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1、3.4生活中的生活中的优化问题举例优化问题举例第三章第三章 导数及其应用导数及其应用一、如何判断函数的单调性？f(x)为为增函数增函数f(x)为为减函数减函数 设函数设函数y=f(x) 在在 某个区间某个区间 内可导，内可导，二、如何求函数的极值与最值？求函数极值的一般步骤求函数极值的一般步骤（1）确定定义域）确定定义域（2）求导数）求导数f(x)（3）求）求f(x)=0的根的根 （4）列表）列表 （5）判断）判断求求f(x)在在闭区间闭区间a,b上的最值的步骤：上的最值的步骤：(1) 求求f(x)在区间在区间(a,b)内极值；内极值；(2) 将将y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(
2、b）比较比较,从而确定函数的最值。从而确定函数的最值。 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的 优化问题.例例1 1：海报版面尺寸的设计海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为的海报，要求版心面积为128cm2，上、下两边各，上、下两边各空空2cm，左、右两边各空，左、右两边各空1cm，如何设计
3、海报的，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？尺寸，才能使四周空白面积最小？图图3.4-1 分析：已知版心的面分析：已知版心的面积，你能否设计出版心积，你能否设计出版心的高，求出版心的宽，的高，求出版心的宽，从而列出海报四周的面从而列出海报四周的面积来？积来？ 你还有其他解法你还有其他解法吗？例如用基本吗？例如用基本不等式行不？不等式行不？因此，因此，x=16是函数是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为当版心高为16cm，宽为，宽为8cm时，能使四周空白面积最时，能使四周空白面积最小。小。 2、在实际应用题目中，若函数、在实际应用题目中，若函
4、数 f ( x )在定义域内在定义域内只有一个极值点只有一个极值点x0 ，则不需与端点比较，则不需与端点比较， f ( x0 )即即是所求的最大值或最小值是所求的最大值或最小值.说明说明1、设出变量找出函数关系式；、设出变量找出函数关系式；(所说区间的也适用于开区间或无穷区间所说区间的也适用于开区间或无穷区间)确定出定义域确定出定义域；所得结果符合问题的实际意义。所得结果符合问题的实际意义。练习练习1：将一段长为：将一段长为12cm的铁丝围成一个矩的铁丝围成一个矩形，则这个矩形面积的最大值为多少？形，则这个矩形面积的最大值为多少？解：解：结论：周长为定值的矩形中，正方形的面积最结论：周长为定值
5、的矩形中，正方形的面积最大。大。练习练习2 2、一条长为、一条长为l l的铁丝截成两段，分别弯成两个正的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？度分别是多少？则两个正方形面积和为则两个正方形面积和为解：设两段铁丝的长度分别为解：设两段铁丝的长度分别为x,l- -x,其中其中0x0它表示它表示 f(r) 单调递增，单调递增， 即半径越大，利润越高；即半径越大，利润越高；当半径当半径r时，时，f (r)0 它表示它表示 f(r) 单调递减单调递减， 即半径越大，利润越低即半径越大，利润越低1.半径为半径为
6、cm 时，利润最小，这时时，利润最小，这时表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值此时利润是负值半径为半径为cm时，利润最大时，利润最大问题问题3、磁盘的最大存储量问题、磁盘的最大存储量问题(1) 你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？(2) 你知道磁盘的结构吗？(3)如何使一个圆环状的磁盘存储尽可能多的信息？Rr例3：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R的环行区域。(1)是不是r越小，磁盘的存 储量越大？(2) r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？解：存储量解：存储量=磁道数磁道数每磁道的比特数每磁
7、道的比特数 设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必须大于m，且最外面的磁道不存储任何信息，所以磁道最多可达 又由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大的存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达到 所以，磁道总存储量（1）它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式上可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大.(2)为求 的最大值，计算令解得因此，当 时，磁道具有最大的存储量，最大存储量为 由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是：优化问题优化问题用函数表示的数学问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案优化问题的答案上述解决优化问题的过
8、程是一个典型的数学建模过程。练习练习1：在边长为在边长为60cm的正方形铁皮的四角切的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？箱子容积最大？最大容积是多少？解解:设箱底边长为设箱底边长为x,则箱高则箱高h=(60-x)/2.箱子容积箱子容积 V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0x60).令令 ,解得解得x=0(舍去舍去),x=40.且且V(40)=16000.由题意可知由题意可知,当当x过小过小(接近接近0)或过大或过大
9、(接近接近60)时时,箱子箱子的容积很小的容积很小,因此因此,16000是最大值是最大值.答答:当当x=40cm时时,箱子容积最大箱子容积最大,最大容积是最大容积是16000cm3.练习练习2:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它如何确定它的高与底半径的高与底半径,使得所用材料最省使得所用材料最省?Rh解解 设圆柱的高为设圆柱的高为h,底面半径为底面半径为R.则表面积为则表面积为 S(R)=2Rh+2R2.又又V=R2h(定值定值),即即h=2R.可以判断可以判断S(R)只有一个极值点只有一个极值点,且是最小值点且是最小值点.答答 罐高与底的直径相等时罐高与底的直径相等时, 所用材料最省所用材料最省.xy练习练习3 如图如图,在二次函数在二次函数f(x)=4x-x2的图象与的图象与x轴所轴所 围成的图形中有一个内接围成的图形中有一个内接矩形矩形ABCD,求这求这 个矩形的个矩形的最大面积最大面积.解解:设设B(x,0)(0x2), 则则 A(x, 4x-x2).从而从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形故矩形ABCD的面积的面积为为:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0x2).令令 ,得得所以当所以当 时时,因此当点因此当点B为为 时时,矩形的最大面积是矩形的最大面积是
