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1、一个数学教授都可能答错的一个数学教授都可能答错的“简单简单”概率问题概率问题随机模拟实验随机模拟实验1 1990年，美国Parade展示杂志“Ask Marilyn”专栏的主持人玛莉莲莎凡收到了一名读者的提问： 假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇。其中一扇后面有一辆汽车，其余两扇后面则是山羊。你选择了一扇门，假设是一号门，然后知道门后面有什么的主持人开启了另一扇后面有山羊的门,假设是三号门。他然后问你: “你想选择二号 2门吗？” 这个问题源自美国电视娱乐节目“让我们做个交易”(Lets Make a Deal)，后来被冠以节目主持人的名字：蒙提 霍尔问题，也被称为“汽车与
2、山羊问题”。玛莉莲的智商为228，是智商的吉尼斯记录保持者, 她主持的节目因此很受读者欢迎。 那么，你是否应该改变原来的选择呢？ 3 玛莉莲对这一问题的解答是应该换，因为换了之后有23的概率赢得汽车，不换的话概率只有13。 她的这一解答引来了几千封读者信件，其中反对者达九成。大部分读者认为这个答案太荒唐了。有人甚至说，如果这个解答代表了美国人的智力，那美国就没希望了。因为直觉告诉人们，既然参赛者是从三扇门中任选一扇，那么一开始选中汽车的概率是三4分之一，当主持人打开了有山羊的3号门后，那么1号门和2号门后有汽车的概率就都变成了12，完全没有必要改变原来的选择。 玛丽莲在接下来的二期专栏中对她的
3、结论给予了开玩笑式的解释：假如当主持人打开那个有山羊的门后，有外星人忽然来到台上选。他在能选的两个门中任选一个，有车的概率确实都是50%。但你不是刚到，你有优势，因为主持人帮助过你了，他为你在其5余两个门中作了预选。你换了后，概率就由三分之一提高到三分之二了。 但反对者更多了。其中包括全国健康机构的统计学家，国防情报中心的副主任，著名的美籍匈牙利数学家保罗埃尔笛希（Paul Erdos）也是反对者之一。 玛莉莲面对这么多数学家的怀疑眼光，不再解释什么道理，而是请全美国的小朋友帮她做实验，用三张扑克牌和玩具小汽车来 6模仿这个游戏。小朋友们做了许多次实验，得到的结论与玛莉莲的说法是一致的，应该改
4、变原来的选择。“事实胜于雄辩”，那些数学家们也无话可说了，只好去找自己的错误在哪里。 随后，包括纽约时报和许多数学期刊在内的众多媒体对这一问题展开了全国大讨论。在十年时间里，至少有40篇论文或专著探讨了这一问题。7 实际上，从数学上说，玛莉莲是对的。参赛者做出第一次选择时，会出现两种可能性：选到了山羊，或是选到了汽车。因为有两扇门背后都是山羊，所以参赛者选到山羊的概率是23 ; 相应地，选到汽车的概率是13。此时，主持人打开了一扇背后是山羊的门，我们假设参赛者决定更改选择。那么,假如参赛者开始选的是山羊(23的可能性)，那么他就会换到汽车；假如参赛者一开始选 8的是汽车(13的可能性)，他就会
5、换到山羊。这也就是说，参赛者更改自己的选择便会有23的概率获得汽车。 还有一种解释也许会对理解问题的答案有所帮助。假设主持人在参赛者面前摆出52张扑克，让参赛者任意抽取一张。假定参赛者一旦抽中黑桃A便会赢得奖励。那么现在，他抽取的这张牌恰是黑桃A的概率是152。好，接下来，主持人看了一遍手中剩下的519张牌，然后将其中50张翻开，让参赛者看到这50张全都不是黑桃A。主持人问参赛者:你现在想拿你手中的牌换我手中的牌吗？ 那么，此时参赛者该换吗？这个游戏中有如下事实: 第一，由于主持人拿了51张牌，所以，黑桃A有5152 的可能性在他手里；第二，主持人接下来有条理地除去了其中几乎所有的错误选择。这
