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1、第五章离散时间傅立叶变换本章内容：离散时间傅立叶变换的表示；常用信号的傅立叶变换；傅立叶变换的性质；傅立叶变换的收敛；周期信号的傅立叶变换；对偶性；卷积性与相乘性；LTI系统的频域响应与系统的频域分析；通过对离散时间傅立叶变换的学习，掌握信号在频域的分析思想、物理含义及系统在频域分析的方法，理解信号通过系统传输的不失真条件。5.1 非周期信号的非周期信号的表示：表示：离散离散时间傅里叶傅里叶变换一、从DFS到DTFT让我们先来观察周期性矩形脉冲信号，取其周期N=10、20与40时，其频谱的变化情况如下图所示。在讨论离散时间周期性矩形脉冲信号的频谱时,我们看到:当信号周期N增大时,频谱的包络形状
2、不变,幅度减小,而频谱的谱线变密。当时,有,而从时域看,当周期信号的周期时,就变成了一个非周期的有限长序列.可以预见,对一个非周期的有限长序列,它的频谱应该是一个连续的频谱.（如动画5-1所示）对周期信号由DFS有当时，令有DTFT显然，对是以为周期的。参看动画5-2将其与表达式比较有：于是：当时，。当k在一个周期范围内变化时，在范围内变化，所以积分区间是。表明:离散时间序列可以分解为频率在区间上连续分布的、幅度为的复指数分量的线性组合。结论：离散时间非周期信号的傅立叶变换对为：二.常用信号的离散时间傅立叶变换1.,通常是复函数。的模和相位：信号的幅频特性如下：由图可以得到:时,信号表现为低通
3、特性,为单调指数衰减;时,信号表现为高通特性,为摆动指数衰减。2、DTFT的收敛问题三、当序列是无限长序列时,由于表达式是无穷项级数,当然会存在收敛问题.，则存在，且级数一致收敛于。，则级数以均方误差最小准则收敛于。5.2周期信号的DTFT对连续时间信号,有由此推断对离散时间信号或许有相似的情况.但由于DTFT一定是以为周期的,因此,频域的冲激应该是周期性的冲激串:对其作反变换有:可见：由DFS，有，因此,周期信号可表示为DTFT从上式可以看出与连续时间傅立叶变换中的形式是完全一致的.例：不一定是周期的,当时，才是周期的.的频谱如图所示：5.3离散时间傅立叶变换的性质通过对DTFT性质的讨论,
4、目的在于揭示信号时域和频域特性之间的关系。一. 周期性:若，则。二. 线性三. 时移与频移若，则：四. 时间反转若，则。五.共轭对称性若，则。六.时域差分与求和例：，七.时域内插定义：信号时频域的约束关系可参见动画6八.频域微分九.Parseval定理:对非周期离散时间信号：称为的能量谱密度函数。对周期离散时间信号：称为周期信号的功率谱。5.4卷积特性若，则。即是系统的频率特性。说明:该特性提供了对LTI系统进行频域分析的理论基础。例:求和特性的证明5.5相乘性质如果: 则:由于和都是以为周期的，因此上述卷积称为周期卷积。例：y(n)=x(n)c(n)，其中调制信号的过程可见动画75.7对偶性
5、一.DFS的对偶性，由于本身也是以N为周期的序列,当然也可以将其展开成DFS形式即：或这表明序列的DFS系数就是即：利用对偶性可以很方便的将DFS在时域得到的性质对偶到频域得到相应的性质.例1:从时移到频移，利用时移性质有:由对偶性有:即是频移特性。二.DTFT与CFS间的对偶由知是一个以为周期的连续函数。若在时域构造一个以为周期的连续时间信号则可将其表示为CFS:，比较和的表达式可以看出，这表明：若则利用这一对偶关系,可以将DTFT的若干特性对偶到CFS中去;或者反之。例:从CFS的时域微分到DTFT的频域微分CFS的时域微分特性若，则DTFT的频域微分特性例:从CFS的卷积特性到DTFT的
6、相乘特性由CFS的卷积特性：由对偶性：如图所示对偶关系示意图可参看动画5-85-9例：求的。，5.8由LCCDE表征的系统工程中使用相当广泛的一类离散时间LTI系统可以由一个线性常系数差分方程LCCDE来表征:一.系统的频域响应对LCCDE描述的系统，有以下的方法可求得系统的频域响应。方法一:可以从求解时的差分方程得到,而将变换而求得。方法二:可以通过求出时方程的解而得到因为是LTI系统的特征函数,此时的。方法三:对方程两边进行DTFT变换,可得到:通过反变换求得。例：本章与第4章平行的讨论了DTFT,讨论的基本思路和方法与第4章完全对应,许多结论也很类似通过对DTFT性质的讨论揭示了离散时间
7、信号时域与频域特性的关系.不仅看到许多性质与特性在CTFT中都有相对应的结论,而且它们也存在一些差别,例如DTFT总是以2为周期的.通过卷积的讨论,对LTI系统建立了频域分析的方法.同样地,相乘特性的存在则为离散时间信号的传输技术提供了理论基础。对偶性的讨论为我们进一步认识连续时间信号、离散时间信号、周期信号与非周期信号频域描述之间存在的重要内在联系,提供了重要的理论根据.深入理解并恰当运用对偶性,对深刻掌握CFS,DFS,CTFT,DTFT的本质关系有很大帮助。与连续时间LTI系统一样,由LCCDE描述的LTI系统可以很方便的由方程得到系统的频率响应函数，实现系统的频域分析,其基本过程及涉及到的问题与连续时间LTI系统的情况也完全类似.
