法二没有注意利用冲激函数的性质，求解过方法二没有注意利用冲激函数的性质，求解过程较繁。另外，对冲激偶信号的性质程较繁。另外，对冲激偶信号的性质往往被错误写成往往被错误写成从而得出错误结论。从而得出错误结论。在描绘某些信号的波形时，有时不必求出
6、函数的表达在描绘某些信号的波形时，有时不必求出函数的表达式，而可直接利用信号运算及相应的波形变换图解。式，而可直接利用信号运算及相应的波形变换图解。画画(2)的波形时，应先画出的波形时，应先画出(1)的波形。的波形。需要注意，对信号的基本运算都是对独立的、单一的需要注意，对信号的基本运算都是对独立的、单一的变量变量t而言的，而不是对变量而言的，而不是对变量at或或at+b进行变换。进行变换。已知信号已知信号f(t)的波形如图所示，请画出下列函数的波形。的波形如图所示，请画出下列函数的波形。例4对信号的波形进行微分变换时，对信号的波形进行微分变换时，应注意在函数的跳变点处会出应注意在函数的跳变点
7、处会出现冲激信号。现冲激信号。例例5判断下列信号是否为周期信号？若是，周期是判断下列信号是否为周期信号？若是，周期是多少？多少？（1）（2）为为以以抽样所得抽样所得解：若两个周期信号具有公倍数，则它们的和信号仍解：若两个周期信号具有公倍数，则它们的和信号仍然是周期信号，周期为这两个周期信号的最小公倍数。然是周期信号，周期为这两个周期信号的最小公倍数。（1）是周期信号，周期为是周期信号，周期为是周期信号，周期为是周期信号，周期为T1和和T2的最小公倍数为的最小公倍数为，因此，因此 的周期为的周期为N1和和N2的最小公倍数为的最小公倍数为9，因此，因此 的周期为的周期为9（2）抽样周期为）抽样周期
8、为，因此因此是周期信号，因为是周期信号，因为为有理数，为有理数， 其周期为其周期为 。是周期信号，因为是周期信号，因为为有理数，为有理数， 其周期为其周期为 。例例6序列。若是周期序列试确定其基波周期序列。若是周期序列试确定其基波周期N。判断下列离散信号是周期序列还是非周期判断下列离散信号是周期序列还是非周期是是三三个个周周期期序序列列的的和和组组成成的的序序列列，所所以以它它的的基基波周期是这三个周期序列周期的最小公倍数。波周期是这三个周期序列周期的最小公倍数。在检验一个系统的线性时，重要的是要牢记：系统必须在检验一个系统的线性时，重要的是要牢记：系统必须同时满足可加性和齐次性。同时满足可加
9、性和齐次性。 先经系统先经系统再线性运算再线性运算例7所以系统是非线性的。所以系统是非线性的。系统的输入为系统的输入为x(t)，输出为输出为y(t)，系统关系如下，判断系统是否系统关系如下，判断系统是否是因果系统是因果系统。 在检验一个系统的因果性时，重要的是要考查系在检验一个系统的因果性时，重要的是要考查系统的输入统的输入- -输出关系，同时要把输入信号的影响仔细输出关系，同时要把输入信号的影响仔细地从在系统定义中所用到的其他函数的的影响区分开地从在系统定义中所用到的其他函数的的影响区分开来。来。 例8在某个正的时刻在某个正的时刻t0的输出的输出y(t0)=x(-t0)，仅仅决定仅仅决定于输
10、入在时刻于输入在时刻(-t0)的值，的值，(-t0)是负的，因此属于是负的，因此属于t0的的过去时刻，这时可能要得出该系统是因果的结论。然过去时刻，这时可能要得出该系统是因果的结论。然而，我们总是要检查在全部时间上的输入而，我们总是要检查在全部时间上的输入-输出关系，输出关系，对于对于t0，如如所以在这一时间上输出就与输入的将来有关。因此，所以在这一时间上输出就与输入的将来有关。因此，该系统不是因果系统。该系统不是因果系统。 在这个系统中，任何时刻在这个系统中，任何时刻t的输出等于在同一时刻的输出等于在同一时刻的输入再乘以一个随时间变化的函数，因此仅仅是输的输入再乘以一个随时间变化的函数，因此
11、仅仅是输入的当前值影响了输出的当前值，可以得出该系统是入的当前值影响了输出的当前值，可以得出该系统是因果系统。因果系统。例例9判断系统判断系统是否线性、非时变、是否线性、非时变、因果和稳定系统？并说明理由。因果和稳定系统？并说明理由。解：（解：（1）当输入为）当输入为时，输出为时，输出为；当输入为当输入为时，输出为时，输出为；当输入为当输入为时，输出为时，输出为同时满足齐次性和可加性，因此该系统是线性系统。同时满足齐次性和可加性，因此该系统是线性系统。（2）当输入为）当输入为时，输出为时，输出为；当输入为当输入为时，输出为时，输出为；令令，输出为，输出为易知易知，因此该系统不是非时变系统。，因