6、意味着，黑桃 A实际上有5152的可能性就在主持人手中，所以 10参赛者当然应该选择互换。 这样解释其实只是把门从三扇增加到了52扇。如果52扇的解释能够理解的话，为什么三扇的不行呢？有兴趣的同学可以用贝叶斯公式或Monte Carlo随机模拟的方法来验证玛莉莲的答案是正确的。 实际上，蒙提霍尔问题的身世可以追溯到玛莉莲收到来信之前一个世纪。十九世纪的那个问题是这样的：假设有三张桌子，每 11张桌子有一对抽屉；另有三对金属块，分别是金块银块、金块金块和银块银块，把三对金属块分别放到三对抽屉里；随机打开一个抽屉，发现放在其中的是金块，那么同一个桌子另一个抽屉里也是金块的概率是多大？ 这个问题被称
7、为“贝特朗箱子悖论”。直觉告诉人们，另一个抽屉里是金块和是银块的可能性为1比1，因为有两个桌子里是有金 12块的，其中一个包含了银块，而另一个全是金块。是这样吗？如果你这样认为的话，那只能说，直觉又一次欺骗了你。 如果你对汽车与山羊问题感兴趣，可阅读韩雪涛所著的从惊讶到思考数学悖论奇景一书。该书对这个问题用几种不同的方法对答案做出了解释。许多人在很长一段时间里不能理解答案，或者看了解释之后仍会表示怀疑，是因为直觉的力量太顽固了。13 韩雪涛的这本书与美国的业余数学家马丁加德纳几十年前的书从惊讶到思考 数学悖论奇景同名。加德纳在他的书中收入了78个悖论，而韩雪涛在书中收入许多未被收入的或是新出现
8、的悖论，至少有128个。博弈论悖论、微积分悖论、集合论悖论等类型的悖论是加德纳在书中未作详细论述的。 本书和韩雪涛前一本关于悖论的书数学悖论与三次数学危机分别向读者展示了 14悖论与我们生活的关系，以及悖论对数学发展所起到的助推作用。毕达哥拉斯悖论、贝克莱悖论和罗素悖论是他上一本书重点讨论的三个悖论，这三个悖论不但迷人而且对数学影响深远。 最后，给出两条关于直觉的名言，与各位共勉。 “直觉固然重要，但有时并不可靠”; “直觉与错觉只有一步之遥”。15几个有趣的概率问题几个有趣的概率问题 1、奖金分配问题、奖金分配问题 棋艺相当的甲、乙两位棋手参加一项奖金为1000元五局三胜制的比赛。在已经结束
9、的三局比赛中，甲二胜一负，现因故要停止比赛，问如何分配这1000元奖金才算公平？ 两人平均分对甲欠公平，全归甲对乙欠公平，合理的分法是按一定的比例分配而甲 16拿大头。比赛的组织者按已胜的局数分，即甲拿 2/3，乙拿 1/3，你认为合理吗？请根据所学概率论知识通过计算给出公正合理的分配方案。172、蒲丰投针实验、蒲丰投针实验 对随机现象进行模拟的研究方法称为随机模拟，也称为Monte Carlo方法。概率统计课程中介绍的法国数学家蒲丰 (Buffon) 用掷硬币的方法研究频率与概率是随机模拟的典型例子。蒲丰在1777年还设计了一个有趣的掷针实验，用随机模拟的方法计算圆周率，其具体步骤如下：18
10、(1)在一张纸上画许多间距为d的等距平行线；(2)取一根长度为 的均匀直针，随机地向纸上掷去，共掷n次(n是一个很大的整数)，观察针和直线相交的次数m；(3)可以证明：针和直线相交的概率为 。 19 取频率为的近似值，则 做掷针实验是很费时间的，也很难做到“真正”的随机。有兴趣的同学可以用计算机模拟蒲丰掷针实验，计算的近似值，体验一下现代“祖冲之”的感觉。203、贝特朗悖论、贝特朗悖论 古典概率、几何概率在现代概率论发展中曾经起过重大作用，它们都基于“等可能”条件。许多人认为，只要找到适当的等可能性描述，就可以给出概率问题惟一的解答。然而，我们可以找到这样的例子，它包括着几种似乎都同样有理但却
11、互相矛盾的答案。2122 问题：问题：在单位圆内随意地取一条弦，弦长超过该圆内接等边三角形边长这一事件的概率是多少？ 分析分析1:不失随机性，固定弦的一个端点A 于圆周上，以 A为顶点作圆内接等边三角形ACD，要使AB大于其边长 ，则B必须属于劣弧 CD 。于是根据几何概率的定义，所求概率为 23 分析分析2: 作圆内接三角形的内切圆，其半径为1/2，同样根据几何概率，要使弦长大于 ，当且仅当弦的中点在内切圆内 ( 或者该弦的中点到圆心的距离小于1/2 ) 。 从而，其概率为24 分析分析3: 由于弦的中点必在某直径上，故考虑中点落在某直径上的弦，则弦长大于当且仅当弦的中点位于直径的中段，由几
12、何概率知其概率为1/2。 同一个问题，有三种不同的答案！这就是著名的“贝特朗”悖论。 你能用概率论知识解释这种看似“矛盾”其实一点也不矛盾的现象吗？254、报童问题、报童问题 某报童以每份0.3元的价格买进报纸，以0.5元的价格出售。根据长期统计，报纸每天的销售量及百分率为销售量200210220230240250百分率0.080.160.300.250.160.0526已知当天销售不出去的报纸，将以每份0.2元的价格退还报社。试确定报童每天买进报纸的数量，使报童的平均总收入最大？ 此类问题即著名的“报童问题”，这类问题有较强的理论和实用价值，至今仍有许多学者研究。 下面给出一个简单的报童问题
13、，有兴趣的同学可以用数学期望知识求解。 27 某电器经销商，一个月卖出的电冰箱数X是一个随机变量,其分布为 。已知卖出一台获利300元，滞销一台需保养费100元。问该电器商月初应该买进多少台，才使月平均收益最大。28随机模拟与随机模拟与Monte Carlo方法方法 在现实生活中存在许多随机现象，研究随机现象通常采用概率统计方法。但有些随机问题比较复杂，很难用概率论中的解析理论加以处理。此时可以用计算机对随机现象进行模拟，这种方法称为随机模拟方法或称为Monte Carlo方法。 在数学建模中，Monte Carlo方法除了可以用于求解随机模型外，还可用于仿真和检29验模型的正确性，是数学建模
14、中必须掌握的十大算法之一。一、模拟的概念一、模拟的概念 模拟就是利用物理的、数学的模型来类比、模仿现实系统及其演变过程，以寻求过程规律的一种方法。 模拟的基本思想是建立一个试验模型,这个模型包含所研究系统的主要特点。通过对这个实验模型的运行，获得所要研究30系统的必要信息。二、模拟的方法二、模拟的方法1、物理模拟 对实际系统及其过程用功能相似的实物系统去模仿。例如，军事演习、船艇实验、沙盘作业等。 物理模拟通常花费大、周期长，且在物理模型上改变系统结构和系数都较困难。而且，许多系统无法进行物理模拟，如社会经 31济系统、生态系统等。2、数学模拟 在一定假设条件下，用数学运算模拟系统的运行，称为
15、数学模拟。现代的数学模拟都是在计算机上进行的，称为计算机模拟。 计算机模拟可以反复进行，改变系统的结构和系数都比较容易。 在实际问题中，面对一些带随机因素的复杂系统，用分析方法建模常常需要作许多 32简化假设，与实际问题可能相差甚远，以致结果根本无法应用。这时，计算机模拟几乎成为唯一的选择。 蒙特卡洛 (Monte Carlo)方法是一种应用随机数进行计算机模拟的方法。此方法对研究的系统进行随机观察抽样，通过对样本值的观察统计，求得所研究系统的某些参数。33三、随机数的产生三、随机数的产生 在Monte Carlo方法中要用到服从各种概率分布的随机数，因此随机数的产生技术是随机模拟的基础。 随
16、机数产生的方法大致可分为三类。第一类是利用专门的随机数表，即将一些制备好的随机数表输入计算机中储存起来以备使用。这种方法很难满足各种实际需要且使用不方便，现已不再使用。第二类是用物理装 34置即随机数发生器产生随机数，但其成本较高且不具有再生性。第三类由计算机按一定的算法计算出一串数字。这些数一般是按一定规律递推生成，具有一定的周期性，因此它们不是真正的随机数，称为伪随机数。但只要计算方法选择得当，它们与真正的随机数有近似的随机特征。这类方法的优点是计算速度快，可用计算机产生和检验。 用软件可产生服从各种分布的随机数。35四、模拟实例四、模拟实例1、奖金分配问题、奖金分配问题restart:n
17、:=1000: count:=0:for i from 1 to n do r1:=rand(0.1): r2:=rand(0.1): if r1()=1 or r2()=1 then count:=count+1: fi:od:prizeA:=1000*evalf(count/n);362、蒲丰投针实验、蒲丰投针实验restart:d:=5: l:=3: n:=1000: N:=10000:m:=0:for i from 1 by 1 to n do x:=rand(0.N):y:=rand(0.N): m:=m+if(evalf(l/2*sin(x()/N*Pi)= evalf(y()/N