12、此该系统不是非时变系统。（3）输出不取决于未来时刻的）输出不取决于未来时刻的输入，输入，系统因果。系统因果。（4）当）当时，时，系统稳定。，系统稳定。例 9t -1两波形没有公共处，二者乘积为两波形没有公共处，二者乘积为0 0，即积分为，即积分为0 0-1 t 1时两波形有公共部分，积分开始不为时两波形有公共部分，积分开始不为0，积分下限积分下限- -1，上限，上限t，t为移动时间为移动时间;1 t 2即即1 t 22 t 4即即2 t 4t 4即即t 4t- -3 1卷积结果例10已知离散信号已知离散信号求卷积，求卷积，求离散信号的卷积有多种方法，本例只介绍其中的几种求离散信号的卷积有多种方
13、法，本例只介绍其中的几种方法一：利用单位脉冲序列求卷积方法一：利用单位脉冲序列求卷积方法二：借助图解，分区间求卷积方法二：借助图解，分区间求卷积方法三：利用对位相乘方法三：利用对位相乘法求卷积法求卷积方法一：利用单位样值信号求卷积任何一个离散信号可以用单位样值信号表示为任何一个离散信号可以用单位样值信号表示为对于本例对于本例利用单位样值信号的卷积性质利用单位样值信号的卷积性质结果如图（结果如图（a）所示。所示。这种方法虽然计算比较简单，但表达式较长，因而只适应于较短的这种方法虽然计算比较简单，但表达式较长，因而只适应于较短的时限序列。另外，用这种方法求得的卷积结果有时不容易写出其函时限序列。另
14、外，用这种方法求得的卷积结果有时不容易写出其函数表达式的闭式形式。数表达式的闭式形式。说明说明首首先先将将反反转转，然然后后确确定定非非零零值值区区间间的的横横坐坐标，其下限为标，其下限为，上限为，上限为，如图（，如图（b）所示。所示。根据卷积的定义式根据卷积的定义式方法二：借助图解，分区间求卷积再将再将平移，并分区间求出卷积结果。平移，并分区间求出卷积结果。结果与结果与方法一方法一相同相同。则则方法三：利用对位相乘法求卷积此方法适应于时限序列。此方法适应于时限序列。所以所以例11 某连续系统的框图如图某连续系统的框图如图(a)所示，写出该所示，写出该系统的微分方程。系统的微分方程。系统框图有
15、两个积分器。故描述该系统的是二阶微分方系统框图有两个积分器。故描述该系统的是二阶微分方程。由于积分器的输出是其输入信号的积分，因而积分程。由于积分器的输出是其输入信号的积分，因而积分器的输入信号是输出信号的一阶导数。器的输入信号是输出信号的一阶导数。左方积分器的输入信号为左方积分器的输入信号为从加法器入手，找其入出关系。从加法器入手，找其入出关系。 则其输入信号为则其输入信号为图中设右方积分器的输出信号为图中设右方积分器的输出信号为将上式除将上式除f(t)以外的各项移到等号左端，得以外的各项移到等号左端，得由加法器的输出，得由加法器的输出，得连续系统或离散系统除用数学方程描述外，还可用连续系统
16、或离散系统除用数学方程描述外，还可用框图表示系统的激励与响应之间的数学运算关系，框图表示系统的激励与响应之间的数学运算关系，一个方框图可以表示一个具有某种功能的部件，也一个方框图可以表示一个具有某种功能的部件，也可以表示一个子系统。每个方框内部的具体结构并可以表示一个子系统。每个方框内部的具体结构并非是考察重点，只注重其输入输出之间的关系。非是考察重点，只注重其输入输出之间的关系。例例11一线性系统，在相同的初始条件下，当激励为一线性系统，在相同的初始条件下，当激励为时，其全响应为时，其全响应为；当激励为；当激励为时，其全响应为时，其全响应为。求激励为。求激励为、初始条件增大一倍时的全响应。、
17、初始条件增大一倍时的全响应。解：设零输入相应为解：设零输入相应为时，零状态响应为时，零状态响应为；由题意得由题意得解得解得因此，激励为因此，激励为、初始条件、初始条件增大一倍时的全增大一倍时的全响应为响应为（1）求齐次解求齐次解特征方程为特征方程为故特征根为故特征根为则齐次解为则齐次解为（2）求特解）求特解由题知激励是指数序列形式，可设特解为由题知激励是指数序列形式，可设特解为将其代入差分方程得将其代入差分方程得已知描述某线性系统的差分方程为已知描述某线性系统的差分方程为且设激励设激励求响应序列求响应序列例例12（3 3） 求全解求全解由原差分方程得由原差分方程得即初始值：即初始值：代入全解有代入全解有解得解得所以系统的全解为所以系统的全解为