18、*d/2),1,0):od:Pi1:=evalf(2*n*l)/(m*d);373、贝特朗悖论、贝特朗悖论restart:n:=20000:N:=100000:count:=0:for i from 1 to n do r:=rand(-N.N): x:=evalf(r()/N*Pi/2): if 2*cos(x)evalf(sqrt(3) then count:=count+1:fi:od:P:=evalf(count/n);384、报童问题、报童问题restart:with(stats):N:=4000: L:=: nmax:=0: fmax:=0:for n from 1 to 12 d
19、o count:=0: for i from 1 to N do r:=rand(0.1000000): temp:=evalf(r()/1000000):39 if temp=1/12. then k:=1: elif temp=2/12. then k:=2: elif temp=3/12. then k:=3: elif temp=4/12. then k:=4: elif temp=5/12. then k:=5: elif temp=6/12. then k:=6: elif temp=7/12. then k:=7: elif temp=8/12. then k:=8: elif
20、temp=9/12. then k:=9: elif temp=10/12. then k:=10: elif temp=n then count:=count+300.*n: else count:=count+300.*k-100.*(n-k): fi:od:40 f:=count/N: L:=op(L),n,f: if ffmax then fmax:=f: nmax:=n: fi:od:L;nmax;41作业1. 设 是区间 内任一实数。在区间 上取随机数 ，首先用随机模拟方法求出 的概率，然后用概率知识给予理论证明。2. 随机模拟方法研究“山羊与汽车问题”。42restart:n:=
21、10000:N:=100000:P:=1.5:m:=0:for i from 1 to n do r:=rand(N.2*N): if evalf(r()/N)P then m:=m+1: fi:od:evalf(m/n);43例例1. 在我方前沿防守地域，敌人以两门火炮为单位对我方进行干扰和破坏。为躲避我方打击，敌方对其阵地进行了伪装并经常变换射击地点。经过长期观察发现，我方指挥所对敌方目标的指示有 50是准确的，而我方火力单位，在指示正确时，有 1/3的射击效果能毁伤敌人一门火炮，有 1/6的射击效果能全部消灭敌人。现在希望能用某种方式把我方将要对敌人实施的 20次打击结果显现出来，44试
22、确定有效射击的比率及毁伤敌方火炮的平均值。分析分析：这是一个概率问题，可以通过理论计算得到相应的概率和期望值。但这样只能给出作战行动的最终静态结果，而显示不出作战行动的动态过程。为了能显示我方20次射击的过程，现采用模拟的方式。45理论计算：理论计算： 设 j=1 和 0分别表示观察所对目标批示正确和不正确。A0:未射中敌方火炮；A1:射中敌方一门火炮；A2:射中敌方两门火炮。由全概率公式： ， ，46 ， 均值 。47问题分析问题分析 需要模拟的两个问题： 1、观察所对目标的指示正确与否 模拟试验有两种结果，每一种结果出现的概率都是0.5。因此, 可用投掷一枚硬币的方式予以确定，当硬币出现正
23、面时为指示正确，反之为不正确。482、指示正确时，我方火炮射击结果 模拟试验有三种结果：毁伤一门火炮的概率为1/3即2/6 ，毁伤两门的概率为1/6，没能毁伤敌火炮的概率为1/2(即3/6)。 这时可用投掷骰子的方法来确定： 如果出现、三个点，则认为没能击中敌人；如果出现、点，则认为毁伤敌人一门火炮；若出现点，则认为毁伤敌人两门火炮。49restart:n:=1000: count:=0:for i from 1 to n do r1:=rand(0.1): if r1()=1 then r2:=rand(1.6): if r2()=4 or r2()=5 then count:=count+
24、1: fi: if r2()=6 then count:=count+2: fi: fi:od:P:=100*evalf(count/n):50例例2. 一列火车从A站开往B站，某人每天赶往B 站上火车。他已了解到火车从A 站到B站的运行时间服从均值为30分钟，标准差为2分钟的正态分布。火车大约下午13点离开A站，此人大约13:30到达B站。火车离开A站的时刻及概率如表1 所示，此人到达 B站的时刻及概率如表2所示。问他能赶上火车的概率是多少？51火车离站时刻13:00 13:05 13:10概率0.7 0.2 0.1人到站时刻13:28 13:30 13:32 13:10概率0.3 0.4
25、0.2 0.152解解：令T1为火车从A站出发的时刻，T2为火车从A 站到达B 站运行的时间，T3为此人到达B站的时刻。依题意，T2N(30,4)，T1和T3的分布律即为表1和表2。 显然，此人能赶上火车的充要条件是：T1+ T2T3，从而此人能赶上火车的概率为PT1+ T2T3。 设 r1 和 r2 是区间(0,1)上的均匀分布随机数，则T1和T3分布律的模拟公式为53 在每次试验中，产生两个 (0,1) 上的均匀分布随机数t1和t3，一个服从N(30,4)的随机数t2。当 t1+ t2t3 时，试验成功即能赶上火车。若在n次试验中有k 次成功，则取频率作为此人赶上火车的概率。54resta
26、rt:with(stats):n:=10000: N:=100000: count:=0:for i from 1 to n do r1:=rand(0.N): r2:=rand(0.N): t2:=statsrandom,normald(1)*2+30: temp1:=evalf(r1()/N): temp2:=evalf(r2()/N): if temp1=0.7 then t1:=0: elif temp1=0.9 then t1:=5: else t1:=10: fi: if temp2=0.3 then t3:=28: elif temp2=0.7 then t3:=30: elif
27、 temp2t3 then count:=count+1 fi:od:P:=evalf(count/n):55例例3. 某设备上安装有四只型号规格完全相同的电子管，已知电子管寿命为10002000小时之间的均匀分布。当电子管损坏时有两种维修方案，一是每次更换损坏的那一只；二是当其中一只损坏时四只同时更换。已知更换时间为换一只时需1 小时，4 只同时换为2小时。更换时机器因停止运转每小时的损失为20元，又每只电子管价格10元，试用模拟方法决定哪一个方案经济合理？56restart:T:=10000000: r:=rand(1000.2000):L:=seq(r(),i=1.4): L:=sort
28、(L):T1:=0: k1:=1:while T1T do T1:=T1+L1: cost1:=30*k1: k1:=k1+1: L:=seq(Li-L1,i=2.4): r:=rand(1000.2000): L:=op(L),r(): L:=sort(L):od:57T2:=0: k2:=1:while T20.1) x(5)=x(1);y(5)=y(1);61 for i=1:4 d=sqrt(x(i+1)-x(i)2+(y(i+1)-y(i)2); x(i)=x(i)+v*dt*(x(i+1)-x(i)/d; y(i)=y(i)+v*dt*(y(i+1)-y(i)/d; plot(x(i),y(i),.),hold on end end62636465666768697071例例3.72
